Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Actuariat IACT2121
cinquième séance
Arthur Charpentier
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Automne 2012
1
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 1
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson. Que vaut P(X ≥ 2) siP(X = 0) = 2P(X = 1) ?
A)2
3B)
2
3e−1/3 C) 1− 2
3e−1/2 D) 1− 3
2e−1/2 E) 1− 3e−2
2
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Exercice 2
Soit X et Y deux variables aléatoires continues de fonction de densité conjointefX,Y (x, y) = xe−x(y+1) pour x ≥ 0 et y ≥ 0. Trouver fY |X(y|x).
A) xe−xy B) (y + 1)2xe−x(y+1) C) (y + 1)−2
D) ye−y(y+1) E) xe−x(y+1)
3
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Exercice 3
On lance trois fois un dé standard bien équilibré. Soit X1, X2 et X3 les troisrésultats. Trouver la probabilité que : X1 ≤ X2 ≤ X3.
A)1
36B)
1
8C)
1
6D)
7
27E)
1
2
4
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Exercice 4
Soit fX(x) = 12 pour |x| < 1 et Y = 3X + 2. Trouver la variance de Y .
A)1
4B)
1
3C)
3
4D) 3 E) 9
5
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Exercice 5
Soit X la variable aléatoire perte de fonction de densité fX(x), x ≥ 0. Si la policerembourse la perte jusqu’à un maximum de 1 000, laquelle des expressionssuivantes donne l’espérance du remboursement ?
A)1 000∫0
xfX(x)dx B)1 000∫0
xfX(x)dx+
∞∫1 000
1 000fX(x)dx C)∞∫0
xfX(x)dx
D) max(1 000, E[X]) E)∞∫
1 000
(x− 1 000)fX(x)dx
6
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Exercice 6
Pour les assurés d’une compagnie le nombre N de réclamations durant une annéeest tel que P(N = n) = k 24n
33n+1 où k est une constante.Trouver la probabilité qu’il y ait exactement une réclamation durant l’année.
A)16
81B)
1
3C)
176
729D)
16
99E)
16
729
7
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Exercice 7
Soit X une variable aléatoire continue dont la fonction de répartition est :
FX(x) =
0 si x ≤ 0
1− e−x si x > 0.
Trouver P(0 < eX ≤ 4).
A) e−4 B)3
4C)
1
2D)
1
4E) 1− e−4
8
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Exercice 8
Le nombre de nids-de-poules sur 100 mètres d’une rue de Montréal suit une loi dePoisson de moyenne 0.3. Trouver la probabilité que sur une distance d’unkilomètre de cette rue il y ait 5 nids-de-poules ou moins.
A) 0.92 B) 0.09 C) 0.82 D) 0.5 E) 0.33
9
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Exercice 9
Soit X et Y deux variables de loi N(0, 1) chacune et telles que Cov(X,Y ) = 0.5.Trouver P(X + Y ≤
√3).
A) 0.11 B) 0.16 C) 0.84 D) 0.89 E) 0.96
10
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Exercice 10
Dans une urne, il y a n boules rouges et n boules bleues. On tire sans remise troisboules de l’urne. Si la probabilité que les trois boules soient toutes rouges est 1
12
alors n vaut ?
A) 4 B) 5 C) 8 D) 10 E) 12
11
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Exercice 11
Soit X et Y des variables aléatoires de loi conjointe :
fX,Y (x, y) =
x+ y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1
0 sinon.
Trouver P(X < 2Y ).
A)7
32B)
3
4C)
1
4D)
7
8E)
19
24
12
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Exercice 12
Supposons que le nombre d’erreurs typographiques par page dans les notes ducours ACT2121 suive une loi de Poisson de paramètre λ. Trouver la probabilitéque dans 10 pages prises au hasard il y ait un total d’exactement 10 erreurstypographiques.
A)1010λ10e−10λ
10!B) (λe−λ)10 C) (1− e−λ)10 D) 10λe−λ E)
10λ10e−10λ
10!
