14.17 Un corto deja sin electricidad a un submarino que está 30 m bajola superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar haciaafuera una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75 m2 y pesa 300 N. Si la presión interior es de 1 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercersobre la escotilla para abrirla?
Datos: pa=1.013 105 Pa
ρmar=1030 kg/m3
A=0.75 m2, W=300N
pAF
ghpp a
=
+= ρ
pa
mg
Fw=pA=(pa+ρgh)A
F?
hpaA+mg+F-pA=0
paA+mg+F=pA
paA+mg+F=(pa+ρgh)A=paA+ρghA
F=paA
���
�mms
m
m
kgmgghAF
53
3
23
1026.23001011.227
300)75.0)(30(8.91030
=−
=−=−= ρ
14.16 Un recipiente cerrado se llena parcialmente con agua (ρagua=1000 kg/m3). En un principio, el aire arriba del agua está a presión atmosférica(pa=1.013 105 Pa) y la presión manométrica en el recipiente es de 2500 Pa. Después, se bombea aire adicional al interior, aumentando la presión del aire sobre el agua en 1500 Pa. a) Calcule la nueva presión manométrica en el fondo. b) ¿Cuánto deberá reducirse el nivel del agua en el recipiente paraque la presión manométrica en el fondo vuelva a ser de 2500 Pa? (La presión del aire sobre el agua se mantiene a 1500 Pa sobre la presiónatmosférica).
Datos: pa=1.013 105 Pa
ρagua=1000 kg/m3
(p-p1)i=2500 Pa
ghpp a ρ=−
a) (p-p1)i=2500 Pa
p’=2500 Pa+1500 Pa=4000 Pa
hagua
p1
p
b) El cambio del nivel del agua debe compensar el cambio de presión:
1500 Pa=ρwaterg∆h=
msmmkg
Pah 15.0
)/(8.9)/(1000
150023==∆
FLOTACION & PRINCIPIO DE ARQUIMEDESEl PRINCIPIO DE ARQUIMEDES establece que:
Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso
del fluido desplazado por el cuerpo
y Consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo con densidad ρliq. El fluido está en equilibrio, así que la sumade todas las componentes de fuerzasobre esta porción de fluido es 0.
p2A
p1A
Las fuerzas de superficie sobre las paredes laterales son iguales y opuestas, y se cancelan.
Las componentes verticales son las fuerzas de superficie y el peso de la porción de fluido
La fuerza B debe ser de igual magnitud queel peso de la porción de fluido
mg = ρliqVg=ρliqA·dyg
Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos por un cuerpo sólido cuya forma es idéntica. La presión en cada punto es la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercida por el fluido sobre el cuerpo es también la misma, igual en magnitud al peso mg del fluido que se desplazó para colocar el cuerpo.
B= ρliqVg
La presión p2 sobre la superficie inferior esmayor que p1 por la ley de Pascal, la fuerzaresultante B está hacia arriba:
B=p2A-p1A=(pa+ ρliqgy2)A-(pa+ ρliqgy2)A=
ρliqgdy
B
mgp2A
p1A
y
y1y2
p1p2
Esta fuerza hacia arriba es la FUERZA DE FLOTACION que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado.
dy
FLOTACION
Fluido con densidad ρfluido
Cuerpo con densidad ρc y volumen V
W= ρcVg
V
B= ρfluido Vg
El cuerpo flota si la fuerza de flotación B es mayor que el peso W del cuerpo:
ρfluido Vg > ρcVg
ρfluido > ρc
B= ρfluido Vg
W= ρcVg
El cuerpo no flota si la fuerza de flotación B es menor que el peso W del cuerpo:
ρfluido Vg < ρcVg
ρfluido < ρc
PREGUNTA: ¿Como pueden flotar barcos de acero en agua? (la densidad del acero es mayor que la densidad del agua)
RESPUESTA: Los barcos adentro estan “vacíos” (llenos de aire, personas, cosas..) y la densidad media es menor que la densidad del agua.
Arquímedes de Siracusa (Aρχιµήδης)
287-212 aC
Se cuenta que Hierón II (monarca de Siracusa) hizo entrega a un platero de la ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona. Finalizado el trabajo, Hierón, desconfiado de la honradez del platero solicitó a Arquímedes que determinara la ley de metales de la corona, conservando la corona en su integridad.
Arquímedes, preocupado por no encontrar solución al problema, al sumergirse en una tina para bañarse se dio cuenta que el nivel del agua en la tina subía al sumergirse. Pensando en ello llegó a la conclusión que al entrar su cuerpo en la bañera, ocupaba un lugar que dejaba de ser ocupado por el agua y que él pesaba menos de una cantidad igual al peso del agua desplazada. Fue tal su excitación que salió contento por las calles de Siracusa (desnudo!!) gritando “eúreka” (εùρηκα= he encontrado)
Pesando la corona en aire y agua pudo comprobar que la densidad de la corona no correspondía a la densidad del oro, y que el platero había estafado al monarca.
