x 0
f (x x) f (x)f '(x) limx∆ →
+ ∆ −=
∆
i
គណះកមករនរនរន រៀ រ
លមផលររនែសរនសនដ
គណះកមកររនរនៀ យបក ស
លក យ ង ា
លកលម រ
លកអសណ
គណះកមកររនរនអកយអកន
លកលមមនគសន
ក ន ក ទ
លកអសណរនលមផលរ
ii
អមមកក
សសមត អកសកសោាសសឡាស រាបា
េសៀវេា ដ ា កៃរអរគមរកា កងា១២ែដលេលកអកកក ព ែតតរស រេរនា
ខ ពកបោបរេនៀាៀកេឡើសរាសោពកសឯកសនសរាសអកសកែដលររា
ាកណៀសយលសដ អកេមេនៀរេរនឲតរសនតៀតសសលសស ា
ាេកព េសៀវេេរនាេយើខ ពកបរសេងាេមេនៀរាអមសមយយឧនណហ រកនគាា
ែដលៀឲអកសកកយយលសារា ាសៀឆកាេឧើយមយ ក ររលក តសា
អរពវតរហសរាសអកសកឧកតសេហនាសយេហយខ សរឯា
ា េយើខ ពកសមមាេសៀវេមយកតលេរនារៀៀគលនមល សរគវា
រករតារាវ ធសាសថកពតនេហនាសយលក តសេលើនកេដន េវៃរអរពរមរហា
ាៀកេពនេលកអកសកសពកជរេឡើយាា
ា សោាប ាសខ ពកបោសគមគរនៀកេពនេលកអកាសគមររសពខាលា
ររសជសសៃវារាោោលបរេសរ នយកព រាសានកៀាា
ា
ា
បាត ដបងៃថទ០៥ កកដ ឆា ដ២០១២
អាកនពន នប រសវស
លមផលរ Tel :017 768 246 Email: [email protected] Website: www.mathtoday.wordpress.com
iii
មនក ឿ
ដពរ
ជកា១
េដន េវៃរអរពរមរហ ០01
១-េរ ទេសងនអនគមន ាបតចដណចមយ ០01
២-េរ ទេសងនអនគមន ណា កត 005
៣-េរ ទេសងនអនគមន ាទេេណា 006
៤-េរ ទេសងនអនគមនអចសបណបត សស 011
៥-េរ ទេសងនអនគមនេលេរ ទាេនព 013
៦-េរ ទេស ដដត ខសត 016
៧-េរ ទេសងនអនគមនអដពពទសទា 019
ជកា២
តនអរពវតរហេដន េវៃរអរពរមរហ 021
១-េរអនសាានកាបេរគណណាងមពរ 021
iv
២-េបន នប សដងនចណ 022
៣-ឌទេផរ បបត សស 024
៤-សសមភពកដេណណ ននកដណាត 025
៥-ទសាទរ ប 030
៦-ទសាទាងមពមមសម 033
៧-អនសាានកាបេស កច 035
ជកា៣
ា អេនាារាតាៃរអរពរមរហ 037
១-សកអនគមនសននន 037
ក/សកអនគមន 2ax bx cypx q+ +
=+
037
/សកអនគមន 2
2ax bx cypx qx r
+ +=
+ + 056
២-សកអនគមនអសននន 081
ក/សកអនគមន y ax b= + 081
/សកអនគមន 2y ax bx c= + + 086
៣-សកអនគមនអចសបណបត សស 096
៤-សកអនគមនេលេរ ទាេនព 107
v
ជកា៤
លហងមរដ ណះរា 112
ជកា៥
លហងអរកតរ 164
ឯកា េ 195
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 1
ជពកទ១
េដរេវៃនអនគមន
១-េដរេវៃនអនគមនរតងច មម
ក/នយមនយ ៖
េដរេវរតង ណ ច 0x ៃនអនណគមនចy f (x)= (េបមននច ជមរៃន
ផជេធៀបកេ នចyx
∆∆
កជលច x∆ ខរេទជរច0 ។
េគក រងសរេសរច៖
0 0 00 x 0 x x h 000
f (x) f (x ) f (x h) f (x )yf '(x ) lim lim limx x x h∆ → → →
− + −∆= = =
∆ −
ឧទរ រកេដរេវរតងច 0x 2= ៃនអនណគមនច 3y x=
េគបនច3
h 0 h 0
f (2 h) f (2) (2 h) 8f '(2) lim limh h→ →
+ − + −= =
2
h 02
h 0
(2 h 2)[(2 h) 2(2 h) 4]limh
lim(h 6h 12) 12→
→
+ − + + + +=
= + + =
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 2
ខ/ភាពនានេ ដា ៖
អនណគមនចf មនេដរេវរតង ណ ច 0x x= ជណះរតរច៖
-អនណគមនចf បង រតង ណ ច 0x x=
-េដរេវខតេេឆតចនតចេដរេវខតង េសស គគចចច 0 0f ' (x ) f ' (x )− +=
តដជច 0 00
h 0
f (x h) f (x )f ' (x ) limh−
→ −
+ −=
នតចច 0 00
h 0
f (x h) f (x )f ' (x ) limh+
→ +
+ −= ។
ឧទរចេគមនអនណគមនច2x px q x 1
f (x)3x 4 x 1
+ + ≤= + >
ebI
ebI
ករងពរននពរចp នតq េដម ឲចf មនេដរេវរតងចx 1= ។
េគរតវឲចf បង រតងចx 1= គគចx 1 x 1lim f (x) lim f (x)→ →− +
=
េគបនច 2
x 1 x 1lim (x px q) lim (3x 4)→ →− +
+ + = +
1 p q 7+ + = ឬចចq 6 p (1)= −
នតេគរតវឲចf ' (1) f ' (1)− += ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 3
េគមនចh 0
f (1 h) f (1)f ' (1) limh−
→ −
+ −=
2
h 02
h 02
h 0
h 0
(1 h) p(1 h) q (1 p q)limh
1 2h h p ph q 1 p qlimh
h (2 p)hlimh
lim (h 2 p) 2 p
→
→
→
→
−
−
−
−
+ + + + − + +=
+ + + + + − − −=
+ +=
= + + = +
េយចចh 0
f (1 h) f (1)f ' (1) limh+
→ +
+ −=
h 0
h 0
3(h 1) 4 (3 4)limh
3hlim 3h
→
→
+
+
+ + − +=
= =
េរណេនះច2 p 3+ = េនះចចp 1=
េយរម((នចេគបនចq 6 1 5= − = ។
ដេនះចp 1 , q 5= = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 4
លចហរងអនវរតន
១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 3 2f (x) x x 1= − +
េដយេបនយមនមយរគនចf '(0) , f '( 1)− នតចf '(1) ។
២-េគមនអនណគមនf ករងេដយច៖
2
2
x ax 2 x 1f (x)
bx 4x 1 x 1
+ + ≤= + + >
ebI
ebI
ករង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf មនេដរេវរតងx 1= ។
៣-េគមនអនណគមនf ករងេដយច៖
asin x b cos x 1 x
2f (x)b sin x acos x 3 x
2
π + + ≤= π − + >
ebI
ebI
ករង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf មនេដរេវរតងx
2π
= ។
៤-េគមនអនណគមនf ករងេដយ f (x) sin x cos x 1= − + ។
េដយេបនយមនមយគនចf '( )4π
− នតចf '( )4π ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 5
២-េដរេវៃនអនគមនបណត ង
េបចy f (u)= នតចu g(x)= េនះេគបនច៖
dy dy duy 'dx du dx
= = × ឬចចចច [ ]d f u(x) f '(u) u'(x)dx
= × ។
សមយបយប កង ៖
រតច [ ]F(x) f g(x)= េដយេបបពមនេដរេវរតងច 0x x=
េគរតវបបង ច [ ]0 0 0F '(x ) f ' g(x ) g '(x )= × ។
រមនយមនមយេគបនច៖
00 x x 00
F(x) F(x )F '(x ) limx x→
−=
−
[ ] [ ]
[ ] [ ]
[ ]
[ ]
0x x 0
0 0x x 0 0
0 0x x x x0 0
0 0
0
0
0 0
f g(x) f g(x )lim
x x
f g(x) f g(x ) g(x) g(x )limg(x) g(x ) x x
f g(x) g(x ) g(x) g(x )lim limg(x) g(x ) x x
f ' g(x ) g '(x )
→
→
→ →
−=
−
− −= ×
− −
− −= ×
− −
= ×
ដេនះចចច [ ]0 0 0F '(x ) f ' g(x ) g '(x )= × ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 6
ឧទរចគនេដរេវៃនអនណគមនច3x 1y
x 1− = +
រតច x 1ux 1−
=+
េនះច 3y u=
េគបនច 2 2du (x 1)'(x 1) (x 1)'(x 1) 2dx (x 1) (x 1)
− + − + −= =
+ +
េយច 2dy 3udu
= ។ចរមរបមនងច dy dy duy 'dx du dx
= = ×
េគបនច2
22 4
dy 2 6(x 1)y ' 3u .dx (x 1) (x 1)
−= = =
+ + ។
៣-េដរេវៃនអនគមនរេេរ
/េដរេវៃនអនគមនសនស នត សនស
េបចy sin x= េនះចចy ' cos x=
េបចy cos x= េនះចចy ' sin x= −
េបចy sin u= េនះចy ' u'cosu=
េបចy cosu= េនះចy ' u'sin u= −
តដជចu u(x)= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 7
សមយបយប កង ៖
រតចf (x) sin x=
េគបនចh 0
f (x h) f (x)f '(x) limh→
+ −=
h 0
h 0
h 0 h 0
sin(x h) sin xlimh
h h2sin cos(x )2 2lim
hhsin h2lim lim cos(x )h 2
21 cos x cos x
→
→
→ →
+ −=
+=
= × +
= × =
ដេនះចf (x) sin x= េនះចf '(x) cos x= ។
មយតេទៀរចចy sin u sin u(x)= =
េគបនច dy dy duy ' cosu u' u'cosudx du dx
= = × = × = ។
ដេនះចy sin u= េនះចy ' u'cosu= ។
(ចេពះេដរេវអនណគមនកសណនសចេគយដខតេជតដរចនច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 8
ខ/េដរេវៃនអនគមនរតងសតង នត រតងសតង
េបចy tan x= េនះចច 22
1y ' 1 tan xcos x
= = +
េបចy cot x= េនះចច 22
1y ' (1 cot x)sin x
= − = − +
េបចy tan u= េនះច 22
u 'y ' u'(1 tan u)cos u
= = +
េបចy cot u= េនះច 22
u 'y ' u'(1 cot u)sin u
= − = − +
សមយបយប កង ៖
េគមនច sin xy tan xcos x
= = េនះេគបនច៖
2
2 2
2
22
(sin x)'cos x (cos x)'sin xy 'cos x
cos x sin xcos x
1 1 tan xcos x
−=
+=
= = +
ដេនះេបចy tan x= េនះច 22
1y ' 1 tan xcos x
= = + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 9
េគមនច cos xy cot xsin x
= = េនះេគបនច៖
2
2 2
2
22
(cos x)'sin x (sin x)'cos xy 'sin x
sin x cos xsin x1 (1 cot x)
sin x
−=
− −=
= − = − +
ឧទរ រកេដរេវៃនអនណគមនច sin xy1 cos x
=+
េគបនច 2(sin x)'(1 cos x) (1 cos x)'sin xy '
(1 cos x)+ − +
=+
2
2
2 2
2
2
cos x(1 cos x) sin x(1 cos x)
cos x cos x sin x(1 cos x)
cos x 1 11 cos x(1 cos x)
+ +=
+
+ +=
++
= =++
ដេនះច 1y '1 cos x
=+
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 10
លចហរងអនវរតន
រគនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ 3y 3cos x cos x= − 2/ច 3y sin xcos 3x=
3/ច 4y sin 4xcos x= 4/ច sin xy1 sin x
=+
5/ច cos xy1 cos x
=−
6/ច sin x cos xysin x cos x
−=
+
7/ច 1 tan xy1 tan x−
=+
8/ច 2 31 1y tan x tan x2 3
= +
9/ចy x cot x= − (0/ 4y cot x=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 11
៤-េដរេវៃនអនគមនអស ប តងសសល
េបច xy e= េនះចច xy ' e=
េបច xy a= េនះចច xy ' a ln a , a 0 ,a 1= > ≠
េបច uy e= េនះច uy ' u'e=
េបច uy a= េនះច uy ' u'.a ln a=
សមយបយប កង ៖
រតច xf (x) e= េនះរមនយមនមយេគបនច៖
x h x
h 0 h 0
f (x h) f (x) e ef '(x) lim limh h
+
→ →
+ − −= =
h
x x
h 0
e 1lim .e eh→
−= = េពះច
h
h 0
e 1lim 1h→
−= ។
ដេនះចចេបច xy e= េនះចច xy ' e= ។
មយតេទៀរេយតរតច x lna xlnaxg(x) a e e= = =
េគបនច xlna xlna xg '(x) (x ln a)' .e ln a .e a ln a= = =
ដេនះចេបច xy a= េនះចច xy ' a ln a , a 0 ,a 1= > ≠ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 12
ឧទរ១ចចគនេដរេវៃនអនណគមនចx x
x xe eye e
−
−−
=+
េគបនចx x x x x x x x
x x 2(e e )'(e e ) (e e )'(e e )y '
(e e )
− − − −
−− + − + −
=+
x x 2 x x 2
x x 2
2x 2x 2x 2x
x x 2
x x 2
(e e ) (e e )(e e )
e 2 e e 2 e(e e )
4(e e )
− −
−
− −
−
−
+ − −=
+
+ + − + −=
+
=+
ដេនះច x x 24y '
(e e )−=+
។
ឧទរ២ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 3sin x sin x3y e −=
េគបនច 3 3sin x sin x3y ' (3sin x sin x)'e −= −
2 3sin x sin x
2 3sin x sin x
3 3sin x sin x
3
3
3
(3cos x 3cos xsin x)e
3cos x(1 sin x)e
3cos xe
−
−
−
= −
= −
=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 13
៥-េដរេវៃនអនមនេលេររេនន
េបចy ln x= េនះចច 1y 'x
=
េបចy ln(ax b)= + េនះចច ay 'ax b
=+
េបចy ln u= េនះច u'y 'u
=
សមយបយប កង ៖
រតចf (x) ln x= េនះចf (x h) ln(x h)+ = +
រមនយមនមយចh 0
f (x h) f (x)f '(x) limh→
+ −=
h 0
h 0
h 0
ln(x h) ln xlimh
x hln( )xlim
hhln(1 ) 1 1xlim h x x
x
→
→
→
+ −=
+
=
+= × =
ដេនះេបចចf (x) ln x= េនះចច 1f '(x)x
= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 14
ឧទរ១ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 1 ln xy1 ln x−
=+
េគបនច 2(1 ln x)'(1 ln x) (1 ln x)'(1 ln x)y '
(1 ln x)− + − + −
=−
2 2
1 1(1 ln x) (1 ln x) 2x x(1 ln x) x(1 ln x)
− + − −= = −
+ +
ដេនះច 22y '
x(1 ln x)= −
+ ។
ឧទរ២ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 2y ln(x 1 x )= + +
េគបនច2
2
(x 1 x )'y 'x 1 x
+ +=
+ +
2
2 2
2 2
2
2 2 2
(1 x )' 2x1 12 1 x 2 1 x
x 1 x x 1 x
1 x x 1
(x 1 x ) 1 x 1 x
++ +
+ += =+ + + +
+ += =
+ + + +
ដេនះច2
1y '1 x
=+
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 15
លចហរងអនវរតន
គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ចx
xe 1ye 1
−=
+ 2/ច 2 xy (x x 1)e−= − +
3/ច x2y e−= 4/ច 3 2xy x e=
5/ច 2 xy (x x)e= − 6/ច2x 2xe ey
2
−−=
៣-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ច x ln xyx+
= 2/ច 2ln xyx
=
3/ចy 1 x x ln x= − + 4/ច x 1y lnx 1−
=+
5/ច 2y ln(x 4x 3)= − + 6/ច 2y ln(x x 4)= + +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 16
៦-េដរេវលចដបងខខសង
ក/េដរេវទ2ៃនអនណគមន
េដរេវទពរៃនអនណគមនចy f (x)= ករងរតេដយចy '' f ''(x)=
ឬករងរតេដយចច2
2d y f ''(x)dx
= ។
ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចy ln x= ។ចគនច2
2d ydx
?
េគមនចdy 1y ' (ln x)'dx x
= = =
េយច2
2 2d y 1 1(y ')' '
xdx x = = = −
។
ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចy sin x= ។ចគនច2
2d ydx
?
េគបនចdy y ' (sin x)' cos xdx
= = =
េយច2
2d y (y ')' (cos x)' sin xdx
= = = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 17
ខ/េដរេវជដបងខខសង
េដរេវៃនអនណគមនចy f (x)= អមនេដរេវខវនឯតបនងបនា បងេទៀរច។
េគេហេដរេវបនងបនា បងចេដរេវទ(ច,ចេដរេវទ2,…….,េដរេវទn
តដជេគក រងរតេដយច (n)y ' , y '' , ...., y ។
ឧទរ គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចy sin x= ?
