14.17 Un corto deja sin electricidad a un submarino que está 30 m bajola superficie del mar. Para escapar, la tripulación debe empujar haciaafuera una escotilla en el fondo que tiene un área de 0.75 m2 y pesa 300 N. Si la presión interior es de 1 atm, ¿qué fuerza hacia abajo se debe ejercersobre la escotilla para abrirla?

Datos: pa=1.013 105 Pa

ρmar=1030 kg/m3

A=0.75 m2, W=300N

pAF

ghpp a

=

+= ρ

pa

mg

Fw=pA=(pa+ρgh)A

F?

hpaA+mg+F-pA=0

paA+mg+F=pA

paA+mg+F=(pa+ρgh)A=paA+ρghA

F=paA

���

�mms

m

m

kgmgghAF

53

3

23

1026.23001011.227

300)75.0)(30(8.91030

=−

=−=−= ρ

14.16 Un recipiente cerrado se llena parcialmente con agua (ρagua=1000 kg/m3). En un principio, el aire arriba del agua está a presión atmosférica(pa=1.013 105 Pa) y la presión manométrica en el recipiente es de 2500 Pa. Después, se bombea aire adicional al interior, aumentando la presión del aire sobre el agua en 1500 Pa. a) Calcule la nueva presión manométrica en el fondo. b) ¿Cuánto deberá reducirse el nivel del agua en el recipiente paraque la presión manométrica en el fondo vuelva a ser de 2500 Pa? (La presión del aire sobre el agua se mantiene a 1500 Pa sobre la presiónatmosférica).

Datos: pa=1.013 105 Pa

ρagua=1000 kg/m3

(p-p1)i=2500 Pa

ghpp a ρ=−

a) (p-p1)i=2500 Pa

p’=2500 Pa+1500 Pa=4000 Pa

hagua

p1

p

b) El cambio del nivel del agua debe compensar el cambio de presión:

1500 Pa=ρwaterg∆h=

msmmkg

Pah 15.0

)/(8.9)/(1000

150023==∆

FLOTACION & PRINCIPIO DE ARQUIMEDESEl PRINCIPIO DE ARQUIMEDES establece que:

Si un cuerpo está parcial o totalmente sumergido en un fluido, éste ejerce una fuerza hacia arriba sobre el cuerpo igual al peso

del fluido desplazado por el cuerpo

y Consideremos una porción arbitraria de fluido en reposo con densidad ρliq. El fluido está en equilibrio, así que la sumade todas las componentes de fuerzasobre esta porción de fluido es 0.

p2A

p1A

Las fuerzas de superficie sobre las paredes laterales son iguales y opuestas, y se cancelan.

Las componentes verticales son las fuerzas de superficie y el peso de la porción de fluido

La fuerza B debe ser de igual magnitud queel peso de la porción de fluido

mg = ρliqVg=ρliqA·dyg

Ahora quitamos el fluido que está dentro de la superficie y lo reemplazamos por un cuerpo sólido cuya forma es idéntica. La presión en cada punto es la misma que antes, de modo que la fuerza total hacia arriba ejercida por el fluido sobre el cuerpo es también la misma, igual en magnitud al peso mg del fluido que se desplazó para colocar el cuerpo.

B= ρliqVg

La presión p2 sobre la superficie inferior esmayor que p1 por la ley de Pascal, la fuerzaresultante B está hacia arriba:

B=p2A-p1A=(pa+ ρliqgy2)A-(pa+ ρliqgy2)A=

ρliqgdy

B

mgp2A

p1A

y

y1y2

p1p2

Esta fuerza hacia arriba es la FUERZA DE FLOTACION que actúa sobre el cuerpo sólido. La linea de acción pasa por el centro de gravedad del fluido desplazado.

dy

FLOTACION

Fluido con densidad ρfluido

Cuerpo con densidad ρc y volumen V

W= ρcVg

V

B= ρfluido Vg

El cuerpo flota si la fuerza de flotación B es mayor que el peso W del cuerpo:

ρfluido Vg > ρcVg

ρfluido > ρc

B= ρfluido Vg

W= ρcVg

El cuerpo no flota si la fuerza de flotación B es menor que el peso W del cuerpo:

ρfluido Vg < ρcVg

ρfluido < ρc

PREGUNTA: ¿Como pueden flotar barcos de acero en agua? (la densidad del acero es mayor que la densidad del agua)

RESPUESTA: Los barcos adentro estan “vacíos” (llenos de aire, personas, cosas..) y la densidad media es menor que la densidad del agua.

Arquímedes de Siracusa (Aρχιµήδης)

287-212 aC

Se cuenta que Hierón II (monarca de Siracusa) hizo entrega a un platero de la ciudad de ciertas cantidades de oro y plata para el labrado de una corona. Finalizado el trabajo, Hierón, desconfiado de la honradez del platero solicitó a Arquímedes que determinara la ley de metales de la corona, conservando la corona en su integridad.

Arquímedes, preocupado por no encontrar solución al problema, al sumergirse en una tina para bañarse se dio cuenta que el nivel del agua en la tina subía al sumergirse. Pensando en ello llegó a la conclusión que al entrar su cuerpo en la bañera, ocupaba un lugar que dejaba de ser ocupado por el agua y que él pesaba menos de una cantidad igual al peso del agua desplazada. Fue tal su excitación que salió contento por las calles de Siracusa (desnudo!!) gritando “eúreka” (εùρηκα= he encontrado)

Pesando la corona en aire y agua pudo comprobar que la densidad de la corona no correspondía a la densidad del oro, y que el platero había estafado al monarca.

