f '(x) lim ∆→ x x0 - mathtoday.files.wordpress.com · ii . អ មមកក សួស...

x 0

f (x x) f (x)f '(x) limx∆ →

+ ∆ −=

∆

i

គណះកមករនរនរន រៀ រ

លមផលររនែសរនសនដ

គណះកមកររនរនៀ យបក ស

លក យ ង ា

លកលម រ

លកអសណ

គណះកមកររនរនអកយអកន

លកលមមនគសន

ក ន ក ទ

លកអសណរនលមផលរ

ii

អមមកក

សសមត អកសកសោាសសឡាស រាបា

េសៀវេា ដ ា កៃរអរគមរកា កងា១២ែដលេលកអកកក ព ែតតរស រេរនា

ខ ពកបោបរេនៀាៀកេឡើសរាសោពកសឯកសនសរាសអកសកែដលររា

ាកណៀសយលសដ អកេមេនៀរេរនឲតរសនតៀតសសលសស ា

ាេកព េសៀវេេរនាេយើខ ពកបរសេងាេមេនៀរាអមសមយយឧនណហ រកនគាា

ែដលៀឲអកសកកយយលសារា ាសៀឆកាេឧើយមយ ក ររលក តសា

អរពវតរហសរាសអកសកឧកតសេហនាសយេហយខ សរឯា

ា េយើខ ពកសមមាេសៀវេមយកតលេរនារៀៀគលនមល សរគវា

រករតារាវ ធសាសថកពតនេហនាសយលក តសេលើនកេដន េវៃរអរពរមរហា

ាៀកេពនេលកអកសកសពកជរេឡើយាា

ា សោាប ាសខ ពកបោសគមគរនៀកេពនេលកអកាសគមររសពខាលា

ររសជសសៃវារាោោលបរេសរ នយកព រាសានកៀាា

ា

ា

បាត ដបងៃថទ០៥ កកដ ឆា ដ២០១២

អាកនពន នប រសវស

លមផលរ Tel :017 768 246 Email: [email protected] Website: www.mathtoday.wordpress.com

mailto:[email protected]

http://www.mathtoday.wordpress.com/

iii

មនក ឿ

ដពរ

ជកា១

េដន េវៃរអរពរមរហ ០01

១-េរ ទេសងនអនគមន ាបតចដណចមយ ០01

២-េរ ទេសងនអនគមន ណា កត 005

៣-េរ ទេសងនអនគមន ាទេេណា 006

៤-េរ ទេសងនអនគមនអចសបណបត សស 011

៥-េរ ទេសងនអនគមនេលេរ ទាេនព 013

៦-េរ ទេស ដដត ខសត 016

៧-េរ ទេសងនអនគមនអដពពទសទា 019

ជកា២

តនអរពវតរហេដន េវៃរអរពរមរហ 021

១-េរអនសាានកាបេរគណណាងមពរ 021

iv

២-េបន នប សដងនចណ 022

៣-ឌទេផរ បបត សស 024

៤-សសមភពកដេណណ ននកដណាត 025

៥-ទសាទរ ប 030

៦-ទសាទាងមពមមសម 033

៧-អនសាានកាបេស កច 035

ជកា៣

ា អេនាារាតាៃរអរពរមរហ 037

១-សកអនគមនសននន 037

ក/សកអនគមន 2ax bx cypx q+ +

=+

037

/សកអនគមន 2

2ax bx cypx qx r

+ +=

+ + 056

២-សកអនគមនអសននន 081

ក/សកអនគមន y ax b= + 081

/សកអនគមន 2y ax bx c= + + 086

៣-សកអនគមនអចសបណបត សស 096

៤-សកអនគមនេលេរ ទាេនព 107

v

ជកា៤

លហងមរដ ណះរា 112

ជកា៥

លហងអរកតរ 164

ឯកា េ 195

េដរេវៃនអនគមន

Prepared by LIM PHALKUN Page 1

ជពកទ១


១-េដរេវៃនអនគមនរតងច មម

ក/នយមនយ ៖

េដរេវរតង ណ ច 0x ៃនអនណគមនចy f (x)= (េបមននច ជមរៃន

ផជេធៀបកេ នចyx

∆∆

កជលច x∆ ខរេទជរច0 ។

េគក រងសរេសរច៖

0 0 00 x 0 x x h 000

f (x) f (x ) f (x h) f (x )yf '(x ) lim lim limx x x h∆ → → →

− + −∆= = =

∆ −

ឧទរ រកេដរេវរតងច 0x 2= ៃនអនណគមនច 3y x=

េគបនច3

h 0 h 0

f (2 h) f (2) (2 h) 8f '(2) lim limh h→ →

+ − + −= =

2

h 02

h 0

(2 h 2)[(2 h) 2(2 h) 4]limh

lim(h 6h 12) 12→

→

+ − + + + +=

= + + =



ខ/ភាពនានេ ដា ៖

អនណគមនចf មនេដរេវរតង ណ ច 0x x= ជណះរតរច៖

-អនណគមនចf បង រតង ណ ច 0x x=

-េដរេវខតេេឆតចនតចេដរេវខតង េសស គគចចច 0 0f ' (x ) f ' (x )− +=

តដជច 0 00

h 0

f (x h) f (x )f ' (x ) limh−

→ −

+ −=

នតចច 0 00

h 0

f (x h) f (x )f ' (x ) limh+

→ +

+ −= ។

ឧទរចេគមនអនណគមនច2x px q x 1

f (x)3x 4 x 1

+ + ≤= + >

ebI

ebI

ករងពរននពរចp នតq េដម ឲចf មនេដរេវរតងចx 1= ។

េគរតវឲចf បង រតងចx 1= គគចx 1 x 1lim f (x) lim f (x)→ →− +

=

េគបនច 2

x 1 x 1lim (x px q) lim (3x 4)→ →− +

+ + = +

1 p q 7+ + = ឬចចq 6 p (1)= −

នតេគរតវឲចf ' (1) f ' (1)− += ។



េគមនចh 0

f (1 h) f (1)f ' (1) limh−

→ −

+ −=

2

h 02

h 02

h 0

h 0

(1 h) p(1 h) q (1 p q)limh

1 2h h p ph q 1 p qlimh

h (2 p)hlimh

lim (h 2 p) 2 p

→

→

→

→

−

−

−

−

+ + + + − + +=

+ + + + + − − −=

+ +=

= + + = +

េយចចh 0

f (1 h) f (1)f ' (1) limh+

→ +

+ −=

h 0

h 0

3(h 1) 4 (3 4)limh

3hlim 3h

→

→

+

+

+ + − +=

= =

េរណេនះច2 p 3+ = េនះចចp 1=

េយរម((នចេគបនចq 6 1 5= − = ។

ដេនះចp 1 , q 5= = ។



លចហរងអនវរតន

១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 3 2f (x) x x 1= − +

េដយេបនយមនមយរគនចf '(0) , f '( 1)− នតចf '(1) ។

២-េគមនអនណគមនf ករងេដយច៖

2

2

x ax 2 x 1f (x)

bx 4x 1 x 1

+ + ≤= + + >

ebI

ebI

ករង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf មនេដរេវរតងx 1= ។

៣-េគមនអនណគមនf ករងេដយច៖

asin x b cos x 1 x

2f (x)b sin x acos x 3 x

2

π + + ≤= π − + >

ebI

ebI

ករង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf មនេដរេវរតងx

2π

= ។

៤-េគមនអនណគមនf ករងេដយ f (x) sin x cos x 1= − + ។

េដយេបនយមនមយគនចf '( )4π

− នតចf '( )4π ។



២-េដរេវៃនអនគមនបណត ង

េបចy f (u)= នតចu g(x)= េនះេគបនច៖

dy dy duy 'dx du dx

= = × ឬចចចច [ ]d f u(x) f '(u) u'(x)dx

= × ។

សមយបយប កង ៖

រតច [ ]F(x) f g(x)= េដយេបបពមនេដរេវរតងច 0x x=

េគរតវបបង ច [ ]0 0 0F '(x ) f ' g(x ) g '(x )= × ។

រមនយមនមយេគបនច៖

00 x x 00

F(x) F(x )F '(x ) limx x→

−=

−

[ ] [ ]

[ ] [ ]

[ ]

[ ]

0x x 0

0 0x x 0 0

0 0x x x x0 0

0 0

0

0

0 0

f g(x) f g(x )lim

x x

f g(x) f g(x ) g(x) g(x )limg(x) g(x ) x x

f g(x) g(x ) g(x) g(x )lim limg(x) g(x ) x x

f ' g(x ) g '(x )

→

→

→ →

−=

−

− −= ×

− −

− −= ×

− −

= ×

ដេនះចចច [ ]0 0 0F '(x ) f ' g(x ) g '(x )= × ។



ឧទរចគនេដរេវៃនអនណគមនច3x 1y

x 1− = +

រតច x 1ux 1−

=+

េនះច 3y u=

េគបនច 2 2du (x 1)'(x 1) (x 1)'(x 1) 2dx (x 1) (x 1)

− + − + −= =

+ +

េយច 2dy 3udu

= ។ចរមរបមនងច dy dy duy 'dx du dx

= = ×

េគបនច2

22 4

dy 2 6(x 1)y ' 3u .dx (x 1) (x 1)

−= = =

+ + ។

៣-េដរេវៃនអនគមនរេេរ

/េដរេវៃនអនគមនសនស នត សនស

េបចy sin x= េនះចចy ' cos x=

េបចy cos x= េនះចចy ' sin x= −

េបចy sin u= េនះចy ' u'cosu=

េបចy cosu= េនះចy ' u'sin u= −

តដជចu u(x)= ។




រតចf (x) sin x=

េគបនចh 0

f (x h) f (x)f '(x) limh→

+ −=

h 0

h 0

h 0 h 0

sin(x h) sin xlimh

h h2sin cos(x )2 2lim

hhsin h2lim lim cos(x )h 2

21 cos x cos x

→

→

→ →

+ −=

+=

= × +

= × =

ដេនះចf (x) sin x= េនះចf '(x) cos x= ។

មយតេទៀរចចy sin u sin u(x)= =

េគបនច dy dy duy ' cosu u' u'cosudx du dx

= = × = × = ។

ដេនះចy sin u= េនះចy ' u'cosu= ។

(ចេពះេដរេវអនណគមនកសណនសចេគយដខតេជតដរចនច។



ខ/េដរេវៃនអនគមនរតងសតង នត រតងសតង

េបចy tan x= េនះចច 22

1y ' 1 tan xcos x

= = +

េបចy cot x= េនះចច 22

1y ' (1 cot x)sin x

= − = − +

េបចy tan u= េនះច 22

u 'y ' u'(1 tan u)cos u

= = +

េបចy cot u= េនះច 22

u 'y ' u'(1 cot u)sin u

= − = − +


េគមនច sin xy tan xcos x

= = េនះេគបនច៖

2

2 2

2

22

(sin x)'cos x (cos x)'sin xy 'cos x

cos x sin xcos x

1 1 tan xcos x

−=

+=

= = +

ដេនះេបចy tan x= េនះច 22

1y ' 1 tan xcos x

= = + ។



េគមនច cos xy cot xsin x

= = េនះេគបនច៖

2

2 2

2

22

(cos x)'sin x (sin x)'cos xy 'sin x

sin x cos xsin x1 (1 cot x)

sin x

−=

− −=

= − = − +

ឧទរ រកេដរេវៃនអនណគមនច sin xy1 cos x

=+

េគបនច 2(sin x)'(1 cos x) (1 cos x)'sin xy '

(1 cos x)+ − +

=+

2

2

2 2

2

2

cos x(1 cos x) sin x(1 cos x)

cos x cos x sin x(1 cos x)

cos x 1 11 cos x(1 cos x)

+ +=

+

+ +=

++

= =++

ដេនះច 1y '1 cos x

=+

។




រគនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ 3y 3cos x cos x= − 2/ច 3y sin xcos 3x=

3/ច 4y sin 4xcos x= 4/ច sin xy1 sin x

=+

5/ច cos xy1 cos x

=−

6/ច sin x cos xysin x cos x

−=

+

7/ច 1 tan xy1 tan x−

=+

8/ច 2 31 1y tan x tan x2 3

= +

9/ចy x cot x= − (0/ 4y cot x=



៤-េដរេវៃនអនគមនអស ប តងសសល

េបច xy e= េនះចច xy ' e=

េបច xy a= េនះចច xy ' a ln a , a 0 ,a 1= > ≠

េបច uy e= េនះច uy ' u'e=

េបច uy a= េនះច uy ' u'.a ln a=


រតច xf (x) e= េនះរមនយមនមយេគបនច៖

x h x

h 0 h 0

f (x h) f (x) e ef '(x) lim limh h

+

→ →

+ − −= =

h

x x

h 0

e 1lim .e eh→

−= = េពះច

h

h 0

e 1lim 1h→

−= ។

ដេនះចចេបច xy e= េនះចច xy ' e= ។

មយតេទៀរេយតរតច x lna xlnaxg(x) a e e= = =

េគបនច xlna xlna xg '(x) (x ln a)' .e ln a .e a ln a= = =

ដេនះចេបច xy a= េនះចច xy ' a ln a , a 0 ,a 1= > ≠ ។



ឧទរ១ចចគនេដរេវៃនអនណគមនចx x

x xe eye e

−

−−

=+

េគបនចx x x x x x x x

x x 2(e e )'(e e ) (e e )'(e e )y '

(e e )

− − − −

−− + − + −

=+

x x 2 x x 2

x x 2

2x 2x 2x 2x

x x 2

x x 2

(e e ) (e e )(e e )

e 2 e e 2 e(e e )

4(e e )

− −

−

− −

−

−

+ − −=

+

+ + − + −=

+

=+

ដេនះច x x 24y '

(e e )−=+

។

ឧទរ២ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 3sin x sin x3y e −=

េគបនច 3 3sin x sin x3y ' (3sin x sin x)'e −= −

2 3sin x sin x

2 3sin x sin x

3 3sin x sin x

3

3

3

(3cos x 3cos xsin x)e

3cos x(1 sin x)e

3cos xe

−

−

−

= −

= −

=



៥-េដរេវៃនអនមនេលេររេនន

េបចy ln x= េនះចច 1y 'x

=

េបចy ln(ax b)= + េនះចច ay 'ax b

=+

េបចy ln u= េនះច u'y 'u

=


រតចf (x) ln x= េនះចf (x h) ln(x h)+ = +

រមនយមនមយចh 0

f (x h) f (x)f '(x) limh→

+ −=

h 0

h 0

h 0

ln(x h) ln xlimh

x hln( )xlim

hhln(1 ) 1 1xlim h x x

x

→

→

→

+ −=

+

=

+= × =

ដេនះេបចចf (x) ln x= េនះចច 1f '(x)x

= ។



ឧទរ១ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 1 ln xy1 ln x−

=+

េគបនច 2(1 ln x)'(1 ln x) (1 ln x)'(1 ln x)y '

(1 ln x)− + − + −

=−

2 2

1 1(1 ln x) (1 ln x) 2x x(1 ln x) x(1 ln x)

− + − −= = −

+ +

ដេនះច 22y '

x(1 ln x)= −

+ ។

ឧទរ២ចគនេដរេវៃនអនណគមនច 2y ln(x 1 x )= + +

េគបនច2

2

(x 1 x )'y 'x 1 x

+ +=

+ +

2

2 2

2 2

2

2 2 2

(1 x )' 2x1 12 1 x 2 1 x

x 1 x x 1 x

1 x x 1

(x 1 x ) 1 x 1 x

++ +

+ += =+ + + +

+ += =

+ + + +

ដេនះច2

1y '1 x

=+

។




គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ចx

xe 1ye 1

−=

+ 2/ច 2 xy (x x 1)e−= − +

3/ច x2y e−= 4/ច 3 2xy x e=

5/ច 2 xy (x x)e= − 6/ច2x 2xe ey

2

−−=

៣-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ច x ln xyx+

= 2/ច 2ln xyx

=

3/ចy 1 x x ln x= − + 4/ច x 1y lnx 1−

=+

5/ច 2y ln(x 4x 3)= − + 6/ច 2y ln(x x 4)= + +



៦-េដរេវលចដបងខខសង

ក/េដរេវទ2ៃនអនណគមន

េដរេវទពរៃនអនណគមនចy f (x)= ករងរតេដយចy '' f ''(x)=

ឬករងរតេដយចច2

2d y f ''(x)dx

= ។

ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចy ln x= ។ចគនច2

2d ydx

?

េគមនចdy 1y ' (ln x)'dx x

= = =

េយច2

2 2d y 1 1(y ')' '

xdx x = = = −

។

ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចy sin x= ។ចគនច2

2d ydx

?

េគបនចdy y ' (sin x)' cos xdx

= = =

េយច2

2d y (y ')' (cos x)' sin xdx

= = = − ។



ខ/េដរេវជដបងខខសង

េដរេវៃនអនណគមនចy f (x)= អមនេដរេវខវនឯតបនងបនា បងេទៀរច។

េគេហេដរេវបនងបនា បងចេដរេវទ(ច,ចេដរេវទ2,…….,េដរេវទn

តដជេគក រងរតេដយច (n)y ' , y '' , ...., y ។

ឧទរ គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចy sin x= ?

េគបនចy ' (sin x)' cos x sin( x)2π

= = = +

y '' (sin( x))' cos( x) sin( x)2 2

3y ''' (sin( x))' cos( x) sin( x)2

π π= + = + = π +

π= π + = π + = +

− − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − − −

ឧបម (n) ny sin( x)2π

= + ពរ

េយតបនច ( )(n 1) (n) n (n 1)y y ' cos( x) sin x2 2

+ π + π = = + = +

ពរ

ដេនះចច (n) ny sin( x)2π

= + ។




១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចy f (x) cos x= =

រយេដរេវទn ៃនអនណគមនក រងេដយច (n) ny cos(x )2π

= +

២-រគនេដរេវទចn ៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ចy ln x= 2/ច 2xy e=

3/ច 1yx 1

=+

4/ច 2y sin x=

5/ច 1 1yx x 1

= +−

6/ច 2x 3y(x 1)(x 2)

+=

+ +

៣-េគឲអនណគមនច m ny (x ) (x )= − α − β តដជចm ,n IN ,∈ α ≠ β

ក/ចរយចx − α តកដងច (m 1)y −

ខ/ចរតចGCD(m,n) d= ។ច

េរ(x )(x )− α − β តកដងច (d 1)y − ឬេទច?