េគបនចy ' (sin x)' cos x sin( x)2π
= = = +
y '' (sin( x))' cos( x) sin( x)2 2
3y ''' (sin( x))' cos( x) sin( x)2
π π= + = + = π +
π= π + = π + = +
− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −
ឧបម (n) ny sin( x)2π
= + ពរ
េយតបនច ( )(n 1) (n) n (n 1)y y ' cos( x) sin x2 2
+ π + π = = + = +
ពរ
ដេនះចច (n) ny sin( x)2π
= + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 18
លចហរងអនវរតន
១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចy f (x) cos x= =
រយេដរេវទn ៃនអនណគមនក រងេដយច (n) ny cos(x )2π
= +
២-រគនេដរេវទចn ៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ចy ln x= 2/ច 2xy e=
3/ច 1yx 1
=+
4/ច 2y sin x=
5/ច 1 1yx x 1
= +−
6/ច 2x 3y(x 1)(x 2)
+=
+ +
៣-េគឲអនណគមនច m ny (x ) (x )= − α − β តដជចm ,n IN ,∈ α ≠ β
ក/ចរយចx − α តកដងច (m 1)y −
ខ/ចរតចGCD(m,n) d= ។ច
េរ(x )(x )− α − β តកដងច (d 1)y − ឬេទច?
៤-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2 5f (x) (x 3x 1)= − + ។
រគនចf ''(0) រ ទរកេជខេមគណមណខរ 2x ៃនអនណគមនf ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 19
៧-េដរេវៃនអនគមនអ ចនពសរ
ក/ចនយមនមយ
អនណគមនអពវសណរចគគ អនណគមនតដជបយប កងពទនកងទនតមយ
បេពជកខ រមស ច។
ឧទរច2 2
2 2 2 2 22 2
x yx y a , 1 , x xy y 3 , ....a b
+ = + = + + =
សណទតរ អនណគមនអពវសណរច។
ខ/ឧទរគរ
គនចy ' េដយដដតច 2 2ax bxy cy d+ + = ។
េគបនច 2 2(ax bxy cy )' (d)'+ + =
2ax by bxy ' 2cyy ' 0
(bx 2cy)y ' (2ax by)+ + + =
+ = − +
េគទបនច 2ax byy 'bx 2cy
+= −
+ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 20
លចហរងអនវរតន
១-គនច dyy 'dx
= អនណគមនចx នតចyកណតករនមយៗខតេកម
ក/ច 2 2 2x y r+ = ខ/ច2 2
2 2x y 1a b
+ =
គ/ច 2(y k) 4p(x h)− = − ឃ/ច2 2 23 3 3x y a+ =
ត/ច2 2
2 2(x h) (y k) 1
a b− −
+ = / 3 3x y 3xy 1+ = +
េ/ចsin(xy) sin x sin y= + ជ/ច 2 2x 4xy 3y 5− + =
ឈ/ច y xx y= /ច x y xye e e 2+ = +
២-រគនច2
2d yy ''dx
= អនណគមនចx , y , y ' រ អនណគមនៃនx, y
កណតករនមយៗខតេកមច៖
ក/ច 2 2x xy y 4− + = ខ/ច 3 3x y 6xy 1+ = +
គ/ច1 1 xyx y+ = ឃ/ច 2 2x 3xy y 9− + =
/ច 3 2xy y x 4+ = + េ/ច 2 2x 3xy 2y 0− + =
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 21
ជពកទ២
អនវរតនេដរេវៃនអនគមន
១-អនវរតនតេរគណរៃមពបរ
សនរចf អនណគមនមនេដរេវទពរេជេនវ ះមយតដជមន 0x ។
អរបរមេធៀប ៖
អនណគមនចf មនអរបរមេធៀបរតងច 0x កជលច 0
0
f '(x ) 0f ''(x ) 0
= <
អបបរមេធៀប ៖
អនណគមនចf មនអរបរមេធៀបរតងច 0x កជលច 0
0
f '(x ) 0f ''(x ) 0
= >
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 22
២-េលបន នត សច ៃនលណ
/េលបនៃនលណ
េជបនៃនជនមយេយខះចt គគចdSV '(t) S '(t)dt
= =
តដជចS S(t)= មម យរេយខះចt ។
ឧទរច ទកមយចបងេផងមេដេ រព ណ រររពនរឲតដជ
ខះចt នទេកយមកទកេនះមនមម យព ណ រររពនរឲ
តដជរតេដយអនណគមនច 3S(t) t 60t= + (គរ តមយ រន
ក/រកេជបនទករតង ណ ចបងេផងមច។
ខ/ករងេជបនៃនទកេយខះចt 3= នទច។
ដេលះយ
ក/រកេជបនទករតង ណ ចបងេផងមច៖
េគបនចt គគច 2dSV '(t) S '(t) 3t 60dt
= = = +
េបចt 0= េនះច 2V '(0) 3(0) 60 60m / mn= + = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 23
ខ/ករងេជបនៃនទកេយខះចt 3= នទច៖
េបចt 3mn= េនះច 2V '(3) 3(3) 60 27 60 87m / mn= + = + = ។
ខ/សច ៃនលណ
សទណះៃនជនមយេយខះចt គគចdVa'(t) V '(t)dt
= =
តដជចV V(t)= េជបនៃនជនេយខះចt ។
ឧទរច រថយនងមយចបងេផងមេដេ រេដយេជបនតដជរត
េដយអនណគមនច 100tV(t) (m / s)t 15
=+
ករងសទណះៃនរថយនងេយខះចt 10s= ?
ដេលះយ
េគបនច dVa(t) V '(t)dt
= = េដយច 100tV(t) (m / s)t 15
=+
េនះច 2 2100(t 15) 100t 1500a(t)
(t 15) (t 15)+ −
= =+ +
េបចt 10s= េនះច 22
1500 1500a(10) 2.4 m / s625(10 15)
= = =+
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 24
៣-ឌេផរ បតងសសល
នមន ៖
េបអនណគមនចy f (x)= មនេដរេវេនះាេផរ យតងតសឲជករងេដយ
dy f '(x).dx= ។
កជលរៃមវច x∆ កនងតររេនះចdy អ រៃមវបតជៃនច y∆
េគបនចf (x x) f (x) y f (x) dy f (x) f '(x). x+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆ ។
ឧទរចរគនរៃមវបតជៃនច otan 46 ?
រតអនណគមនចf (x) tan x=
យកច ox 45= នតច ox 1∆ = េនះេគបនច៖
o o of (46 ) f (45 ) f '(45 ). x= + ∆
េដយច 22
1f '(x) (tan x)' 1 tan xcos x
= = = + េនះច of '(45 ) 2=
េគបនច o 3.14f (46 ) 1 2 1.035180
= + × = ។
ដេនះច otan 46 1.035= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 25
៤-វសមភនចេ ណ ននច រង
ទសតប១
េគឲចf អនណគមនករងចនតច បង េយមនេដរេវេជេនវ ះចI។
េបមនពរននពរចm នតចM តដជគបងចx I : m f '(x) M∈ ≤ ≤
េនះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនច៖
m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ − ។
សមយបយប កង
រតអនណគមនចg តដជចចg(x) f (x) mx= − មនេដរេវេជចI
េគបនចg '(x) f '(x) m 0= − ≥ គបងចx I∈ េពះចf '(x) m≥ ។
េនះចg អនណគមនេកនេជេនវ ះចI ។
េពះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនចg(a) g(b)≤
ឬចf (a) ma f (b) mb− ≤ − េនះចf (b) f (a) m(b a) (i)− ≥ −
រតអនណគមនចh តដជចចh(x) f (x) Mx= − មនេដរេវេជចI
េគបនចh'(x) f '(x) M 0= − ≤ គបងចx I∈ េពះចf '(x) M≤ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 26
េនះចh អនណគមន ណះេជេនវ ះចI ។
េពះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនចh(a) h(b)≥
ឬចf (a) Ma f (b) Mb− ≥ − េនះចf (b) f (a) M(b a) (ii)− ≤ −
រមទនកងទនតច(i) & (ii) េគបនច៖
m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ − ។
ឧទរចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច៖
2f (x) (2k 1)x k (2k 1)n= + + − + តដជចk 0 , n 0> > ។
ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [n ,n 1]∈ + ។
ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច៖
2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k
+ +− + ≤ ≤ − +
+
ដេលះយច
ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [n ,n 1]∈ +
េគមនច2
2k 1 2k 1f '(x)2f (x)2 (2k 1)x k (2k 1)n
+ += =
+ + − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 27
េដយច 2f (n) (2k 1)n k (2k 1)n k= + + − + =
េយច 2f (n 1) (2k 1)(n 1) k (2k 1)n k 1+ = + + + − + = +
េនះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច 2k 1 2k 1f '(x)2(k 1) 2k
+ +≤ ≤
+ ។
ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច៖
2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k
+ +− + ≤ ≤ − +
+
រមសមយខតេជេពះគបងx [n ,n 1]∈ + េគមនច៖
2k 1 2k 1f '(x)2(k 1) 2k
+ +≤ ≤
+ ។ចរមវសមបពកេ នមនក រង
េពះចx n≥ េគបនច៖
2k 1 2k 1(x n) f (x) f (n) (x n)2(k 1) 2k
+ +− ≤ − ≤ −
+ េដយចf (n) k=
ដេនះច 2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k
+ +− + ≤ ≤ − +
+ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 28
ទសតប២
េគឲចf អនណគមនចមនេដរេវេជេនវ ះច[a ,b]។
េបមនពរននពរចM តដជគបងចx [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤
េនះេគបនច| f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ − ។
សមយបយប កង
េគមនគបងចx [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤
េនះេគទ M f '(x) M− ≤ ≤
រមវសមបពកេ នមនករងេគបនច៖
េពះចa b< េគបនច M(b a) f (b) f (a) M(b a) (1)− − ≤ − ≤ −
េពះចa b> េគបនច M(a b) f (a) f (b) M(a b) (2)− − ≤ − ≤ −
រម((ននត(2នេគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ − ។
ដេនះទដសងបទរតវបនយបយប កងច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 29
ឧទរ េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) sin x= ។
េពះគបងច , IRα β∈ បបង ច| sin sin | | |α − β ≤ α − β ?
េគមនចf (x) sin x= េនះចf '(x) cos x=
េពះគបងចx IR∈ េគមនច 1 cos x 1− ≤ ≤ េនះច| f (x) | 1≤
ដេនះគបងច , IRα β∈ េគបនច| sin sin | | |α − β ≤ α − β ។
លចហរងអនវរតន
១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 5x 1= −
ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [1, 2]∈ ។
ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [1, 2]∈ េគបនចច៖
5x 7 5x 3f (x)6 6 4 4+ ≤ ≤ + ។
២-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) cos x= ។
េពះគបងច , IRα β∈ បបង ច| cos cos | | |α − β ≤ α − β ?
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 30
៥-ទសតបរ បល
េបចf អនណគមន បងេជេនវ ះច[ ]a ,b មនេដរេវេជេនវ ះ( )a ,b
នតចf (a) f (b)= េនះមនននចc (a ,b)∈ យយ តរ តដជចf '(c) 0= ។
សមយបយប កង ៖
េគរតចf (a) f (b)= = λ
-ករទ១ចេបចf (x) = λ គបងចx [a,b]∈ េនះចf អនណគមនេថរេជ
េនវ ះច[ ]a ,b នតចf '(x) 0= គបងច ( )x a ,b∈ ។
-ករទ២ចេបចf (x) >λ គបងច [ ]x a ,b∈ េនះចf មនរៃមវអរបរម
យយ តរ មយរតងចx c= េដយចf មនេដរេវរតងចx c= េនះចf '(c) 0=
-ករទ៣ចេបចf (x) <λ គបងច [ ]x a ,b∈ េនះចf មនរៃមវអបបរម
យយ តរ មយរតងចx c= េដយចf មនេដរេវរតងចx c= េនះចf '(c) 0=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 31
ឧទរចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច៖
3 2f (x) x (a b c)x (ab bc ca)x abc= − + + + + + −
តដជចa,b,c IR∈ ។
ក/គនចf (a) នតចf (b) រ ទសមករចចf '(x) មនឬសយយ តរ
មយេយេនវ ះននចa នតចb ។
ខ/ទបយប កងវសមបពច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + + ។
ដេលះយ
ក/គនចf (a) នតចf (b) ៖
េគបនច 3 2f (a) a (a b c)a (ab bc ca)a abc 0= − + + + + + − =
3 2f (b) b (a b c)b (ab bc ca)b abc 0= − + + + + + − =
ដេនះចf (a) f (b) 0= = ។
ទសមករចចf '(x) 0= មនឬសយយ តរ មយេយេនវ ះ(a ,b) ៖ច
េដយចf អនណគមន បងេជច[ ]a,b នតចមនេដរេវេជច(a ,b)
េយចf (a) f (b) 0= = េនះរមទដសងបទរ យជមនច (a ,b)α∈
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 32
តដជចf '( ) 0α = េនះមននមយសមករចចf '(x) 0= មនឬសយយ តរ
មយេយេនវ ះ(a ,b) ។
ខ/ទបយប កងវសមបពច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + +
េគមនច 2f '(x) 3x 2(a b c)x (ab bc ca)= − + + + + +
េដយចf '(x) 0= សមករមនឬសេនះច ' 0∆ ≥
តរច 2' (a b c) 3(ab bc ca)∆ = + + − + +
ដេនះច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + + ។
លចហរងអនវរតន
១-េគមនអនណគមនចf ករងេដយច 4 3f (x) x 2x 2x 4= − + +
ក/គនចf ( 1)− នតចf (1) ។
ខ/បបង មនចc ( 1,1)∈ − តដជចf '(c) 0= ។
២-េគមនអនណគមនចf ករងេដយ 2f (x) x 10x 9= − +
ក/រកឬសចα នតចβ របសងសមករចf (x) 0=
ខ/បបង មនចc ( , )∈ α β តដជចf '(c) 0= រ ករងចc ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 33
៦-ទសតបរៃមពមមសម(ឬទសតប Lagrange)
េបចf អនណគមន បងេជេនវ ះច[ ]a ,b មនេដរេវេជេនវ ះ( )a ,b
េនះមនននចc (a ,b)∈ យយ តរ មយតដជច f (b) f (a)f '(c)b a−
=−
។
សមយបយប កង ៖
យក g(x) f (b) f (x) (b x)= − − λ −
តដជច f (b) f (a)b a−
λ =−
។
េនះចg អនណគមន បងកណតេនវ ះច[ ]a,b នតចមនេដរេវកណត( )a ,b
េយេដយចg(a) g(b) 0= = េនះរមទដសងបទរ យជមនចc (a,b)∈
មយយយ តរ តដជចg '(c) 0= ។ចេដយចg '(c) f '(c)= − + λ
េនះចf '(c) = λ ។ចដេនះច f (b) f (a)f '(c)b a−
=−
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 34
ឧទរ េពះគបង ននពរវជបមនចα នតចβ តដជចα < β
រយច ln( )β − α β β − α< <
β α α ។
រតអនណគមនចf (x) ln x= តដជចx [ , ]∈ α β នតច0 < α < β
េគបនចf អនណគមន បងេជច[ ],α β នតចមនេដរេវេជច( , )α β
េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមមនចc ( , )∈ α β តដជច៖
f ( ) f ( ) ln lnf '(c) (1)β − α β − α= =
β − α β − α
េគមនច 1f '(x) (ln x)'x
= = េនះច 1f '(c)c
=
តរចc ( , )∈ α β េនះច cα < < β ឬចច1 1 1c
< <β α
េគបនច1 1f '(c) (2)< <β α
រមច((នចនតច(2នចេគទ1 ln ln 1β − α< <
β β − α α
ដេនះច ln( )β − α β β − α< <
β α α ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 35
៧-អនវរតនេដរេវតេសដ
េយតរតចC C(x)= អនណគមន លយសរណបកណតករផជរសមត រះ
ននចx េគបតច,ចR R(x)= អនណគមន ជសរណបពករជកងសមត រះ
ននចx េគបតនតP P(x) R(x) C(x)= = − អនណគមន បកង េ
ពករជកងសមត រះននចx េគបតច។
េគបនចC'(x) េហអនណគមនៃនបកង លយបតនាម
R '(x) េហអនណគមនៃនបកង ជបតនាម
P'(x) េហអនណគមនៃនបកង េបតនាមចច។
ឧទរ េគឲអនណគមន បកង ជសរណបពករជកងសមត រះចx
េគបតនតអនណគមន បកង លយសរណបេជករផជរសមត រះចx ករង
េរៀតស េដយចR(x) 300x= នតចច 2 3C(x) 1000 72x x= − + ។
ក/ករងអនណគមន បកង េសរណបច។
ខ/ក រងបរមសមត រះតដជរតវជកងេដម ឲេគទទជបនបកង
េអរបរមចរ ករងរកបកង េអរបរមេនះច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 36
ដេលះយ
ក/ក រងអនណគមន បកង េសរណបច
រតចP(x) អនណគមនៃនបកង េសរណបពករជកងសមត រះ
េគបនច 2 3P(x) R(x) C(x) 300x 1000 72x x= − = − + −
ដេនះច 3 2P(x) x 72x 300x 1000= − + + − ។
ខ/ក រងបរមសមត រះតដជរតវជកងេដម ឲេគទទជបនបកង
េអរបរមចរ ករងរកបកង េអរបរមេនះច៖
េគមនច 2P '(x) 3x 144x 300 3(x 50)(x 2)= − + + = − − +
េបចP'(x) 0= េនះចច 1 2x 50 , x 2= = − (មនយកន
េគមនចP''(x) 6x 144= − + េនះចP''(50) 300 144 0= − + <
េនះមននមយចP(x) មនអរបរមរតងចx 50= ។
ដេនះេដមបនបកង េអរបរមេគរតវជកងសមត រះច50ឯករ
េយបកង េអរបរមេនះគគច៖
maxP P(50) 69 ,000= = ឯកររបយវរាណច,
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 37
ជពកទ៣
សអេអរភន នត េបៃនអនគមន
១-សអនគមនសននន
/ សអនគមន 2ax bx cypx q+ +
=+
តដជចa 0 , p 0≠ ≠ នតច 20 0ax bx c 0+ + ≠ គបងច 0
qxp
= −
តដនករងច៖ចច qD IR p
= − −
េដរេវច2
2apx 2aqx bq cpf '(x)
(px q)+ + −
=+
-េបចf '(x) 0= សនឬសេនះអនណគមនសនបរមេទច។
-េបចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស េនះអនណគមនមនអរបរមមយ
នតអបបរមមយច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 38
អសណមររច៖
-បនា រងច pxq
= − អសណរមររឈរច។
-េបអនណគមនអសរេសរចf (x) xpx qγ
= α + β ++
េនះបនា រង
មនសមករចy x= α + β អសណមររេទរច។
- ណ បសពឆររតអសណមររទតពរ ផរេវណះៃនកបច។
-កបមនមតទេទដរបខតេកមច៖
(/ករចap 0< នតចf '(x) 0= សនឬសច
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 39
2/ករចap 0> នតចf '(x) 0= សនឬសច
3/ករចap 0< នតចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស ច
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 40
4/ករចap 0> នតចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស
ឧទរ១ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x x 6f (x)x 1− −
=−
សកអេថរបពចនតចសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយ(o, i , j)→ →
·តដនក រងចD IR 1 = −
·សរេសរ មតកនកច
2x x 6 x(x 1) 6 6f (x) xx 1 x 1 x 1− − − −
= = = −− − −
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 41
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវចច 26 6f '(x) (x )' 1 0
x 1 (x 1)= − = + >
− − គបងចx D∈
េនះចf អនណគមនេកន ន េជតដនករងរបសងរច។
-គនជមរច
x x
6lim f (x) lim (x )x 1→+∞ →+∞
= − = +∞−
x x
6lim f (x) lim (x )x 1→−∞ →−∞
= − = −∞−
x 1 x 1
6lim f (x) lim (x )x 1→ →− −
= − = +∞−
x 1 x 1
6lim f (x) lim (x )x 1→ →+ +
= − = −∞−
-អសណមររ
េដយចx 1 x 1
6lim f (x) lim(x )x 1→ →
= − = ∞−
េនះបនា រងសមករចx 1=
អសណមររឈរៃនកបច។
មយតេទៀរច 6f (x) xx 1
= −−
េយចx x
6lim[f (x) x] lim 0x 1→∞ →∞
−− = =
−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 42
ដេនះបនា រងមនសមករចy x= អសណមររេទរៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 1 +∞
f '(x)
f (x)
·សតង កប
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(x'ox) :