13
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Exercice 13
Si X et Y sont des variables aléatoires discrètes dont la fonction de probabilitéconjointe est fX,Y (x, y) = 1
21 (x+ y) pour x = 1, 2, 3 et y = 1, 2.La fonction de densité de X sachant que Y = 2 sera :
A)1
21(x+ 2), x = 1, 2, 3 B)
x+ 2
2x+ 3, x = 1, 2, 3 C)
1
12(x+ 2), x = 1, 2, 3
D) x+ 2, x = 1, 2, 3 E)x+ 2
8, x = 1, 2, 3
14
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Exercice 14
Soit X une variable aléatoire dont la série génératrice des moments est MX(t) =
e3t(1− t2)−1. Trouver σX/E[X].
A) 0.125 B) 0.333 C) 0.471 D) 0.500 E) 0.667
15
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Exercice 15
La durée de vie d’un néon A (respectivement B) suit une loi exponentielle demoyenne 5 ans (respectivement 2 ans). Trouver la probabilité que le néon A duremoins de 4 ans et le néon B plus de 3 ans. (On suppose l’indépendance)
A) 1− e− 47 B) e−
2310 C) e−
32 · e− 4
5 D) e−45
(1− e− 3
2
)E) e−
32
(1− e− 4
5
)
16
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Exercice 16
Soit X et Y des variables aléatoires de variances 2 et 3 respectivement, et decovariance −1. Laquelle des variables aléatoires suivantes a la plus petitevariance ?
A) 4X B) 3X − Y C) 3Y D) 2X + Y E) 2X − Y
17
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Exercice 17
Le montant X de la réclamation annuelle d’un assuré de la compagnie azurtouta une moyenne µ et une variance σ2. Trouver le nombre nécessaire n d’assurés(d’un groupe de polices indépendantes) pour garantir que la réclamation moyenne(X̄ =
∑Xin
)du groupe s’écarte de µ d’au plus (0.1)σ avec une probabilité au
moins égale à 95% (c’est-à-dire n tel que P(|X̄ − µ| < 1
10σ)≥ 0.95).
A) 149 B) 271 C) 385 D) 484 E) 541
18
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Exercice 18
Calculer P(X = 6) pour la variable aléatoire X ayant la fonction (ou série)
génératrice des moments MX(t) =(
et
3−2et
)4.
A)20
243B)
40
729C)
20
81D)
80
243E)
160
729
19
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 19
Dans la province de Québec, le montant X d’une réclamation en assuranceautomobile se répartit autour d’une valeur moyenne de 725$. Calculer la valeurde l’écart-type σ de la variable X, si l’on sait que pour un groupe de 100réclamations indépendantes, P(63 500 ≤M ≤ 81 500) = 0.7698 où M est lemontant total des 100 réclamations.
A) σ < 200 B) 200 ≤ σ < 400 C) 400 ≤ σ < 600
D) 60 ≤ σ < 800 E) σ ≥ 800
20
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 20
Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointefX,Y (x, y) = 4x pour 0 < x <
√y < 1. Trouver la fonction de densité de la
marginale Y .
A) 2y B) 2y2 C) y2 D) √y E) 4√y
21
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Exercice 21
La variable aléatoire X, montant d’une réclamation, se répartit selon la densitéexponentielle. Trouver Var[X] sachant que P(X ≤ 2) = 2P(X ≥ 4).
A)2
ln 2B)
8
(ln 2)2C)
(ln 2)2
4D)
2
ln√
2E)
4
(ln 2)2
22
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Exercice 22
Soit X le nombre d’épreuves indépendantes de Bernoulli jusqu’à l’obtention d’unpremier succès. Soit Y le nombre nécessaire d’épreuves indépendantes de la mêmeBernouilli pour obtenir 5 succès (pour la 1ère fois). Soit p la probabilité de succèsdans une épreuve et supposons Var[X] = 3
4 . Calculer Var[Y ].
A)3
20B)
15
4C)
75
4D)
3
4E)
3
4√
5
23
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Exercice 23
Les variables aléatoires X1, X2, X3 sont uniformes sur l’intervalle [0, 1] avecCov(Xi, Xj) = 1
24 pour i = 1, 2, 3 et i 6= j. Calculer Var[X1 + 2X2 −X3].
A)5
12B)
11
12C)
1
2D)
1
4E)
1
6
24
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Exercice 24
Soit X et Y des variables aléatoires continues de fonction de densité conjointe :
fX,Y (x, y) =
x+ y pour 0 < x < 1 et 0 < y < 1
0 sinon.