៤-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2 5f (x) (x 3x 1)= − + ។

រគនចf ''(0) រ ទរកេជខេមគណមណខរ 2x ៃនអនណគមនf ។



៧-េដរេវៃនអនគមនអ ចនពសរ

ក/ចនយមនមយ

អនណគមនអពវសណរចគគ អនណគមនតដជបយប កងពទនកងទនតមយ

បេពជកខ រមស ច។

ឧទរច2 2

2 2 2 2 22 2

x yx y a , 1 , x xy y 3 , ....a b

+ = + = + + =

សណទតរ អនណគមនអពវសណរច។

ខ/ឧទរគរ

គនចy ' េដយដដតច 2 2ax bxy cy d+ + = ។

េគបនច 2 2(ax bxy cy )' (d)'+ + =

2ax by bxy ' 2cyy ' 0

(bx 2cy)y ' (2ax by)+ + + =

+ = − +

េគទបនច 2ax byy 'bx 2cy

+= −

+ ។




១-គនច dyy 'dx

= អនណគមនចx នតចyកណតករនមយៗខតេកម

ក/ច 2 2 2x y r+ = ខ/ច2 2

2 2x y 1a b

+ =

គ/ច 2(y k) 4p(x h)− = − ឃ/ច2 2 23 3 3x y a+ =

ត/ច2 2

2 2(x h) (y k) 1

a b− −

+ = / 3 3x y 3xy 1+ = +

េ/ចsin(xy) sin x sin y= + ជ/ច 2 2x 4xy 3y 5− + =

ឈ/ច y xx y= /ច x y xye e e 2+ = +

២-រគនច2

2d yy ''dx

= អនណគមនចx , y , y ' រ អនណគមនៃនx, y

កណតករនមយៗខតេកមច៖

ក/ច 2 2x xy y 4− + = ខ/ច 3 3x y 6xy 1+ = +

គ/ច1 1 xyx y+ = ឃ/ច 2 2x 3xy y 9− + =

/ច 3 2xy y x 4+ = + េ/ច 2 2x 3xy 2y 0− + =



ជពកទ២

អនវរតនេដរេវៃនអនគមន

១-អនវរតនតេរគណរៃមពបរ

សនរចf អនណគមនមនេដរេវទពរេជេនវ ះមយតដជមន 0x ។

អរបរមេធៀប ៖

អនណគមនចf មនអរបរមេធៀបរតងច 0x កជលច 0

0

f '(x ) 0f ''(x ) 0

= <

អបបរមេធៀប ៖

អនណគមនចf មនអរបរមេធៀបរតងច 0x កជលច 0

0

f '(x ) 0f ''(x ) 0

= >



២-េលបន នត សច ៃនលណ

/េលបនៃនលណ

េជបនៃនជនមយេយខះចt គគចdSV '(t) S '(t)dt

= =

តដជចS S(t)= មម យរេយខះចt ។

ឧទរច ទកមយចបងេផងមេដេ រព ណ រររពនរឲតដជ

ខះចt នទេកយមកទកេនះមនមម យព ណ រររពនរឲ

តដជរតេដយអនណគមនច 3S(t) t 60t= + (គរ តមយ រន

ក/រកេជបនទករតង ណ ចបងេផងមច។

ខ/ករងេជបនៃនទកេយខះចt 3= នទច។

ដេលះយ

ក/រកេជបនទករតង ណ ចបងេផងមច៖

េគបនចt គគច 2dSV '(t) S '(t) 3t 60dt

= = = +

េបចt 0= េនះច 2V '(0) 3(0) 60 60m / mn= + = ។



ខ/ករងេជបនៃនទកេយខះចt 3= នទច៖

េបចt 3mn= េនះច 2V '(3) 3(3) 60 27 60 87m / mn= + = + = ។

ខ/សច ៃនលណ

សទណះៃនជនមយេយខះចt គគចdVa'(t) V '(t)dt

= =

តដជចV V(t)= េជបនៃនជនេយខះចt ។

ឧទរច រថយនងមយចបងេផងមេដេ រេដយេជបនតដជរត

េដយអនណគមនច 100tV(t) (m / s)t 15

=+

ករងសទណះៃនរថយនងេយខះចt 10s= ?

ដេលះយ

េគបនច dVa(t) V '(t)dt

= = េដយច 100tV(t) (m / s)t 15

=+

េនះច 2 2100(t 15) 100t 1500a(t)

(t 15) (t 15)+ −

= =+ +

េបចt 10s= េនះច 22

1500 1500a(10) 2.4 m / s625(10 15)

= = =+

។



៣-ឌេផរ បតងសសល

នមន ៖

េបអនណគមនចy f (x)= មនេដរេវេនះាេផរ យតងតសឲជករងេដយ

dy f '(x).dx= ។

កជលរៃមវច x∆ កនងតររេនះចdy អ រៃមវបតជៃនច y∆

េគបនចf (x x) f (x) y f (x) dy f (x) f '(x). x+ ∆ = + ∆ ≈ + = + ∆ ។

ឧទរចរគនរៃមវបតជៃនច otan 46 ?

រតអនណគមនចf (x) tan x=

យកច ox 45= នតច ox 1∆ = េនះេគបនច៖

o o of (46 ) f (45 ) f '(45 ). x= + ∆

េដយច 22

1f '(x) (tan x)' 1 tan xcos x

= = = + េនះច of '(45 ) 2=

េគបនច o 3.14f (46 ) 1 2 1.035180

= + × = ។

ដេនះច otan 46 1.035= ។



៤-វសមភនចេ ណ ននច រង

ទសតប១

េគឲចf អនណគមនករងចនតច បង េយមនេដរេវេជេនវ ះចI។

េបមនពរននពរចm នតចM តដជគបងចx I : m f '(x) M∈ ≤ ≤

េនះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនច៖

m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ − ។

សមយបយប កង

រតអនណគមនចg តដជចចg(x) f (x) mx= − មនេដរេវេជចI

េគបនចg '(x) f '(x) m 0= − ≥ គបងចx I∈ េពះចf '(x) m≥ ។

េនះចg អនណគមនេកនេជេនវ ះចI ។

េពះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនចg(a) g(b)≤

ឬចf (a) ma f (b) mb− ≤ − េនះចf (b) f (a) m(b a) (i)− ≥ −

រតអនណគមនចh តដជចចh(x) f (x) Mx= − មនេដរេវេជចI

េគបនចh'(x) f '(x) M 0= − ≤ គបងចx I∈ េពះចf '(x) M≤ ។



េនះចh អនណគមន ណះេជេនវ ះចI ។

េពះគបង ននពរចa,b I∈ តដជចa b< េគបនចh(a) h(b)≥

ឬចf (a) Ma f (b) Mb− ≥ − េនះចf (b) f (a) M(b a) (ii)− ≤ −

រមទនកងទនតច(i) & (ii) េគបនច៖

m(b a) f (b) f (a) M (b a)− ≤ − ≤ − ។

ឧទរចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច៖

2f (x) (2k 1)x k (2k 1)n= + + − + តដជចk 0 , n 0> > ។

ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [n ,n 1]∈ + ។

ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច៖

2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k

+ +− + ≤ ≤ − +

+

ដេលះយច

ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [n ,n 1]∈ +

េគមនច2

2k 1 2k 1f '(x)2f (x)2 (2k 1)x k (2k 1)n

+ += =

+ + − +



េដយច 2f (n) (2k 1)n k (2k 1)n k= + + − + =

េយច 2f (n 1) (2k 1)(n 1) k (2k 1)n k 1+ = + + + − + = +

េនះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច 2k 1 2k 1f '(x)2(k 1) 2k

+ +≤ ≤

+ ។

ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [n ,n 1]∈ + េគបនច៖

2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k

+ +− + ≤ ≤ − +

+

រមសមយខតេជេពះគបងx [n ,n 1]∈ + េគមនច៖

2k 1 2k 1f '(x)2(k 1) 2k

+ +≤ ≤

+ ។ចរមវសមបពកេ នមនក រង

េពះចx n≥ េគបនច៖

2k 1 2k 1(x n) f (x) f (n) (x n)2(k 1) 2k

+ +− ≤ − ≤ −

+ េដយចf (n) k=

ដេនះច 2k 1 2k 1(x n) k f (x) (x n) k2(k 1) 2k

+ +− + ≤ ≤ − +

+ ។



ទសតប២

េគឲចf អនណគមនចមនេដរេវេជេនវ ះច[a ,b]។

េបមនពរននពរចM តដជគបងចx [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤

េនះេគបនច| f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ − ។

សមយបយប កង

េគមនគបងចx [a,b] : | f '(x) | M∈ ≤

េនះេគទ M f '(x) M− ≤ ≤

រមវសមបពកេ នមនករងេគបនច៖

េពះចa b< េគបនច M(b a) f (b) f (a) M(b a) (1)− − ≤ − ≤ −

េពះចa b> េគបនច M(a b) f (a) f (b) M(a b) (2)− − ≤ − ≤ −

រម((ននត(2នេគបន | f (b) f (a) | M. | b a |− ≤ − ។

ដេនះទដសងបទរតវបនយបយប កងច។



ឧទរ េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) sin x= ។

េពះគបងច , IRα β∈ បបង ច| sin sin | | |α − β ≤ α − β ?

េគមនចf (x) sin x= េនះចf '(x) cos x=

េពះគបងចx IR∈ េគមនច 1 cos x 1− ≤ ≤ េនះច| f (x) | 1≤

ដេនះគបងច , IRα β∈ េគបនច| sin sin | | |α − β ≤ α − β ។


១-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 5x 1= −

ក/ក រងរៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [1, 2]∈ ។

ខ/ចបយប កងេពះគបងចx [1, 2]∈ េគបនចច៖

5x 7 5x 3f (x)6 6 4 4+ ≤ ≤ + ។

២-េគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) cos x= ។

េពះគបងច , IRα β∈ បបង ច| cos cos | | |α − β ≤ α − β ?



៥-ទសតបរ បល

េបចf អនណគមន បងេជេនវ ះច[ ]a ,b មនេដរេវេជេនវ ះ( )a ,b

នតចf (a) f (b)= េនះមនននចc (a ,b)∈ យយ តរ តដជចf '(c) 0= ។


េគរតចf (a) f (b)= = λ

-ករទ១ចេបចf (x) = λ គបងចx [a,b]∈ េនះចf អនណគមនេថរេជ

េនវ ះច[ ]a ,b នតចf '(x) 0= គបងច ( )x a ,b∈ ។

-ករទ២ចេបចf (x) >λ គបងច [ ]x a ,b∈ េនះចf មនរៃមវអរបរម

យយ តរ មយរតងចx c= េដយចf មនេដរេវរតងចx c= េនះចf '(c) 0=

-ករទ៣ចេបចf (x) <λ គបងច [ ]x a ,b∈ េនះចf មនរៃមវអបបរម

យយ តរ មយរតងចx c= េដយចf មនេដរេវរតងចx c= េនះចf '(c) 0=



ឧទរចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច៖

3 2f (x) x (a b c)x (ab bc ca)x abc= − + + + + + −

តដជចa,b,c IR∈ ។

ក/គនចf (a) នតចf (b) រ ទសមករចចf '(x) មនឬសយយ តរ

មយេយេនវ ះននចa នតចb ។

ខ/ទបយប កងវសមបពច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + + ។

ដេលះយ

ក/គនចf (a) នតចf (b) ៖

េគបនច 3 2f (a) a (a b c)a (ab bc ca)a abc 0= − + + + + + − =

3 2f (b) b (a b c)b (ab bc ca)b abc 0= − + + + + + − =

ដេនះចf (a) f (b) 0= = ។

ទសមករចចf '(x) 0= មនឬសយយ តរ មយេយេនវ ះ(a ,b) ៖ច

េដយចf អនណគមន បងេជច[ ]a,b នតចមនេដរេវេជច(a ,b)

េយចf (a) f (b) 0= = េនះរមទដសងបទរ យជមនច (a ,b)α∈



តដជចf '( ) 0α = េនះមននមយសមករចចf '(x) 0= មនឬសយយ តរ

មយេយេនវ ះ(a ,b) ។

ខ/ទបយប កងវសមបពច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + +

េគមនច 2f '(x) 3x 2(a b c)x (ab bc ca)= − + + + + +

េដយចf '(x) 0= សមករមនឬសេនះច ' 0∆ ≥

តរច 2' (a b c) 3(ab bc ca)∆ = + + − + +

ដេនះច 2(a b c) 3(ab bc ca)+ + ≥ + + ។


១-េគមនអនណគមនចf ករងេដយច 4 3f (x) x 2x 2x 4= − + +

ក/គនចf ( 1)− នតចf (1) ។

ខ/បបង មនចc ( 1,1)∈ − តដជចf '(c) 0= ។

២-េគមនអនណគមនចf ករងេដយ 2f (x) x 10x 9= − +

ក/រកឬសចα នតចβ របសងសមករចf (x) 0=

ខ/បបង មនចc ( , )∈ α β តដជចf '(c) 0= រ ករងចc ។



៦-ទសតបរៃមពមមសម(ឬទសតប Lagrange)

េបចf អនណគមន បងេជេនវ ះច[ ]a ,b មនេដរេវេជេនវ ះ( )a ,b

េនះមនននចc (a ,b)∈ យយ តរ មយតដជច f (b) f (a)f '(c)b a−

=−

។


យក g(x) f (b) f (x) (b x)= − − λ −

តដជច f (b) f (a)b a−

λ =−

។

េនះចg អនណគមន បងកណតេនវ ះច[ ]a,b នតចមនេដរេវកណត( )a ,b

េយេដយចg(a) g(b) 0= = េនះរមទដសងបទរ យជមនចc (a,b)∈

មយយយ តរ តដជចg '(c) 0= ។ចេដយចg '(c) f '(c)= − + λ

េនះចf '(c) = λ ។ចដេនះច f (b) f (a)f '(c)b a−

=−

។



ឧទរ េពះគបង ននពរវជបមនចα នតចβ តដជចα < β

រយច ln( )β − α β β − α< <

β α α ។

រតអនណគមនចf (x) ln x= តដជចx [ , ]∈ α β នតច0 < α < β

េគបនចf អនណគមន បងេជច[ ],α β នតចមនេដរេវេជច( , )α β

េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមមនចc ( , )∈ α β តដជច៖

f ( ) f ( ) ln lnf '(c) (1)β − α β − α= =

β − α β − α

េគមនច 1f '(x) (ln x)'x

= = េនះច 1f '(c)c

=

តរចc ( , )∈ α β េនះច cα < < β ឬចច1 1 1c

< <β α

េគបនច1 1f '(c) (2)< <β α

រមច((នចនតច(2នចេគទ1 ln ln 1β − α< <

β β − α α

ដេនះច ln( )β − α β β − α< <

β α α ។



៧-អនវរតនេដរេវតេសដ

េយតរតចC C(x)= អនណគមន លយសរណបកណតករផជរសមត រះ

ននចx េគបតច,ចR R(x)= អនណគមន ជសរណបពករជកងសមត រះ

ននចx េគបតនតP P(x) R(x) C(x)= = − អនណគមន បកង េ

ពករជកងសមត រះននចx េគបតច។

េគបនចC'(x) េហអនណគមនៃនបកង លយបតនាម

R '(x) េហអនណគមនៃនបកង ជបតនាម

P'(x) េហអនណគមនៃនបកង េបតនាមចច។

ឧទរ េគឲអនណគមន បកង ជសរណបពករជកងសមត រះចx

េគបតនតអនណគមន បកង លយសរណបេជករផជរសមត រះចx ករង

េរៀតស េដយចR(x) 300x= នតចច 2 3C(x) 1000 72x x= − + ។

ក/ករងអនណគមន បកង េសរណបច។

ខ/ក រងបរមសមត រះតដជរតវជកងេដម ឲេគទទជបនបកង

េអរបរមចរ ករងរកបកង េអរបរមេនះច។



ដេលះយ

ក/ក រងអនណគមន បកង េសរណបច

រតចP(x) អនណគមនៃនបកង េសរណបពករជកងសមត រះ

េគបនច 2 3P(x) R(x) C(x) 300x 1000 72x x= − = − + −

ដេនះច 3 2P(x) x 72x 300x 1000= − + + − ។

ខ/ក រងបរមសមត រះតដជរតវជកងេដម ឲេគទទជបនបកង

េអរបរមចរ ករងរកបកង េអរបរមេនះច៖

េគមនច 2P '(x) 3x 144x 300 3(x 50)(x 2)= − + + = − − +

េបចP'(x) 0= េនះចច 1 2x 50 , x 2= = − (មនយកន

េគមនចP''(x) 6x 144= − + េនះចP''(50) 300 144 0= − + <

េនះមននមយចP(x) មនអរបរមរតងចx 50= ។

ដេនះេដមបនបកង េអរបរមេគរតវជកងសមត រះច50ឯករ

េយបកង េអរបរមេនះគគច៖

maxP P(50) 69 ,000= = ឯកររបយវរាណច,



ជពកទ៣

សអេអរភន នត េបៃនអនគមន

១-សអនគមនសននន

/ សអនគមន 2ax bx cypx q+ +

=+

តដជចa 0 , p 0≠ ≠ នតច 20 0ax bx c 0+ + ≠ គបងច 0

qxp

= −

តដនករងច៖ចច qD IR p

= − −

េដរេវច2

2apx 2aqx bq cpf '(x)