y 0= សមមជច2x x 6 0x 1− −
=−
ឬច 2x x 6 0− − =
1 24 25∆ = + = មនឬសច 1 21 5 1 5x 2 , x 3
2 2− +
= = − = = ។
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(y 'oy) :
x 0= េនះច 6y 61
−= =−
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 43
-ផរេវណះច
អសណមររឈរចx 1= នតអសណមររេទរចy x= ករងស រតងចI(1,1)
េដយចf (2a x) f (x) f (2 x) f (x)− + = − +
6 62 x x 2 2b1 x x 1
= − − + − = =− −
ដេនះចI(1,1) ផរេវណះៃនកបច។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 44
ឧទរ២ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 5x 4f (x)
2 x− +
=−
សកអេថរបពចនតចសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយ(o, i , j)→ →
·តដនក រងចD IR 2 = −
·សរេសរ មតកនកច
2x 5x 4 2f (x) x 32 x 2 x− +
= = − + −− −
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវចច 22 2f '(x) ( x 3 )' 1 0 x D
2 x (2 x)= − + − = − − < ∀ ∈
− −
េនះចf អនណគមន ណះ នេជតដនក រងរបសងរច។
-គនជមរច
x x
2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→+∞ →+∞
= − + − = −∞−
x x
2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→−∞ →−∞
= − + − = +∞−
x 2 x 2
2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→ →− −
= − + − = −∞−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 45
x 2 x 2
2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→ →+ +
= − + − = +∞−
-អសណមររ
េដយចx 2 x 2
2lim f (x) lim( x 3 )2 x→ →
= − + − = ∞−
េនះបនា រងសមករច
x 2= អសណមររឈរៃនកបច។
មយតេទៀរច 2f (x) x 32 x
= − + −−
េយចx
2lim 02 x→∞
=−
ដេនះបនា រងមនសមករចy x 3= − + អសណមររេទរៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 2 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 46
·សតង កប
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(x'ox) :
y 0= សមមជច2x 5x 4 0
2 x− +
=−
ឬច 2x 5x 4 0− + =
a b c 0+ + = មនឬសច 1 2x 1 , x 4= = ។
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(y 'oy) :
x 0= េនះច 4y 22
= = ។
-ផរេវណះច
អសណមររឈរចx 2= នតអសណមររេទរចy x 3= − + ករងស រតងច
ណ ចI(2 ,1)
េដយចf (2a x) f (x) f (4 x) f (x)− + = − +
2 2x 1 x 3 2 2bx 2 2 x
= − − − + − = =− −
ដេនះចI(2 ,1) ផរេវណះៃនកបច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 47
ឧទរ៣ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 3x 3f (x)
x 1+ +
=+
សកអេថរបពចនតចសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយ(o, i , j)→ →
·តដនក រងចD IR 1 = − −
·សរេសរ មតកនកច
2x 3x 3 1f (x) x 2x 1 x 1+ +
= = + ++ +
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 48
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវចច 2 21 1 x(x 2)f '(x) (x 2 )' 1
x 1 (x 1) (x 1)+
= + + = − =+ + +
f '(x) 0= េគបនចx(x 2) 0+ = េនះច 1 2x 0 , x 2= = − ។
-បរមៃនចf
េពះចx 2= − អនណគមនមនរៃមវអរបរមេធៀបចf ( 2) 1− = − ។
េពះចx 0= អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបចf (0) 3= ។
-គនជមរច
x x
1lim f (x) lim (x 2 )x 1→+∞ →+∞
= + + = +∞+
x x
1lim f (x) lim (x 2 )x 1→−∞ →−∞
= + + = −∞+
x 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−− −
= + + = −∞+
x 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−+ +
= + + = +∞+
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 49
-អសណមររ
េដយចx 1 x 1
1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−
= + + = ∞+
េនះបនា រងសមករច
x 1= − អសណមររឈរៃនកបច។
មយតេទៀរច 1f (x) x 2x 1
= + ++
េយចx
1lim 0x 1→∞
=+
ដេនះបនា រងមនសមករចy x 2= + អសណមររេទរៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 2− 1− 0 +∞
f '(x)
f (x)
·សតង កប
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(x'ox) :
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 50
y 0= សមមជច2x 3x 3 0
x 1+ +
=+
ឬច 2x 3x 3 0+ + =
9 12 0∆ = − < សមករសនឬស ។
េនះកបៃអនណគមនមនករងអកផមអបងសណសេទច។
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(y 'oy) :
x 0= េនះច 3y 31
= = ។
-ផរេវណះច
អសណមររឈរចx 1= − នតអសណមររេទរចy x 2= + ករងស រតងច
ណ ចI( 1,1)− ។
េដយចf (2a x) f (x) f ( 2 x) f (x)− + = − − +
1 1x x 2
1 x x 12 2b
= − + + + +− − +
= =
ដេនះចI( 1,1)− ផរេវណះៃនកបច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 51
ឧទរ៤ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 5x 4f (x)
2x− + −
=
សកអេថរបពចនតចសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយ(o, i , j)→ →
·តដនក រងច *D IR=
·សរេសរ មតកនកច
2x 5x 4 x 5 2f (x)2x 2 2 x
− + −= = − + −
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 52
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវចច
2
2 2 2x 5 2 1 2 x 4 ( x 2)(x 2)f '(x)2 2 x 2 x x x
' − + − + + = − + − = − + = =
f '(x) 0= េគបនច 1 2x 2 , x 2= = − ។
-បរមៃនចf
េពះចx 2= អនណគមនមនរៃមវអរបរមេធៀបច 1f (2)2
= ។
េពះចx 2= − អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបច 9f ( 2)2
− = ។
-គនជមរច
x x
x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→+∞ →+∞
= − + − = −∞
x x
x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→−∞ →−∞
= − + − = +∞
x 0 x 0
x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→ →− −
= − + − = +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 53
x 0 x 0
x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→ →+ +
= − + − = −∞
-អសណមររ
េដយចx 0 x
x 5 2lim f (x) lim( )2 2 x→ →
= − + − = ∞ េនះបនា រងសមករច
x 0= អសណមររឈរៃនកបច។
មយតេទៀរច x 5 2f (x)2 2 x
= − + − េយចx
2lim( ) 0x→∞
− =
ដេនះបនា រងមនសមករច x 5y2 2
= − + អសណមររេទរៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 2− 0 2 +∞
f '(x)
f (x) +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 54
·សតង កប
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(x'ox) :
y 0= សមមជច2x 5x 4 0
2x− + −
= ឬច 2x 5x 4 0− + − =
a b c 0+ + = សមករមនឬសច 1 2x 1 , x 4= = ។
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(y 'oy) :
x 0= េនះច 3y 31
= = ។
-ផរេវណះច
អសណមររឈរចx 0= នតអសណមររេទរចx 5y2 2
= − + ករងស រតងច
ណ ច 5I(0, )2
។
េដយចf (2a x) f (x) f ( x) f (x)− + = − +
x 5 2 x 5 22 2 x 2 2 x5 2b
= + + − + −
= =
ដេនះច 5I(0 , )2
ផរេវណះៃនកបច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 55
លចហរងអនវរតន
សកអេថរបពចនតសតង កបៃនអនណគមនខតេកមច៖
១/ច2x 5x 7y
x 2− +
=−
២/ច2x x 1y
2x− +
=
៣/ច2x 2x 3y
x 1+ −
=+
៤/ច 4y x 2x
= + +
៥/ច 1y x 2x 1
= − +−
៦/ច 4y x 3x 1
= − + ++
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 56
ខ/សអនគមន 2
2ax bx cypx qx r
+ +=
+ +
តដជចa 0≠ នតចp 0≠ ។
តដនករងច៖ចច 2D x / px qx r 0= + + ≠
េដរេវច2
2 2(aq bp)x 2(ar cp)x (br cq)f '(x)
(px qx r)− + − + −
=+ +
-េបចf '(x) 0= សនឬសេនះអនណគមនសនបរមេទច។
-េបចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស េនះអនណគមនមនអរបរមមយ
នតអបបរមមយច។
-េបចf '(x) 0= មនឬសតរមយេនះអនណគមនមនបរមតរមយគរងច។
អសណមររច៖
-បនា រងច ayp
= អសណរមររេដក ន។
-ននអសណមររឈរអសមយនដតឬសរបសងសមករបគតបត
2px qx r 0+ + = តដជមនច 2q 4pr∆ = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 57
េបច 2q 4pr 0∆ = − < សនអសណមររឈរចនតចកបមនតរមយ
េបច 2q 4pr 0∆ = − = មនអសណមររឈរច qx2p
= − នតចកប
មនពរតមកដងពស ច។
េបច 2q 4pr 0∆ = − > មនអសណមររឈរពរច qx2p
− ± ∆=
នតចកបមនបតមកដងពស ។
-កបមនមតទេទដរបខតេកមច៖
(/ករច 2q 4pr 0∆ = − <
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 58
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 59
2/ករច 2q 4pr 0∆ = − =
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 60
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 61
3/ករច 2q 4pr 0∆ = − >
២-អនគមនអសននន
1/សអនគមន y ax b= +
2/សអនគមន 2y ax bx c= + +
៣-អនគមនអ ស ប តងសសល
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 62
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 63
ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
2x 2x 3f (x)x 2x 2
− −=
− +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈
ដេនះចD IR= ។
·សរេសរ មតកនកច
2
2 2x 2x 3 5f (x) 1x 2x 2 x 2x 2
− −= = −
− + − +
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច 2 2 25 5(2x 2)f '(x) (1 )'
x 2x 2 (x 2x 2)−
= − =− + − +
f '(x) 0= េគបនច 2 25(2x 2) 0
(x 2x 2)−
=− +
េនះចx 1=
េពះចx 1= ន ឲចf (1) 1 5 4= − = − ។
អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច 4− រតងចx 1= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 64
-គនជមរច៖
2x x
5lim f (x) lim (1 ) 1x 2x 2→±∞ →±∞
= − =− +
-អសណមររចចចេដយចxlim f (x) 1→∞
= េនះបនា រងចy 1= អសណមររេដក
ៃនកបច។
-រមតអេថរបព
·សតង កបច៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 2x 3 0− − =
េគទឬសច 1 2x 1 , x 3= − = ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះ 3y2
= −
x −∞ 1 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 65
ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
2x 6xf (x)
2(x 2x 2)+
=− +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈
ដេនះចD IR= ។
·ទសេដអេថរបព
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 66
-េដរេវច2 2
2 2(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)
2(x 2x 2)+ − + − − +
=− +
2
2 28x 4x 12f '(x)
2(x 2x 2)− + +
=− +
។
េបចf '(x) 0= េគបនច2
2 28x 4x 12 0
2(x 2x 2)− + +
=− +
េនះច 28x 4x 12 0− + + = ន ឲច 1 23x 1 , x2
= − =
េពះចx 1= − ន ឲច 5 1f ( 1)10 2−
− = = − ។
េពះច 3x2
= ន ឲច 3 9f ( )2 2
=
អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច12
− រតងចx 1= −
នតចមនអរបរមេធៀបេសនដតច92រតងច 3x
2= ។
-គនជមរច៖
2
2x x
x 6x 1lim f (x) lim22(x 2x 2)→±∞ →±∞
+= =
− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 67
-អសណមររចចច
េដយចx
1lim f (x)2→∞
= េនះបនា រងច 1y2
= អសណមររេដកៃនកបច។
-រមតអេថរបព
·សតង កបច៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 2x 3 0− − =
េគទឬសច 1 2x 1 , x 3= − = ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះ 3y2
= −
x −∞ 1− 32
+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 68
ឧទរ៣ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
2x 4xf (x)
x 4x 3−
=− +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2x 4x 3 (x 1)(x 3)− + = − −
ដេនះចD IR 1 , 3 = − ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2 2
2 2(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)
2(x 2x 2)+ − + − − +
=− +
0 1
1
x
y
y = 1/2
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 69
2 2 2 23x 6 3(x 2)f '(x)
(x 4x 3) (x 4x 3)− −
= =− + − +
។ចច
េបចf '(x) 0= េគបនច 2 23(x 2) 0
(x 4x 3)−
=− +
ន ឲចx 2= ។
េពះចx 2= ន ឲចf (2) 4= ។
អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច4 រតងចx 2= ។
-គនជមរច៖
2
x 1 x 1
x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −
−= = −∞
− −
2
x 1 x 1
x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +
−= = +∞
− −
2
x 3 x 3
x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −
−= = +∞
− −
2
x 3 x 3
x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +
−= = −∞
− −
2 2
2x x x
x 4x xlim f (x) lim lim 1(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞
−= = =
− −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 70
-អសណមររចចច
េដយចx 1lim f (x)→
= ∞ នតចចx 3lim f (x)→
= ∞ េនះបនា រងចx 1= នតចx 3=
អសណមររឈរៃនកបច។ចេយចxlim f (x) 1→∞
= េនះបនា រងy 1=
អសណមររេដកៃនកបច។
-រមតអេថរបព
·សតង កប ៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 4x 0− =
េគទឬសច 1 2x 0 , x 4= = ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះy 0=
x −∞ 1 2 3 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 71
ឧទរ៤ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
22x 6x 4f (x)x 2x 3
+ −=
+ −
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2x 2x 3 (x 1)(x 3)+ − = − +
ដេនះចD IR 3 , 1 = − − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 72
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2 2
2 2(4x 6)(x 2x 3) (2x 2)(2x 6x 4)f '(x)
(x 2x 3)+ + − − + + −
=+ −
2 2
2 2 2 22x 4x 10 2[(x 1) 4]f '(x)
(x 2x 3) (x 2x 3)− − − + +
= = −+ − + −
។ចច
េដយច 2(x 1) 4 0+ + > េនះចf '(x) 0 x D< ∀ ∈
េនះចf អនណគមន ណះេជតដនក រងច។
-គនជមរច៖
2
x 1 x 1
2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −
+ −= = −∞
− +
2
x 1 x 1
2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +
+ −= = +∞
− +
2
x 3 x 3
2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→− →− −
+ −= = −∞
− +
2
x 3 x 3
2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→− →−+ +
+ −= = +∞
− +
2 2
2x x x
2x 6x 4 2xlim f (x) lim lim 2(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞
+ −= = =
− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 73
-អសណមររចចច
េដយចx 1lim f (x)→
= ∞នតx 3lim f (x)→−
= ∞ េនះបនា រងចx 1= នតចx 3= −
អសណមររឈរៃនកបច។ចេយចxlim f (x) 2→∞
= េនះបនា រងy 2=
អសណមររេដកៃនកបច។
-រមតអេថរបព
·សតង កបច៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណ y 0= េនះ 22x 6x 4 0+ − =
េគទឬសច 1 23 17 3 17x , x
2 2− − − +
= = ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះ 4y3
=
x −∞ 3− 1 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 74
ឧទរ៥ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
22x x 7f (x)x x 2
− −=
− −
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2x x 2 (x 1)(x 2)− − = + −
ដេនះចD IR 1 , 2 = − − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 75
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2 2
2 2(4x 1)(x x 2) (2x 1)(2x x 7)f '(x)
(x 2x 3)− − − − − − −
=+ −
2
2 2x 6x 5f '(x)
(x x 2)− + −
=− −
។ចច
េបចf '(x) 0= េគបនច2
2 2x 6x 5 0
(x x 2)− + −
=− −
េនះច 2x 6x 5 0− + − = ន ឲច 1 2x 1 , x 5= =
េពះចx 1= ន ឲចf (1) 3= េយចx 3= ន ឲច 2f (3)3
=
អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច3 រតងចx 1=
នតចមនអរបរមេធៀបេសនដតច23រតងចx 3= ។
-គនជមរច៖
2
x 1 x 1
2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→− →−− −
− −= = −∞
+ −
2
x 1 x 1
2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→− →−+ +
− −= = +∞
+ −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 76
2
x 2 x 2
2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→ →− −
− −= = +∞
+ −
2
x 2 x 2