Trouver l’espérance conditionnelle E[Y | X = 1/3 ].
A)3
8B)
1
2C)
5
12D)
7
12E)
3
5
25
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Exercice 25
Soit X1, X2, X3 trois observations indépendantes de la variable aléatoire continueX ayant la fonction de densité :
fX(x) =
√
2− x pour 0 < x <√
2
0 sinon.
Calculer la probabilité qu’exactement deux des trois observations soientsupérieures à 1.
A)3
2−√
2 B) 3− 2√
2 C) 3(√
2− 1) · (2−√
2)2
D)(
3
2−√
2
)2
·(√
2− 1
2
)E) 3
(3
2−√
2
)2
·(√
2− 1
2
)
26
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 26
Soit X1 et X2 deux observations indépendantes d’une distribution uniforme surl’intervalle [0, 1]. Soit Y = min(X1, X2). Trouver fonction de densité de Y .
A) 1 B) 2y C) 2(1− y) D) 1− y E) 2y(1− y)
27
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 27
À Montréal, on suppose que les accidents (d’automobiles) se produisentaléatoirement et de manière indépendante. L’intervalle de temps entre lesaccidents suit une distribution exponentielle de moyenne 12 (minutes). Soit N lenombre d’accidents par heure.Trouver P(N = 10).
A)10e12
10!B)
10e−12e−10
10!C)
510e−5
10!D)
1210e−10
10!E)
1210e−12
10!
28
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 28
Une enquête médicale sur les 937 décès en 2002 à l’hôpitalMaisonneuve-Rosemont de Montréal montre qu’il y avait 210 décès dus à desproblèmes cardiaques. De plus, 312 des 937 décès avaient des antécédentscardiaques familiaux. De ces 312, il y en a 102 qui sont décédés de problèmescardiaques. Trouver la probabilité pour qu’une personne prise au hasard dugroupe des 937 décès soit décédée de problèmes cardiaques sachant qu’elle n’avaitaucun antécédent familial cardiaque.
A) 0.115 B) 0.173 C) 0.224 D) 0.327 E) 0.514
29
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Exercice 29
Soit X une variable aléatoire suivant une loi de Poisson.Si on a FX(2)/FX(1) = 2.6 alors trouver la moyenne de X.
A) 4 B) 2.6 C) 2 D) 1 E) 0.8
30
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Exercice 30Les assurés membres d’un club de sport ont des réclamations indépendantes. Lesdistributions des réclamations XH et XF des hommes et des femmes ont lescaractéristiques suivantes :
Moyenne Variance
Homme 2 4
Femme 4 10
Lorsque le sexe est inconnu, l’on suppose que le nombre N d’hommes se répartitsuivant une loi binomiale de paramètres m et p = 2
5 . Un groupe de m personnesdont la réclamation totale est S contribue une prime Π = E[S] + 2
√var[S]
(c’est-à-dire Π = µS + 2σS). Le club de sport accepte un total de 100 membrespour l’année 2004. Calculer la prime P pour le groupe des 100 membres.
A) 291 B) 326 C) 353 D) 379 E) 407
31
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Exercice 31
Considérons le tableau suivant donnant les probabilités des valeurs (x, y) de deuxvariables aléatoires discrètes X et Y :
X
2 3 4 5
0 0.05 0.05 0.15 0.05
Y 1 0.40 0 0 0
2 0.05 0.15 0.10 0
Trouver ρX,Y , le coefficient de corrélation de X et Y .
A) 0.228 B) 0.201 C) 0 D) − 0.201 E) − 0.228
32
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Exercice 32
Soit X une variable aléatoire continue de fonction de densité fX(x) = e−x pourx > 0. Trouver la fonction de densité de Y = eX .
A) ye−y B) e−ey
C) e−y D)1
yE)
1
y2
33
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 33
Les montants des pertes sont des variables aléatoires continues et indépendantesayant la même fonction de densité :
fX(x) =
10/x2 pour x > 10
0 sinon.
Calculer la probabilité que la plus grande de trois pertes choisies au hasard soitplus petite que 25.