(px q)+ + −

=+

-េបចf '(x) 0= សនឬសេនះអនណគមនសនបរមេទច។

-េបចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស េនះអនណគមនមនអរបរមមយ

នតអបបរមមយច។



អសណមររច៖

-បនា រងច pxq

= − អសណរមររឈរច។

-េបអនណគមនអសរេសរចf (x) xpx qγ

= α + β ++

េនះបនា រង

មនសមករចy x= α + β អសណមររេទរច។

- ណ បសពឆររតអសណមររទតពរ ផរេវណះៃនកបច។

-កបមនមតទេទដរបខតេកមច៖

(/ករចap 0< នតចf '(x) 0= សនឬសច

0 1

1

x

y



2/ករចap 0> នតចf '(x) 0= សនឬសច

3/ករចap 0< នតចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស ច

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



4/ករចap 0> នតចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស

ឧទរ១ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x x 6f (x)x 1− −

=−

សកអេថរបពចនតចសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយ(o, i , j)→ →

·តដនក រងចD IR 1 = −

·សរេសរ មតកនកច

2x x 6 x(x 1) 6 6f (x) xx 1 x 1 x 1− − − −

= = = −− − −

0 1

1

x

y



·ទសេដអេថរបព

-េដរេវចច 26 6f '(x) (x )' 1 0

x 1 (x 1)= − = + >

− − គបងចx D∈

េនះចf អនណគមនេកន ន េជតដនករងរបសងរច។

-គនជមរច

x x

6lim f (x) lim (x )x 1→+∞ →+∞

= − = +∞−

x x

6lim f (x) lim (x )x 1→−∞ →−∞

= − = −∞−

x 1 x 1

6lim f (x) lim (x )x 1→ →− −

= − = +∞−

x 1 x 1

6lim f (x) lim (x )x 1→ →+ +

= − = −∞−

-អសណមររ

េដយចx 1 x 1

6lim f (x) lim(x )x 1→ →

= − = ∞−

េនះបនា រងសមករចx 1=

អសណមររឈរៃនកបច។

មយតេទៀរច 6f (x) xx 1

= −−

េយចx x

6lim[f (x) x] lim 0x 1→∞ →∞

−− = =

−



ដេនះបនា រងមនសមករចy x= អសណមររេទរៃនកបច។

-រមតអេថរបព

x −∞ 1 +∞

f '(x)

f (x)

·សតង កប

- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(x'ox) :

y 0= សមមជច2x x 6 0x 1− −

=−

ឬច 2x x 6 0− − =

1 24 25∆ = + = មនឬសច 1 21 5 1 5x 2 , x 3

2 2− +

= = − = = ។

- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(y 'oy) :

x 0= េនះច 6y 61

−= =−

។



-ផរេវណះច

អសណមររឈរចx 1= នតអសណមររេទរចy x= ករងស រតងចI(1,1)

េដយចf (2a x) f (x) f (2 x) f (x)− + = − +

6 62 x x 2 2b1 x x 1

= − − + − = =− −

ដេនះចI(1,1) ផរេវណះៃនកបច។

0 1

1

x

y



ឧទរ២ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 5x 4f (x)

2 x− +

=−


·តដនក រងចD IR 2 = −


2x 5x 4 2f (x) x 32 x 2 x− +

= = − + −− −


-េដរេវចច 22 2f '(x) ( x 3 )' 1 0 x D

2 x (2 x)= − + − = − − < ∀ ∈

− −

េនះចf អនណគមន ណះ នេជតដនក រងរបសងរច។

-គនជមរច

x x

2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→+∞ →+∞

= − + − = −∞−

x x

2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→−∞ →−∞

= − + − = +∞−

x 2 x 2

2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→ →− −

= − + − = −∞−



x 2 x 2

2lim f (x) lim ( x 3 )2 x→ →+ +

= − + − = +∞−

-អសណមររ

េដយចx 2 x 2

2lim f (x) lim( x 3 )2 x→ →

= − + − = ∞−

េនះបនា រងសមករច

x 2= អសណមររឈរៃនកបច។

មយតេទៀរច 2f (x) x 32 x

= − + −−

េយចx

2lim 02 x→∞

=−

ដេនះបនា រងមនសមករចy x 3= − + អសណមររេទរៃនកបច។


x −∞ 2 +∞

f '(x)

f (x)



·សតង កប


y 0= សមមជច2x 5x 4 0

2 x− +

=−

ឬច 2x 5x 4 0− + =

a b c 0+ + = មនឬសច 1 2x 1 , x 4= = ។



= = ។


អសណមររឈរចx 2= នតអសណមររេទរចy x 3= − + ករងស រតងច

ណ ចI(2 ,1)

េដយចf (2a x) f (x) f (4 x) f (x)− + = − +

2 2x 1 x 3 2 2bx 2 2 x

= − − − + − = =− −

ដេនះចI(2 ,1) ផរេវណះៃនកបច។



ឧទរ៣ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 3x 3f (x)

x 1+ +

=+


·តដនក រងចD IR 1 = − −


2x 3x 3 1f (x) x 2x 1 x 1+ +

= = + ++ +

0 1

1

x

y




-េដរេវចច 2 21 1 x(x 2)f '(x) (x 2 )' 1

x 1 (x 1) (x 1)+

= + + = − =+ + +

f '(x) 0= េគបនចx(x 2) 0+ = េនះច 1 2x 0 , x 2= = − ។

-បរមៃនចf

េពះចx 2= − អនណគមនមនរៃមវអរបរមេធៀបចf ( 2) 1− = − ។

េពះចx 0= អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបចf (0) 3= ។

-គនជមរច

x x

1lim f (x) lim (x 2 )x 1→+∞ →+∞

= + + = +∞+

x x

1lim f (x) lim (x 2 )x 1→−∞ →−∞

= + + = −∞+

x 1 x 1

1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−− −

= + + = −∞+

x 1 x 1

1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−+ +

= + + = +∞+



-អសណមររ

េដយចx 1 x 1

1lim f (x) lim (x 2 )x 1→− →−

= + + = ∞+

េនះបនា រងសមករច

x 1= − អសណមររឈរៃនកបច។

មយតេទៀរច 1f (x) x 2x 1

= + ++

េយចx

1lim 0x 1→∞

=+

ដេនះបនា រងមនសមករចy x 2= + អសណមររេទរៃនកបច។


x −∞ 2− 1− 0 +∞

f '(x)

f (x)

·សតង កប





x 1+ +

=+

ឬច 2x 3x 3 0+ + =

9 12 0∆ = − < សមករសនឬស ។

េនះកបៃអនណគមនមនករងអកផមអបងសណសេទច។



= = ។


អសណមររឈរចx 1= − នតអសណមររេទរចy x 2= + ករងស រតងច

ណ ចI( 1,1)− ។

េដយចf (2a x) f (x) f ( 2 x) f (x)− + = − − +

1 1x x 2

1 x x 12 2b

= − + + + +− − +

= =

ដេនះចI( 1,1)− ផរេវណះៃនកបច។



ឧទរ៤ េគឲអនណគមនចf ករងេដយច2x 5x 4f (x)

2x− + −

=


·តដនក រងច *D IR=


2x 5x 4 x 5 2f (x)2x 2 2 x

− + −= = − + −

0 1

1

x

y




-េដរេវចច

2

2 2 2x 5 2 1 2 x 4 ( x 2)(x 2)f '(x)2 2 x 2 x x x

' − + − + + = − + − = − + = =

f '(x) 0= េគបនច 1 2x 2 , x 2= = − ។

-បរមៃនចf

េពះចx 2= អនណគមនមនរៃមវអរបរមេធៀបច 1f (2)2

= ។

េពះចx 2= − អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបច 9f ( 2)2

− = ។

-គនជមរច

x x

x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→+∞ →+∞

= − + − = −∞

x x

x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→−∞ →−∞

= − + − = +∞

x 0 x 0

x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→ →− −

= − + − = +∞



x 0 x 0

x 5 2lim f (x) lim ( )2 2 x→ →+ +

= − + − = −∞

-អសណមររ

េដយចx 0 x

x 5 2lim f (x) lim( )2 2 x→ →

= − + − = ∞ េនះបនា រងសមករច

x 0= អសណមររឈរៃនកបច។

មយតេទៀរច x 5 2f (x)2 2 x

= − + − េយចx

2lim( ) 0x→∞

− =

ដេនះបនា រងមនសមករច x 5y2 2

= − + អសណមររេទរៃនកបច។


x −∞ 2− 0 2 +∞

f '(x)

f (x) +∞



·សតង កប



2x− + −

= ឬច 2x 5x 4 0− + − =

a b c 0+ + = សមករមនឬសច 1 2x 1 , x 4= = ។



= = ។


អសណមររឈរចx 0= នតអសណមររេទរចx 5y2 2

= − + ករងស រតងច

ណ ច 5I(0, )2

។

េដយចf (2a x) f (x) f ( x) f (x)− + = − +

x 5 2 x 5 22 2 x 2 2 x5 2b

= + + − + −

= =

ដេនះច 5I(0 , )2

ផរេវណះៃនកបច។




សកអេថរបពចនតសតង កបៃនអនណគមនខតេកមច៖

១/ច2x 5x 7y

x 2− +

=−

២/ច2x x 1y

2x− +

=

៣/ច2x 2x 3y

x 1+ −

=+

៤/ច 4y x 2x

= + +

៥/ច 1y x 2x 1

= − +−

៦/ច 4y x 3x 1

= − + ++

0 1

1

x

y



ខ/សអនគមន 2

2ax bx cypx qx r

+ +=

+ +

តដជចa 0≠ នតចp 0≠ ។

តដនករងច៖ចច 2D x / px qx r 0= + + ≠

េដរេវច2

2 2(aq bp)x 2(ar cp)x (br cq)f '(x)

(px qx r)− + − + −

=+ +

-េបចf '(x) 0= សនឬសេនះអនណគមនសនបរមេទច។

-េបចf '(x) 0= មនឬសពរេផផតស េនះអនណគមនមនអរបរមមយ

នតអបបរមមយច។

-េបចf '(x) 0= មនឬសតរមយេនះអនណគមនមនបរមតរមយគរងច។


-បនា រងច ayp

= អសណរមររេដក ន។

-ននអសណមររឈរអសមយនដតឬសរបសងសមករបគតបត

2px qx r 0+ + = តដជមនច 2q 4pr∆ = − ។



េបច 2q 4pr 0∆ = − < សនអសណមររឈរចនតចកបមនតរមយ

េបច 2q 4pr 0∆ = − = មនអសណមររឈរច qx2p

= − នតចកប

មនពរតមកដងពស ច។

េបច 2q 4pr 0∆ = − > មនអសណមររឈរពរច qx2p

− ± ∆=

នតចកបមនបតមកដងពស ។

-កបមនមតទេទដរបខតេកមច៖

(/ករច 2q 4pr 0∆ = − <

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



2/ករច 2q 4pr 0∆ = − =

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



3/ករច 2q 4pr 0∆ = − >

២-អនគមនអសននន

1/សអនគមន y ax b= +

2/សអនគមន 2y ax bx c= + +

៣-អនគមនអ ស ប តងសសល

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

2x 2x 3f (x)x 2x 2

− −=

− +

សកអេថរបពនតសតង កបរតf កណតរមមយអររនរមយ ជង(o, i , j )→ →

។

·តដនក រងច

េគមនច 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈

ដេនះចD IR= ។


2

2 2x 2x 3 5f (x) 1x 2x 2 x 2x 2

− −= = −

− + − +


-េដរេវច 2 2 25 5(2x 2)f '(x) (1 )'

x 2x 2 (x 2x 2)−

= − =− + − +

f '(x) 0= េគបនច 2 25(2x 2) 0

(x 2x 2)−

=− +

េនះចx 1=

េពះចx 1= ន ឲចf (1) 1 5 4= − = − ។

អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច 4− រតងចx 1= ។



-គនជមរច៖

2x x

5lim f (x) lim (1 ) 1x 2x 2→±∞ →±∞

= − =− +

-អសណមររចចចេដយចxlim f (x) 1→∞

= េនះបនា រងចy 1= អសណមររេដក

ៃនកបច។


·សតង កបច៖

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 2x 3 0− − =

េគទឬសច 1 2x 1 , x 3= − = ។

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះ 3y2

= −

x −∞ 1 +∞

f '(x)

f (x)



ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

2x 6xf (x)

2(x 2x 2)+

=− +


។


េគមនច 2 2x 2x 2 (x 1) 1 0 x IR− + = − + > ∀ ∈

ដេនះចD IR= ។


0 1

1

x

y



-េដរេវច2 2

2 2(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)

2(x 2x 2)+ − + − − +

=− +

2

2 28x 4x 12f '(x)

2(x 2x 2)− + +

=− +

។

េបចf '(x) 0= េគបនច2

2 28x 4x 12 0

2(x 2x 2)− + +

=− +

េនះច 28x 4x 12 0− + + = ន ឲច 1 23x 1 , x2

= − =

េពះចx 1= − ន ឲច 5 1f ( 1)10 2−

− = = − ។

េពះច 3x2

= ន ឲច 3 9f ( )2 2

=

អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច12

− រតងចx 1= −

នតចមនអរបរមេធៀបេសនដតច92រតងច 3x

2= ។


2

2x x

x 6x 1lim f (x) lim22(x 2x 2)→±∞ →±∞

+= =

− +



-អសណមររចចច

េដយចx

1lim f (x)2→∞

= េនះបនា រងច 1y2

= អសណមររេដកៃនកបច។



- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 2x 3 0− − =

េគទឬសច 1 2x 1 , x 3= − = ។


= −

x −∞ 1− 32

+∞

f '(x)

f (x)



ឧទរ៣ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

2x 4xf (x)

x 4x 3−

=− +


។


េគមនច 2x 4x 3 (x 1)(x 3)− + = − −

ដេនះចD IR 1 , 3 = − ។



2 2(2x 6)(x 2x 2) (2x 2)(x 6x)f '(x)

2(x 2x 2)+ − + − − +

=− +

0 1

1

x

y

y = 1/2



2 2 2 23x 6 3(x 2)f '(x)

(x 4x 3) (x 4x 3)− −

= =− + − +

។ចច

េបចf '(x) 0= េគបនច 2 23(x 2) 0

(x 4x 3)−

=− +

ន ឲចx 2= ។

េពះចx 2= ន ឲចf (2) 4= ។

អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច4 រតងចx 2= ។


2

x 1 x 1

x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −

−= = −∞

− −

2

x 1 x 1

x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +

−= = +∞

− −

2

x 3 x 3

x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −

−= = +∞

− −

2

x 3 x 3

x 4xlim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +

−= = −∞

− −

2 2

2x x x

x 4x xlim f (x) lim lim 1(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞

−= = =

− −




េដយចx 1lim f (x)→

= ∞ នតចចx 3lim f (x)→

= ∞ េនះបនា រងចx 1= នតចx 3=

អសណមររឈរៃនកបច។ចេយចxlim f (x) 1→∞

= េនះបនា រងy 1=

អសណមររេដកៃនកបច។


·សតង កប ៖

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណសចy 0= េនះ 2x 4x 0− =

េគទឬសច 1 2x 0 , x 4= = ។

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះy 0=

x −∞ 1 2 3 +∞

f '(x)

f (x)



ឧទរ៤ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

22x 6x 4f (x)x 2x 3

+ −=

+ −


។


េគមនច 2x 2x 3 (x 1)(x 3)+ − = − +

ដេនះចD IR 3 , 1 = − − ។

0 1

1

x

y





2 2(4x 6)(x 2x 3) (2x 2)(2x 6x 4)f '(x)

(x 2x 3)+ + − − + + −

=+ −

2 2

2 2 2 22x 4x 10 2[(x 1) 4]f '(x)

(x 2x 3) (x 2x 3)− − − + +

= = −+ − + −

។ចច

េដយច 2(x 1) 4 0+ + > េនះចf '(x) 0 x D< ∀ ∈

េនះចf អនណគមន ណះេជតដនក រងច។


2

x 1 x 1

2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →− −

+ −= = −∞

− +

2

x 1 x 1

2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→ →+ +

+ −= = +∞

− +

2

x 3 x 3

2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→− →− −

+ −= = −∞

− +

2

x 3 x 3

2x 6x 4lim f (x) lim(x 1)(x 3)→− →−+ +

+ −= = +∞

− +

2 2

2x x x

2x 6x 4 2xlim f (x) lim lim 2(x 1)(x 3) x→±∞ →±∞ →±∞

+ −= = =

− +





= ∞នតx 3lim f (x)→−

= ∞ េនះបនា រងចx 1= នតចx 3= −






- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណ y 0= េនះ 22x 6x 4 0+ − =

េគទឬសច 1 23 17 3 17x , x

2 2− − − +

= = ។


=

x −∞ 3− 1 +∞

f '(x)

f (x)



ឧទរ៥ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

22x x 7f (x)x x 2

− −=

− −


។


េគមនច 2x x 2 (x 1)(x 2)− − = + −

ដេនះចD IR 1 , 2 = − − ។

0 1

1

x

y





2 2(4x 1)(x x 2) (2x 1)(2x x 7)f '(x)

(x 2x 3)− − − − − − −

=+ −

2

2 2x 6x 5f '(x)

(x x 2)− + −

=− −

។ចច

េបចf '(x) 0= េគបនច2

2 2x 6x 5 0

(x x 2)− + −

=− −

េនះច 2x 6x 5 0− + − = ន ឲច 1 2x 1 , x 5= =

េពះចx 1= ន ឲចf (1) 3= េយចx 3= ន ឲច 2f (3)3

=

អនណគមនមនអបបរមេធៀបេសនដតច3 រតងចx 1=

នតចមនអរបរមេធៀបេសនដតច23រតងចx 3= ។


2

x 1 x 1

2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→− →−− −

− −= = −∞

+ −

2

x 1 x 1

2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→− →−+ +

− −= = +∞

+ −



2

x 2 x 2

2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→ →− −

− −= = +∞

+ −

2

x 2 x 2

2x x 7lim f (x) lim(x 1)(x 2)→ →+ +

− −= = +∞

+ −

2

x x

2x x 7lim f (x) lim 2(x 1)(x 2)→± →±∞

− −= =

+ −


េដយចx 1lim f (x)→−

= ∞នតx 2lim f (x)→

= ∞ េនះបនា រងចx 1= − នតចx 2=





x −∞ 1− 1 2 5 +∞

f '(x)

f (x)




- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណចy 0= េនះ 22x x 7 0− − =

េគទឬសច 1 21 57 1 57x , x

4 4− +

= = ។

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះច 7y2

= ។

0 1

1

x

y



ឧទរ៦ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច2

2x 2x 7f (x)x 2x 1

+ −=

− +


។


េគមនច 2 2x 2x 1 (x 1)− + = −

ដេនះចD IR 1 = − ។



4(2x 2)(x 1) 2(x 1)(x 2x 7)f '(x)

(x 1)+ − − − + −

=−

34x 12f '(x)

(x 1)− +

=−

។ចច

េបចf '(x) 0= េគបនច 34x 12 0

(x 1)− +

=−

េនះចx 3= ។

េពះចx 3= ន ឲចf (3) 2= ។

អនណគមនមនអរបរមេធៀបេសនដតច2រតងចx 3= ។




2

2x 1 x 1

x 2x 7lim f (x) lim(x 1)→ →− −

+ −= = −∞

−

2

2x 1 x 1

x 2x 7lim f (x) lim(x 1)→ →+ +

+ −= = −∞

−

2

2x x

x 2x 7lim f (x) lim 1(x 1)→±∞ →±∞

+ −= =

−



= −∞ េនះបនា រងចx 1= អសណមររឈរៃនកបច។ច

េយចxlim f (x) 1→∞

= េនះបនា រងy 1= អសណមររេដកៃនកបច។


x −∞ 1 3 +∞

f '(x)

f (x)




- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអបងសណចy 0= េនះ 2x 2x 7 0+ − =

េគទឬសច 1 2x 1 2 2 , x 1 2 2= − − = − + ។

- ណ បសពឆររតកបនដតអកផមអរេដេនចx 0= េនះចy 7= − ។

0 1

1

x

y



៣-សអនគមនអសននន

/សអនគមន y ax b , a 0= + ≠

តដនករងច៖ចចD x / ax b 0 = + ≥

េដរេវច af '(x)2 ax b

=+

-េបចa 0> េនះចf '(x) 0> េនះចf អនណគមនេកនដងខរ។

-េបចa 0< េនះចf '(x) 0< េនះចf អនណគមន ណះដងខរ។

កបមនរបដខតេកមច៖

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 2x 6= +


។

·តដនក រងច D [ 3 , )= − + ∞ ។


-េដរេវច (2x 6)' 1f '(x) 0 x D2 2x 6 2x 6

+= = > ∀ ∈

+ +

េគបនចf អនណគមនេកន ន េជតដនករងរបសងរច។

-រកជមរចx xlim f (x) lim 2x 6→+∞ →+∞

= + = +∞

-រមតអេថរបពច

x

3−

+∞

f '(x)

f (x)



·សតង កប

-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(ox) គគចy 0=

េគបនច 2x 6 0+ = េនះចx 3= − ។

-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0=

េគបនចy 6= ។

ដេនះកបករងអកផមអបងសណសរតង ណ ច( 3 ,0)− នតអកផមអរេដេន

រតង ណ ច(0 , 6) ។

0 1

1

x

y



ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយចf (x) 2x 4= − +


។

·តដនករងចចD ( , 2]= −∞ ។


-េដរេវច ( 2x 4)' 1f '(x) 0 x D2 2x 4 2x 4− +

= = − < ∀ ∈− + − +

េគបនចf អនណគមន ណះ ន េជតដនករងរបសងរច។

-រកជមរចx xlim f (x) lim 2x 4→−∞ →−∞

= − + = +∞


x

−∞

2

f '(x)

f (x)



·សតង កប


េគបនច 2x 4 0− + = េនះចx 2= ។

-កអរេដេន ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0=

េគបនចy 2= ។

ដេនះកបករងអកផមអបងសណសរតង ណ ច(2 ,0) នតអកផមអរេដេន

រតង ណ ច(0 , 2) ។

0 1

1

x

y



ខ/សអនគមន 2y ax bx c= + +

តដជចa 0≠ នតច 2b 4ac∆ = − ។

តដនករងច៖ចច 2D x / ax bx c 0= + + ≥

េដរេវច2

2ax bf '(x)2 ax bx c

+=

+ +


-េបចa 0< េនះកបសនអសណមររេទ

-េបចa 0> េនះកបមនអសណមររពរច។

2 bf (x) ax bx c a | x | (x)2a

= + + = + +ε

តដជចxlim (x) 0→∞

ε =

កជលចx → −∞ េនះកបមនអសណមររេទរby a(x )2a

= +

កជលចx → −∞ េនះកបមនអសណមររេទរby a(x )2a

= − +



កបមនរបដខតេកមច៖

-ករទ១ចa 0 , 0> ∆ >

-ករទ២ចa 0 , 0< ∆ >

0 1

1

x

y

0 1

1

x

y



-ករទ៣ចa 0 , 0> ∆ <

ឧទរ១ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 4x 13= − +


។

·តដនករងចចD IR= ។


-េដរេវច2

2 2

(x 4x 13)' x 2f '(x)2 x 4x 13 x 4x 13

− + −= =

− + − +

f '(x) 0= ន ឲចx 2= ។

0 1

1

x

y



េពះចx 2= ន ឲចf (2) 4 8 13 3= − + = ។

អនណគមនចf មនអបបរមេសច3 រតងចx 2= ។

-រកជមរច 2

x xlim f (x) lim x 4x 13→−∞ →−∞

= − + = +∞

2

x xlim f (x) lim x 4x 13→+∞ →+∞

= − + = +∞

-សមករអសណមររ

េគមនច 2 2f (x) x 4x 13 (x 2) 9 | x 2 | (x)= − + = − + = − +ε

េដយចxlim (x) 0→−∞

ε = នតxlim (x) 0→+∞

ε = េនះបនា រងចy (x 2)= − −

នតចy x 2= − សមករអសណមររេទរៃនកបច។


x

−∞

2

f '(x)

f (x)



·សតង កប


េគបនច 2x 4x 13 0− + = េនះច 2x 4x 13 0− + =

' 4 13 9 0∆ = − = − < េនះសមករសនឬសច។

- ណ បសពឆររតកបនតអកផមច(oy) គគចx 0= េនះ y 13=

-អកផមេវណះចចចបនា រងចx 2= េពះចf (2a x) f (x)− =

ឬច 2 2f (4 x) (4 x) 4(4 x) 13 x 4x 13 f (x)− = − − − + = − + =

0 1

1

x

y



ឧទរ២ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 6x 5= − +


។

·តដនករងចចD ( ,1] [5, )= −∞ ∪ +∞ ។



2 2

(x 6x 5)' x 3f '(x)2 x 6x 5 x 6x 5

− + −= =

− + − +

គបងx ( ,1]∈ −∞ េគបនចf '(x) 0≤ នចx (5 , ]∈ + ∞ េគបនf '(x) 0>

ដេនះអនណគមនចf ណះេជេនវ ះx ( ,1]∈ −∞ នតេកនេជx (5 , ]∈ + ∞

-រកជមរច 2

x xlim f (x) lim x 6x 5→−∞ →−∞

= − + = +∞

2

x xlim f (x) lim x 6x 5→+∞ →+∞

= − + = +∞

-សមករអសណមររ

េគមនច 2 2f (x) x 6x 5 (x 3) 4 | x 3 | (x)= − + = − − = − +ε

េដយចxlim (x) 0→−∞

ε = នតxlim (x) 0→+∞

ε = េនះបនា រងចy (x 3)= − −

នតចy x 3= − សមករអសណមររេទរៃនកបច។




x

−∞

1

5

f '(x)

f (x)

·សតង កប

0 1

1

x

y



ឧទរ៣ចេគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) x 2x 8= − − +


។

·តដនករងចច [ ]D 4 , 2= − ។



2 2

( x 2x 8)' x 1f '(x)2 x 2x 8 x 2x 8

− − + − −= =

− − + − − +

f '(x) 0= េគបនច2

x 1 0x 2x 8

− −=

− − + ន ឲចx 1= − ។

អនណគមនមនអរបរមេធៀបរតងចx 1= − គគចf ( 1) 3− =


x

4−

1−

f '(x)

f (x)



·សតង កប

េគមនច 2 2y x 2x 8 9 (x 1)= − − + = − +

សមមជច2 2(x 1) y 9

y 0 + + =

≥

ដេនះកបគគ កនវះរតឆតងតដជមនផរចI( 1,0)− នតកចR 3= ។

0 1

1

x

y




១-រសកអេថរបពចនតចសតង កបរតអនណគមនខតេកម ៖

ក/ចy x= ខ/ចy 2x 4= +

គ/ចy 4 x= − ឃ/ច xy 12

= − +

ត/ច 2y x 4= + /ច 2y x 4x= −

េ/ច 2y x 2x 10= − + ជ/ច 2y x 4x 3= − +

ឈ/ច 2y x 4x 5= − − /ច 2y 3 2x x= + −

២-េគឲអនណគមនចf ករងេដយច 2f (x) ax bx c= + +

ក/ករងេជខេមគណចa ,b ,c េដម ឲកបច(c) រតចf មន

អបបរមេសច3 រតងចx 2= នតករងរម ណ ចA(0 , 13)។

ខ/េពះរៃមវចa ,b ,c តដជបនរកេឃខតេជរសកអេថរបព

នតគសកបច(c) កណតរមមយអរររមយ ជងច(o, i , j )→ →

។



៣-អនគមនអ ស ប តងសសល

េលកេបមនលមត ៖

(/ច x

xlim e→+∞

= +∞ 3/ចx

nx

elim ,n 0x→+∞

= +∞ >

2/ច x

xlim e 0−

→+∞= 4/ច

n

xx

xlim 0 , n 0e→+∞

= >

េលកេបមនានេ ដា ៖

(/ចចេបច xy e= េនះចច xy ' e=

2/ចចេបច u(x)y e= េនះចច u(x)y ' u '(x)e=

ឧទរ១

េគឱឲអនណគមនច xf (x) (x 2)e−= +

ក-រសកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច (c) រតអនណគមនេនះច។

ខ-រគនករៃផាចS( )λ ខ ម េដយកបច (c) នតអកផមអបងសណស

កណតេនវ ះច[ 2 , ]− λ រ ទរកជមរច lim S( )λλ→+∞

។



ដេលះយ

ក-សកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច (c)

េគមនច xf (x) (x 2)e−= + មនតដនកនរងចចD IR=

.ទសេដអេថរបពច

x xf '(x) (x 2)'e (e )'(x 2)− −= + + +

x x xf '(x) e e (x 2) ( x 1)e− − −= − + = − −

េបច f '(x) 0= សមមជច x( x 1)e 0−− − = នឱឲចx 1= − ។

េពះចx 1= − អនណគមនមនរៃមវអរបរមច f ( 1) e− = ។

ជមរចនតចអសណមររ ៖

xlim f (x) lim (x 2)ex x

−= + = −∞→−∞ →−∞

( េពះចច xlim (x 2) , lim ex x

−+ = −∞ = +∞→−∞ →−∞

ន

xlim f (x) lim (x 2)e 0x x

−= + =→+∞ →+∞

( េពះចច xlim e 0x

− =→+∞

នច

នឱឲបនា រងចy 0= អសណមររេដកៃនកបច (c) ។



រមតអេថរបព

x − ∞ 1− + ∞

y '

y

សតង កបច x(c) : y (x 2)e−= +

.នណបសពឆររតកប មយអកផមកអរេដេន ៖

េបចចy 0= សមមជច x(x 2)e 0−+ = នឱឲចx 2= −

េពះចx 0= នឱឲចចy f (0) 2= = ។

0 1

1

x

y



ខ-គនករៃផាចS( )λ

េយតបនច xS( ) (x 2)e .dx

2

λ−λ = +

−∫

រតចចu x 2

xdv e .dx

= + −=

នឱឲចចdu dx

xv e

= −= −

េគបនច x xS( ) [ (x 2) e ] e .dx22

λ− λ −λ = − + +−

−∫

x( 2)e e2

2( 2)e e e2( 3)e e

λ−λ − = − λ + + − −−λ −λ= − λ + − +−λ= − λ + +

ដេនះចច 2S( ) e ( 3)e−λλ = − λ + ។

េយច 2 2lim S( ) lim e ( 3)e e−λ λ = − λ + = λ→+∞ λ→+∞ ។

ដេនះចច 2lim S( ) eλ =λ→+∞



ឧទរ២

េគឱឲអនណគមនច xf (x) 1 (x 1)e= + −

ក-គនជមរចx

lim f (x)→−∞

នតចxlim f (x)→+∞

រ បយប កងសមករ

អសណមររៃនកបច(c) រតអនណគមនចy f (x)= ។

ខ-គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) ។

គ-រកសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតង នណចx 1= ។

សតង កប (c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →

តរមយច

ឃ-រកករៃផាខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណតេនវ ះច[ ]0, 1 ។

ដេលះយ

ក-គនជមរចx

lim f (x)→−∞


េយតបនច xx x

lim f (x) lim 1 (x 1)e 1→−∞ →−∞

= + − =

េពះច xx

lim (x 1)e 0→−∞

− = ។

នតចx

x xlim f (x) lim 1 (x 1)e→+∞ →+∞

= + − = +∞



េពះច xx

lim (x 1)e→+∞

− = +∞ ។

េដយចx

lim f (x) 1→−∞

= នឱឲបនា រងចy 1= អសណមររេដកៃនកបច

ខ-គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x)

េយតមនច xf (x) 1 (x 1)e= + − កនរងេជចចD IR=

េយតបនច x x xf '(x) (x 1)'e (e )'(x 1) xe= − + − = ។

េបចច xf '(x) xe 0= = េនះចចx 0= ។

េពះចx 0= អនណគមនមនរៃមវអបរមច f (0) 0= ។


x − ∞ 0 + ∞

y '

y



គ-រកសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c)

េបចx 1= េគបនចចy f (1) 1= = នឱឲចចA(1,1 ) នណបយះច។

រមរបមនងចច A A A(T): y y f '(x ) (x x )− = −

េដយច Af '(x 1) e= =

េគបនច(T) : y 1 e (x 1)− = −

ដេនះចច (T) : y ex e 1= − + ។ចសតង កបច(c) នតបនា រងច(T) ៖

2 3-1-2-3-4-5

2

3

4

-1

-2

0 1

1

x

y

A ( 1 , 1 )



ឃ-គនករៃផា

េយតបនចច1 1 1 1

x x x

0 0 0 0S 1 (x 1)e .dx dx (x 1)e .dx 1 (x 1)e .dx = + − = + − = + − ∫ ∫ ∫ ∫

រតចច xu x 1

dv e dx

= −

= នឱឲចច x

du dx

v e

=

=

11 1x x x0 0

0S 1 (x 1)e e .dx 2 e

3 e 3 2.718 0.282

= + − − = −

= − = − =

∫

ដេនះចច S 0.282= ( ឯករៃផាករចនច។



ឧទរ៣

េគឱឲអនណគមនចxef (x)x

=

ក-រសកទសេដអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) នតចសតង កបច (c)

រតអនណគមនចy f (x)= កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →

មយច។

ខ-េដយេបកបច(c) រសកអរាបពចនតចសយ ៃនឬសរបសង

សមករ xe k x 0− = តដជចk បយ មយ តមយ រច។

ដេលះយ

ក-សកទសេដអេថរបពចនតសតង កបច(c)

េគមនចxef (x)x

= តដនកនរងចចD IR 0 = −

.ទសេដអេថរបពច

x x x

2 2(e )'x (x)'e (x 1)ef '(x)

x x

− −= =

េបចf '(x) 0= សមមជច x(x 1)e 0− = នឱឲចx 1= ។

េពះចx 1= អនណគមនមនរៃមវអរបរមចf (1) e 2.7182= = ។



ជមរចនតចអសណមររ ៖

x

x 0 x 0

elim f (x) limx→ →

= = −∞− −

នតចចx

x 0 x 0

elim f (x) limx→ →

= = +∞+ +

x

x x

elim f (x) lim 0x→−∞ →−∞

= = នតចx

x x

elim f (x) limx→+∞ →+∞

= = +∞ ។

នឱឲបនា រងចy 0= អសណមររេដកៃនកបច(c) ។


x − ∞ 0 + ∞

y '

y



សតង កបច(c) ៖

ខ-សកអរាបពចនតចសយ ៃនឬសៃន xe k x 0− =

សមករអសរសរចចxe kx

= សមករអបងសណសនណរមររត(c)

នតច(d) : y k= ។

រមកឆកេយតអសនដ នដរេទ ៖

-េពះចk ( , 0 )∈ − ∞ សមករមនឬសតរមយគរងគគចចx 0< ។

-េពះចk [0 , e )∈ សមករសនឬសច។

-េពះចk e= សមករមនឬាណបមយគគច 1 2x x 1 0= = > ។

-េពះចចk (e , )∈ + ∞ សមករមនឬពរេផផតស ចច 1 20 x x< < ។

2 3-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

0 1

1

x

y

( C )(d) :y = k

(d) : y = k

(d) : y = k



៤-អនគមនេលេររេនន

េលកេបមនលមត ៖

(/ចxlim ln x→+∞

= +∞ 3/ច nx

ln xlim ,n 0x→+∞

= +∞ >

2/ចx 0lim ln x→ +

= −∞ 4/ច n

x 0lim x ln x 0 , n 0→ +

= >

េលកេបមនានេ ដា ៖

(/ចចេបចy ln x= េនះចច 1y 'x

=

2/ចចេបចy ln u(x)= េនះចច u'(x)y 'u(x)