2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→ →+ +
− −= = +∞
+ −
2
x x
2x x 7lim f (x) lim 2(x 1)(x 2)→± →±∞
− −= =
+ −
-អសណមររចចច
េដយចx 1lim f (x)→−
= ∞នតx 2lim f (x)→
= ∞ េនះបនា រងចx 1= − នតចx 2=
អសណមររឈរៃនកបច។ចេយចxlim f (x) 2→∞
= េនះបនា រងy 2=
អសណមររេដកៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 1− 1 2 5 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 77
·សតង កបច៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណចy 0= េនះ 22x x 7 0− − =
េគទឬសច 1 21 57 1 57x , x
4 4− +
= = ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះច 7y2
= ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 78
ឧទរ៦ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2
2x 2x 7f (x)x 2x 1
+ −=
− +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច
េគមនច 2 2x 2x 1 (x 1)− + = −
ដេនះចD IR 1 = − ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2 2
4(2x 2)(x 1) 2(x 1)(x 2x 7)f '(x)
(x 1)+ − − − + −
=−
34x 12f '(x)
(x 1)− +
=−
។ចច
េបចf '(x) 0= េគបនច 34x 12 0
(x 1)− +
=−
េនះចx 3= ។
េពះចx 3= ន ឲចf (3) 2= ។
អនណគមនមនអរបរមេធៀបេសនដតច2រតងចx 3= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 79
-គនជមរច៖
2
2x 1 x 1
x 2x 7lim f (x) lim(x 1)→ →− −
+ −= = −∞
−
2
2x 1 x 1
x 2x 7lim f (x) lim(x 1)→ →+ +
+ −= = −∞
−
2
2x x
x 2x 7lim f (x) lim 1(x 1)→±∞ →±∞
+ −= =
−
-អសណមររចចច
េដយចx 1lim f (x)→
= −∞ េនះបនា រងចx 1= អសណមររឈរៃនកបច។ច
េយចxlim f (x) 1→∞
= េនះបនា រងy 1= អសណមររេដកៃនកបច។
-រមតអេថរបព
x −∞ 1 3 +∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 80
·សតង កបច៖
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណចy 0= េនះ 2x 2x 7 0+ − =
េគទឬសច 1 2x 1 2 2 , x 1 2 2= − − = − + ។
- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះចy 7= − ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 81
៣-សអនគមនអសននន
/សអនគមន y ax b , a 0= + ≠
តដនករងច៖ចចD x / ax b 0 = + ≥
េដរេវច af '(x)2 ax b
=+
-េបចa 0> េនះចf '(x) 0> េនះចf អនណគមនេកនដងខរ។
-េបចa 0< េនះចf '(x) 0< េនះចf អនណគមន ណះដងខរ។
កបមនរបដខតេកមច៖
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 82
ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 2x 6= +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនក រងច D [ 3 , )= − + ∞ ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច (2x 6)' 1f '(x) 0 x D2 2x 6 2x 6
+= = > ∀ ∈
+ +
េគបនចf អនណគមនេកន ន េជតដនករងរបសងរច។
-រកជមរចx xlim f (x) lim 2x 6→+∞ →+∞
= + = +∞
-រមតអេថរបពច
x
3−
+∞
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 83
·សតង កប
-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(ox) គគចy 0=
េគបនច 2x 6 0+ = េនះចx 3= − ។
-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0=
េគបនចy 6= ។
ដេនះកបករងអកផមអបងសណសរតង ណ ច( 3 ,0)− នតអកផមអរេដេន
រតង ណ ច(0 , 6) ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 84
ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 2x 4= − +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនករងចចD ( , 2]= −∞ ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច ( 2x 4)' 1f '(x) 0 x D2 2x 4 2x 4− +
= = − < ∀ ∈− + − +
េគបនចf អនណគមន ណះ ន េជតដនករងរបសងរច។
-រកជមរចx xlim f (x) lim 2x 4→−∞ →−∞
= − + = +∞
-រមតអេថរបពច
x
−∞
2
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 85
·សតង កប
-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(ox) គគចy 0=
េគបនច 2x 4 0− + = េនះចx 2= ។
-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0=
េគបនចy 2= ។
ដេនះកបករងអកផមអបងសណសរតង ណ ច(2 ,0) នតអកផមអរេដេន
រតង ណ ច(0 , 2) ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 86
ខ/សអនគមន 2y ax bx c= + +
តដជចa 0≠ នតច 2b 4ac∆ = − ។
តដនករងច៖ចច 2D x / ax bx c 0= + + ≥
េដរេវច2
2ax bf '(x)2 ax bx c
+=
+ +
អសណមររច៖
-េបចa 0< េនះកបសនអសណមររេទ
-េបចa 0> េនះកបមនអសណមររពរច។
2 bf (x) ax bx c a | x | (x)2a
= + + = + +ε
តដជចxlim (x) 0→∞
ε =
កជលចx → −∞ េនះកបមនអសណមររេទរby a(x )2a
= +
កជលចx → −∞ េនះកបមនអសណមររេទរby a(x )2a
= − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 87
កបមនរបដខតេកមច៖
-ករទ១ចa 0 , 0> ∆ >
-ករទ២ចa 0 , 0< ∆ >
0 1
1
x
y
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 88
-ករទ៣ចa 0 , 0> ∆ <
ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 4x 13= − +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនករងចចD IR= ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2
2 2
(x 4x 13)' x 2f '(x)2 x 4x 13 x 4x 13
− + −= =
− + − +
f '(x) 0= ន ឲចx 2= ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 89
េពះចx 2= ន ឲចf (2) 4 8 13 3= − + = ។
អនណគមនចf មនអបបរមេសច3 រតងចx 2= ។
-រកជមរច 2
x xlim f (x) lim x 4x 13→−∞ →−∞
= − + = +∞
2
x xlim f (x) lim x 4x 13→+∞ →+∞
= − + = +∞
-សមករអសណមររ
េគមនច 2 2f (x) x 4x 13 (x 2) 9 | x 2 | (x)= − + = − + = − +ε
េដយចxlim (x) 0→−∞
ε = នតxlim (x) 0→+∞
ε = េនះបនា រងចy (x 2)= − −
នតចy x 2= − សមករអសណមររេទរៃនកបច។
-រមតអេថរបពច
x
−∞
2
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 90
·សតង កប
-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(ox) គគចy 0=
េគបនច 2x 4x 13 0− + = េនះច 2x 4x 13 0− + =
' 4 13 9 0∆ = − = − < េនះសមករសនឬសច។
- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0= េនះ y 13=
-អកផមេវណះចចចបនា រងចx 2= េពះចf (2a x) f (x)− =
ឬច 2 2f (4 x) (4 x) 4(4 x) 13 x 4x 13 f (x)− = − − − + = − + =
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 91
ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 6x 5= − +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនករងចចD ( ,1] [5, )= −∞ ∪ +∞ ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2
2 2
(x 6x 5)' x 3f '(x)2 x 6x 5 x 6x 5
− + −= =
− + − +
គបងx ( ,1]∈ −∞ េគបនចf '(x) 0≤ នចx (5 , ]∈ + ∞ េគបនf '(x) 0>
ដេនះអនណគមនចf ណះេជេនវ ះx ( ,1]∈ −∞ នតេកនេជx (5 , ]∈ + ∞
-រកជមរច 2
x xlim f (x) lim x 6x 5→−∞ →−∞
= − + = +∞
2
x xlim f (x) lim x 6x 5→+∞ →+∞
= − + = +∞
-សមករអសណមររ
េគមនច 2 2f (x) x 6x 5 (x 3) 4 | x 3 | (x)= − + = − − = − +ε
េដយចxlim (x) 0→−∞
ε = នតxlim (x) 0→+∞
ε = េនះបនា រងចy (x 3)= − −
នតចy x 3= − សមករអសណមររេទរៃនកបច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 92
-រមតអេថរបពច
x
−∞
1
5
f '(x)
f (x)
·សតង កប
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 93
ឧទរ៣ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 2x 8= − − +
សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →
។
·តដនករងចច [ ]D 4 , 2= − ។
·ទសេដអេថរបព
-េដរេវច2
2 2
( x 2x 8)' x 1f '(x)2 x 2x 8 x 2x 8
− − + − −= =
− − + − − +
f '(x) 0= េគបនច2
x 1 0x 2x 8
− −=
− − + ន ឲចx 1= − ។
អនណគមនមនអរបរមេធៀបរតងចx 1= − គគចf ( 1) 3− =
-រមតអេថរបពច
x
4−
1−
f '(x)
f (x)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 94
·សតង កប
េគមនច 2 2y x 2x 8 9 (x 1)= − − + = − +
សមមជច2 2(x 1) y 9
y 0 + + =
≥
ដេនះកបគគ កនវះរតឆតងតដជមនផរចI( 1,0)− នតកចR 3= ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 95
លចហរងអនវរតន
១-រសកអេថរបពចនតចសតង កបរតអនណគមនខតេកម ៖
ក/ចy x= ខ/ចy 2x 4= +
គ/ចy 4 x= − ឃ/ច xy 12
= − +
ត/ច 2y x 4= + /ច 2y x 4x= −
េ/ច 2y x 2x 10= − + ជ/ច 2y x 4x 3= − +
ឈ/ច 2y x 4x 5= − − /ច 2y 3 2x x= + −
២-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) ax bx c= + +
ក/ករងេជខេមគណចa ,b ,c េដម ឲកបច(c) រតចf មន
អបបរមេសច3 រតងចx 2= នតករងរម ណ ចA(0 , 13)។
ខ/េពះរៃមវចa ,b ,c តដជបនរកេឃខតេជរសកអេថរបព
នតគសកបច(c) កណតរមមយអរររមយ ជងច(o, i , j )→ →
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 96
៣-អនគមនអ ស ប តងសសល
េលកេបមនលមត ៖
(/ច x
xlim e→+∞
= +∞ 3/ចx
nx
elim ,n 0x→+∞
= +∞ >
2/ច x
xlim e 0−
→+∞= 4/ច
n
xx
xlim 0 , n 0e→+∞
= >
េលកេបមនានេ ដា ៖
(/ចចេបច xy e= េនះចច xy ' e=
2/ចចេបច u(x)y e= េនះចច u(x)y ' u '(x)e=
ឧទរ១
េគឱឲអនណគមនច xf (x) (x 2)e−= +
ក-រសកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច (c) រតអនណគមនេនះច។
ខ-រគនករៃផាចS( )λ ខ ម េដយកបច (c) នតអកផមអបងសណស
កណតេនវ ះច[ 2 , ]− λ រ ទរកជមរច lim S( )λλ→+∞
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 97
ដេលះយ
ក-សកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច (c)
េគមនច xf (x) (x 2)e−= + មនតដនកនរងចចD IR=
.ទសេដអេថរបពច
x xf '(x) (x 2)'e (e )'(x 2)− −= + + +
x x xf '(x) e e (x 2) ( x 1)e− − −= − + = − −
េបច f '(x) 0= សមមជច x( x 1)e 0−− − = នឱឲចx 1= − ។
េពះចx 1= − អនណគមនមនរៃមវអរបរមច f ( 1) e− = ។
ជមរចនតចអសណមររ ៖
xlim f (x) lim (x 2)ex x
−= + = −∞→−∞ →−∞
( េពះចច xlim (x 2) , lim ex x
−+ = −∞ = +∞→−∞ →−∞
ន
xlim f (x) lim (x 2)e 0x x
−= + =→+∞ →+∞
( េពះចច xlim e 0x
− =→+∞
នច
នឱឲបនា រងចy 0= អសណមររេដកៃនកបច (c) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 98
រមតអេថរបព
x − ∞ 1− + ∞
y '
y
សតង កបច x(c) : y (x 2)e−= +
.នណបសពឆររតកប មយអកផមកអរេដេន ៖
េបចចy 0= សមមជច x(x 2)e 0−+ = នឱឲចx 2= −
េពះចx 0= នឱឲចចy f (0) 2= = ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 99
ខ-គនករៃផាចS( )λ
េយតបនច xS( ) (x 2)e .dx
2
λ−λ = +
−∫
រតចចu x 2
xdv e .dx
= + −=
នឱឲចចdu dx
xv e
= −= −
េគបនច x xS( ) [ (x 2) e ] e .dx22
λ− λ −λ = − + +−
−∫
x( 2)e e2
2( 2)e e e2( 3)e e
λ−λ − = − λ + + − −−λ −λ= − λ + − +−λ= − λ + +
ដេនះចច 2S( ) e ( 3)e−λλ = − λ + ។
េយច 2 2lim S( ) lim e ( 3)e e−λ λ = − λ + = λ→+∞ λ→+∞ ។
ដេនះចច 2lim S( ) eλ =λ→+∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 100
ឧទរ២
េគឱឲអនណគមនច xf (x) 1 (x 1)e= + −
ក-គនជមរចx
lim f (x)→−∞
នតចxlim f (x)→+∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររៃនកបច(c) រតអនណគមនចy f (x)= ។
ខ-គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) ។
គ-រកសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតង នណចx 1= ។
សតង កប (c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →
តរមយច
ឃ-រកករៃផាខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណតេនវ ះច[ ]0, 1 ។
ដេលះយ
ក-គនជមរចx
lim f (x)→−∞
នតចxlim f (x)→+∞
េយតបនច xx x
lim f (x) lim 1 (x 1)e 1→−∞ →−∞
= + − =
េពះច xx
lim (x 1)e 0→−∞
− = ។
នតចx
x xlim f (x) lim 1 (x 1)e→+∞ →+∞
= + − = +∞
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 101
េពះច xx
lim (x 1)e→+∞
− = +∞ ។
េដយចx
lim f (x) 1→−∞
= នឱឲបនា រងចy 1= អសណមររេដកៃនកបច
ខ-គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x)
េយតមនច xf (x) 1 (x 1)e= + − កនរងេជចចD IR=
េយតបនច x x xf '(x) (x 1)'e (e )'(x 1) xe= − + − = ។
េបចច xf '(x) xe 0= = េនះចចx 0= ។
េពះចx 0= អនណគមនមនរៃមវអបរមច f (0) 0= ។
រមតអេថរបព
x − ∞ 0 + ∞
y '
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 102
គ-រកសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c)
េបចx 1= េគបនចចy f (1) 1= = នឱឲចចA(1,1 ) នណបយះច។
រមរបមនងចច A A A(T): y y f '(x ) (x x )− = −
េដយច Af '(x 1) e= =
េគបនច(T) : y 1 e (x 1)− = −
ដេនះចច (T) : y ex e 1= − + ។ចសតង កបច(c) នតបនា រងច(T) ៖
2 3-1-2-3-4-5
2
3
4
-1
-2
0 1
1
x
y
A ( 1 , 1 )
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 103
ឃ-គនករៃផា
េយតបនចច1 1 1 1
x x x
0 0 0 0S 1 (x 1)e .dx dx (x 1)e .dx 1 (x 1)e .dx = + − = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫
រតចច xu x 1
dv e dx
= −
= នឱឲចច x
du dx
v e
=
=
11 1x x x0 0
0S 1 (x 1)e e .dx 2 e
3 e 3 2.718 0.282
= + − − = −
= − = − =
∫
ដេនះចច S 0.282= ( ឯករៃផាករចនច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 104
ឧទរ៣
េគឱឲអនណគមនចxef (x)x
=
ក-រសកទសេដអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) នតចសតង កបច (c)
រតអនណគមនចy f (x)= កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →
មយច។
ខ-េដយេបកបច(c) រសកអរាបពចនតចសយ ៃនឬសរបសង
សមករ xe k x 0− = តដជចk បយ មយ តមយ រច។
ដេលះយ
ក-សកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច(c)
េគមនចxef (x)x
= តដនកនរងចចD IR 0 = −
.ទសេដអេថរបពច
x x x
2 2(e )'x (x)'e (x 1)ef '(x)
x x
− −= =
េបចf '(x) 0= សមមជច x(x 1)e 0− = នឱឲចx 1= ។
េពះចx 1= អនណគមនមនរៃមវអរបរមចf (1) e 2.7182= = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 105
ជមរចនតចអសណមររ ៖
x
x 0 x 0
elim f (x) limx→ →
= = −∞− −
នតចចx
x 0 x 0
elim f (x) limx→ →
= = +∞+ +
x
x x
elim f (x) lim 0x→−∞ →−∞
= = នតចx
x x
elim f (x) limx→+∞ →+∞
= = +∞ ។
នឱឲបនា រងចy 0= អសណមររេដកៃនកបច(c) ។
រមតអេថរបព
x − ∞ 0 + ∞
y '
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 106
សតង កបច(c) ៖
ខ-សកអរាបពចនតចសយ ៃនឬសៃន xe k x 0− =
សមករអសរសរចចxe kx
= សមករអបងសណសនណរមររត(c)
នតច(d) : y k= ។
រមកឆកេយតអសនដ នដរេទ ៖
-េពះចk ( , 0 )∈ − ∞ សមករមនឬសតរមយគរងគគចចx 0< ។
-េពះចk [0 , e )∈ សមករសនឬសច។
-េពះចk e= សមករមនឬាណបមយគគច 1 2x x 1 0= = > ។
-េពះចចk (e , )∈ + ∞ សមករមនឬពរេផផតស ចច 1 20 x x< < ។
2 3-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
0 1
1
x
y
( C )(d) :y = k
(d) : y = k
(d) : y = k
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 107
៤-អនគមនេលេររេនន
េលកេបមនលមត ៖
(/ចxlim ln x→+∞
= +∞ 3/ច nx
ln xlim ,n 0x→+∞
= +∞ >
2/ចx 0lim ln x→ +
= −∞ 4/ច n
x 0lim x ln x 0 , n 0→ +
= >
េលកេបមនានេ ដា ៖
(/ចចេបចy ln x= េនះចច 1y 'x
=
2/ចចេបចy ln u(x)= េនះចច u'(x)y 'u(x)
=
ឧទរ១
េគឱឲអនណគមនចf កនរងេជចច (0, )+ ∞ េដយចចf (x) 1 xlnx= +
ក-រគនជមរចx 0
lim f (x)→ +
នតចxlim f (x)→+∞
។
ខ-គនេដរេវចf '(x) រ សកសយ របសងច f '(x) ។ច
គសរមតអេថរបពៃនចf (x) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 108
គ-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតចf រតង នណ
មនអបងសណសចx 1= ។រសតងចកបច(c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរ
មយ ជងច (o, i , j )→ →
តរមយច។
ឃ-គនករៃផាចS( )α ខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណត
េនវ ះច[ ], 1 , 0α α > រ ទរកជមរចច0
lim S( )α→
α+ ។
ដេលះយ
ក-គនជមរចx 0
lim f (x)→ +
នតចxlim f (x)→+∞
េយតបនច ( )x 0 x 0
lim f (x) lim 1 xlnx 1→ →
= + =+ +
េពះចចx 0
lim xlnx 0→
=+
នតចx xlim f (x) lim xlnx→+∞ →+∞
= = +∞ ។
ខ-គនេដរេវចf '(x) រ សកសយ របសងចf '(x)
េយតបនចចf '(x) (x)'lnx (lnx)'x lnx 1= + = +
-េបចចច lnx 1 0+ > នឱឲចច1xe
> េនះចចf '(x) 0>
-េបចច lnx 1 0+ = នឱឲចច 1xe
= េនះច f '(x) 0= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 109