A) 0.216 B) 0.400 C) 0.600 D) 0.500 E) 0.784
34
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 34
Les dépenses dentaires annuelles d’un fonctionnaire suivent une répartitionuniforme sur l’intervalle de 200 à 1 200. Le régime de soins dentaires de base dugouvernement rembourse à l’employé jusqu’à un maximum de 400 les dépensesdentaires qui surviennent dans l’année tandis que le régime supplémentairedébourse jusqu’à un maximum de 500 pour toutes les dépenses dentairesadditionnelles. Si Y représente les prestations annuelles payées par le régimesupplémentaire à un fonctionnaire, calculer Var[Y ].
A) 41 042 B) 32 089 C) 29 940 D) 27 320 E) 24 464
35
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Exercice 35
Une compagnie fait une offre à quatre consommateurs potentiels. La compagniecroit que la probabilité de faire une vente est de 0.7 pour chacun des troispremiers consommateurs mais qu’elle est seulement de 0.2 pour le quatrièmeconsommateur. Les achats d’un consommateur sont indépendants des achats d’unautre consommateur.Calculer la probabilité qu’au plus deux consommateurs acceptent l’offre.
A) 40.2% B) 45.1% C) 48.7% D) 52.4% E) 56.9%
36
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 36
Une compagnie d’assurance automobile divise ses assurés en 2 groupes, à savoir :les bons conducteurs et les mauvais conducteurs. Pour les bons conducteurs, laréclamation moyenne vaut 1 400 avec un écart-type de 200. Pour les mauvaisconducteurs, la réclamation moyenne est de 2 000 avec un écart-type de 500. Deplus 60% des assurés sont de bons conducteurs. Trouver la variance du montantde la réclamation d’un assuré pris au hasard.
A) 124 000 B) 145 000 C) 166 000 D) 210 400 E) 235 000
37
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 37
Une compagnie d’assurance a 2 000 clients qui ont tous (de façon indépendante)une probabilité 0.02 de faire une réclamation X dont le montant est de loiexponentielle de moyenne 500$. Soit Π la prime nette de chacun (égale àl’espérance de son remboursement) et Π(1 + θ) la prime brute chargée pour quela compagnie ait 95% de probabilité de profit. Trouver θ.
A) 0.025 B) 0.366 C) 0.072 D) 0.111 E) 0.132
38
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 38
Une compagnie d’assurance automobile assure les conducteurs de tous âges. Unactuaire compile les statistiques sur les conducteurs assurés par la compagnie :
Âge du Probabilité Répartition des conducteurs
conducteur d’avoir un accident assurés par la compagnie
16-20 0.06 0.08
21-30 0.03 0.15
31-65 0.02 0.49
66-99 0.04 0.28
Un conducteur qui est choisi au hasard et qui est assuré par la compagnie a unaccident. Calculer la probabilité que ce conducteur soit dans le groupe d’âges21-65.
A) 0.149 B) 0.472 C) 0.303 D) 0.323 E) 0.528
39
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Exercice 39Un actuaire fait les constatations suivantes :(i) Le taux d’accident des femmes qui conduisent est 0.015, lequel représente
80% du taux d’accident de tous les conducteurs.
(ii) Le taux d’accident des jeunes hommes qui conduisent est 4 fois le tauxd’accident des hommes adultes qui conduisent.Nombre de conducteurs selon l’âge et le sexe.
Jeune Adulte Total
Femme 15 000 45 000 60 000
Homme 12 000 28 000 40 000
Total 27 000 73 000 100 000
Calculer le taux d’accident pour les jeunes hommes qui conduisent.
A) 3.1% B) 5.1% C) 7.1% D) 9.1% E) 11.1%
40
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Exercice 40
X et Y sont des variables aléatoires continues ayant la fonction de densitéconjointe :
fX,Y (x, y) =
15y pour x2 ≤ y ≤ x
0 sinon.
Déterminer la fonction de densité de la variable marginale Y .
A) 15y3/2(1− y1/2) B) 15y(y −√y) C) 15(y − y2)
D)15
2(y − y2) E) 15y
41
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Exercice 41
Soit Y = e−X où fX(x) = 2e−2x pour x > 0. Trouver fY (y).