14.21 Una plancha de hielo flota en un lago de agua dulce(ρagua=1000kg/m3). ¿Qué volumen mínimo debe tener para que una mujer de 45 kg pueda pararse en ella sin mojarse los pies? (ρhielo=920kg/m3)

Datos: ρagua=1000kg/m3

ρhielo=920kg/m3

m=45kg

VgB

Vm

aguaρ

ρ

=

=

3

3563.0

)/)(1000920(

45

)(

)(

0)(

mmkg

kgmV

gmVg

gmVg

VgBgmVg

aguahielo

w

waguahielo

waguahielo

aguawhielo

=−−

=−−

=

=−−

=+−

==+

ρρ

ρρ

ρρ

ρρ

PRINCIPIO DE ARQUIMEDES

mwgmhielog=ρhieloVg

B

SOLUCIÓN

a) El volumen de la estatua es:

La fuerza de flotación es B = mwaterg=ρwaterVg:

La suma de las fuerzas es 0:

EJEMPLO 14.5Una estatua de oro sólido (m=15 kg) está siendo levantada de un barco hundido. ¿Qué tensión hay en el cable cuando la estatua está en reposo y a) totalmente sumergida? b) ¿Fuera del agua? (La densidad ρgold del oro es 19.3 103 kg/m3, la densidad del agua del mar es 1.03 103 kg/m3.

T

mg

B

34

33107.7

)/(103.19

15m

mkg

kgmV

gold

−===ρ

�s

mm

m

kgB 84.78.9107.71003.1

2

34

3

3=⋅⋅=

−

��s

mkgBmgT

mgTBFy

13984.78.915

0

2=−⋅=−=

−+==Σ

SOLUCIÓN

Cuando la estatua está en aire la fuerza de flotación es

B = mairg=ρairVg=1.2 (kg/m3)·7.7 10-4m3·9.8 (m/s2)=

9.1 10-3 N

Entonces

T=mg-B ~ mg ~ (15 kg)(9.8 m/s2)=147 NTB

mg

14.24 Un cable anclado al fondo de un lago de agua dulce sostiene una esfera hueca de plástico bajo la superficie. El volumen de la esfera es de 0.650 m3 y la tensión en el cable es de 900 N. a) Calcule la fuerza de flotación ejercida por el agua sobre la esfera. b) ¿Qué masa tiene la esfera? c) El cable se rompe y la esfera sube a la superficie. En equilibrio, ¿qué fracción del volumende la esfera estará sumergida?

T

B

W=meg

Datos: ρagua=1000kg/m3

Ve=0.650 m3

T= 900 NVgB aguaρ=

�smmmkgVgBa agua 6370)/8.9)(650.0)(/1000() 233=== ρ

kgsm

�

g

TBmTBgm

gmTBb

ee

e

558/8.9

)9006370(

0)

2=

−=

−=⇒−=

=−−

%9.85859.06370

)/8.9)(558('

'

'')

2

=====

=

===

�

smkg

B

gm

gV

gm

V

V

g

gmV

gmWgVBc

e

agua

e

agua

e

eagua

ρ

ρ

ρ

V ‘

respuesta a)

Llamemos V ’ el volumen sumergido y B ‘ la fuerza de flotación que actúa sobre la esfera cuando ésta flota

14.25 Un bloque cúbico de madera de 10 cm por lado flota en la interfazentre aceite y agua con su superficie inferior 1.5 cm bajo la interfaz(ρaceite=790 kg/m3). a) ¿Qué presión manométrica hay en la superficie de arriba del bloque? b) ¿Y en la cara inferior? c) ¿Qué masa y densidad tieneel bloque?

Datos: ρagua=1000kg/m3

ρaceite=790 kg/m3

L=10 cm

h=1.5 cm, h1+h2=LVgB

Vm

ghpp

aguaρ

ρ

ρ

=

=

+= 0

Pamsmmkgghpp aceite 3.117)015.0)(/8.9)(/790( 23

0 ===− ρ

Pamsmmkgmsmmkg

ghhhgpp aguaaceite

2.921015.0)/8.9)(/10(1.0)/8.9)(/790(

)(

23323

210

=+

=++=− ρρ

a)

b)

c)

33

2363

2433243

2121

/1082.0)/8.9(1010

05.805.8

05.847.158.6

)015.0)(10100)(/10()085.0)(10100)(/790(

mkgsmm

��Vgmg

���

mmmkgmmmkg

gAhgAhgVgVmg

maderamadera

aguaaceiteaguaoil

==⇒==

=+

=+

=+=+=

−

−−

ρρ

ρρρρ

aceite

agua

L hh1h2

LL

14.19 Un tanque ahusado presurizado para un cohete contiene 0.250 cm3

de queroseno, con masa m=205 kg. La presión en la superificiedel queroseno es de p0=2.01 105 Pa. El queroseno ejerce una fuerzade 16.4 kN sobre el fondo del tanque, cuya área es A=0.07 m2. Calcule a) la densidad y b) la profundidad del queroseno.

p0

h?A

p=p0+ρkgh

F=pA

Datos: p0=2.01 105 Pa

V=0.250 cm3, m=205 kg

A=0.07 m2, Fk=16.4 kNV

m

pAF

ghpp a

=

=

+=

ρ

ρ

La densidad del queroseno se puede calcularcon m y V:

3

6

36310820

1025.0

205

250.0

205

m

kg

m

kg

cm

kg

V

mq ====

−ρ

mg

pm

�

hpm

�gh

m

�

A

�ghp�FAghp

q

q

qq

14.407.0

104.16

07.0

104.16

07.0

104.16104.16104.16)(

2

3

2

3

2

333

=

−

=⇒−=

==+⇒==+

ρρ

ρρ