-េបចចច lnx 1 0+ < នឱឲចច 1xe
< េនះចf '(x) 0< ។
គសរមតអេថរបពៃនចf (x) ៖
x 0 1e
+ ∞
y '
y
គ-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតចf រតង នណមន
អបងសណសចx 1= ៖
េពះចx 1= េនះចចy f (1) 1 0 1= = + = នឱឲចA( 1 , 1) នណបយះច។
រមរបមនងចច A A A(T) : y y f '(x ) (x x )− = −
េដយចច Af '(x 1) 1 ln1 1= = + = េគបនច(T) : y 1 x 1− = −
នឱឲចច (T) : y x= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 110
សតងចកបច(c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →
៖
ឃ-គនករៃផាចS( )α ខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណត
េនវ ះច[ ], 1 , 0α α >
េយតបនច1 1 1 1
S( ) (1 xlnx).dx dx xlnx.dx (1 ) xlnx.dxα α α α
α = + = + = − α +∫ ∫ ∫ ∫
រតចចu lnxdv xdx=
= នឱឲចចច 2
1du dxx
xv2
= =
2 3 4-1-2
2
3
4
-1
0 1
1
x
y(c)
(d) : y = x
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 111
េគបនចច1 12 2 12x 1 1S( ) 1 lnx xdx 1 ln x
2 2 2 4 αα α
α α = − α + − = − α − α − ∫
2 2 2
21 1 31 ln ln2 4 4 4 4 2α α α
= − α − α − + α = − α + − α
ដេនះចច2 23S( ) ln
4 4 2α α
α = − α + − α នតចច0
3lim S( )4α→
α =+
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 112
ជពកទ៤
លចហរងេណសេរ ណសនដចេណណ
លចហរង១
េគឱឲអនណគមនចf មនេដរេវេជច( 2 , )− + ∞ តដជចf (x) x 2= +
ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −
ខ. បបង េពះគបងចx [ 1 , 2 ]∈ − េគបនច៖
1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2
+ ≤ + ≤ + ។
ដចេណណ
ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −
េគមនចf (x) x 2= +
េគបនច (x 2)' 1f '(x)2 x 2 2 x 2
+= =
+ +
េដយច 1 x 2− ≤ ≤ េនះច1 x 2 4≤ + ≤ ឬច1 x 2 2≤ + ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 113
េគទច1 1 14 22 x 2≤ ≤
+
ដេនះចច1 1f '(x)4 2
≤ ≤ េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ − ។
ខ. បបង េពះគបងចx [ 1 , 2 ]∈ − េគបនចច
1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2
+ ≤ + ≤ +
រមសមយខតេជេគមនច1 1f '(x)4 2
≤ ≤ េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −
រមទដសងបទវសមបពកេ នមនករងអនណវរងន េពះអនណគមនចf
កណតេនវ ះច[ 1,2 ]− េគបន ៖
េពះចx 1≥ − េនះច1 1(x 1) f (x) f ( 1) (x 1)4 2
+ ≤ − − ≤ +
ឬច1 1 1 1x x 2 1 x4 4 2 2
+ ≤ + − ≤ +
ដេនះចចចច1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2
+ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 114
លចហរង២
េគឱឲអនណគមនចf មនេដរេវេជចIR តដជច 2f (x) ln(x 1 x )= + +
ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3
∈ ។
ខ. បបង េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3
∈ េគបនចច
23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +
ដចេណណ
ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3
∈
េគបនច2
2
(x 1 x )'f '(x)x 1 x
+ +=
+ +
22
2 2 2
2
2x11 x x2 1 x
x 1 x (x 1 x ) 1 x1
1 x
++ ++= =
+ + + + +
=+
េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3
∈ េគបនច 225 251 x16 9
≤ + ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 115
ឬចច 25 51 x4 3≤ + ≤ នឱឲច
2
3 1 45 51 x≤ ≤
+
ដេនះចច 3 4f '(x)5 5≤ ≤ េពះគបងច 3 4x [ , ]
4 3∈ ។
ខ. បបង េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3
∈ េគបនចច
23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +
រមសមយខតេជេគមនចចច 3 4f '(x)5 5≤ ≤ េពះគបងច 3 4x [ , ]
4 3∈
រមទដសងបទវសមបពកេ នមនករងេគបន ៖
េពះច 3 3 3 3 4 3x : (x ) f (x) f ( ) (x )4 5 4 4 5 4
≥ − ≤ − ≤ −
ឬច 23x 9 4x 3ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− ≤ + + − ≤ −
ដេនះច 23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 116
លចហរង៣
េគមនអនណគមនចf (x) 3x 1= + កនរងេជច1[ ; )3
− + ∞
ក. េពះគបងច1 x 5≤ ≤ របបង ចច 3 3f '(x)8 4
≤ ≤ ។
ខ. េដយេបវសមបពកេ នមនកនរងអនណវរងនេទនដតអនណគមនចf
េពះគបងច [ ]x 1,5∈ របបង ចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4
+ ≤ + ≤ +
ដចេណណ
ក. េពះគបងច1 x 5≤ ≤ បបង ចច 3 3f '(x)8 4
≤ ≤
េគមនចចf (x) 3x 1= + នឱឲចច 3f '(x)2 3x 1
=+
េពះគបងច [ ]x 1,5∈ េគមនចច1 x 5≤ ≤ ឬច4 3x 1 16≤ + ≤
1 1 14 23x 13 3 38 42 3x 1
≤ ≤+
≤ ≤+
ដេនះចចចច3 3f '(x)8 4
≤ ≤ េពះគបងច [ ]x 1,5∈ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 117
ខ. បបង ចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4
+ ≤ + ≤ +
េពះគបងច [ ]x 1,5∈ េគមនច 3 3f '(x)8 4≤ ≤
រមទដសងបទវសមបពកេ នមនកនរង
េពះចx 1≥ េគមនច 3 3(x 1) f (x) f (1) (x 1)8 4
− ≤ − ≤ −
េដយចf (x) 3x 1= +
េគបនចចច 3 3 3 3x 3x 1 2 x8 8 4 4
− ≤ + − ≤ −
នឱឲចចចចចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4
+ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 118
លចហរង៤
េគឱឲចf អនណគមនកនរងេដយច 2 nf (x) (x 1 x )= + +
តដជចx IR∈ នតចn IN∈ ។
ក-រគនេដរេវចf '(x) រ បបង ៖
21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។
ខ-រយបយប កងទនកងទនតច៖
2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + = ។
ដចេណណ
ក-គនេដរេវចf '(x)
េគមនចច 2 nf (x) (x 1 x )= + +
រមរបមនងចច n n 1(u )' nu'.u −=
េគបនចច 2 2 n 1f '(x) n.(x 1 x )'.(x 1 x ) −= + + + +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 119
22 n 1
2
2 n 12
22 n 1
2
2 n2
(1 x )'f '(x) n. 1 .(x 1 x )2 1 x
2xn. 1 .(x 1 x )2 1 x
1 x xn. .(x 1 x )1 x
n (x 1 x )1 x
−
−
−
+= + + + +
= + + + +
+ += + +
+
= + ++
ដេនះចច 2 n2
nf '(x) .(x 1 x )1 x
= + ++
។
បបង ច 21 x .f '(x) n.f (x)+ =
េគមនច 2 n2
nf '(x) .(x 1 x )1 x
= + ++
េដយច 2 nf (x) (x 1 x )= + +
េគបនច2
nf '(x) .f (x)1 x
=+
នឱឲច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។
ដេនះចចច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 120
ខ-យបយប កងទនកងទនត ៖
2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =
េគមនចច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = នឱឲច2
f (x)f '(x) n.1 x
=+
េគបនចចច2 2
2 2
f '(x) 1 x ( 1 x )'f (x)f ''(x) n.( 1 x )
+ − +=
+
( )
22
2
22
2
2xf '(x). 1 x .f (x)2 1 xf ''(x) n
1 xf (x)1 x .f '(x) x.1 xf ''(x) n. 1
1 x
+ −+=
+
+ −+=
+
េគមនច ( )21 x .f '(x) n.f (x) 2+ =
នតចច ( )2
1 f (x).f '(x) 3n 1 x
=+
យកច(2នចនតច(3នចជសកណតទនកងទនតច( )1 េគបន ៖
ដេនះចចច 2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 121
លចហរង៥
េគឱឲចf អនណគមនកនរងេដយ ៖
xc.xs i n.kxc o sxs i n)x(f 2266 ++=
ក-រគនេដរេវចf '(x) ។
ខ-រកនរង ននពរចk េដមឱឲចf (x) អនណគមនេថរ ន គបងx IR∈
ដចេណណ
ក-គនេដរេវចf '(x)
5 5 2 2 2 2f '(x) 6.(sin x)'sin x 6.(cos x)'cos x k(sin x)'cos x k(cos x)'sin x= + + +
5 5 3 3
4 4 2 2
2 2 2 2
6cos xsin x 6sin xcos x 2k sin xcos x 2k cos xsin x
6cos xsin x(sin x cos x) 2k sin xcos x(cos x sin x)
3sin 2x(sin x cos x)(sin x cos x) k sin 2x.cos 2x3sin 2xcos 2x k.sin 2xcos 2x
1( 3 k).sin 2xcos 2x (k 3)sin4x2
= − + −
= − + −
= − + += − +
= − + = −
ដេនះចចច 1f '(x) (k 3).sin4x2
= − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 122
ខ-កនរង ននពរចk
េដមឱឲចf (x) អនណគមនេថរ នេពះគបងចx IR∈ ជណះរតរច
f '(x) 0= គបងចx IR∈ ។ច
េដយច 1f '(x) (k 3).sin4x2
= −
េគទចk 3 0− = នឱឲចk 3= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 123
លចហរង៦
េគឲអនណគមនចf (x) កនរងចនតមនេដរេវេជចIR ។
េគដដតចច2
f (1) f '(1) 31 2f ''(x) f '(x) 4x 1
2x 1 (2x 1)
= = − = + − −
រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។
ដចេណណ
កនរងរកអនណគមនចf (x) ៖
េគមនច 21 2f ''(x) f '(x) 4x 1 (1)
2x 1 (2x 1)− = +
− −
រតច 1g(x) f '(x).2x 1
=−
េគបនច2
1 1g'(x) f ''(x) f '(x)2x 1 (2x 1)
= −− −
ទនកងទនតច(1) កវ យេទ ចg'(x) 4x 1= + េនះ 2g(x) 2x x C= + +
េបចx 1= េនះចg(1) 3 C= + តរច 1g(1) f '(1). f '(1) 32(1) 1
= = =−
េគបនច3 C 3+ = ន ឲចC 0= ដេនះច 2g(x) 2x x= +
េដយច 1g(x) f '(x).2x 1
=−
េគទច 2f '(x) 2x x2x 1
= +−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 124
3f '(x) 4x x= − ន ឲច 4 21f (x) x x k2
= − +
េបចx 1= េនះច 1f (1) k 32
= + = ន ឲច 5k2
= ។
ដេនះចច 4 21 5f (x) x x2 2
= − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 125
លចហរង៧
េគឲអនណគមនចf (x) កនរងចនតចមនេដរេវេជចIR េដយច៖
2f '(x).f (x) x(x 2)f (0) 2
= −
= េពះគបងចx IR∈ ។
រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។
ដចេណណ
កនរងរកអនណគមនចf (x) ៖
េគមនច 2f '(x) . f (x) x(x 2) (1)= −
រតច 3g(x) f (x)= េគបនច 2g '(x) 3f '(x) .f (x)=
ឬច 21 g '(x) f '(x) .f (x)3
=
ទនកងទនតច(1) េទ ច1 g '(x) x(x 2)3
= −
2
3 2
g '(x) 3x 6x
g(x) x 3x k
= −
= − +
េបចx 0= េនះចg(0) k=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 126
េដយច 3 3g(0) f (0) (2) 8= = =
េគបនច 3 2g(x) x 3x 8= − + តរច 3g(x) f (x)=
េគទច 3 3 2f (x) x 3x 8= − + ន ឲច 3 3 2f (x) x 3x 8= − +
ដេនះចច 3 3 2f (x) x 3x 8= − + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 127
លចហរង៨
េគឲអនណគមនច3 2
2x 3x 3x 1f (x)
3x 3x 1+ − +
=− +
កនរង េពះគបងចx IR∈ ។
េពះគបង ននពរវជបមនចa នតចb រយបយប កងច៖
1 a b 1 a b abf f2 2 a b
+ + + + + ≥ + + ។
ដចេណណ
យបយប កងច៖
1 a b 1 a b abf f2 2 a b
+ + + + + ≥ + +
េយតមនច3 2
2x 3x 3x 1f (x)
3x 3x 1+ − +
=− +
កនរង េពះគបងចx IR∈
2 2 3 2
2 2
4 3 2 2 2
2 2 2 2
(3x 6x 3)(3x 3x 1) (6x 3)(x 3x 3x 1)f '(x)(3x 3x 1)
3x 6x 3x 3x (x 1) 0 , x IR(3x 3x 1) (3x 3x 1)
+ − − + − − + − +=
− +
− + −= = ≥ ∀ ∈
− + − +
ដេនះចf (x) អនណគមនេកនេជចIR ។
មយ តេទៀរេយតសនរច1 a b 1 a b ab2 2 a b
+ + + + +≥
+ +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 128
េគបនច 2 2 a b1 a b 1 a b ab
+ +≤
+ + + + +
2 (1 a) (1 b)1 a b (1 a)(1 b)
2 1 11 a b 1 a 1 b
+ + +≤
+ + + +
≤ ++ + + +
េដយច 1 11 a b 1 a
≤+ + +
នតច1 1
1 a b 1 b≤
+ + +
គបង ននពរវជបមនចa នតចb ។
េគទច 2 1 11 a b 1 a 1 b
≤ ++ + + +
ន ឲករសនរច1 a b 1 a b ab2 2 a b
+ + + + +≥
+ +ពរ។
ដេនះរមជកះអនណគមនេកនេគទច
1 a b 1 a b abf f2 2 a b
+ + + + + ≥ + + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 129
លចហរង៩
េគឱឲចa នតចb ពរននពរតដជច0 a b2π
≤ < <
រយច 2 2b a b atan b tan acos a cos b− −
< − <
ដចេណណ
យច 2 2b a b atan b tan acos a cos b− −
< − <
រតអនណគមនចf (x) tan x= តដជចx [0 , )2π
∈
េគបនច 21f '(x)
cos x= ។
េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះចx [0 , )2π
∈
េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a ,b )∈ តដជ ៖
f (b) f (a) tan b tan af '(c) (1)b a b a− −
= =− −
េយេពះចx [a , b ]∈ តដជច0 a b2π
≤ < <
េគមនចចcosb cos x cosa≤ ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 130
េនះេគទច 2 21 1f '(x)
cos a cos b< <
យកចx c= េគបនច 2 21 1f '(c) (2)
cos a cos b< <
រមច(1) នតច(2) េគទច
2 2b a b atan b tan acos a cos b− −
≤ − ≤ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 131
លចហរង១១
េពះគបង ននពរច0 a b< < រយបយប កង ៖
b a b aln b ln ab a− −
≤ − ≤ ។
ដចេណណ
យចb a b aln b ln ab a− −
≤ − ≤
រតអនណគមនចf (x) ln x= តដជចx (0, )∈ + ∞
េគបនច 1f '(x)x
= ។
េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះច )x (0 ,∈ + ∞
េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a,b )∈ តដជ ៖
f (b) f (a) lnb lnaf '(c) (1)b a b a− −
= =− −
េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b< <
េគមនចចa x b≤ ≤ េនះេគទច 1 1f '(x)b a≤ ≤
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 132
យកចx c= េគបនច 1 1f '(c) (2)b a< <
រមច(1) នតច(2) េគទច 1 lnb lna 1b b a a
−< <
−
ដេនះចb a b alnb lnab a− −
< − < ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 133
លចហរង១២
េពះគបង ននពរច0 a b2π
≤ < ≤ រយបយប កង ៖
(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ − ។
ដចេណណ
យច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −
រតអនណគមនចf (x) sin x= តដជចx [0, ]2π
∈
េគបនចf '(x) cosx= ។
េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះច [0 ,2
x ]π∈
េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនច )b,a(c∈ តដជ ៖
f (b) f (a) sinb sinaf '(c) (1)b a b a− −
= =− −
េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b2π
≤ < ≤
េគមនចចcosb cosx cosa< <
េនះេគទចcosb f '(x) cosa< <
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 134
យកចx c= េគបនចcosb f '(c) cosa (2)< <
រមច(1) នតច(2) េគទច sinb sinacosb cosab a−
< <−
ដេនះច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− < − < − ។
លចហរង១៣
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 135
េពះគបង ននពរច0 a b≤ < រយបយប កង ៖
n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− ≤ − ≤ − តដជចn IN∈ ។
ដចេណណ
យចច n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− ≤ − ≤ −
រតអនណគមនច nf (x) x= តដជចx [0, )∈ + ∞
េគបនច n 1f '(x) nx −= ។
េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះx [0, )∈ + ∞
េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a,b )∈ តដជ ៖
)1(abab
ab)a(f)b(f)c('f
nn
−−
=−−
=
េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b≤ <
េគមនចច n 1 n 1 n 1a x b− − −< < េនះេគទច n 1 n 1na f '(x) nb− −< <
យកចx c= េគបនច n 1 n 1na f '(c) nb (2)− −< <
រមច(1) នតច(2) េគទចn n
n 1 n 1b ana nbb a
− −−< <
−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 136
ដេនះច n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− < − < − ។
លចហរង១៤
គនចy' អនណគមនៃនចx នតចy េបេគដដត ៖
y xx y= គបងចx 0, y 0> > ។
ដចេណណ
គនចy' អនណគមនៃនចx នតចy
េគមនច y xx y= នឱឲចចy ln x xln y=
េធឆេដរេវេជសមករេនះច 1 y'y'ln x y. ln y x.x y
+ = +
ឬចច x y(ln x )y' ln yy x
− = −
ដេនះចចចyln yxy' xln xy
−=
− ។
លចហរង១៥
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 137
រគនចy'' អនណគមនៃនចx នតចy េបេគដដត ៖
3 3x y 4 3xy+ + = ។
ដចេណណ
គនចy'' អនណគមនៃនចx នតចy
េគមនចច 3 3x y 2 3xy+ + =
េធឆេដរេវេជអតទតពរៃនសមករេនះេគបន ៖
2 2
2 2
2
2
3x 3y'y 3y 3xy'
x y'y y xy'
y xy'y x
+ = +
+ = +
−=
−
េយច2 2
2 2(y' 2x)(y x) (2yy' 1)(y x )y''
(y x)− − − − −
=−
2 2 2 2
2 2(x 2xy y) (y 2x y x)y'
(y x)− + − − +
=−
ជនសច2
2y xy'y x−
=−
រ បតរមេគទទជបន ៖
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 138
3 3
2 32xy(3xy x y 1)y''
(y x)− − −
=−
េដយច 3 3x y 2 3xy+ + =
ដេនះច 2 32xyy''
(y x)=
− ។
លចហរង១៦
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 139
េគឱឲអនណគមនច 1f (x)1 x
=−
តដជចx 1≠
ក. គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចf (x) រតេដយច (n)f (x) ។
ខ.រយអនណគមនចf (x) អសរេសរ មត ៖
2 n(n)
nx x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)1! 2! n!
