FUNGSI DAN LIMIT

2.1 Fungsi dan Grafiknya Definisi Fungsi

Sebuah fungsi 𝑓 adalah suatu aturan padanan yang menghubungkan tiap obyek 𝑥 dalam satu himpunan, yang disebut daerah asal, dengan sebuah nilai unik 𝑓(𝑥) dari himpunan kedua. Himpunan nilai yang diperoleh secara demikian disebut daerah hasil (jelajah) fungsi tersebut.

Notasi Fungsi

Untuk memberi nama fungsi dipakai sebuah huruf tunggal seperti 𝑓 (atau 𝐹). Maka 𝑓(𝑥) yang dibaca “𝑓 dari 𝑥” atau “𝑓 pada 𝑥”, menunjukkan nilai yang diberikan oleh 𝑓 kepada 𝑥.

Jadi, jika 𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 4.

𝑓 2 = 23 − 4 = 4

𝑓 −1 = (−1)3−4 = −5

𝑓 𝑎 = 𝑎3 − 4

𝑓 𝑎 + 𝑕 = (𝑎 + 𝑕)3−4 = 𝑎3 + 3𝑎2𝑕 + 3𝑎𝑕2 + 𝑕3 − 4

Daerah Asal dan Daerah Hasil

Daerah Asal adalah himpunan elemen-elemen pada mana fungsi itu mendapat nilai.

Daerah Hasil adalah himpunan nilai-nilai yang diperoleh secara demikian.

Contoh :

Cari daerah asal mula (natural) 𝑓 𝑥 = 1/(𝑥 − 3)

Solusi :

Daerah asal mula untuk 𝑓 adalah 𝑥 ∈ ℝ . Ini dibaca “himpunan 𝑥 dalam ℝ (bilangan riil) sedemikian sehingga 𝑥 tidak sama dengan 3”. Kita kecualikan 3 untuk menghindari pembagian oleh 0.

Grafik Fungsi

Jika daerah asal dan daerah hasil sebuah fungsi merupakan bilangan riil, maka kita dapat menggambarkan grafiknya pada bidang koordinat. Grafik fungsi 𝑓 adalah grafik dari persamaan 𝑦 = 𝑓 𝑥 . Contoh :

Buatlah sketsa grafik dari 𝑕 𝑥 = 2/(𝑥 − 1). Solusi :

Jika 𝑥 mendekati, nilai-nilai 𝑕 𝑥 membesar tanpa batas (misalnya, 𝑕 0,99 = −200 dan 𝑕 1,001 = 2000).

Garis tegak putus-putus disebut asimtot, pada 𝑥 = 1 dan pada sumbu 𝑥. (Garis asimtot pada grafik tersebut bukan merupakan bagian dari grafik). Daerah asal fungsi *𝑥 ∈ ℝ ∶ 𝑥 ≠ 1+, daerah hasil *𝑦 ∈ ℝ ∶ 𝑦 ≠ 0+.

Fungsi Genap dan Ganjil

Digunakan untuk memperkirakan kesimetrian

grafik dan fungsi.

Jika 𝑓 −𝑥 = 𝑓 𝑥 Simetri thd sumbu 𝑦

(Fungsi Genap)

Jika 𝑓 −𝑥 = −𝑓 𝑥 Simetri thd titik asal

(Fungsi Ganjil)

Dua Fungsi Khusus

a. Fungsi Nilai Mutlak

𝑥 = 𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 ≥ 0−𝑥 𝑗𝑖𝑘𝑎 𝑥 < 0

b. Fungsi Bilangan Bulat Terbesar

𝑥 = bilangan bulat terbesar yang lebih kecil

atau sama dengan 𝑥

Jadi, −3,1 = 3,1 = 3,1, sedangkan

−3,1 = −4 dan 3,1 = 3

2.2 Operasi pada Fungsi

Jumlah, Selisih, Hasil Kali, Hasil Bagi,

Pangkat. Misal fungsi-fungsi 𝑓 dan 𝑔

dengan rumus-rumus

𝑓 𝑥 =𝑥 − 3

2, 𝑔 𝑥 = 𝑥

Komposisi Fungsi Jika 𝑓 bekerja pada 𝑥 untuk menghasilkan 𝑓(𝑥) dan kemudian 𝑔 bekerja pada