14.21 Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce(ρagua=1000kg/m3). ¿Qué volumen mínimo debe tener para que una mujer de 45 kg pueda pararse en ella sin mojarse los pies? (ρhielo=920kg/m3)
Datos: ρagua=1000kg/m3
ρhielo=920kg/m3
m=45kg
VgB
Vm
aguaρ
ρ
=
=
3
3563.0
)/)(1000920(
45
)(
)(
0)(
mmkg
kgmV
gmVg
gmVg
VgBgmVg
aguahielo
w
waguahielo
waguahielo
aguawhielo
=−−
=−−
=
=−−
=+−
==+
ρρ
ρρ
ρρ
ρρ
PRINCIPIO DE ARQUIMEDES
mwgmhielog=ρhieloVg
B
SOLUCIÓN
a) El volumen de la estatua es:
La fuerza de flotación es B = mwaterg=ρwaterVg:
La suma de las fuerzas es 0:
EJEMPLO 14.5Una estatua de oro sólido (m=15 kg) está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está en reposo y a) totalmente sumergida? b) ¿Fuera del agua? (La densidad ρgold del oro es 19.3 103 kg/m3, la densidad del agua del mar es 1.03 103 kg/m3.
T
mg
B
34
33107.7
)/(103.19
15m
mkg
kgmV
gold
−===ρ
�s
mm
m
kgB 84.78.9107.71003.1
2
34
3
3=⋅⋅=
−
��s
mkgBmgT
mgTBFy
13984.78.915
0
2=−⋅=−=
−+==Σ
SOLUCIÓN
Cuando la estatua está en aire la fuerza de flotación es
B = mairg=ρairVg=1.2 (kg/m3)·7.7 10-4m3·9.8 (m/s2)=
9.1 10-3 N
Entonces
T=mg-B ~ mg ~ (15 kg)(9.8 m/s2)=147 NTB
mg
14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostiene una esfera hueca de plástico bajo la superficie. El volumen de la esfera es de 0.650 m3 y la tensión en el cable es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación ejercida por el agua sobre la esfera. b) ¿Qué masa tiene la esfera? c) El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. En equilibrio, ¿qué fracción del volumende la esfera estará sumergida?
T
B
W=meg
Datos: ρagua=1000kg/m3
Ve=0.650 m3
T= 900 NVgB aguaρ=
�smmmkgVgBa agua 6370)/8.9)(650.0)(/1000() 233=== ρ
kgsm
�
g
TBmTBgm
gmTBb
ee
e
558/8.9
)9006370(
0)
2=
−=
−=⇒−=
=−−
%9.85859.06370
)/8.9)(558('
'
'')
2
=====
=
===
�
smkg
B
gm
gV
gm
V
V
g
gmV
gmWgVBc
e
agua
e
agua
e
eagua
ρ
ρ
ρ
V ‘
respuesta a)
Llamemos V ’ el volumen sumergido y B ‘ la fuerza de flotación que actúa sobre la esfera cuando ésta flota
14.25 Un bloque cúbico de madera de 10 cm por lado flota en la interfazentre aceite y agua con su superficie inferior 1.5 cm bajo la interfaz(ρaceite=790 kg/m3). a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tieneel bloque?
Datos: ρagua=1000kg/m3
ρaceite=790 kg/m3
L=10 cm
h=1.5 cm, h1+h2=LVgB
Vm
ghpp
aguaρ
ρ
ρ
=
=
+= 0
Pamsmmkgghpp aceite 3.117)015.0)(/8.9)(/790( 23
0 ===− ρ
Pamsmmkgmsmmkg
ghhhgpp aguaaceite
2.921015.0)/8.9)(/10(1.0)/8.9)(/790(
)(
23323
210
=+
=++=− ρρ
a)
b)
c)
33
2363
2433243
2121
/1082.0)/8.9(1010
05.805.8
05.847.158.6
)015.0)(10100)(/10()085.0)(10100)(/790(
mkgsmm
��Vgmg
���
mmmkgmmmkg
gAhgAhgVgVmg
maderamadera
aguaaceiteaguaoil
==⇒==
=+
=+
=+=+=
−
−−
ρρ
ρρρρ
aceite
agua
L hh1h2
LL
14.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene 0.250 cm3
de queroseno, con masa m=205 kg. La presión en la superificiedel queroseno es de p0=2.01 105 Pa. El queroseno ejerce una fuerzade 16.4 kN sobre el fondo del tanque, cuya área es A=0.07 m2. Calcule a) la densidad y b) la profundidad del queroseno.
p0
h?A
p=p0+ρkgh
F=pA
Datos: p0=2.01 105 Pa
V=0.250 cm3, m=205 kg
A=0.07 m2, Fk=16.4 kNV
m
pAF
ghpp a
=
=
+=
ρ
ρ
La densidad del queroseno se puede calcularcon m y V:
3
6
36310820
1025.0
205
250.0
205
m
kg
m
kg
cm
kg
V
mq ====
−ρ
mg
pm
�
hpm
�gh
m
�
A
�ghp�FAghp
q
q
14.407.0
104.16
07.0
104.16
07.0
104.16104.16104.16)(
2
3
2
3
2
333
=
−
=⇒−=
==+⇒==+
ρρ
ρρ
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