=

ឧទរ១

េគឱឲអនណគមនចf កនរងេជចច (0, )+ ∞ េដយចចf (x) 1 xlnx= +

ក-រគនជមរចx 0

lim f (x)→ +


។

ខ-គនេដរេវចf '(x) រ សកសយ របសងច f '(x) ។ច

គសរមតអេថរបពៃនចf (x) ។



គ-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតចf រតង នណ

មនអបងសណសចx 1= ។រសតងចកបច(c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរ

មយ ជងច (o, i , j )→ →

តរមយច។

ឃ-គនករៃផាចS( )α ខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណត

េនវ ះច[ ], 1 , 0α α > រ ទរកជមរចច0

lim S( )α→

α+ ។

ដេលះយ

ក-គនជមរចx 0

lim f (x)→ +


េយតបនច ( )x 0 x 0

lim f (x) lim 1 xlnx 1→ →

= + =+ +

េពះចចx 0

lim xlnx 0→

=+

នតចx xlim f (x) lim xlnx→+∞ →+∞

= = +∞ ។

ខ-គនេដរេវចf '(x) រ សកសយ របសងចf '(x)

េយតបនចចf '(x) (x)'lnx (lnx)'x lnx 1= + = +

-េបចចច lnx 1 0+ > នឱឲចច1xe

> េនះចចf '(x) 0>

-េបចច lnx 1 0+ = នឱឲចច 1xe

= េនះច f '(x) 0= ។



-េបចចច lnx 1 0+ < នឱឲចច 1xe

< េនះចf '(x) 0< ។

គសរមតអេថរបពៃនចf (x) ៖

x 0 1e

+ ∞

y '

y

គ-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) រតចf រតង នណមន

អបងសណសចx 1= ៖

េពះចx 1= េនះចចy f (1) 1 0 1= = + = នឱឲចA( 1 , 1) នណបយះច។

រមរបមនងចច A A A(T) : y y f '(x ) (x x )− = −

េដយចច Af '(x 1) 1 ln1 1= = + = េគបនច(T) : y 1 x 1− = −

នឱឲចច (T) : y x= ។



សតងចកបច(c) នតបនា រងច(T) កណតររណយអររនរមយ ជងច (o, i , j )→ →

៖

ឃ-គនករៃផាចS( )α ខ ម េដយច (c) នតអកផមអបងសណសកណត

េនវ ះច[ ], 1 , 0α α >

េយតបនច1 1 1 1

S( ) (1 xlnx).dx dx xlnx.dx (1 ) xlnx.dxα α α α

α = + = + = − α +∫ ∫ ∫ ∫

រតចចu lnxdv xdx=

= នឱឲចចច 2

1du dxx

xv2

= =

2 3 4-1-2

2

3

4

-1

0 1

1

x

y(c)

(d) : y = x



េគបនចច1 12 2 12x 1 1S( ) 1 lnx xdx 1 ln x

2 2 2 4 αα α

α α = − α + − = − α − α − ∫

2 2 2

21 1 31 ln ln2 4 4 4 4 2α α α

= − α − α − + α = − α + − α

ដេនះចច2 23S( ) ln

4 4 2α α

α = − α + − α នតចច0

3lim S( )4α→

α =+

។



ជពកទ៤

លចហរងេណសេរ ណសនដចេណណ

លចហរង១

េគឱឲអនណគមនចf មនេដរេវេជច( 2 , )− + ∞ តដជចf (x) x 2= +

ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −

ខ. បបង េពះគបងចx [ 1 , 2 ]∈ − េគបនច៖

1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2

+ ≤ + ≤ + ។

ដចេណណ

ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −

េគមនចf (x) x 2= +

េគបនច (x 2)' 1f '(x)2 x 2 2 x 2

+= =

+ +

េដយច 1 x 2− ≤ ≤ េនះច1 x 2 4≤ + ≤ ឬច1 x 2 2≤ + ≤



េគទច1 1 14 22 x 2≤ ≤

+

ដេនះចច1 1f '(x)4 2

≤ ≤ េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ − ។

ខ. បបង េពះគបងចx [ 1 , 2 ]∈ − េគបនចច

1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2

+ ≤ + ≤ +

រមសមយខតេជេគមនច1 1f '(x)4 2

≤ ≤ េពះគបងចx [ 1,2 ]∈ −

រមទដសងបទវសមបពកេ នមនករងអនណវរងន េពះអនណគមនចf

កណតេនវ ះច[ 1,2 ]− េគបន ៖

េពះចx 1≥ − េនះច1 1(x 1) f (x) f ( 1) (x 1)4 2

+ ≤ − − ≤ +

ឬច1 1 1 1x x 2 1 x4 4 2 2

+ ≤ + − ≤ +

ដេនះចចចច1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2

+ ≤ + ≤ + ។



លចហរង២

េគឱឲអនណគមនចf មនេដរេវេជចIR តដជច 2f (x) ln(x 1 x )= + +

ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3

∈ ។

ខ. បបង េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3

∈ េគបនចច

23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +

ដចេណណ

ក. រករៃមវអមៃនចf '(x) េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3

∈

េគបនច2

2

(x 1 x )'f '(x)x 1 x

+ +=

+ +

22

2 2 2

2

2x11 x x2 1 x

x 1 x (x 1 x ) 1 x1

1 x

++ ++= =

+ + + + +

=+

េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3

∈ េគបនច 225 251 x16 9

≤ + ≤



ឬចច 25 51 x4 3≤ + ≤ នឱឲច

2

3 1 45 51 x≤ ≤

+

ដេនះចច 3 4f '(x)5 5≤ ≤ េពះគបងច 3 4x [ , ]

4 3∈ ។

ខ. បបង េពះគបងច 3 4x [ , ]4 3

∈ េគបនចច

23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − +

រមសមយខតេជេគមនចចច 3 4f '(x)5 5≤ ≤ េពះគបងច 3 4x [ , ]

4 3∈

រមទដសងបទវសមបពកេ នមនករងេគបន ៖

េពះច 3 3 3 3 4 3x : (x ) f (x) f ( ) (x )4 5 4 4 5 4

≥ − ≤ − ≤ −

ឬច 23x 9 4x 3ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− ≤ + + − ≤ −

ដេនះច 23x 9 4x 3ln 2 ln(x 1 x ) ln 25 20 5 5− + ≤ + + ≤ − + ។



លចហរង៣

េគមនអនណគមនចf (x) 3x 1= + កនរងេជច1[ ; )3

− + ∞

ក. េពះគបងច1 x 5≤ ≤ របបង ចច 3 3f '(x)8 4

≤ ≤ ។

ខ. េដយេបវសមបពកេ នមនកនរងអនណវរងនេទនដតអនណគមនចf

េពះគបងច [ ]x 1,5∈ របបង ចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4

+ ≤ + ≤ +

ដចេណណ

ក. េពះគបងច1 x 5≤ ≤ បបង ចច 3 3f '(x)8 4

≤ ≤

េគមនចចf (x) 3x 1= + នឱឲចច 3f '(x)2 3x 1

=+

េពះគបងច [ ]x 1,5∈ េគមនចច1 x 5≤ ≤ ឬច4 3x 1 16≤ + ≤

1 1 14 23x 13 3 38 42 3x 1

≤ ≤+

≤ ≤+

ដេនះចចចច3 3f '(x)8 4

≤ ≤ េពះគបងច [ ]x 1,5∈ ។



ខ. បបង ចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4

+ ≤ + ≤ +

េពះគបងច [ ]x 1,5∈ េគមនច 3 3f '(x)8 4≤ ≤

រមទដសងបទវសមបពកេ នមនកនរង

េពះចx 1≥ េគមនច 3 3(x 1) f (x) f (1) (x 1)8 4

− ≤ − ≤ −

េដយចf (x) 3x 1= +

េគបនចចច 3 3 3 3x 3x 1 2 x8 8 4 4

− ≤ + − ≤ −

នឱឲចចចចចច 3 13 3 5x 3x 1 x8 8 4 4

+ ≤ + ≤ + ។



លចហរង៤

េគឱឲចf អនណគមនកនរងេដយច 2 nf (x) (x 1 x )= + +

តដជចx IR∈ នតចn IN∈ ។

ក-រគនេដរេវចf '(x) រ បបង ៖

21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។

ខ-រយបយប កងទនកងទនតច៖

2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + = ។

ដចេណណ

ក-គនេដរេវចf '(x)

េគមនចច 2 nf (x) (x 1 x )= + +

រមរបមនងចច n n 1(u )' nu'.u −=

េគបនចច 2 2 n 1f '(x) n.(x 1 x )'.(x 1 x ) −= + + + +



22 n 1

2

2 n 12

22 n 1

2

2 n2

(1 x )'f '(x) n. 1 .(x 1 x )2 1 x

2xn. 1 .(x 1 x )2 1 x

1 x xn. .(x 1 x )1 x

n (x 1 x )1 x

−

−

−

+= + + + +

= + + + +

+ += + +

+

= + ++

ដេនះចច 2 n2

nf '(x) .(x 1 x )1 x

= + ++

។

បបង ច 21 x .f '(x) n.f (x)+ =

េគមនច 2 n2

nf '(x) .(x 1 x )1 x

= + ++

េដយច 2 nf (x) (x 1 x )= + +

េគបនច2

nf '(x) .f (x)1 x

=+

នឱឲច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។

ដេនះចចច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = ។



ខ-យបយប កងទនកងទនត ៖

2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + =

េគមនចច 21 x .f '(x) n.f (x)+ = នឱឲច2

f (x)f '(x) n.1 x

=+

េគបនចចច2 2

2 2

f '(x) 1 x ( 1 x )'f (x)f ''(x) n.( 1 x )

+ − +=

+

( )

22

2

22

2

2xf '(x). 1 x .f (x)2 1 xf ''(x) n

1 xf (x)1 x .f '(x) x.1 xf ''(x) n. 1

1 x

+ −+=

+

+ −+=

+

េគមនច ( )21 x .f '(x) n.f (x) 2+ =

នតចច ( )2

1 f (x).f '(x) 3n 1 x

=+

យកច(2នចនតច(3នចជសកណតទនកងទនតច( )1 េគបន ៖

ដេនះចចច 2 2(1 x ).f ''(x) x.f '(x) n .f (x)+ + = ។



លចហរង៥

េគឱឲចf អនណគមនកនរងេដយ ៖

xc.xs i n.kxc o sxs i n)x(f 2266 ++=

ក-រគនេដរេវចf '(x) ។

ខ-រកនរង ននពរចk េដមឱឲចf (x) អនណគមនេថរ ន គបងx IR∈

ដចេណណ

ក-គនេដរេវចf '(x)

5 5 2 2 2 2f '(x) 6.(sin x)'sin x 6.(cos x)'cos x k(sin x)'cos x k(cos x)'sin x= + + +

5 5 3 3

4 4 2 2

2 2 2 2

6cos xsin x 6sin xcos x 2k sin xcos x 2k cos xsin x

6cos xsin x(sin x cos x) 2k sin xcos x(cos x sin x)

3sin 2x(sin x cos x)(sin x cos x) k sin 2x.cos 2x3sin 2xcos 2x k.sin 2xcos 2x

1( 3 k).sin 2xcos 2x (k 3)sin4x2

= − + −

= − + −

= − + += − +

= − + = −

ដេនះចចច 1f '(x) (k 3).sin4x2

= − ។



ខ-កនរង ននពរចk

េដមឱឲចf (x) អនណគមនេថរ នេពះគបងចx IR∈ ជណះរតរច

f '(x) 0= គបងចx IR∈ ។ច

េដយច 1f '(x) (k 3).sin4x2

= −

េគទចk 3 0− = នឱឲចk 3= ។



លចហរង៦

េគឲអនណគមនចf (x) កនរងចនតមនេដរេវេជចIR ។

េគដដតចច2

f (1) f '(1) 31 2f ''(x) f '(x) 4x 1

2x 1 (2x 1)

= = − = + − −

រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។

ដចេណណ

កនរងរកអនណគមនចf (x) ៖

េគមនច 21 2f ''(x) f '(x) 4x 1 (1)

2x 1 (2x 1)− = +

− −

រតច 1g(x) f '(x).2x 1

=−

េគបនច2

1 1g'(x) f ''(x) f '(x)2x 1 (2x 1)

= −− −

ទនកងទនតច(1) កវ យេទ ចg'(x) 4x 1= + េនះ 2g(x) 2x x C= + +

េបចx 1= េនះចg(1) 3 C= + តរច 1g(1) f '(1). f '(1) 32(1) 1

= = =−

េគបនច3 C 3+ = ន ឲចC 0= ដេនះច 2g(x) 2x x= +

េដយច 1g(x) f '(x).2x 1

=−

េគទច 2f '(x) 2x x2x 1

= +−



3f '(x) 4x x= − ន ឲច 4 21f (x) x x k2

= − +

េបចx 1= េនះច 1f (1) k 32

= + = ន ឲច 5k2

= ។

ដេនះចច 4 21 5f (x) x x2 2

= − + ។



លចហរង៧

េគឲអនណគមនចf (x) កនរងចនតចមនេដរេវេជចIR េដយច៖

2f '(x).f (x) x(x 2)f (0) 2

= −

= េពះគបងចx IR∈ ។


ដចេណណ

កនរងរកអនណគមនចf (x) ៖

េគមនច 2f '(x) . f (x) x(x 2) (1)= −

រតច 3g(x) f (x)= េគបនច 2g '(x) 3f '(x) .f (x)=

ឬច 21 g '(x) f '(x) .f (x)3

=

ទនកងទនតច(1) េទ ច1 g '(x) x(x 2)3

= −

2

3 2

g '(x) 3x 6x

g(x) x 3x k

= −

= − +

េបចx 0= េនះចg(0) k=



េដយច 3 3g(0) f (0) (2) 8= = =

េគបនច 3 2g(x) x 3x 8= − + តរច 3g(x) f (x)=

េគទច 3 3 2f (x) x 3x 8= − + ន ឲច 3 3 2f (x) x 3x 8= − +

ដេនះចច 3 3 2f (x) x 3x 8= − + ។



លចហរង៨

េគឲអនណគមនច3 2

2x 3x 3x 1f (x)

3x 3x 1+ − +

=− +

កនរង េពះគបងចx IR∈ ។

េពះគបង ននពរវជបមនចa នតចb រយបយប កងច៖

1 a b 1 a b abf f2 2 a b

+ + + + + ≥ + + ។

ដចេណណ

យបយប កងច៖


+ + + + + ≥ + +

េយតមនច3 2

2x 3x 3x 1f (x)

3x 3x 1+ − +

=− +

កនរង េពះគបងចx IR∈

2 2 3 2

2 2

4 3 2 2 2

2 2 2 2

(3x 6x 3)(3x 3x 1) (6x 3)(x 3x 3x 1)f '(x)(3x 3x 1)

3x 6x 3x 3x (x 1) 0 , x IR(3x 3x 1) (3x 3x 1)

+ − − + − − + − +=

− +

− + −= = ≥ ∀ ∈

− + − +

ដេនះចf (x) អនណគមនេកនេជចIR ។

មយ តេទៀរេយតសនរច1 a b 1 a b ab2 2 a b

+ + + + +≥

+ +



េគបនច 2 2 a b1 a b 1 a b ab

+ +≤

+ + + + +

2 (1 a) (1 b)1 a b (1 a)(1 b)

2 1 11 a b 1 a 1 b

+ + +≤

+ + + +

≤ ++ + + +

េដយច 1 11 a b 1 a

≤+ + +

នតច1 1

1 a b 1 b≤

+ + +

គបង ននពរវជបមនចa នតចb ។

េគទច 2 1 11 a b 1 a 1 b

≤ ++ + + +

ន ឲករសនរច1 a b 1 a b ab2 2 a b

+ + + + +≥

+ +ពរ។

ដេនះរមជកះអនណគមនេកនេគទច


+ + + + + ≥ + + ។



លចហរង៩

េគឱឲចa នតចb ពរននពរតដជច0 a b2π

≤ < <

រយច 2 2b a b atan b tan acos a cos b− −

< − <

ដចេណណ

យច 2 2b a b atan b tan acos a cos b− −

< − <

រតអនណគមនចf (x) tan x= តដជចx [0 , )2π

∈

េគបនច 21f '(x)

cos x= ។

េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះចx [0 , )2π

∈

េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a ,b )∈ តដជ ៖

f (b) f (a) tan b tan af '(c) (1)b a b a− −

= =− −

េយេពះចx [a , b ]∈ តដជច0 a b2π

≤ < <

េគមនចចcosb cos x cosa≤ ≤



េនះេគទច 2 21 1f '(x)

cos a cos b< <

យកចx c= េគបនច 2 21 1f '(c) (2)

cos a cos b< <

រមច(1) នតច(2) េគទច

2 2b a b atan b tan acos a cos b− −

≤ − ≤ ។



លចហរង១១

េពះគបង ននពរច0 a b< < រយបយប កង ៖

b a b aln b ln ab a− −

≤ − ≤ ។

ដចេណណ

យចb a b aln b ln ab a− −

≤ − ≤

រតអនណគមនចf (x) ln x= តដជចx (0, )∈ + ∞

េគបនច 1f '(x)x

= ។

េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះច )x (0 ,∈ + ∞

េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a,b )∈ តដជ ៖

f (b) f (a) lnb lnaf '(c) (1)b a b a− −

= =− −

េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b< <

េគមនចចa x b≤ ≤ េនះេគទច 1 1f '(x)b a≤ ≤



យកចx c= េគបនច 1 1f '(c) (2)b a< <

រមច(1) នតច(2) េគទច 1 lnb lna 1b b a a

−< <

−

ដេនះចb a b alnb lnab a− −

< − < ។



លចហរង១២

េពះគបង ននពរច0 a b2π

≤ < ≤ រយបយប កង ៖

(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ − ។

ដចេណណ

យច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ −

រតអនណគមនចf (x) sin x= តដជចx [0, ]2π

∈

េគបនចf '(x) cosx= ។

េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះច [0 ,2

x ]π∈

េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនច )b,a(c∈ តដជ ៖

f (b) f (a) sinb sinaf '(c) (1)b a b a− −

= =− −

េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b2π

≤ < ≤

េគមនចចcosb cosx cosa< <

េនះេគទចcosb f '(x) cosa< <



យកចx c= េគបនចcosb f '(c) cosa (2)< <

រមច(1) នតច(2) េគទច sinb sinacosb cosab a−

< <−

ដេនះច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− < − < − ។

លចហរង១៣



េពះគបង ននពរច0 a b≤ < រយបយប កង ៖

n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− ≤ − ≤ − តដជចn IN∈ ។

ដចេណណ

យចច n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− ≤ − ≤ −

រតអនណគមនច nf (x) x= តដជចx [0, )∈ + ∞

េគបនច n 1f '(x) nx −= ។

េដយចf (x) អនណគមន បងចនតមនេដរេវេជេនវ ះx [0, )∈ + ∞

េនះរមទដសងបទរៃមវមធឲមចេនះមនចc (a,b )∈ តដជ ៖

)1(abab

ab)a(f)b(f)c('f

nn

−−

=−−

=

េយេពះចx [a, b ]∈ តដជច0 a b≤ <

េគមនចច n 1 n 1 n 1a x b− − −< < េនះេគទច n 1 n 1na f '(x) nb− −< <

យកចx c= េគបនច n 1 n 1na f '(c) nb (2)− −< <

រមច(1) នតច(2) េគទចn n

n 1 n 1b ana nbb a

− −−< <

−



ដេនះច n 1 n n n 1na (b a) b a nb (b a)− −− < − < − ។

លចហរង១៤

គនចy' អនណគមនៃនចx នតចy េបេគដដត ៖

y xx y= គបងចx 0, y 0> > ។

ដចេណណ

គនចy' អនណគមនៃនចx នតចy

េគមនច y xx y= នឱឲចចy ln x xln y=

េធឆេដរេវេជសមករេនះច 1 y'y'ln x y. ln y x.x y

+ = +

ឬចច x y(ln x )y' ln yy x

− = −

ដេនះចចចyln yxy' xln xy

−=

− ។

លចហរង១៥



រគនចy'' អនណគមនៃនចx នតចy េបេគដដត ៖

3 3x y 4 3xy+ + = ។

ដចេណណ

គនចy'' អនណគមនៃនចx នតចy

េគមនចច 3 3x y 2 3xy+ + =

េធឆេដរេវេជអតទតពរៃនសមករេនះេគបន ៖

2 2

2 2

2

2

3x 3y'y 3y 3xy'

x y'y y xy'

y xy'y x

+ = +

+ = +

−=

−

េយច2 2

2 2(y' 2x)(y x) (2yy' 1)(y x )y''