𝑓(𝑥) untuk menghasilkan 𝑔(𝑓 𝑥 ), dikatakan bahwa kita telah menyusun 𝑔

dengan 𝑓. Fungsi yang dihasilkan disebut komposit 𝑔 dengan 𝑓, dinyatakan

oleh

𝑔 ∘ 𝑓 𝑥 = 𝑔(𝑓(𝑥))

Contoh :

Translasi (Penggeseran)

Contoh :

Katalog Sebagian dari Fungsi

a. Fungsi Konstan

Fungsi berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑘, dengan 𝑘 konstanta (bilangan riil).

b. Fungsi Identitas

Fungsi berbentuk 𝑓 𝑥 = 𝑥.

c. Fungsi Polinom

Fungsi yang diperoleh dari fungsi konstan dan dan fungsi identitas dengan memakai operasi penambahan, pengurangan, dan perkalian. Fungsi ini berbentuk

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑛𝑥𝑛 + 𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1 + ⋯+ 𝑎1𝑥 + 𝑎0

d. Fungsi Linear

Fungsi berderajat satu. Fungsi ini berbentuk

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥 + 𝑏

e. Fungsi Kuadrat

Fungsi berderajat dua. Fungsi ini berbentuk

𝑓 𝑥 = 𝑎𝑥2 + 𝑏𝑥 + 𝑐

f. Fungsi Rasional

Fungsi yang diperoleh dari hasil bagi fungsi-fungsi polinom. Fungsi ini berbentuk

𝑓 𝑥 =𝑎𝑛𝑥𝑛+𝑎𝑛−1𝑥

𝑛−1+⋯+𝑎1𝑥+𝑎0

𝑏𝑚𝑥𝑚+𝑏𝑚−1𝑥𝑚−1+⋯+𝑏1𝑥+𝑏0

g. Fungsi Aljabar Eksplisit

Fungsi yang dapat diperoleh dari fungsi konstan dan fungsi identitas melalui lima operasi penambahan, pengurangan, perkalian, pembagian dan penarikan akar.

Contohnya : 𝑔 𝑥 =𝑥+2 𝑥

𝑥3+ 𝑥2−13

2.3 Fungsi Trigonometri

Kesamaan-Kesamaan Penting

2.4 Pendahuluan Limit Pemahaman Secara Intuisi

Pandang Fungsi yang ditentukan oleh rumus

𝑓 𝑥 =𝑥3 − 1

𝑥 − 1

Perhatikan bahwa fungsi tersebut tidak terdefinisikan pada 𝑥 = 1 karena di titik ini 𝑓(𝑥) berbentuk

0

0 , yang tanpa arti. Tetapi kita masih dapat menanyakan apa yang

terjadi pada 𝑓(𝑥) bilamana 𝑥 mendekati 1.

Kesimpulannya :

𝑓(𝑥) mendekati 3

bilamana 𝑥

mendekati 1. Kita

tuliskan,

lim𝑥→1

𝑥3 − 1

𝑥 − 1= 3

Dibaca :

“limit dari 𝑥3 − 1 /𝑥 − 1 untuk 𝑥

mendekati 1 adalah

3.

Definisi Limit

(Pengertian limit secara intuisi). Untuk mengatakan bahwa

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa bilamana 𝑥 dekat tetapi berlainan dari 𝑐,

maka 𝑓(𝑥) dekat ke 𝐿.

Limit-Limit Sepihak

2.5 Pengkajian Mendalam Tentang

Limit Definisi Limit

(Pengertian persis tentang limit). Mengatakan bahwa

lim𝑥→𝑐

𝑓 𝑥 = 𝐿 berarti bahwa untuk tiap > 0 yang diberikan (betapapun

kecilnya), terdapat 𝛿 > 0 yang berpadanan sedemikian sehingga

𝑓 𝑥 − 𝐿 < asalkan bahwa 0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿; yakni,

0 < 𝑥 − 𝑐 < 𝛿 ⇒ 𝑓 𝑥 − 𝐿 <

Contoh Bukti Limit

Limit-Limit Satu Pihak

2.6 Teorema Limit

2.7 Limit melibatkan Fungsi

Trigonometri

2.8 Limit-limit pada Tak

Berhingga, Limit-limit Tak Hingga

2.9 Kekontinuan Fungsi

Kekontinuan Fungsi yang Banyak

Dikenal

Kekontinuan Fungsi yang Banyak

Dikenal