A) y B) 2y2 C) y2 D)1
2y2 E) 2y
42
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 42
X et Y sont des variables aléatoires telles que :
(i) Var[X] = Var[Y ] (ii) Var[X + Y ] = 10 (iii) Var[X − 2Y ] = 16
Calculer Cov(X,Y ).
A) − 1 B) − 2 C) 1 D) 2 E) 0
43
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 43
Les données sur un certain test de grossesse indiquent que pour une femmeenceinte le test donnera un résultat négatif (elle n’est pas enceinte) dans 10% descas. Pour une femme qui n’est pas enceinte, le test donnera un résultat positifdans 20% des cas. De plus, on sait que 30% des femmes qui passent le test sontenceintes. Déterminer la probabilité qu’une femme est enceinte étant donné quele résultat de son test est positif.
A) 55.75% B) 65.85% C) 70.50% D) 75.65% E) 85.65%
44
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 44
Soit fX(x) = k(2x+ 1) la fonction de densité de la variable aléatoire continue Xprenant ses valeurs dans l’intervalle [0, 4]. Trouver le 20ième percentile de X.
A)4
5B)
1 +√
3
3C)
2
5D)
1 +√
2
3E)−1 +
√17
2
45
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Exercice 45
Selon le modèle utilisé, la valeur accumulée d’un investissement de 2 500 est unevariable aléatoire Y = 2 500e2X , où X a une répartition continue dont la fonctionde densité est :
fX(x) =
Ce−x pour 0 < x < 1
0 sinon.
où C est une constante. Déterminer la fonction de densité fY (y) de la variablealéatoire Y dans la région où elle est positive.
A)C
2yB)
25(e− 1)
eyC)
25e
(e− 1)y3/2D) Ce−y E) 50
√y
46
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 46
X représente l’âge d’une automobile assurée qui a été impliquée dans un accidentet Y représente le montant du sinistre encouru lors de l’accident. X et Y ont lafonction de densité conjointe suivante :
fX,Y (x, y) =
(x+ y)/1 000 pour 0 ≤ x ≤ 10 et 0 ≤ y ≤ 10
0 sinon.
Calculer la probabilité que Y < 2X.
A) 89% B) 79% C) 69% D) 59% E) 49%
47
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 47
X et Y sont des variables aléatoires continues ayant une fonction de densitéconjointe :
fX,Y (x, y) =
6x pour 0 < x < y < 1
0 sinon.
Déterminer P(X + Y < 0.4).
A) 0.016 B) 0.16 C) 0.24 D) 0.024 E) 0.048
48
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 48
Supposons que X1, . . . , X100 sont des variables aléatoires indépendantes, répartiesidentiquement et telles que P(X = 0) = P(X = 2) = 0.5 ; soitS = X1 + · · ·+X100. Calculer approximativement la valeur de P(S > 115).
A) 0.0127 B) 0.0107 C) 0.087 D) 0.067 E) 0.047
49
Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 49
Au service d’urgence d’un hôpital, le nombre d’arrivées entre 13h et 14h suit uneloi de Poisson de moyenne 2. On observe pendant 5 jours consécutifs, les arrivéesentre 13h et 14h. Quelle est la probabilité que parmi ces 5 jours, il y aitexactement 2 jours avec aucune arrivée entre 13h et 14h ?
A) 0.118 B) 0.012 C) 0.221 D) 0.021 E) 0.988
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Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 50
Chaque employé d’une grande compagnie choisit un des trois niveaux decouverture d’assurance maladie dont les primes, qui sont dénotées par X, sont1,2, et 3 respectivement. Les primes sont sujettes à un escompte, dénoté par Y ,de 0 pour les fumeurs et de 1 pour les non-fumeurs. La distribution de X et Y estdonnée par :
P(X = x, Y = y) =
x2 + y2
31pour x = 1, 2, 3 et y = 0, 1
0 sinon.
Calculer la variance de X − Y , la prime totale payée par un employé choisi auhasard.
A) 0.54 B) 0.64 C) 0.94 D) 0.84 E) 0.74
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Exercice 51
Une police d’assurance va payer 5 000 si un appareil tombe en panne la 1ère annéeet ce bénéfice va diminuer chaque année de 1 000 jusqu’à zéro. Si l’appareil n’estpas encore tombé en panne au début d’une année, il a toujours une probabilité de0.4 de tomber en panne durant cette année. Trouver l’espérance du bénéfice.