(y x)− − − − −

=−

2 2 2 2

2 2(x 2xy y) (y 2x y x)y'

(y x)− + − − +

=−

ជនសច2

2y xy'y x−

=−

រ បតរមេគទទជបន ៖



3 3

2 32xy(3xy x y 1)y''

(y x)− − −

=−

េដយច 3 3x y 2 3xy+ + =

ដេនះច 2 32xyy''

(y x)=

− ។

លចហរង១៦



េគឱឲអនណគមនច 1f (x)1 x

=−

តដជចx 1≠

ក. គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចf (x) រតេដយច (n)f (x) ។

ខ.រយអនណគមនចf (x) អសរេសរ មត ៖

2 n(n)

nx x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)1! 2! n!

= + + + + +

តដជចn 1

nxR (x)1 x

+=

− គបងចx 1≠ ។

ដចេណណ

ក. គនេដរេវទចn ៃនអនណគមនចf (x) ៖

េគមនច 11f (x) (1 x)1 x

−= = −−

េគបនច 2 2 2f '(x) (1 x)'(1 x) (1 x) 1!(1 x)− − −= − − − = − = −

3 3

(3) 4 4

f ''(x) 2(1 x) 2!(1 x)

f (x) 6(1 x) 3!(1 x)

− −

− −

= − = −

= − = −− − − − − − − − − − − − − − − − − −

ឧបមច (n) n 1f (x) n!(1 x)− −= − ពរ

េយតនដតយច (n 1) n 2f (x) (n 1)!(1 x)+ − −= + − ពរ



េគមនច

(n 1) (n) n 1 n 2f (x) [f (x)]' [n!(1 x) ]' (n 1)!(1 x)+ − − − −= = − = + − ពរ

ដេនះច (n) n 1n 1

n!f (x) n!(1 x)(1 x)

− −+= − =

− ។

ខ.យអនណគមនចf (x) អសរេសរ មត ៖

2 n(n)

nx x xf (x) f (0) f '(x) f ''(0) ... f (0) R (x)1! 2! n!

= + + + + +

េគមនច (n)n 1

n!f (x)(1 x) +=−

េនះច (n)f (0) n!= នតចf (0) 1=

េយចn 1

nxR (x)1 x

+=

− េនះេគបន ៖

)x(R)0(f!n

x. . .)0(''f!2

x)x('f!1

x)0(f)x(f n)n(

n2

+++++=

n 12 n

2 n n 1

n 1 n 1

x1 x x .... x1 x

(1 x)(1 x x .... x ) x1 x

1 x x 11 x 1 x

+

+

+ +

= + + + + +−

− + + + + +=

−− +

= =− −

Bti

លចហរង១៧



េគឱឲអនណគមនចច3 2

2x 8x 13x 2y f (x)

x 2x 1− + −

= =− +

ក. សកអេថរបពចនតសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយអររ

រមយ ជង )j,i,o(→→

មនឯករច1cm េយេជអកផមច។

ខ. េដយេបកបច(c) រសករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង

សមករ 3 2x (m 8)x (2m 13)x (m 2) 0− + + + − + =

( m IR∈ បយ មយ តមយ រចន

ដចេណណ

-តដនកនរងចD IR 1 = −

-ទសេដអេថរបព

.សរេសរ មតកន

1x2x4)6x1 2x6()xx2x()x(f 2

223

+−++−−+−

=

2)1x(46x)x(f−

+−=



.េដរេវច3

3 38 (x 1) 8f '(x) 1

(x 1) (x 1)− −

= − =− −

.នណបរម

េបចf '(x) 0= េគបនច 3(x 1) 8 0− − = ឬចx 3=

អនណគមនមនរៃមវអបបរមេធៀបរតងចx 3= គគច

24f (3) 3 6 2

(3 1)= − + = −

−

.គនជមរ

2x 1 x 1

4lim f (x) lim x 6(x 1)→ →− −

= − + = +∞

−

នត 2x 1x 1

4lim f (x) lim x 6(x 1)→ +→ +

= − + = +∞

−

2x x

4lim f (x) lim x 6(x 1)→±∞ →±∞

= − + = ±∞

−

.អសណមររច

េដយេគមនចx 1limf (x)→

= +∞ ន ឲបនា រងចx 1= អសណមររឈរច។



មយ តេទៀរេគមនច 24f (x) x 6

(x 1)= − +

− េដយច 2x

4lim 0(x 1)→±∞

=−

ដេនះបនា រងចy x 6= − អសណមររេទរៃនតខផេកតច(c) ។

.រមតអេថរបព

x ∞− 1 3 ∞+

)x('f

)x(f

-សតង កបច3 2

2x 8x 13x 2(c) : y

x 2x 1− + −

=− +



ខ. េដយេបកបច(c) សករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសចសមករ ៖

0)2m(x)1 3m2(x)8m(x 23 =+−+++−

សមករេនះអសរេសរដខតេកម ៖

m

1x2x2x1 3x8x

)1x2x(m2x1 3x8x

02mx1 3m x2x8m xx

2

23

223

223

=+−

−+−

+−=−+−

=−−++−−

2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

-7

-8

0 1

1

X

Y



សមករអបងសណស ណ បសពឆររតចតខផេកត(c) នតបនា រងច

( ) : y m∆ = ។

រមកឆកេយតអសនដ នជទផជដខតេកម ៖

-េពះចm ( , 2)∈ −∞ − សមករមនឬសតរមយគរងច។

-េពះចm 2= − សមករមនឬសាណបច 1 2x x 3= = នតឬសេទជច

3x 0= ។

-េពះចm ( 2 , )∈ − + ∞ សមករមនឬសបេផផតស ច។



លចហរង១៨

េគឱឲអនណគមនច3 2

2x 6x 9x 4y f (x)

x 4x 4− + −

= =− +

ក. សកអេថរបពចនតសតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតរមមយអររ

រមយ ជង )j,i,o(→→

មនឯករច1cm េយេជអកផមច។

ខ. េដយេបកបច(c) រសករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង

សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =

( m IR∈ បយ មយ តមយ រចន

ដចេណណ

-តដនកនរងចD IR 2 = −

-ទសេដអេថរបព

.សរេសរ មតកនច

3 2 2

2

2

(x 4x 4x) (2x 8x 8) 3x 4f (x)x 4x 4

3x 4f (x) x 2(x 2)

− + − − + − +=

− +−

= − −−



.េដរេវច2

43(x 2) 2(x 2)(3x 4)f '(x) 1

(x 2)− − − −

= −−

3

3 2

3

3 2

3

2

3

3x 6 6x 8f '(x) 1(x 2)

x 6x 12x 8 3x 2(x 2)

x 6x 15x 10(x 2)

(x 1)(x 5x 10)(x 2)

− − += −

−

− + − + −=

−

− + −=

−

− − +=

−

.នណបរម

េបចf '(x) 0= េគបនច 2(x 1)(x 5x 10) 0− − + =

េដយរតច 2x 5x 10 0 , 25 40 0− + = ∆ = − < (សនឬសន

ដេនះេគបនចx 1= ។

អនណគមនមនរៃមវអរបរមរតងx 1= គគច 23 4f (1) 1 2 0

(1 2)−

= − − =−

.គនជមរ

2x 2 x 2

3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→ →− −

−= − − = −∞

−



នត 2x 2x 2

3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→ +→ +

−= − − = −∞

−

2x x

3x 4lim f (x) lim x 2(x 2)→±∞ →±∞

−= − − = ±∞

−

.អសណមររច

េដយេគមនចx 1limf (x)→

= +∞ ន ឲបនា រងចx 1= អសណមររឈរច។

មយ តេទៀរេគមនច 23x 4f (x) x 2

(x 2)−

= − −−

េដយច 2x

3x 4lim 0(x 2)→±∞

−=

−ដេនះបនា រងចy x 2= − អសណមររេទរ

ៃនតខផេកតច(c) ។

.រមតអេថរបព

x ∞− 1 2 ∞+

)x('f

)x(f



-សតង កបច 3 2

2x 6x 9x 4(c) : y

x 4x 4− + −

=− +

ខ. េដយេបកបច(c) សករមរៃមវចm នវអរាបពៃនឬសរបសង

សមករ 3 2x (m 6)x (4m 9)x 4(m 1) 0− + + + − + =

សមករេនះអសរេសរចច3 2

2x 6x 9x 4 m

x 4x 4− + −

=− +

2 3 4 5 6 7 8 9-1-2-3-4

2

3

4

5

-1

-2

-3

-4

-5

-6

0 1

1

X

Y



សមករអបងសណស ណ បសពឆររតចតខផេកត(c) នតបនា រងច

( ) : y m∆ = ។

រមកឆកេយតអសនដ នជទផជដខតេកម ៖

-េពះចm ( ,0)∈ −∞ សមករមនឬសបេផផតស ច។

-េពះចm 0= សមករមនឬសាណបច 1 2x x 1= = នតឬសេទជច

3x 4= ។ច

-េពះចm (0 , )∈ + ∞ សមករមនឬសតរមយគរង។



លចហរង១៩

េគឱឲអនណគមនច ( ) ( ) xf x 1 x .e 1= − − កនរងេជចIR ។

ក. គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនចf ។ច

ទបយប កងសយ ៃនអនណគនច ( )f x ។

ខ. េគឱឲចg អនណគមនចកនរងេជចIR េដយច ( ) ( ) xg x 2 x .e 2 x= − + −

រគនជមរច ( )xlim g x→−∞

នតច ( )xlim g x→+∞

។

គ. គនេដរេវច ( )g' x រ បយប កងសយ របសងច ( )g' x ។ច

គសរមតអេថរបពៃនច ( )g x ។

ឃ. យបយប កងបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកប

( )C រតអនណគមនg កជលចx → −∞ ។ច

សកទរតេធៀបររតតខផេកតច( )C នតបនា រងច(d) ។

ត.សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតច( )C េយសបនដតបនា រង( )d ។

. កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។

េ. សតង កប( )C បនា រង( )T នត( )d កណតររណយអរររមយ ជងច( )0, i , j



ដចេណណ

ក. គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនចf

េគមនច ( ) ( ) ( ) ( )x xf ' x 1 x '.e e '. 1 x= − + −

( )x x

x x x

x

e e 1 x

e e x.e

x.e

= − + −

= − + −

= −

េបច ( ) xf ' x x.e 0= − = នេអយចx 0= ។

េពះចx 0= េគបនច ( ) ( ) 0f 0 1 0 .e 1 0= − − = ។

គនជមរ

( ) ( ) xx xlim f x lim 1 x .e 1 1→−∞ →−∞

= − − = −

នតច ( ) ( ) xx xlim f x lim 1 x .e 1→+∞ →+∞

= − − = −∞

x −∞ 0 +∞

( )f x

( )x'f



ទបយប កងសយ ៃនអនណគមនច ( )f x

រមរមតខតេជេគទបនច ( )x IR : f x 0∀ ∈ ≤ ។

ខ/គនជមរច ( )xlim g x→−∞


៖

េគបនច ( ) ( ) ( )xx xlim g x lim 2 x .e 2 x→−∞ →−∞

= − + − = +∞

េពះច( )

( )x

xx

lim 2 x

lim e 0→−∞

→−∞

− = +∞

=

េគបនច ( ) ( ) ( )xx xlim g x lim 2 x .e 2 x→+∞ →+∞

= − + − = −∞

េពះច( )

( )x

xx

lim 2 x

lim e→+∞

→+∞

− = −∞

= +∞

គ. គនេដរេវច ( )g' x រ បយប កងសយ របសងច ( )g' x

េគមនច ( ) ( ) ( )( )x xg x 2 x .e 2 x 2 x e 1= − + − = − +

េគបនច ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x xg' x 2 x ' e 1 e 1 ' 2 x= − + + + −



( ) ( )

( )

x x

x x x x x

x

e 1 e . 2 x

e 1 2e x.e e x.e 1

1 x .e 1

= − + + −

= − − + − = − −

= − −

ដេនះច ( ) ( ) xg' x 1 x .e 1= − −

មយ តេទៀរេដយច ( ) ( ) ( )xg' x 1 x .e 1 f x= − − =

េយេគមនច ( )x IR : f x 0∀ ∈ ≤

ដេនះច ( )x IR : g' x 0∀ ∈ ≤ ។

គសរមតអេថរបពៃនច ( )xg

x −∞ 0 +∞

( )g' x

( )g x

េពះចx 0= នេអយច ( )g 0 4=



ឃ. យចបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C

េគមនច ( ) ( ) ( )( )

xC : g x 2 x .e 2 x

d : y 2 x

= − + −

= −

េគបនចច ( ) ( ) xg x y 2 x .e− = −

េដយេគមនច ( ) ( ) xx xlim g x y lim 2 x .e 0→−∞ →−∞

− = − =

ដេនះចបនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C ។

សកទរតេធៀបររតតខផេកតច( )C នតបនា រងច(d)

េគមនច ( ) ( ) xg x y 2 x .e− = − មនសយ ដច2 x−

េពះច xx IR :e 0∀ ∈ > ។

-េពះច ] [x ,2∈ −∞ តខផេកតច( )C េយពេជបនា រងច( )d ។

-េពះចx 2= តខផេកតច( )C បសពឆបនា រងច( )d រតង នណច ( )A 2,0 ។

-េពះច ] [x 2,∈ +∞ តខផេកតច( )C េយពេកមបនា រងច( )d ។



ត. រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C េយសបនដតច( )d ៖

រតច ( )0 0 0M x ,y នណបយះររតបនា រងច( )T មយច( )C

រមរបមនងច ( )0 0 0(T) : y y y' . x x− = −

េដយច( ) ( )T / / d : y 2 x= − នឱឲច 0y' 1= −

តរច ( ) ( ) x0 0 0

0y' g' x 1 x e 1= = − −

េគទបនច( ) x0

01 x e 1 1− − = − នឱឲច 0x 1=

េយច ( )0 0y g x e 1= = + ។

េគបនច( ) ( ) ( )T : y e 1 1. x 1− + = − −

ដេនះច( )T : y x e 2= − + + ។

. កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ៖

េគមនច ( ) ( ) ( )xg' x 1 x .e 1 f x= − − =

េគបនច ( ) ( ) xg'' x f ' x x.e= = − មនឬសចx 0= ។

េពះចx 0= េគបនចg(0) 4= ។



រមតសកសយ ៃនច ( ) xg'' x x.e= −

x −∞ 0 +∞

( )g'' x

( )g x

េដយរតង នណចx 0= កេនមច ( )g'' x បងរសយ ពច( )+ េទច( )−

នឱឲច ( )I 0,4 នណរបរងៃនកបច។

េ. សតង កបច( )C បនា រងច( )T នតច( )d កណតររណយអរររមយ ជង ៖

2 3 4 5-1-2-3

2

3

4

5

-1

0 1

1

x

y

( C )

( T ) : y = -x+2+e

(d) : y = 2-x

M ( 1 , e + 1 )



លចហរង២០

េគឱឲអនណគមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − + តដជចx IR∈ ។

ក-រគនជមរចxlim f (x)→−∞


។

ខ-គនេដរេវចf '(x) នតf ''(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចf '(x) ។

( មនបងរកជមរៃនចf '(x) រតងច−∞ នតច+∞ នច។

គ-កនរងសយ របសងចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x) ។

ឃ-យបយប កងបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប

(c) ៃនចy f (x)= ។កជលចx → −∞ ។ច

បយប កងទរតេធៀបររតតខផេកតច(c) នតបនា រងច(d)