= + + + + +
តដជចn 1
nxR (x)1 x
+=
− គបងចx 1≠ ។
ដចេណណ
ក. គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចf (x) ៖
េគមនច 11f (x) (1 x)1 x
−= = −−
េគបនច 2 2 2f '(x) (1 x)'(1 x) (1 x) 1!(1 x)− − −= − − − = − = −
3 3
(3) 4 4
f ''(x) 2(1 x) 2!(1 x)
f (x) 6(1 x) 3!(1 x)
− −
− −
= − = −
= − = −− − − − − − − − − − − − − − − − − −
ឧបមច (n) n 1f (x) n!(1 x)− −= − ពរ
េយតនដតយច (n 1) n 2f (x) (n 1)!(1 x)+ − −= + − ពរ
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 140
េគមនច
(n 1) (n) n 1 n 2f (x) [f (x)]' [n!(1 x) ]' (n 1)!(1 x)+ − − − −= = − = + − ពរ
ដេនះច (n) n 1n 1
n!f (x) n!(1 x)(1 x)
− −+= − =
− ។
ខ.យអនណគមនចf (x) អសរេសរ មត ៖
2 n(n)
nx x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)1! 2! n!
= + + + + +
េគមនច (n)n 1
n!f (x)(1 x) +=−
េនះច (n)f (0) n!= នតចf (0) 1=
េយចn 1
nxR (x)1 x
+=
− េនះេគបន ៖
)x(R)0(f!n
x. . .)0(''f!2
x)x('f!1
x)0(f)x(f n)n(
n2
+++++=
n 12 n
2 n n 1
n 1 n 1
x1 x x .... x1 x
(1 x)(1 x x .... x ) x1 x
1 x x 11 x 1 x
+
+
+ +
= + + + + +−
− + + + + +=
−− +
= =− −
Bti
លចហរង១៧
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 141
េគឱឲអនណគមនចច3 2
2x 8x 13x 2y f (x)
x 2x 1− + −
= =− +
ក. សកអេថរបពចនតសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយអររ
រមយ ជង )j,i,o(→→
មនឯករច1cm េយេជអកផមច។
ខ. េដយេបកបច(c) រសករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង
សមករ 3 2x (m 8)x (2m 13)x (m 2) 0− + + + − + =
( m IR∈ បយ មយ តមយ រចន
ដចេណណ
-តដនកនរងចD IR 1 = −
-ទសេដអេថរបព
.សរេសរ មតកន
1x2x4)6x1 2x6()xx2x()x(f 2
223
+−++−−+−
=
2)1x(46x)x(f−
+−=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 142
.េដរេវច3
3 38 (x 1) 8f '(x) 1
(x 1) (x 1)− −
= − =− −
.នណបរម
េបចf '(x) 0= េគបនច 3(x 1) 8 0− − = ឬចx 3=
អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបរតងចx 3= គគច
24f (3) 3 6 2
(3 1)= − + = −
−
.គនជមរ
2x 1 x 1
4lim f (x) lim x 6(x 1)→ →− −
= − + = +∞
−
នត 2x 1x 1
4lim f (x) lim x 6(x 1)→ +→ +
= − + = +∞
−
2x x
4lim f (x) lim x 6(x 1)→±∞ →±∞
= − + = ±∞
−
.អសណមររច
េដយេគមនចx 1limf (x)→
= +∞ ន ឲបនា រងចx 1= អសណមររឈរច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 143
មយ តេទៀរេគមនច 24f (x) x 6
(x 1)= − +
− េដយច 2x
4lim 0(x 1)→±∞
=−
ដេនះបនា រងចy x 6= − អសណមររេទរៃនតខផេកតច(c) ។
.រមតអេថរបព
x ∞− 1 3 ∞+
)x('f
)x(f
-សតង កបច3 2
2x 8x 13x 2(c) : y
x 2x 1− + −
=− +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 144
ខ. េដយេបកបច(c) សករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសចសមករ ៖
0)2m(x)1 3m2(x)8m(x 23 =+−+++−
សមករេនះអសរេសរដខតេកម ៖
m
1x2x2x1 3x8x
)1x2x(m2x1 3x8x
02mx1 3m x2x8m xx
2
23
223
223
=+−
−+−
+−=−+−
=−−++−−
2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
-7
-8
0 1
1
X
Y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 145
សមករអបងសណស ណ បសពឆររតចតខផេកត(c) នតបនា រងច
( ) : y m∆ = ។
រមកឆកេយតអសនដ នជទផជដខតេកម ៖
-េពះចm ( , 2)∈ −∞ − សមករមនឬសតរមយគរងច។
-េពះចm 2= − សមករមនឬសាណបច 1 2x x 3= = នតឬសេទជច
3x 0= ។
-េពះចm ( 2 , )∈ − + ∞ សមករមនឬសបេផផតស ច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 146
លចហរង១៨
េគឱឲអនណគមនច3 2
2x 6x 9x 4y f (x)
x 4x 4− + −
= =− +
ក. សកអេថរបពចនតសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយអររ
រមយ ជង )j,i,o(→→
មនឯករច1cm េយេជអកផមច។
ខ. េដយេបកបច(c) រសករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង
សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =
( m IR∈ បយ មយ តមយ រចន
ដចេណណ
-តដនកនរងចD IR 2 = −
-ទសេដអេថរបព
.សរេសរ មតកនច
3 2 2
2
2
(x 4x 4x) (2x 8x 8) 3x 4f (x)x 4x 4
3x 4f (x) x 2(x 2)
− + − − + − +=
− +−
= − −−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 147
.េដរេវច2
43(x 2) 2(x 2)(3x 4)f '(x) 1
(x 2)− − − −
= −−
3
3 2
3
3 2
3
2
3
3x 6 6x 8f '(x) 1(x 2)
x 6x 12x 8 3x 2(x 2)
x 6x 15x 10(x 2)
(x 1)(x 5x 10)(x 2)
− − += −
−
− + − + −=
−
− + −=
−
− − +=
−
.នណបរម
េបចf '(x) 0= េគបនច 2(x 1)(x 5x 10) 0− − + =
េដយរតច 2x 5x 10 0 , 25 40 0− + = ∆ = − < (សនឬសន
ដេនះេគបនចx 1= ។
អនណគមនមនរៃមវអរបរមរតងx 1= គគច 23 4f (1) 1 2 0
(1 2)−
= − − =−
.គនជមរ
2x 2 x 2
3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→ →− −
−= − − = −∞
−
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 148
នត 2x 2x 2
3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→ +→ +
−= − − = −∞
−
2x x
3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→±∞ →±∞
−= − − = ±∞
−
.អសណមររច
េដយេគមនចx 1limf (x)→
= +∞ ន ឲបនា រងចx 1= អសណមររឈរច។
មយ តេទៀរេគមនច 23x 4f (x) x 2
(x 2)−
= − −−
េដយច 2x
3x 4lim 0(x 2)→±∞
−=
−ដេនះបនា រងចy x 2= − អសណមររេទរ
ៃនតខផេកតច(c) ។
.រមតអេថរបព
x ∞− 1 2 ∞+
)x('f
)x(f
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 149
-សតង កបច 3 2
2x 6x 9x 4(c) : y
x 4x 4− + −
=− +
ខ. េដយេបកបច(c) សករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង
សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =
សមករេនះអសរេសរចច3 2
2x 6x 9x 4 m
x 4x 4− + −
=− +
2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4
2
3
4
5
-1
-2
-3
-4
-5
-6
0 1
1
X
Y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 150
សមករអបងសណស ណ បសពឆររតចតខផេកត(c) នតបនា រងច
( ) : y m∆ = ។
រមកឆកេយតអសនដ នជទផជដខតេកម ៖
-េពះចm ( ,0)∈ −∞ សមករមនឬសបេផផតស ច។
-េពះចm 0= សមករមនឬសាណបច 1 2x x 1= = នតឬសេទជច
3x 4= ។ច
-េពះចm (0 , )∈ + ∞ សមករមនឬសតរមយគរង។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 151
លចហរង១៩
េគឱឲអនណគមនច ( ) ( ) xf x 1 x .e 1= − − កនរងេជចIR ។
ក. គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនចf ។ច
ទបយប កងសយ ៃនអនណគនច ( )f x ។
ខ. េគឱឲចg អនណគមនចកនរងេជចIR េដយច ( ) ( ) xg x 2 x .e 2 x= − + −
រគនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
។
គ. គនេដរេវច ( )g' x រ បយប កងសយ របសងច ( )g' x ។ច
គសរមតអេថរបពៃនច ( )g x ។
ឃ. យបយប កងបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកប
( )C រតអនណគមនg កជលចx → −∞ ។ច
សកទរតេធៀបររតតខផេកតច( )C នតបនា រងច(d) ។
ត.សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតច( )C េយសបនដតបនា រង( )d ។
. កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។
េ. សតង កប( )C បនា រង( )T នត( )d កណតររណយអរររមយ ជងច( )0, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 152
ដចេណណ
ក. គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនចf
េគមនច ( ) ( ) ( ) ( )x xf ' x 1 x '.e e '. 1 x= − + −
( )x x
x x x
x
e e 1 x
e e x.e
x.e
= − + −
= − + −
= −
េបច ( ) xf ' x x.e 0= − = នេអយចx 0= ។
េពះចx 0= េគបនច ( ) ( ) 0f 0 1 0 .e 1 0= − − = ។
គនជមរ
( ) ( ) xx xlim f x lim 1 x .e 1 1→−∞ →−∞
= − − = −
នតច ( ) ( ) xx xlim f x lim 1 x .e 1→+∞ →+∞
= − − = −∞
x −∞ 0 +∞
( )f x
( )x'f
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 153
ទបយប កងសយ ៃនអនណគមនច ( )f x
រមរមតខតេជេគទបនច ( )x IR : f x 0∀ ∈ ≤ ។
ខ/គនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
៖
េគបនច ( ) ( ) ( )xx xlim g x lim 2 x .e 2 x→−∞ →−∞
= − + − = +∞
េពះច( )
( )x
xx
lim 2 x
lim e 0→−∞
→−∞
− = +∞
=
េគបនច ( ) ( ) ( )xx xlim g x lim 2 x .e 2 x→+∞ →+∞
= − + − = −∞
េពះច( )
( )x
xx
lim 2 x
lim e→+∞
→+∞
− = −∞
= +∞
គ. គនេដរេវច ( )g' x រ បយប កងសយ របសងច ( )g' x
េគមនច ( ) ( ) ( )( )x xg x 2 x .e 2 x 2 x e 1= − + − = − +
េគបនច ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xg' x 2 x ' e 1 e 1 ' 2 x= − + + + −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 154
( ) ( )
( )
x x
x x x x x
x
e 1 e . 2 x
e 1 2e x.e e x.e 1
1 x .e 1
= − + + −
= − − + − = − −
= − −
ដេនះច ( ) ( ) xg' x 1 x .e 1= − −
មយ តេទៀរេដយច ( ) ( ) ( )xg' x 1 x .e 1 f x= − − =
េយេគមនច ( )x IR : f x 0∀ ∈ ≤
ដេនះច ( )x IR : g' x 0∀ ∈ ≤ ។
គសរមតអេថរបពៃនច ( )xg
x −∞ 0 +∞
( )g' x
( )g x
េពះចx 0= នេអយច ( )g 0 4=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 155
ឃ. យចបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C
េគមនច ( ) ( ) ( )( )
xC : g x 2 x .e 2 x
d : y 2 x
= − + −
= −
េគបនចច ( ) ( ) xg x y 2 x .e− = −
េដយេគមនច ( ) ( ) xx xlim g x y lim 2 x .e 0→−∞ →−∞
− = − =
ដេនះចបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C ។
សកទរតេធៀបររតតខផេកតច( )C នតបនា រងច(d)
េគមនច ( ) ( ) xg x y 2 x .e− = − មនសយ ដច2 x−
េពះច xx IR :e 0∀ ∈ > ។
-េពះច ] [x ,2∈ −∞ តខផេកតច( )C េយពេជបនា រងច( )d ។
-េពះចx 2= តខផេកតច( )C បសពឆបនា រងច( )d រតង នណច ( )A 2,0 ។
-េពះច ] [x 2,∈ +∞ តខផេកតច( )C េយពេកមបនា រងច( )d ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 156
ត. រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C េយសបនដតច( )d ៖
រតច ( )0 0 0M x ,y នណបយះររតបនា រងច( )T មយច( )C
រមរបមនងច ( )0 0 0(T) : y y y' . x x− = −
េដយច( ) ( )T / / d : y 2 x= − នឱឲច 0y' 1= −
តរច ( ) ( ) x0 0 0
0y' g' x 1 x e 1= = − −
េគទបនច( ) x0
01 x e 1 1− − = − នឱឲច 0x 1=
េយច ( )0 0y g x e 1= = + ។
េគបនច( ) ( ) ( )T : y e 1 1. x 1− + = − −
ដេនះច( )T : y x e 2= − + + ។
. កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ៖
េគមនច ( ) ( ) ( )xg' x 1 x .e 1 f x= − − =
េគបនច ( ) ( ) xg'' x f ' x x.e= = − មនឬសចx 0= ។
េពះចx 0= េគបនចg(0) 4= ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 157
រមតសកសយ ៃនច ( ) xg'' x x.e= −
x −∞ 0 +∞
( )g'' x
( )g x
េដយរតង នណចx 0= កេនមច ( )g'' x បងរសយ ពច( )+ េទច( )−
នឱឲច ( )I 0,4 នណរបរងៃនកបច។
េ. សតង កបច( )C បនា រងច( )T នតច( )d កណតររណយអរររមយ ជង ៖
2 3 4 5-1-2-3
2
3
4
5
-1
0 1
1
x
y
( C )
( T ) : y = -x+2+e
(d) : y = 2-x
M ( 1 , e + 1 )
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 158
លចហរង២០
េគឱឲអនណគមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − + តដជចx IR∈ ។
ក-រគនជមរចxlim f (x)→−∞
នតចxlim f (x)→+∞
។
ខ-គនេដរេវចf '(x) នតf ''(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចf '(x) ។
( មនបងរកជមរៃនចf '(x) រតងច−∞ នតច+∞ នច។
គ-កនរងសយ របសងចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) ។
ឃ-យបយប កងបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប
(c) ៃនចy f (x)= ។កជលចx → −∞ ។ច
បយប កងទរតេធៀបររតតខផេកតច(c) នតបនា រងច(d)
ត-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) េយសប មយនដត
បនា រងច(d) ។
-រគសកបចច(c) នតបនា រងច(d),(T) កណតរមមយអររនរមយ ជងច
(o , i , j )→ →
តរមយ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 159
ដចេណណ
ក-គនជមរចxlim f (x)→−∞
នតចxlim f (x)→+∞
េយតមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − +
េយតបនច 2xx xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→−∞ →−∞
= − + = −∞
េពះចច x2x
x
lim (x 1)
lim (e 1) 1→−∞
→−∞
− = −∞
+ =
នតច 2xx xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→+∞ →−∞
= − + = +∞
េពះចច x2x
x
lim (x 1)
lim (e 1)→+∞
→+∞
− = +∞
+ = +∞
ខ-គនេដរេវចf '(x) នតចf ''(x)
េយតមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − + កនរងេជចD IR=
េយតបនច 2x 2xf '(x) (x 1)'(e 1) (e 1)'(x 1)= − + + + −
2x 2x
2x
e 1 2e (x 1)
1 (2x 1)e
= + + −
= + −
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 160
នតច 2x 2x 2xf ''(x) (2x 1)'e (e )'(2x 1) 4xe= − + − =
ដេនះចច 2x 2xf '(x) 1 (2x 1)e , f ''(x) 4xe= + − = ។
គសរមតអេថរបពៃនចf '(x)
េយតមនច xf ''(x) 4xe= មនឬសចចx 0=
េពះចx 0= េនះចចf '(0) 1 1 0= − = ។