A) 3 417 B) 3 617 C) 3 817 D) 4 017 E) 4 217
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Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 52
Soit pn la probabilité que le minimum de n nombres (tous choisis uniformémentet indépendamment au hasard sur l’intervalle [0, 1]) soit supérieur à 1
n . Que vautlimn→∞
pn ?
A)1
2B)
1
eC)
1
3D)
2
eE)
2
3
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Exercice 53
Une compagnie assure un grand nombre de maisons. La valeur assurée X d’unemaison prise au hasard suit une distribution de fonction de densité fX(x) = 3x−4
pour x > 1 et 0 sinon. Sachant qu’une maison est assurée pour plus de 32 , trouver
la probabilité qu’elle soit assurée pour moins de 2.
A)37
64B)
35
64C)
1
2D)
7
16E)
5
16
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Exercice 54
Une compagnie installe deux machines identiques au même moment. Les périodesde temps avant que ces machines ne tombent en panne sont indépendantes etchacune est répartie uniformément sur l’intervalle de 5 à 20 ans. Calculer laprobabilité que les deux machines tombent en panne en deçà d’un an l’une del’autre.
A) 12.9% B) 13.9% C) 14.9% D) 15.9% E) 16.9%
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Exercice 55
Supposons que le nombre X de coups de téléphone durant une heure suive une loide Poisson avec moyenne λ. Sachant que P(X = 1 | X ≤ 2) = 0.4, trouver λ.
A) 4 B) 3 ou 4 C) 2 ou 3 D) 1 ou 2 E)3
2
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Exercice 56
Soit X, le temps entre l’inspection d’un certain moteur d’avion et le moment dela première panne du moteur. Supposons que X suive une loi exponentielle demoyenne 15 heures. Un avion à quatre moteurs entreprend un voyage de 20heures après inspection de ses moteurs. Supposons que l’avion peut voler pourvuqu’au moins un de ses moteurs fonctionne.Quelle est la probabilité qu’il puisse terminer son vol ?
A) 0.500 B) 0.523 C) 0.706 D) 0.750 E) 0.831
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Exercice 57
Pour un conducteur automobile, les accidents automobiles peuvent résulter endes sinistres annuels de 0, 1 000, 5 000, 10 000 ou 15 000 avec des probabilités de0.75, 0.12, 0.08, 0.04, et 0.01, respectivement. Un assureur automobile offre unepolice qui assure les conducteurs automobiles contre ces sinistres sujette à undéductible annuel de 500. L’assureur charge une prime annuelle qui excède lessinistres annuels attendus par 75 pour couvrir ses dépenses et son profit. Calculerla prime annuelle chargée par l’assureur.
A) 1 345 B) 1 295 C) 1 245 D) 1 195 E) 1 145
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Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 58
L’actuaire attend le premier des trois rapports faits simultanément par desinspecteurs indépendants avant de commencer son étude menant auremboursement des dommages d’un assuré. Si les temps (en semaines) pour faireleurs rapports suivent des lois exponentielles de moyenne 2, 3, 4 respectivementet le temps de l’étude de l’actuaire est aussi une exponentielle de moyenne 5,combien de temps (en semaines) y aura-t-il en moyenne avant le remboursement ?
A) 7 B) 8 C)77
13D)
12
13E) 14
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Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 59
Soit X le coût aléatoire des réparations de l’auto lors d’un accident et Y le coûtdes soins médicaux. Si au cours des 5 dernières années le coût des réparations aaugmenté de 25% et le coût des soins médicaux a diminué de 5%, de quelpourcentage la covariance de X et Y a-t-elle variée ?
A) 15.25% B) 18.75% C) 20% D) 30% E) 22.45%
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Arthur CHARPENTIER, ACT2121 Actuariat I Automne 2012
Exercice 60
Un actuaire constate que la probabilité qu’un assuré n’ait aucun accident est 5fois plus grande que celle d’en avoir au moins un durant l’année. En supposantque le nombre d’accidents de l’assuré suit une loi de Poisson, trouver laprobabilité que l’assuré ait exactement trois accidents durant l’année.
A) 0.00084 B) 0.0084 C) 0.084 D) 0.00122 E) 0.0122
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