ត-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) េយសប មយនដត

បនា រងច(d) ។

-រគសកបចច(c) នតបនា រងច(d),(T) កណតរមមយអររនរមយ ជងច

(o , i , j )→ →

តរមយ ។



ដចេណណ

ក-គនជមរចxlim f (x)→−∞


េយតមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − +

េយតបនច 2xx xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→−∞ →−∞

= − + = −∞

េពះចច x2x

x

lim (x 1)

lim (e 1) 1→−∞

→−∞

− = −∞

+ =

នតច 2xx xlim f (x) lim (x 1)(e 1)→+∞ →−∞

= − + = +∞

េពះចច x2x

x

lim (x 1)

lim (e 1)→+∞

→+∞

− = +∞

+ = +∞

ខ-គនេដរេវចf '(x) នតចf ''(x)

េយតមនច 2xf (x) (x 1)(e 1)= − + កនរងេជចD IR=

េយតបនច 2x 2xf '(x) (x 1)'(e 1) (e 1)'(x 1)= − + + + −

2x 2x

2x

e 1 2e (x 1)

1 (2x 1)e

= + + −

= + −



នតច 2x 2x 2xf ''(x) (2x 1)'e (e )'(2x 1) 4xe= − + − =

ដេនះចច 2x 2xf '(x) 1 (2x 1)e , f ''(x) 4xe= + − = ។

គសរមតអេថរបពៃនចf '(x)

េយតមនច xf ''(x) 4xe= មនឬសចចx 0=

េពះចx 0= េនះចចf '(0) 1 1 0= − = ។

គ-កនរងសយ របសងចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf (x)

រមរមតអេថរបពខតេជេយតទបនចចf '(x) 0 , x IR≥ ∀ ∈

ដេនះចf '(x) មនសយ វជបមនច។



x −∞ 0 +∞

( )f ' x

( )f x

ឃ-យបយប កងបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប

េយតមនច 2x 2xf (x) (x 1)(e 1) x 1 (x 1)e= − + = − + −

េដយេគមនចច 2xxlim (x 1)e 0→−∞

− =

ដេនះចបនា រងច(d): y x 1= − អសណមររេទរៃនកប(c) ។

-បយប កងទរតេធៀបររតតខផេកតច(c) នតបនា រងច(d)

េគមនចច 2xf (x) y (x 1) e− = − មនសយ ដចx 1−

េពះចច 2xe 0 , x IR> ∀ ∈ ។

-េបចចx 1 0− > ឬចx 1> េនះតខផេកតច(c) េយេជបនា រងច(d) ។



-េបចx 1 0− < ឬចx 1< េនះតខផេកតច(c) េយេកមបនា រងច(d) ។

-េបចx 1 0− = ឬចx 1= េនះតខផេកតករងបនា រង រតង នណមយច

( )A 1 , 0 ។

ត-កនរងសមករបនា រងច(T) បយះនដតតខផេកតច(c) ៖

រតចច 0 0 0M ( x ,y ) នណបយះររតបនា រងច(T) នតកបច(c)

រមរបមនងសមករបនា រងបយះសរេសរចច 0 0 0(T) : y y f '(x ) (x x )− = −

េដយច(T) / /(d) : y x 1= − នឱឲចច 0f '(x ) 1=

តរចច 2x0 0

0f '(x ) 1 (2x 1)e= + −

េគបនច 2x0

01 (2x 1)e 1+ − = នឱឲចចច 01x2

=

េយច 01 1 1y f ( ) ( 1)(e 1) (e 1)2 2 2

= = − + = − +

េគបនចច 1 1(T) : y (e 1) 1(x )2 2

+ + = − នឱឲច ey x 12

= − − ។

ដេនះចច e(T) : y x 12

= − − ។



-គសកបចច(c) នតបនា រងច(d),(T) ៖

-កអរេដេន ណ សពឆររត(c) មយអកផមអបងសណសច៖

គគ 2xy (x 1)(e 1) 0= − + = េនះចx 1= ។

-កអរេដេន ណ សពឆររត(c) មយអកផមអរេដេរច៖

គគ x 0= េនះ x 1= ។

0 1

1

x

y



ជពកទ៥


១-រគនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ 3y 3cos x cos x= − 2/ច 3y sin xcos 3x=

3/ច 4y sin 4xcos x= 4/ច sin xy1 sin x

=+

5/ច cos xy1 cos x

=−

6/ច sin x cos xysin x cos x

−=

+

7/ច 1 tan xy1 tan x−

=+

8/ច 2 31 1y tan x tan x2 3

= +

9/ចy x cot x= − (0/ 4y cot x=

២-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ចx

xe 1ye 1

−=

+ 2/ច 2 xy (x x 1)e−= − +

3/ច x2y e−= 4/ច 3 2xy x e=

5/ច 2 xy (x x)e= − 6/ច2x 2xe ey

2

−−=



៣-គនេដរេវៃនអនណគមនខតេកមច៖

(/ច x ln xyx+

= 2/ច 2ln xyx

=

3/ចy 1 x x ln x= − + 4/ច x 1y lnx 1−

=+

5/ច 2y ln(x 4x 3)= − + 6/ច 2y ln(x x 4)= + +

៤-េគឲរេកចABC មយចរកកណតរតឆតងផរចO តដជមនកច6 cm ។ច

េគដដតច 0BOC 120∠ = ។ច

រកនរង ជមតរបសងរេកេនះេដម ឲរមនករៃផាអរបរម

រ កនរងរកករៃផាអរបរមេនះច

៥-េគមនរេកចABC មយមនជមតច៖

AB 3 cm , AC 4 cm , BC 5 cm= = = ។

M នតចN នណសារេយេជជមតេរៀតស ច[AB] នតច[AC]

តដជចMN 3 cm= កនរងរកករៃផារបសងរណេកចBMNC

េបផជបកអតរង ទតតទតពររបសងរមនរៃមវអរបរមច។



៦-េគឲរណេកព យចABCD មយតកតរតងចA នតចD េយេគយកច

M នណមយៃន[AD] ។េគដដតចAB 8 cm , AD 10 cm= =

នតចCD 12 cm= ។

រកនរងរកទរតៃននណចM េដម ឲរេកចMBC មនបរមរ

របផណរច។

៧-េគឲកនវះរតឆតងមយមនវជមរចAB 8cm= េយចP នណមយ

ៃនកនវះរតឆតងេនះច។ច

េគរតចPA x , PB y= = តដជច0 x 8 cm , 0 y 8 cm< < < < ។

កនរងចx នតចy េដម ឲករៃផារេកចPAB មនរៃមវអរបរមច

៨-រេកABCមយតកតរតងA តដជចAB 5 cm= នតAC 12 cm=

យកM នណមយៃនជមតច[AC] តដជចAM x= ។ច

រមចM េគសតង រណេកតកតចMNPA ចរកកណតរេកេនះច

កនរងចx េដម ឲរណេកMNPA មនករៃផាអរបរមរ កនរង

រកករៃផាអរបរមេនះច។



៩-េគឲរេកចABC មយមនជមតច

AB 51 cm , AC 52 cm , BC 53 cm= = = ។

M នណមយៃនជមតច[AB] ។ច

រមចM េគគសបនា រងច(MN) សបនដតជមតច[BC] េយករង ជមតច

[AC] រតងចN ។ចK នតចL េជតៃនេលជតកតនណចM

នតN េរៀតស េជជមតច[BC] ។យកAM x= តដជច0 x 51 cm< <

កនរងរៃមវចx េដម ឲរណេកចKMNL មនករៃផាអរបរមច។

១០-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

េគសតងបនា រងច(L) ករងរម

នណចA( 3 , 4 ) ។បនា រងច(L) ករងអកផមច(ox) រតងចP

នតចករងអកផមច(oy) រតងចQ ។ចេគសនរចP( a , 0 )

នតចQ(0 , b ) តដជចa 0 , b 0> > ។

កនរងចa នតចb េដម ឲរេកOPQ មនករៃផាអបបរមច



១១-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

េគមននណចP(x , y ) មយ

តដជចx 0 , y 0> > ។K នតចL េលជតកតៃននណចP

េជអកផមេរៀតស ច(ox) នតច(oy) ។

ក.កនរងស ណ នណចP េដម ឲបរមររេកចKPL

េសនដតច12cm ។

ខ.សនរងបរមររេកចKPL េសនដតច12cm ។ច

កនរងទរតនណចP េដម ឲរេកKPL មនករៃផាអរបរមច។

១២-េគតងេធឆអតទដកមយសនគរបមតរណេកតកតតដជមនបរ

ខតកណត កេរចេយៃផាខតសរណបតផកខតកណតអតេសនដតច 2108 m

កនរងរកវមររបសងអតទដកេនះេដម ឲរអដកងទដកបនេនបផណរច។

១៣-បេប ជពរមយមនកពសង4 m នតមយេទៀរមនកពសង9m ដកង

បររវ រពស ច10m េដម ឲបេប ជទតពរេយនដតេគបនតតខផ

ជសពរតខផបប បងេទនដតសដតមយេទកពជបេប ជនមយៗច។

េរេគរតវេបះសដតេយរតងលេដម ឲេបតខផជសអសងរ បផណរច។



១៤-េកមយមនកពសង 15 cm កសបរច6 cm ។ច

េគសតងសណរតមយចរកកណតេកេនះច។

កនរងកពសងនតកសបរចសណរតេដម ឲរមនមាអរបរមច

១៥-េគឲតសសឆមយមនកច6 cm ។ចេគសតងសណរតមយចរកកណតតសសឆេនះច

កនរងកពសងនតកសបរៃនសណរតេដម ឲរមនមាអរបរមច

១៦-េគករង េរៀកសមយមនមណផរចθ េពរតឆតងមយមនកច

r 12 dm= េយេរៀកសតដជេយសជងពករងចេគបនយក

េទេធឆ េកនមយច។

គនរបឆ សងមណចθ េដម ឲេកនមនមាអរបរមច។

១៧-មនណសផពរនកងសារេយមម យពស ច100 km ររងសេដរកនណO

េជផវវពរតកតស ច។មនណសផទមយររងេពរនណA េដយេជបន

10 km / h េយមនណសផទពរររងេព នណB េដយេជបន

12 km / h ។ចេគដដតចOA 60 km , OB 80 km= = ។

រគនមម យអបបរមៃនមនណសផទតពរនកងច។



១៨-រេកចABC មយមនបរមរច15 cm នតមណច 0A 120= ។

រតចx , y , z របឆ សងជមតរបសងរេកេនះច។

រកនរងចx , y , z េដម ឲរេកចABC ។

មនករៃផាអរបរមច។

១៩-បេជពតបយរតកតមយមនវមររតេដយចa , b , c

េយមនមាច 327 cm ។

េបេគបតនាមច1cm េទេជទនណតចa េយច1cm េជទនណតចb

នតច1 cm េជទនណតc េនះេគបនបេជពតបយរតកតមយេទៀរ

មនមាចV ។ច កនរងចa , b , c កជលចV មនរៃមវអបបរមច

២០-េគឲពរននពរចx នតចy េផាតផា រងសមករច 2 2x xy y 12− + =

ររករៃមវអរបរមចនតចអបបរមៃនច 2 2P(x;y) (x 2)(y 2)= − −

២១-បណរសម កងេយេជទកបយច2 km ព នណជរបផណរ

េយេជេេរសមណរច។សរងបនេធឆដេ រេណខ ះេទរកនណចQ

មយេយខតេកមេេរមនមម យច3 km នតច1 km ពមរងសមណទច



េបសរងអណទកកណតេជបនច2 km / h នតេដរកណតេជបនច4km / h

ររកទរតេយេជេេរតដជសរង រតវេធឆដេ រេណខ ះេទដជងនណចQ

េដយេបេពជអសងរ បផណរច។

២២-កណតរមមយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

េគឲេអជបច(E)

មនសមករច 2 2x 4y 1+ = តដជេយេជេនះេគមននណច 0 0 0M ( x , y )

តដជច 0 .0x 0 , y 0> > ។ច

េគគសបនា រងច(L) មយបយះេទនដតេអជបេនះច។

K នតចL នណបសពឆររតបនា រងច(L) មយអកផមេរៀតស ច

(ox) នតច(oy) ។កនរងទរតៃននណច 0M េដម ឲរេកចOKL

មនករៃផាអរបរម។

២៣-េគឲអនណគមន2x x 2f (x)

x− +

= មនតខផេកតរនត(c)

កណតររណយអររនរមយ ជង (O, i , j )→ →

នតច( )∆ បនា រងមនសមករច

y mx 2m 3= − + តដជចm IR∈ បយ មយ តមយ រច។



ក.េបចm 1= ររគនកអរេដេននណបសពឆA ររតបនា រងច( )∆

មយតខផេកតច(c) ។

ខ.េបចm 1≠ របបង បនា រងច( )∆ ករងតខផេកត(c) នរតងពរ

នណP នតចQ ។

គ.បបង បនា រងច(AP) នតច(AQ) តកតនដតស នគបងរៃមវចm ។

២៤-េគឲអនណគមន2x 3x 4f (x)

x 1− +

=−

មនតខផេកតរនត(c) កណតររណយអររនរមយ ជង (O, i , j )→ →

ក.ររកសមករបនា រង(T) តដជបយះនដតតខផេកត(c) រតង នណចA

មនអបងសណសចx 2= ។

ខ.េរបនា រងច( )∆ មនេមគណបបងទសចm រតវគសេព នណល

េដម ឲករងតខផេកតច(c) បនពរនណចK នតចL តដជបនា រងបប បងព

នណចK នតចL េទនណA តកតនដតស នេពះគបងរៃមវចm ។



២៥-េគឲតខផេកតច(c) មនសមករច2x 5y f (x) 3x

2 2= = − +

េរបនា រងច( )∆ មនេមគណបបងទសចm រតវគសេព នណល

េដម ឲករងតខផេកតច(c) បនពរនណចK នតចL តដជបនា រងបយះច

(c) រតងចK នតចL តកតនដតស នេពះគបងរៃមវចm ។

២៦-េគឲតខផេកត(c) មនសមករច2x (m 1)x 2m 1y

x 2− + + −

=−

តដជចm IR∈ បយ មយ តមយ រច។

បបង តខផេកតច(c) មនកពជពរ នតដជមនមម យពស េថរ

េពះគបងចm ។

២៧-េគឲតខផេកតច m(c ) រតអនណគមនច2x 2(m 1)x 5m 1f (x)

x m− + + −

=−

ក.រកជកមខម សមបងចm េដម ឲតខផេកតច m(c ) មនអសណមររពរ

តដជរតវកនរងច។

ខ.រតចI នណបសពឆររតអសណមររទតពរច។ច



រកស ណ នណចI កជលចm តបបរជ។

គ.បបង មនតខផេកតពរៃនគររតខផេកតច m(c ) តដជបយះនដត

អកផមអបងសណសច។

២៨-េគឲអនណគមនចn

2k k

k 1f (b) (y ax b )

=

= − − ∑ ។

រយអនណគមនចf (b) មនរៃមវអបបរមជណះរតរេគមន

ទនកងទនតចy a x b= + តដជច

n

kk 1

(x )x

n==∑

នតច

n

kk 1

(y )y

n==∑

។

២៩-េគឲអនណគមនច sin x 2cos x 3f (x)3cos x 2+ +

=+

។ច

ររករៃមវអរបរមចនតចអបរមៃនអនណគមនេនះច។

៣០-េគឲអនណគមនច2x (m 1)x 2m 1y f (x)

x 2+ + + −

= =+

រកនរងរៃមវរបសងចm េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវអរបរមេសចα

នតចមនរៃមវអបបរមេសចβ តដជច 2 2 10α + β = ។



៣២-េគឲអនណគមនច2x mx 3y f (x)

x 2− +

= =−

រកនរងរៃមវរបសងចm េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវអរបរមេសចα

នតចមនរៃមវអបបរមេសចβ តដជច| | 4α −β = ។

៣៣-េគមនអនណគមនច2

2ax bx 4y f (x)

x 1+ +

= =+

កនរង ននពរចa នតចb េដម ឲអនណគមនចf (x) មននណបរម

តរមយគរងចនតចមនបនា រងចy 2= អសណររឈរច។

៣៤-េគឲអនណគមនច2

2x x 1y f (x)

x 3x 3− +

= =− +

េដយមនេបេដរេវរកនរងរករៃមវអរបរមនតអបបរមៃនអនណគមន

៣៥-េគឲអនណគមនច2

2x ax by f (x)

x 1+ +

= =+

ររកជកមខម ៃនចa នតចb េដម ឲតខផេកតច(c) រតអនណគមនចf (x)

ករងអកផមអបងសណសបនពរនណតដជបនា រងបយររតងពរនណេនះ

តកតនដតស ច។



៣៦-េគឲអនណគមនច3 2 2 3

2x 3mx 3(m 1)x m 2f (x)

x 1− + − − +

=+

កនរងរៃមវចm េដម ឲតខផេកតច(c) រតអនណគមនចf (x)

ករងអកផមអបងសណសបនប នណេផផតស តដជមនអបងសណសវជបមនច។

៣៧-េគឲអនណគមនច2ax bx cf (x)x d+ +

=+

រកនរងបនននពរចa , b , c , d េដម ឲអនណគមនេនមនរៃមវ

អបបរមចf (3) 3= នតមនបនា រងចy x 1= − អសណមររេទរច។

៣៨-េគឲអនណគមនច2

2ax bx 2f (x)x 2x 4

+ +=

+ + កនរងចa ,b , c េដម ឲចf (x)

អនណគមនេថរច។

៣៩-េគឲអនណគមនច2x 2f (x)x+

= មនតខផេកតច(c) នតបនា រងច

(d) : y mx 2 3= + តដជចm បយ មយ តមយ រ។

ក-កនរងរ យតងរបស m េដម ឲ (d) ករងច(c) បនពរនណA នតចB ។

ខ-កនរងរៃមវm េដម ឲបនា រងបយះ(c) រតង នណA នតចB តកតនដតស ច។



៤០-េគឲតខផេកតច 2(c) : y x 2x 3= − + នតនណចA( 6 , 1 ) ។

ររកនណទតអសងេយេជតខផេកតច(c) តដជមនបយខវបផណរេទ

នណចA ។

៤១-េគឲអនណគមនច 24 2f (x)x

= មនតខផេកតច(c) ។

រសរេសរសមកររតឆតងផរចO តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) ខតេជច