គ-កនរងសយ របសងចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x)
រមរមតអេថរបពខតេជេយតទបនចចf '(x) 0 , x IR≥ ∀ ∈
ដេនះចf '(x) មនសយ វជបមនច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 161
x −∞ 0 +∞
( )f ' x
( )f x
ឃ-យបយប កងបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប
េយតមនច 2x 2xf (x) (x 1)(e 1) x 1 (x 1)e= − + = − + −
េដយេគមនចច 2xxlim (x 1)e 0→−∞
− =
ដេនះចបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប(c) ។
-បយប កងទរតេធៀបររតតខផេកតច(c) នតបនា រងច(d)
េគមនចច 2xf (x) y (x 1) e− = − មនសយ ដចx 1−
េពះចច 2xe 0 , x IR> ∀ ∈ ។
-េបចចx 1 0− > ឬចx 1> េនះតខផេកតច(c) េយេជបនា រងច(d) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 162
-េបចx 1 0− < ឬចx 1< េនះតខផេកតច(c) េយេកមបនា រងច(d) ។
-េបចx 1 0− = ឬចx 1= េនះតខផេកតករងបនា រង រតង នណមយច
( )A 1 , 0 ។
ត-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) ៖
រតចច 0 0 0M ( x ,y ) នណបយះររតបនា រងច(T) នតកបច(c)
រមរបមនងសមករបនា រងបយះសរេសរចច 0 0 0(T) : y y f '(x ) (x x )− = −
េដយច(T) / /(d) : y x 1= − នឱឲចច 0f '(x ) 1=
តរចច 2x0 0
0f '(x ) 1 (2x 1)e= + −
េគបនច 2x0
01 (2x 1)e 1+ − = នឱឲចចច 01x2
=
េយច 01 1 1y f ( ) ( 1)(e 1) (e 1)2 2 2
= = − + = − +
េគបនចច 1 1(T) : y (e 1) 1(x )2 2
+ + = − នឱឲច ey x 12
= − − ។
ដេនះចច e(T) : y x 12
= − − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 163
-គសកបចច(c) នតបនា រងច(d),(T) ៖
-កអរេដេន ណ សពឆររត(c) មយអកផមអបងសណសច៖
គគ 2xy (x 1)(e 1) 0= − + = េនះចx 1= ។
-កអរេដេន ណ សពឆររត(c) មយអកផមអរេដេរច៖
គគ x 0= េនះ x 1= ។
0 1
1
x
y
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 164
ជពកទ៥
លចហរងអនវរតន
១-រគនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ 3y 3cos x cos x= − 2/ច 3y sin xcos 3x=
3/ច 4y sin 4xcos x= 4/ច sin xy1 sin x
=+
5/ច cos xy1 cos x
=−
6/ច sin x cos xysin x cos x
−=
+
7/ច 1 tan xy1 tan x−
=+
8/ច 2 31 1y tan x tan x2 3
= +
9/ចy x cot x= − (0/ 4y cot x=
២-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ចx
xe 1ye 1
−=
+ 2/ច 2 xy (x x 1)e−= − +
3/ច x2y e−= 4/ច 3 2xy x e=
5/ច 2 xy (x x)e= − 6/ច2x 2xe ey
2
−−=
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 165
៣-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖
(/ច x ln xyx+
= 2/ច 2ln xyx
=
3/ចy 1 x x ln x= − + 4/ច x 1y lnx 1−
=+
5/ច 2y ln(x 4x 3)= − + 6/ច 2y ln(x x 4)= + +
៤-េគឲរេកចABC មយចរកកណតរតឆតងផរចO តដជមនកច6 cm ។ច
េគដដតច 0BOC 120∠ = ។ច
រកនរង ជមតរបសងរេកេនះេដម ឲរមនករៃផាអរបរម
រ កនរងរកករៃផាអរបរមេនះច
៥-េគមនរេកចABC មយមនជមតច៖
AB 3 cm , AC 4 cm , BC 5 cm= = = ។
M នតចN នណសារេយេជជមតេរៀតស ច[AB] នតច[AC]
តដជចMN 3 cm= កនរងរកករៃផារបសងរណេកចBMNC
េបផជបកអតរង ទតតទតពររបសងរមនរៃមវអរបរមច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 166
៦-េគឲរណេកព យចABCD មយតកតរតងចA នតចD េយេគយកច
M នណមយៃន[AD] ។េគដដតចAB 8 cm , AD 10 cm= =
នតចCD 12 cm= ។
រកនរងរកទរតៃននណចM េដម ឲរេកចMBC មនបរមរ
របផណរច។
៧-េគឲកនវះរតឆតងមយមនវជមរចAB 8cm= េយចP នណមយ
ៃនកនវះរតឆតងេនះច។ច
េគរតចPA x , PB y= = តដជច0 x 8 cm , 0 y 8 cm< < < < ។
កនរងចx នតចy េដម ឲករៃផារេកចPAB មនរៃមវអរបរមច
៨-រេកABCមយតកតរតងA តដជចAB 5 cm= នតAC 12 cm=
យកM នណមយៃនជមតច[AC] តដជចAM x= ។ច
រមចM េគសតង រណេកតកតចMNPA ចរកកណតរេកេនះច
កនរងចx េដម ឲរណេកMNPA មនករៃផាអរបរមរ កនរង
រកករៃផាអរបរមេនះច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 167
៩-េគឲរេកចABC មយមនជមតច
AB 51 cm , AC 52 cm , BC 53 cm= = = ។
M នណមយៃនជមតច[AB] ។ច
រមចM េគគសបនា រងច(MN) សបនដតជមតច[BC] េយករង ជមតច
[AC] រតងចN ។ចK នតចL េជតៃនេលជតកតនណចM
នតN េរៀតស េជជមតច[BC] ។យកAM x= តដជច0 x 51 cm< <
កនរងរៃមវចx េដម ឲរណេកចKMNL មនករៃផាអរបរមច។
១០-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
េគសតងបនា រងច(L) ករងរម
នណចA( 3 , 4 ) ។បនា រងច(L) ករងអកផមច(ox) រតងចP
នតចករងអកផមច(oy) រតងចQ ។ចេគសនរចP( a , 0 )
នតចQ(0 , b ) តដជចa 0 , b 0> > ។
កនរងចa នតចb េដម ឲរេកOPQ មនករៃផាអបបរមច
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 168
១១-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
េគមននណចP(x , y ) មយ
តដជចx 0 , y 0> > ។K នតចL េលជតកតៃននណចP
េជអកផមេរៀតស ច(ox) នតច(oy) ។
ក.កនរងស ណ នណចP េដម ឲបរមររេកចKPL
េសនដតច12cm ។
ខ.សនរងបរមររេកចKPL េសនដតច12cm ។ច
កនរងទរតនណចP េដម ឲរេកKPL មនករៃផាអរបរមច។
១២-េគតងេធឆអតទដកមយសនគរបមតរណេកតកតតដជមនបរ
ខតកណត កេរចេយៃផាខតសរណបតផកខតកណតអតេសនដតច 2108 m
កនរងរកវមររបសងអតទដកេនះេដម ឲរអដកងទដកបនេនបផណរច។
១៣-បេប ជពរមយមនកពសង4 m នតមយេទៀរមនកពសង9m ដកង
បររវ រពស ច10m េដម ឲបេប ជទតពរេយនដតេគបនតតខផ
ជសពរតខផបប បងេទនដតសដតមយេទកពជបេប ជនមយៗច។
េរេគរតវេបះសដតេយរតងលេដម ឲេបតខផជសអសងរ បផណរច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 169
១៤-េកមយមនកពសង 15 cm កសបរច6 cm ។ច
េគសតងសណរតមយចរកកណតេកេនះច។
កនរងកពសងនតកសបរចសណរតេដម ឲរមនមាអរបរមច
១៥-េគឲតសសឆមយមនកច6 cm ។ចេគសតងសណរតមយចរកកណតតសសឆេនះច
កនរងកពសងនតកសបរៃនសណរតេដម ឲរមនមាអរបរមច
១៦-េគករង េរៀកសមយមនមណផរចθ េពរតឆតងមយមនកច
r 12 dm= េយេរៀកសតដជេយសជងពករងចេគបនយក
េទេធឆ េកនមយច។
គនរបឆ សងមណចθ េដម ឲេកនមនមាអរបរមច។
១៧-មនណសផពរនកងសារេយមម យពស ច100 km ររងសេដរកនណO
េជផវវពរតកតស ច។មនណសផទមយររងេពរនណA េដយេជបន
10 km / h េយមនណសផទពរររងេព នណB េដយេជបន
12 km / h ។ចេគដដតចOA 60 km , OB 80 km= = ។
រគនមម យអបបរមៃនមនណសផទតពរនកងច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 170
១៨-រេកចABC មយមនបរមរច15 cm នតមណច 0A 120= ។
រតចx , y , z របឆ សងជមតរបសងរេកេនះច។
រកនរងចx , y , z េដម ឲរេកចABC ។
មនករៃផាអរបរមច។
១៩-បេជពតបយរតកតមយមនវមររតេដយចa , b , c
េយមនមាច 327 cm ។
េបេគបតនាមច1cm េទេជទនណតចa េយច1cm េជទនណតចb
នតច1 cm េជទនណតc េនះេគបនបេជពតបយរតកតមយេទៀរ
មនមាចV ។ច កនរងចa , b , c កជលចV មនរៃមវអបបរមច
២០-េគឲពរននពរចx នតចy េផាតផា រងសមករច 2 2x xy y 12− + =
ររករៃមវអរបរមចនតចអបបរមៃនច 2 2P(x;y) (x 2)(y 2)= − −
២១-បណរសម កងេយេជទកបយច2 km ព នណជរបផណរ
េយេជេេរសមណរច។សរងបនេធឆដេ រេណខ ះេទរកនណចQ
មយេយខតេកមេេរមនមម យច3 km នតច1 km ពមរងសមណទច
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 171
េបសរងអណទកកណតេជបនច2 km / h នតេដរកណតេជបនច4km / h
ររកទរតេយេជេេរតដជសរង រតវេធឆដេ រេណខ ះេទដជងនណចQ
េដយេបេពជអសងរ បផណរច។
២២-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
េគឲេអជបច(E)
មនសមករច 2 2x 4y 1+ = តដជេយេជេនះេគមននណច 0 0 0M ( x , y )
តដជច 0 .0x 0 , y 0> > ។ច
េគគសបនា រងច(L) មយបយះេទនដតេអជបេនះច។
K នតចL នណបសពឆររតបនា រងច(L) មយអកផមេរៀតស ច
(ox) នតច(oy) ។កនរងទរតៃននណច 0M េដម ឲរេកចOKL
មនករៃផាអរបរម។
២៣-េគឲអនណគមន2x x 2f (x)
x− +
= មនតខផេកតរនត(c)
កណតររណយអររនរមយ ជង (O, i , j )→ →
នតច( )∆ បនា រងមនសមករច
y mx 2m 3= − + តដជចm IR∈ បយ មយ តមយ រច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 172
ក.េបចm 1= ររគនកអរេដេននណបសពឆA ររតបនា រងច( )∆
មយតខផេកតច(c) ។
ខ.េបចm 1≠ របបង បនា រងច( )∆ ករងតខផេកត(c) នរតងពរ
នណP នតចQ ។
គ.បបង បនា រងច(AP) នតច(AQ) តកតនដតស នគបងរៃមវចm ។
២៤-េគឲអនណគមន2x 3x 4f (x)
x 1− +
=−
មនតខផេកតរនត(c) កណតររណយអររនរមយ ជង (O, i , j )→ →
ក.ររកសមករបនា រង(T) តដជបយះនដតតខផេកត(c) រតង នណចA
មនអបងសណសចx 2= ។
ខ.េរបនា រងច( )∆ មនេមគណបបងទសចm រតវគសេព នណល
េដម ឲករងតខផេកតច(c) បនពរនណចK នតចL តដជបនា រងបប បងព
នណចK នតចL េទនណA តកតនដតស នេពះគបងរៃមវចm ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 173
២៥-េគឲតខផេកតច(c) មនសមករច2x 5y f (x) 3x
2 2= = − +
េរបនា រងច( )∆ មនេមគណបបងទសចm រតវគសេព នណល
េដម ឲករងតខផេកតច(c) បនពរនណចK នតចL តដជបនា រងបយះច
(c) រតងចK នតចL តកតនដតស នេពះគបងរៃមវចm ។
២៦-េគឲតខផេកត(c) មនសមករច2x (m 1)x 2m 1y
x 2− + + −
=−
តដជចm IR∈ បយ មយ តមយ រច។
បបង តខផេកតច(c) មនកពជពរ នតដជមនមម យពស េថរ
េពះគបងចm ។
២៧-េគឲតខផេកតច m(c ) រតអនណគមនច2x 2(m 1)x 5m 1f (x)
x m− + + −
=−
ក.រកជកមខម សមបងចm េដម ឲតខផេកតច m(c ) មនអសណមររពរ
តដជរតវកនរងច។
ខ.រតចI នណបសពឆររតអសណមររទតពរច។ច
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 174
រកស ណ នណចI កជលចm តបបរជ។
គ.បបង មនតខផេកតពរៃនគររតខផេកតច m(c ) តដជបយះនដត
អកផមអបងសណសច។
២៨-េគឲអនណគមនចn
2k k
k 1f (b) (y ax b )
=
= − − ∑ ។
រយអនណគមនចf (b) មនរៃមវអបបរមជណះរតរេគមន
ទនកងទនតចy a x b= + តដជច
n
kk 1
(x )x
n==∑
នតច
n
kk 1
(y )y
n==∑
។
២៩-េគឲអនណគមនច sin x 2cos x 3f (x)3cos x 2+ +
=+
។ច
ររករៃមវអរបរមចនតចអបរមៃនអនណគមនេនះច។
៣០-េគឲអនណគមនច2x (m 1)x 2m 1y f (x)
x 2+ + + −
= =+
រកនរងរៃមវរបសងចm េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវអរបរមេសចα
នតចមនរៃមវអបបរមេសចβ តដជច 2 2 10α + β = ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 175
៣២-េគឲអនណគមនច2x mx 3y f (x)
x 2− +
= =−
រកនរងរៃមវរបសងចm េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវអរបរមេសចα
នតចមនរៃមវអបបរមេសចβ តដជច| | 4α −β = ។
៣៣-េគមនអនណគមនច2
2ax bx 4y f (x)
x 1+ +
= =+
កនរង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf (x) មននណបរម
តរមយគរងចនតចមនបនា រងចy 2= អសណររឈរច។
៣៤-េគឲអនណគមនច2
2x x 1y f (x)
x 3x 3− +
= =− +
េដយមនេបេដរេវរកនរងរករៃមវអរបរមនតអបបរមៃនអនណគមន
៣៥-េគឲអនណគមនច2
2x ax by f (x)
x 1+ +
= =+
ររកជកមខម ៃនចa នតចb េដម ឲតខផេកតច(c) រតអនណគមនចf (x)
ករងអកផមអបងសណសបនពរនណតដជបនា រងបយររតងពរនណេនះ
តកតនដតស ច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 176
៣៦-េគឲអនណគមនច3 2 2 3
2x 3mx 3(m 1)x m 2f (x)
x 1− + − − +
=+
កនរងរៃមវចm េដម ឲតខផេកតច(c) រតអនណគមនចf (x)
ករងអកផមអបងសណសបនប នណេផផតស តដជមនអបងសណសវជបមនច។
៣៧-េគឲអនណគមនច2ax bx cf (x)x d+ +
=+
រកនរងបនននពរចa , b , c , d េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវ
អបបរមចf (3) 3= នតមនបនា រងចy x 1= − អសណមររេទរច។
៣៨-េគឲអនណគមនច2
2ax bx 2f (x)x 2x 4
+ +=
+ + កនរងចa ,b , c េដម ឲចf (x)
អនណគមនេថរច។
៣៩-េគឲអនណគមនច2x 2f (x)x+
= មនតខផេកតច(c) នតបនា រងច
(d) : y mx 2 3= + តដជចm បយ មយ តមយ រ។
ក-កនរងរ យតងរបស m េដម ឲ (d) ករងច(c) បនពរនណA នតចB ។
ខ-កនរងរៃមវm េដម ឲបនា រងបយះ(c) រតង នណA នតចB តកតនដតស ច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 177
៤០-េគឲតខផេកតច 2(c) : y x 2x 3= − + នតនណចA( 6 , 1 ) ។
ររកនណទតអសងេយេជតខផេកតច(c) តដជមនបយខវបផណរេទ
នណចA ។
៤១-េគឲអនណគមនច 24 2f (x)x
= មនតខផេកតច(c) ។
រសរេសរសមកររតឆតងផរចO តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) ខតេជច
៤២-េគឲតខផេកតច 2(c) : y x= នតបនា រងច(d) : 4x y 21 0− − =
កនរងរកកអរេដេនៃននណទតអសងេយេជតខផេកត(c) តដជមន
បយខវបផណរេទបនា រងច(d) ។
៤៣-េគឲតខផេកតច2x 3x 1(c) : y
x 1− +
=−
នតបនា រងច(d) : y ax b= +
កនរងចa នតចb េដម ឲបនា រងច(d) ករងតខផេកតច(c) បនពរនណចA
នតចB េវណះស េធៀបេទនដតបនា រងពណះទមយៃនអកផមកអរេដេនច។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 178
៤៤-េគឲអនណគមនច2x x 2f (x)
x− −
= មនតខផេកតច(c) ។
A នតចB នណពរេយេជ (c) មនអបងសណសេរៀតស ច12
នតច2
រកនណទតអសងេយេជតខផេកតច(c) តដជបនា រងបយះររតង នណទត
េនះសបនដតបនា រង(AB) ។
៤៥-េគឲអនណគមនច2x 1f (x)x−
= មនតខផេកតច(c) េយចA នតចB
នណពរមនអបងសណសេរៀតស ចa នតចb តដជច0 a b< < សារេយ
េជតខផកតេនះ។ រយមនននពរចc នសារេយេនវ ះ
ននចa នតចb តដជេផតផា រងសមបព f (b) f (a) f '(c) (b a)− = − ។
៤៦-េគឲតខផេកតច 2y x 2x 2= + + េយចA នតចB នណពរមន
អបងសណសេរៀតស ចa នតចb សារេយេជតខផកតេនះ។
រប កយរមតបបធរមរច៖
a bf (b) f (a) (b a).f '( )2+
− = − ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 179
៤៧-រយបយប កងចx a
af (x) x f (a)lim af '(a) f (a)x a→
−= −
− ។
៤៨-រយច2 2
h 0
f (x h) f (x h)lim 4f '(x)f (x)h→
+ − −= ។
៤៩-រយច 2x 0
f (x 2 x) 2f (x x) f (x)f ''(x) lim( x)∆ →
+ ∆ − + ∆ +=
∆ ។
៥០-េគឲអនណគមនច ax bxf (x) e e= + តដជចa , b IR∈ ។
រកនរងរៃមវចa នតចb េដម ឲចf ''(x) f '(x) 2f (x)+ = េពះគបងចx
៥១-េគឲអនណគមនច 2x 3xf (x) e e= + ។
បបង ចf ''(x) 5f '(x) 6f (x) 0− + = េពះគបងចx ។
៥២-េគឲអនណគមនច xf (x) (sin 2x cos 2x)e= + ។
បបង ចf ''(x) 2f '(x) 5f (x) 0− + = េពះគបងចx ។
៥៣-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖
f '(0) f (0) 1= = នតច 22
1 2f ''(x) f '(x) 6x 4x2x 1 (2x 1)
− = −− −
៥៤-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖
f (0) 2= នតច 2 2f '(x)f (x) x 4x 1= − +
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 180
៥៥-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖
f (1) 4= នតច 2 3 22x f (x) (x 1) f '(x) 4x 3x 2x 1+ + = + + +
៥៦-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖
f (1) 2= នតច 2xf '(x) 2f (x) 4x 9x+ = +
៥៧-េគឲអនណគមនចf កនរង បងចនតចមនេដរេវេជចIR
តដជេពះគបង x ,y IR∈ េគមនចចf (x y) f (x)f (y)+ =
នតចf '(0) 4= ។រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។
៥៨-រកនរងរកអនណគមនចf មនេដរេវេជចIR េបេគដដត
x IR , y IR∀ ∈ ∈ េគមនច x yf f (x)f (y)2+ =
។
៥៩-េគឲអនណគមនច 3 2f (x) x 6x 12x= − + កនរងេជចIR
ក-រកនរងរកអនណគមនច 1f − អនណគមន ចសងៃនអនណគមនចf
ខ-រគនេដរេវៃនអនណគមនចf (x) នតចច 1f (x)− ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 181
៦០-េគមនអនណគមនចf កនរងនតមនេដរេវេជចIR តដជេពះ
គបងចx IR∈ េគមនទនកងទនតចf '(x) 2xf (x)= េយចf (0) 1= ។
រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។
៦១-េគឲអនណគមនចf នតចg មនេដរេវេជចIR តដជេពះគបងច
x IR∈ េគមនទនកងទនតច 2 2f '(x) f (x) g'(x)g (x)= ។
ររកទនកងទនតររតចf នតចg ។
៦២-េគឲអនណគមនចf កនរងេជចIR េដយច 2f (x) x 1 x= + +
ក-បបង ចf មនេដរេវេជចIR នតច 22 1 x .f '(x) f (x)+ =
ខ-ទបយប កងេដរេវចf '' េផាតផា រងទនកងទនតច
24(1 x )f ''(x) 4xf '(x) f (x)+ + = ។
៦៣-េគឲអនណគមនចf : x x 2→ + កនរងេជច[ 2, )− + ∞ ។
េដយអនណវរងនវសមបពកេននមនកនរងេទនដតអនណគមនចf
េជេនវ ះ[ ]1 , 2− របបង ច1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2
+ ≤ + ≤ + ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 182
៦៤-េគឲអនណគមនចf កនរងេជច[ ]0 , 2 េដយច 21f (x)
x x 1=
+ +
ក/សកទសេដអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
ខ/បបង េពះគបងច [ ] 21 1x 0 , 2 : 17 x x 1
∈ ≤ ≤+ +
។
គ/េគឲចg នតចh ពរអនណគមនកនរងេជច[ ]0 , 2 េដយច៖
1 2g(x) f (x) x3 3
= − − +
នតច3h(x) f (x) x 17
= − − +
។
រសកសយ ៃនចg នតចh ។
ឃ/ទបយប កងេពះគបងច៖
[ ] 1 2 3x 0,2 : x f (x) x 13 3 7
∈ − + ≤ ≤ − +
៦៥-បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b2π
≤ < <
េគបនច 2 2b a b atanb tanacos a cos b− −
≤ − ≤
រ ទរករៃមវអមៃនចtan(0,6) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 183
៦៦-បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b< ≤ េគបន
b a b b aln( )
b a a− −
≤ ≤ រ ទរករៃមវអមៃនចln(11) ។
( េគឲចច ln10 2.30= ន
៦៧-ក/រយច1 1n IN : ln(n 1) ln(n)
n 1 n∀ ∈ ≤ + − ≤
+ ។
ខ/េគរតច n1 1 1U 1 .............2 3 n
= + + + + ។ច
ររកកេនមអមៃនច nU រ ទច nnlim U→+∞
= +∞ ។
៦៨-ក/េពះគបងចk IN∈ រយ៖
1 1k 1 k2 1 k 2 k
≤ + − ≤+
ខ/រកកេនមអមៃនច n1 1 1 1S (1 .... )n 2 3 n
= + + + +
រ ទរកជមរៃនច nS កជលចn → +∞ ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 184
៦៩-ក/បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b2π
≤ < ≤
េគបនច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ − ។
ខ/រកកេនមអមៃនច៖
n1 2 nS cos cos ..... cosn 2n 1 2n 1 2n 1
π π π = + + + + + +
រ ទរកជមរៃនច nS កជលចn → +∞ ។
៧០-េគឱឲអនណគមនច2x x 2y f (x)2(x 3)− −
= =−
មនកបរនតច )c( ។
ក. ររកចx 3 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →− +
នតចxlim f (x)→∞
រ ទបយប កង
សមករអសណមររឈរៃនកបច(c) ។
ខ. ររកបននពរចa ,b នតចc េដមឱឲចcf (x) ax b
2(x 3)= + +
−
េពះគបងចx 3≠ ។
ទរកសមករអសណមររេទរៃនកបច(c) : y f (x)= ។
គ. ររកេដរេវចy' f '(x)= ។ចរគសរមតអេថរបពៃនf ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 185
ឃ. រយបយប កងនណច 5(3 , )2
Ω ផរបតមវតេវណះៃនកប(c)
ត. កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= ករងអកផមអបងសណសច(x'0x)
រតងពរនណចA នតចB ។ច
រសរេសរសមករបនា រង 1(T ) នត 2(T ) តដជបយះនដតតខផេកត(c)
រតង នណចA នតចB ។
. រគនរៃមវចf ( 2) ,f (4)− នតចf (6) ។
រគសកបច(c) កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
។
៧១-េគមនអនណគមនច 24x 4y f (x)
x 2x 3−
= =− −
មនកបរនតច(c) ។
ក. ររកជមរចx 1 x 1 x 3 x 3
lim f (x) , lim f (x) , lim f (x), lim f (x)→− →− → →− + − +
នតចxlim f (x)→∞
រ ទបយប កងសមករអសណមររៃនកបច(c) ។
ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចy f (x)= ។
គ. តខផេកតច(c) ករងអកផមអបងសណសច(x'0x) រតង នណចI ។
របបង ចI ផរេវណះៃនកបច(c) ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 186
រសរេសរសមករបនា រងច(T) តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) រតង
នណរបរងចI ។
ឃ. រសតង កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= នតចបនា រងច(T)
កណតររណយអររនរមយ ជងចច។
ត. េដយេបតខផេកតច(c) រពបករមរៃមវចm នវអរាបពៃន
ឬសរបសងសមករច
2(E) : mx 2(m 2)x 3m 4 0− + − + = ។ច( m បយ មយ តមយ រចនច។
៧២-េគឱឲអនណគមនច2
2x 4xy f (x)
x 4x 3+
= =+ +
មនកបរនតច(c) ។
ក. ររកជមរចx 3 x 1lim f (x) , lim f (x)→− →−
នតចxlim f (x)→∞
រ ទ
បយប កងសមករអសណមររៃនកបច(c) ។
ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចy f (x)= ។
គ. របបង បនា រងសមករចx 2= − អកផមេវណះៃនកប(c) ។ចចចចចចចច
ឃ. សតង កបច(c) រនតចy f (x)= កណតររណយអររនរមយ ជង (0, i , j )→ →
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 187
៧៣-េគឱឲអនណគមនច2
2x 4x 4y f (x)
x+ −
= = ។
ក. គនជមរចx 0lim f (x)→
នតចxlim f (x)→∞
រ ទបយប កងសមករ
អសណមររៃនកបច(c) រនតចf ។
ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
គ. របបង តខផេកតច(c) មននណរបរងចI មយតដជេគនដត
បយប កងកអរេដេនច។
ឃ.រសរេសរសមករបនា រងច(T) តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) រតង
នណរបរងចI ។
ត. រសតង កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= នតចបនា រងច(T)
កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
។
៧៤-េគឱឲអនណគមនច2
22x 5x 4y f (x)x 3x 3
− += =
− + មនកបរនតច(c) ។
ក. របបង អនណគមនចf (x) កនរង ន េជចIR ។
គនចxlim f (x)→∞
រ បយប កងសមករអសណមររេដកៃនកបច(c)
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 188
ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
គ. សតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជង (0, i , j )→ →
ឃ.េដយេបតខផេកតច(c) រពបករមរៃមវចm នវអរាបពៃន
ឬសរបសងសមករ 2(E) : (m 2)x (3m 5)x 3m 4 0− − − + − = ។ច
( m បយ មយ តមយ រចនច។
៧៥-េគឱឲអនណគមនច2
22(x 2)y f (x)
x 4x 3−
= =− +
មនកបរនតច(c) ។
ក. ររកជមរចx 1 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →
នតចxlim f (x)→∞
រ ទបយប កង
សមករអសណមររៃនកបច(c) ។
ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf
គ. របបង បនា រងមនសមករចx 2= អកផមេវណះៃនកបច(c)
ឃ. រសតង កបច(c) រនតf ររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 189
៧៦-េគឱឲអនណគមនច3 2
2x 6x 9x 4y f (x)
x 6x 9− + −
= =− +
មនកបរនតច(c) ។
ក. ររកជមរចx 3lim f (x)→
នតចxlim f (x)→±∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររឈរៃនកបច(c) ។
ខ. យបនា រងពណះទ១ចៃនអកផមកអរេដេន អសណមររេទរៃន
កបច(c) ។
គ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
ឃ. េផាតផា រងនណចA(4 ,0) នណសារេយេជកបច(c)
រ រកសមករៃនបនា រងបយះតខផេកតច(c) រតងចA ។
ត. សតង កបច(c) រនតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 190
៧៧- េគមនអនណគមនច 24y f (x) x 1
(x 2)= = − − +
−
មនកបរនតច(c) ។
ក. ររកជមរចx 3lim f (x)→
នតចxlim f (x)→±∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររឈរៃនកបច(c) ។
ខ. កនរងរកសមករអសណមររេទរមយរបសងកបច(c) ។
គ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
ឃ. សតង កបច(c) រនតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជងច )j,i,0(→→
៧៨-េគេអយអនណគមនចច ( ) ( ) xy f x 1 x .e 1= = − − កនរងេជចIR ។
ក-គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។ច
ទបយប កងសយ ៃនអនណគមនច ( )f x ។
ខ-រត g អនណគមនកនរងេជចIR េដយច ( ) ( ) xg x 2 x .e 2 x= − + − ។
រគនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
។
គ-គនេដរេវច ( )g' x រ កនរងសយ ៃនច ( )g' x ។ច
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 191
គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនច ( )g x ។
ឃ-បបង បនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C
រតចf កជលចx → −∞ ។ច
របយប កងទរតេធៀបររតបនា រងច( )d មយតខផេកតច( )C ។
ត-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតច( )C េយសបនដតបនា រងច( )d ។
-កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។
េ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
។
៧៩-េគេអយអនណគមន ( ) ( ) 2xy f x 1 x .e= = − កនរងេជចIR ។
ក-រគនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររៃនកបច( )C រតច ( )f x ។
ខ- គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។
គ- កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។
ឃ-រសរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C រតង នណចI ។
ត- រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 192
៨០-េគេអយអនណគមនច ( ) ( ) ( )2xy f x 1 x e 1= = − + កនរងេជចIR ។
ក-គនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
។
ខ-គនេដរេវច ( )f ' x នតច ( )f '' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f ' x ។
គ-កនរងសយ ៃនច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។
ឃ-បបង បនា រងច( )d : y 1 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C
រតច ( )y f x= កជលចx → −∞ ។
របយប កងទរតេធៀបររតបនា រងច( )d មយតខផេកតច( )C ។
ត-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកត( )C េយសបនដតបនា រង( )d ។
-កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។
េ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
។ច
៨១-េគេអយអនណគមន ( ) x1y f x x 1 .e2
= = −
កនរងេជចIR ។
ក-រគនជមរច ( )xlim g x→−∞
នតច ( )xlim g x→+∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររៃនកបច( )C រតច ( )f x ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 193
ខ- គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។
គ- កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។
ឃ-សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកត( )C រតង នណចI ។
ត- រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
៨២-េគេអយអនណគមន ( ) x ln xy f xx+
= = កនរងេជច(0 , )+ ∞ ។
ក-គនជមរច ( )x 0lim f x→ +
នតច ( )xlim f x→+∞
រ បយប កងសមករអសណម
ររៃនកប( )C រតច ( )f x ។
ខ- គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។
គ-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដត( )C រតង នណចA មនអបងសណសx 1= ។
ឃ-រកសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
។
៨៣-េគេអយអនណគមនចច ( )f x x 1 x.ln x= − + + កនរងេជច(0 , )+ ∞ ។
ក-គនជមរច ( )x 0lim f x→ +
នតច ( )xlim f x→+∞
។
ខ- គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 194
គ-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដត( )C រតង នណចA មនអបងសណសចx 1=
ឃ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j
។
៨៤-េគេអយអនណគមនចf កនរងេជចIR េដយចច ( ) 2x2x 2f x
e+
= ។
ក/គនជមរច ( )xlim f x→−∞
នតច ( )xlim f x→+∞
រ បយប កងសមករ
អសណមររៃនកបច។
ខ/គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។
គ/គនេដរេវច ( )f '' x រ សកសយ ៃនច ( )f '' x ។
កនរងកអរេដេននណរបរងចI ៃនតខផេកតច( )C ។
ឃ/សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C រតង នណចI ។
ត/រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអរររមយ ជងច( )O, i , j
េដរេវៃនអនគមន
Prepared by LIM PHALKUN Page 195
ឯណេេត
១-ាសៀាគណត ទយោ កាទ១២ (កេ តមលដា នន េបសា
កសស ងបាេ យយវន នក (ា(េាយមព ោ ២០១១ន
២-ាសៀាគណត ទយោ កាទ១២ (កេ តខ ពសាន េបសា
កសស ងបាេ យយវន នក (ា(េាយមព ោ ២០១១ន
៣-Calculus single variable
Top Related