៤២-េគឲតខផេកតច 2(c) : y x= នតបនា រងច(d) : 4x y 21 0− − =

កនរងរកកអរេដេនៃននណទតអសងេយេជតខផេកត(c) តដជមន

បយខវបផណរេទបនា រងច(d) ។

៤៣-េគឲតខផេកតច2x 3x 1(c) : y

x 1− +

=−

នតបនា រងច(d) : y ax b= +

កនរងចa នតចb េដម ឲបនា រងច(d) ករងតខផេកតច(c) បនពរនណចA

នតចB េវណះស េធៀបេទនដតបនា រងពណះទមយៃនអកផមកអរេដេនច។



៤៤-េគឲអនណគមនច2x x 2f (x)

x− −

= មនតខផេកតច(c) ។

A នតចB នណពរេយេជ (c) មនអបងសណសេរៀតស ច12

នតច2

រកនណទតអសងេយេជតខផេកតច(c) តដជបនា រងបយះររតង នណទត

េនះសបនដតបនា រង(AB) ។

៤៥-េគឲអនណគមនច2x 1f (x)x−

= មនតខផេកតច(c) េយចA នតចB

នណពរមនអបងសណសេរៀតស ចa នតចb តដជច0 a b< < សារេយ

េជតខផកតេនះ។ រយមនននពរចc នសារេយេនវ ះ

ននចa នតចb តដជេផតផា រងសមបព f (b) f (a) f '(c) (b a)− = − ។

៤៦-េគឲតខផេកតច 2y x 2x 2= + + េយចA នតចB នណពរមន

អបងសណសេរៀតស ចa នតចb សារេយេជតខផកតេនះ។

រប កយរមតបបធរមរច៖

a bf (b) f (a) (b a).f '( )2+

− = − ។



៤៧-រយបយប កងចx a

af (x) x f (a)lim af '(a) f (a)x a→

−= −

− ។

៤៨-រយច2 2

h 0

f (x h) f (x h)lim 4f '(x)f (x)h→

+ − −= ។

៤៩-រយច 2x 0

f (x 2 x) 2f (x x) f (x)f ''(x) lim( x)∆ →

+ ∆ − + ∆ +=

∆ ។

៥០-េគឲអនណគមនច ax bxf (x) e e= + តដជចa , b IR∈ ។

រកនរងរៃមវចa នតចb េដម ឲចf ''(x) f '(x) 2f (x)+ = េពះគបងចx

៥១-េគឲអនណគមនច 2x 3xf (x) e e= + ។

បបង ចf ''(x) 5f '(x) 6f (x) 0− + = េពះគបងចx ។

៥២-េគឲអនណគមនច xf (x) (sin 2x cos 2x)e= + ។

បបង ចf ''(x) 2f '(x) 5f (x) 0− + = េពះគបងចx ។

៥៣-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖

f '(0) f (0) 1= = នតច 22

1 2f ''(x) f '(x) 6x 4x2x 1 (2x 1)

− = −− −

៥៤-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖

f (0) 2= នតច 2 2f '(x)f (x) x 4x 1= − +



៥៥-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖

f (1) 4= នតច 2 3 22x f (x) (x 1) f '(x) 4x 3x 2x 1+ + = + + +

៥៦-រកនរងរកអនណគមនចy f (x)= េបេគដដតច៖

f (1) 2= នតច 2xf '(x) 2f (x) 4x 9x+ = +

៥៧-េគឲអនណគមនចf កនរង បងចនតចមនេដរេវេជចIR

តដជេពះគបង x ,y IR∈ េគមនចចf (x y) f (x)f (y)+ =

នតចf '(0) 4= ។រកនរងរកអនណគមនចf (x) ។

៥៨-រកនរងរកអនណគមនចf មនេដរេវេជចIR េបេគដដត

x IR , y IR∀ ∈ ∈ េគមនច x yf f (x)f (y)2+ =

។

៥៩-េគឲអនណគមនច 3 2f (x) x 6x 12x= − + កនរងេជចIR

ក-រកនរងរកអនណគមនច 1f − អនណគមន ចសងៃនអនណគមនចf

ខ-រគនេដរេវៃនអនណគមនចf (x) នតចច 1f (x)− ។



៦០-េគមនអនណគមនចf កនរងនតមនេដរេវេជចIR តដជេពះ

គបងចx IR∈ េគមនទនកងទនតចf '(x) 2xf (x)= េយចf (0) 1= ។


៦១-េគឲអនណគមនចf នតចg មនេដរេវេជចIR តដជេពះគបងច

x IR∈ េគមនទនកងទនតច 2 2f '(x) f (x) g'(x)g (x)= ។

ររកទនកងទនតររតចf នតចg ។

៦២-េគឲអនណគមនចf កនរងេជចIR េដយច 2f (x) x 1 x= + +

ក-បបង ចf មនេដរេវេជចIR នតច 22 1 x .f '(x) f (x)+ =

ខ-ទបយប កងេដរេវចf '' េផាតផា រងទនកងទនតច

24(1 x )f ''(x) 4xf '(x) f (x)+ + = ។

៦៣-េគឲអនណគមនចf : x x 2→ + កនរងេជច[ 2, )− + ∞ ។

េដយអនណវរងនវសមបពកេននមនកនរងេទនដតអនណគមនចf

េជេនវ ះ[ ]1 , 2− របបង ច1 5 1 3x x 2 x4 4 2 2

+ ≤ + ≤ + ។



៦៤-េគឲអនណគមនចf កនរងេជច[ ]0 , 2 េដយច 21f (x)

x x 1=

+ +

ក/សកទសេដអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

ខ/បបង េពះគបងច [ ] 21 1x 0 , 2 : 17 x x 1

∈ ≤ ≤+ +

។

គ/េគឲចg នតចh ពរអនណគមនកនរងេជច[ ]0 , 2 េដយច៖

1 2g(x) f (x) x3 3

= − − +

នតច3h(x) f (x) x 17

= − − +

។

រសកសយ ៃនចg នតចh ។

ឃ/ទបយប កងេពះគបងច៖

[ ] 1 2 3x 0,2 : x f (x) x 13 3 7

∈ − + ≤ ≤ − +

៦៥-បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b2π

≤ < <

េគបនច 2 2b a b atanb tanacos a cos b− −

≤ − ≤

រ ទរករៃមវអមៃនចtan(0,6) ។



៦៦-បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b< ≤ េគបន

b a b b aln( )

b a a− −

≤ ≤ រ ទរករៃមវអមៃនចln(11) ។

( េគឲចច ln10 2.30= ន

៦៧-ក/រយច1 1n IN : ln(n 1) ln(n)

n 1 n∀ ∈ ≤ + − ≤

+ ។

ខ/េគរតច n1 1 1U 1 .............2 3 n

= + + + + ។ច

ររកកេនមអមៃនច nU រ ទច nnlim U→+∞

= +∞ ។

៦៨-ក/េពះគបងចk IN∈ រយ៖

1 1k 1 k2 1 k 2 k

≤ + − ≤+

ខ/រកកេនមអមៃនច n1 1 1 1S (1 .... )n 2 3 n

= + + + +

រ ទរកជមរៃនច nS កជលចn → +∞ ។



៦៩-ក/បបង េពះគបង ននពរចa នតចb តដជច0 a b2π

≤ < ≤

េគបនច(b a)cosb sinb sina (b a)cosa− ≤ − ≤ − ។

ខ/រកកេនមអមៃនច៖

n1 2 nS cos cos ..... cosn 2n 1 2n 1 2n 1

π π π = + + + + + +

រ ទរកជមរៃនច nS កជលចn → +∞ ។

៧០-េគឱឲអនណគមនច2x x 2y f (x)2(x 3)− −

= =−

មនកបរនតច )c( ។

ក. ររកចx 3 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →− +

នតចxlim f (x)→∞

រ ទបយប កង

សមករអសណមររឈរៃនកបច(c) ។

ខ. ររកបននពរចa ,b នតចc េដមឱឲចcf (x) ax b

2(x 3)= + +

−

េពះគបងចx 3≠ ។

ទរកសមករអសណមររេទរៃនកបច(c) : y f (x)= ។

គ. ររកេដរេវចy' f '(x)= ។ចរគសរមតអេថរបពៃនf ។



ឃ. រយបយប កងនណច 5(3 , )2

Ω ផរបតមវតេវណះៃនកប(c)

ត. កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= ករងអកផមអបងសណសច(x'0x)

រតងពរនណចA នតចB ។ច

រសរេសរសមករបនា រង 1(T ) នត 2(T ) តដជបយះនដតតខផេកត(c)

រតង នណចA នតចB ។

. រគនរៃមវចf ( 2) ,f (4)− នតចf (6) ។

រគសកបច(c) កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

។

៧១-េគមនអនណគមនច 24x 4y f (x)

x 2x 3−

= =− −

មនកបរនតច(c) ។

ក. ររកជមរចx 1 x 1 x 3 x 3

lim f (x) , lim f (x) , lim f (x), lim f (x)→− →− → →− + − +


រ ទបយប កងសមករអសណមររៃនកបច(c) ។

ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចy f (x)= ។

គ. តខផេកតច(c) ករងអកផមអបងសណសច(x'0x) រតង នណចI ។

របបង ចI ផរេវណះៃនកបច(c) ។



រសរេសរសមករបនា រងច(T) តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) រតង

នណរបរងចI ។

ឃ. រសតង កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= នតចបនា រងច(T)

កណតររណយអររនរមយ ជងចច។

ត. េដយេបតខផេកតច(c) រពបករមរៃមវចm នវអរាបពៃន

ឬសរបសងសមករច

2(E) : mx 2(m 2)x 3m 4 0− + − + = ។ច( m បយ មយ តមយ រចនច។

៧២-េគឱឲអនណគមនច2

2x 4xy f (x)

x 4x 3+

= =+ +


ក. ររកជមរចx 3 x 1lim f (x) , lim f (x)→− →−


រ ទ

បយប កងសមករអសណមររៃនកបច(c) ។

ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនចy f (x)= ។

គ. របបង បនា រងសមករចx 2= − អកផមេវណះៃនកប(c) ។ចចចចចចចច

ឃ. សតង កបច(c) រនតចy f (x)= កណតររណយអររនរមយ ជង (0, i , j )→ →



៧៣-េគឱឲអនណគមនច2

2x 4x 4y f (x)

x+ −

= = ។

ក. គនជមរចx 0lim f (x)→


រ ទបយប កងសមករ

អសណមររៃនកបច(c) រនតចf ។

ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

គ. របបង តខផេកតច(c) មននណរបរងចI មយតដជេគនដត

បយប កងកអរេដេនច។

ឃ.រសរេសរសមករបនា រងច(T) តដជបយះេទនដតតខផេកតច(c) រតង

នណរបរងចI ។

ត. រសតង កបច(c) រនតអនណគមនចy f (x)= នតចបនា រងច(T)

កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

។

៧៤-េគឱឲអនណគមនច2

22x 5x 4y f (x)x 3x 3

− += =

− + មនកបរនតច(c) ។

ក. របបង អនណគមនចf (x) កនរង ន េជចIR ។

គនចxlim f (x)→∞

រ បយប កងសមករអសណមររេដកៃនកបច(c)



ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

គ. សតង កបច(c) រតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជង (0, i , j )→ →

ឃ.េដយេបតខផេកតច(c) រពបករមរៃមវចm នវអរាបពៃន

ឬសរបសងសមករ 2(E) : (m 2)x (3m 5)x 3m 4 0− − − + − = ។ច

( m បយ មយ តមយ រចនច។

៧៥-េគឱឲអនណគមនច2

22(x 2)y f (x)

x 4x 3−

= =− +


ក. ររកជមរចx 1 x 3lim f (x) , lim f (x)→ →


រ ទបយប កង

សមករអសណមររៃនកបច(c) ។

ខ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf

គ. របបង បនា រងមនសមករចx 2= អកផមេវណះៃនកបច(c)

ឃ. រសតង កបច(c) រនតf ររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →

។



៧៦-េគឱឲអនណគមនច3 2

2x 6x 9x 4y f (x)

x 6x 9− + −

= =− +


ក. ររកជមរចx 3lim f (x)→

នតចxlim f (x)→±∞


អសណមររឈរៃនកបច(c) ។

ខ. យបនា រងពណះទ១ចៃនអកផមកអរេដេន អសណមររេទរៃន

កបច(c) ។

គ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

ឃ. េផាតផា រងនណចA(4 ,0) នណសារេយេជកបច(c)

រ រកសមករៃនបនា រងបយះតខផេកតច(c) រតងចA ។

ត. សតង កបច(c) រនតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជងច(0, i , j )→ →



៧៧- េគមនអនណគមនច 24y f (x) x 1

(x 2)= = − − +

−


ក. ររកជមរចx 3lim f (x)→

នតចxlim f (x)→±∞


អសណមររឈរៃនកបច(c) ។

ខ. កនរងរកសមករអសណមររេទរមយរបសងកបច(c) ។

គ. គនេដរេវចf '(x) រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

ឃ. សតង កបច(c) រនតអនណគមនចf កណតររណយអររនរមយ ជងច )j,i,0(→→

៧៨-េគេអយអនណគមនចច ( ) ( ) xy f x 1 x .e 1= = − − កនរងេជចIR ។

ក-គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។ច

ទបយប កងសយ ៃនអនណគមនច ( )f x ។

ខ-រត g អនណគមនកនរងេជចIR េដយច ( ) ( ) xg x 2 x .e 2 x= − + − ។

រគនជមរច ( )xlim g x→−∞


។

គ-គនេដរេវច ( )g' x រ កនរងសយ ៃនច ( )g' x ។ច



គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនច ( )g x ។

ឃ-បបង បនា រងច( )d : y 2 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C

រតចf កជលចx → −∞ ។ច

របយប កងទរតេធៀបររតបនា រងច( )d មយតខផេកតច( )C ។

ត-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតច( )C េយសបនដតបនា រងច( )d ។

-កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។

េ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j

។

៧៩-េគេអយអនណគមន ( ) ( ) 2xy f x 1 x .e= = − កនរងេជចIR ។

ក-រគនជមរច ( )xlim g x→−∞



អសណមររៃនកបច( )C រតច ( )f x ។

ខ- គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។

គ- កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។

ឃ-រសរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C រតង នណចI ។

ត- រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j



៨០-េគេអយអនណគមនច ( ) ( ) ( )2xy f x 1 x e 1= = − + កនរងេជចIR ។

ក-គនជមរច ( )xlim g x→−∞


។

ខ-គនេដរេវច ( )f ' x នតច ( )f '' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f ' x ។

គ-កនរងសយ ៃនច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនច ( )f x ។

ឃ-បបង បនា រងច( )d : y 1 x= − អសណមររេទរៃនកបច( )C

រតច ( )y f x= កជលចx → −∞ ។

របយប កងទរតេធៀបររតបនា រងច( )d មយតខផេកតច( )C ។

ត-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកត( )C េយសបនដតបនា រង( )d ។

-កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។

េ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j

។ច

៨១-េគេអយអនណគមន ( ) x1y f x x 1 .e2

= = −

កនរងេជចIR ។

ក-រគនជមរច ( )xlim g x→−∞



អសណមររៃនកបច( )C រតច ( )f x ។




គ- កនរងកអរេដេននណរបរងចI របសងតខផេកតច( )C ។

ឃ-សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកត( )C រតង នណចI ។

ត- រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j

៨២-េគេអយអនណគមន ( ) x ln xy f xx+

= = កនរងេជច(0 , )+ ∞ ។

ក-គនជមរច ( )x 0lim f x→ +

នតច ( )xlim f x→+∞

រ បយប កងសមករអសណម

ររៃនកប( )C រតច ( )f x ។


គ-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដត( )C រតង នណចA មនអបងសណសx 1= ។

ឃ-រកសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j

។

៨៣-េគេអយអនណគមនចច ( )f x x 1 x.ln x= − + + កនរងេជច(0 , )+ ∞ ។

ក-គនជមរច ( )x 0lim f x→ +


។




គ-រកសមករបនា រងច( )T បយះនដត( )C រតង នណចA មនអបងសណសចx 1=

ឃ-រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអររនរមយ ជងច( )O, i , j

។

៨៤-េគេអយអនណគមនចf កនរងេជចIR េដយចច ( ) 2x2x 2f x

e+

= ។

ក/គនជមរច ( )xlim f x→−∞



អសណមររៃនកបច។

ខ/គនេដរេវច ( )f ' x រ គសរមតអេថរបពៃនអនណគមនចf ។

គ/គនេដរេវច ( )f '' x រ សកសយ ៃនច ( )f '' x ។

កនរងកអរេដេននណរបរងចI ៃនតខផេកតច( )C ។

ឃ/សរេសរសមករបនា រងច( )T បយះនដតតខផេកតច( )C រតង នណចI ។

ត/រសតង កបច( )C នតបនា រងច( )T កណតររណយអរររមយ ជងច( )O, i , j



ឯណេេត

១-ាសៀាគណត ទយោ កាទ១២ (កេ តមលដា នន េបសា

កសស ងបាេ យយវន នក (ា(េាយមព ោ ២០១១ន

២-ាសៀាគណត ទយោ កាទ១២ (កេ តខ ពសាន េបសា

កសស ងបាេ យយវន នក (ា(េាយមព ោ ២០១១ន

៣-Calculus single variable

f '(x) lim ∆→ x x0 - mathtoday.files.wordpress.com · ii . អ មមកក សួស...

Documents

Transcript of f '(x) lim ∆→ x x0 - mathtoday.files.wordpress.com · ii . អ មមកក សួស...