05/05/2010
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Eléments de Mécanique des Fluides
.be
q
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http://w
ww.hach.ulg.ac.
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• Nécessité de recourir à des modèles physiques
• Etablissement des règles de similitude
• Similitudes usuelles pour un fluide en mouvementF d
Objectifs de la séance
.be
– Froude
– Reynolds
• Similitudes pour des transports associés – Transport sédimentaire
• Exemples d’essais physiques
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• L’étude de la mécanique des fluides : pourquoi et comment ?
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Les problèmes de mécanique des fluides consistent toujours en des phénomènes complexes et variés
• Ils peuvent être abordés, moyennant hypothèses simplificatrices :
Introduction.be
simplificatrices :
– par résolution analytique d’équations
– par résolution numérique d’équations
• Une autre voie consiste à recourir partiellement ou complètement à l’expérience– Pour l’établissement de lois comportementales
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ww.hach.ulg.ac. – Pour la vérification de tendances
– Pour l’établissement de solutions dans des cas non traitables fiablement
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Interaction numérique ‐ expérimental
.be
Prise d’eau de Rosport (Luxembourg)Etude numérique 2DH à large échelle et modèle réduit 2DV local
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Etude numérique 2DH à large échelle et modèle réduit 2DV local
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5Interaction numérique ‐ expérimental
Aménagement de Taoussa (Mali) – Etude numérique à large échelle (bief de 7 km de long et plus de 1 km de large sur le Niger) et modèle réduit limité à l’évacuateur de crue (250 m de large)
.be
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• Expériences réalisées sur des maquettes (modèles réduits)
• Nécessité de transposer les résultats entre l’échelle du modèle (maquette) et celle du prototype à l’aide de
Introduction
.be
modèle (maquette) et celle du prototype, à l’aide de conditions de similitudes
• Deux approches possibles :
– méthode directe (à partir des équations de mec. fl.)
– analyse dimensionnelle (théorème « PI »)
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y ( )
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• Conception de modèles réduits– Pour l’étude de phénomènes trop complexes à modéliser
numériquement
– Nécessite de connaître les rapports ou échelles de similitude
Deux types d’application de la similitude.be
Nécessite de connaître les rapports ou échelles de similitude
– Exemple : écoulement avec entraînement d’air
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• Plusieurs types de similitude mécanique :
– la similitude géométrique
Application à la conception de modèles réduits
Xm : X relatif au modèleXp : X relatif au prototype
.be
– la similitude cinématique (vitesses, accélérations, ...)
constantemL
p
Le
L
constantem m mV
p p p
U L Te
U L T
2
2constantem m m
ap p p
a L Te
a L T
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ww.hach.ulg.ac. – la similitude dynamique (forces : ex. forces d’inertie,...)
3 2
3 2constantem m m m m m m
Fp p p p p p p
F M a L L Te
F M a L L T
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0kc
c c k
uL
U t t x
• Transformation des équations de NS :
Méthode directe : équations adimensionnelles.be
2 2
c
i i kc c c ci
c k ic c c c c
u u u pL gL pF
U t t x xU U U L
• Apparition d’importants nombres sans dimension– nombre de Strouhal
– nombre de Froude
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– nombre d’Euler
– nombre de Reynolds
2
1
Re
1i kii i
k iFEu
u uu pFStr
t xru
x
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• Procédure– inventaire de toutes les grandeurs intervenant dans le
problème
l d d i di i
Analyse dimensionnelle
.be
– grouper les grandeurs en produits sans dimension
– exprimer les conditions de similitude en fonction de ces grandeurs sans dimension
• Difficulté : ne pas oublier de grandeurs dans l’inventaire de celles intervenant dans le
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ww.hach.ulg.ac. l inventaire de celles intervenant dans le
phénomène étudié
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• Modèle où les forces d’inertie et de pesanteur interviennent prioritairement :
La similitude de Froude
2
Forces d'inertieU
ML
U : les termes de vitesseL : les termes de longueurM : la masse
Forces de pesanteur Mg
.be
22
P Mi iP M
g g
uUmMF F lL
F F MG mg
Lg : l’accélération de la pesanteur
*2
1U
Conservation du nombre de Froude
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* * *1Si g V L
* *1
g LConservation du nombre de Froude
5** * *2 2Q U L L Et donc…
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• Application: Ecoulement sur un coursier
La similitude de Froude
Prototype : 16500 m³/s
.be
yp /
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• Application: Etude de la houle
La similitude de Froude.be
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• Modèle où les forces d’inertie et de viscosité interviennent prioritairement :
La similitude de Reynolds
2
Forces d'inertieU
ML
U : les termes de vitesse L : les termes de longueurM : la massen : la viscosité cinématique
2Forces de viscosité
UM
L
.be
n : la viscosité cinématique
* *
1LU
22
2 2
P Mi iP M
uUmMF F lL
U uF F M mL l
Conservation du nombre de Reynolds
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* **
11Si U
L
*1
Conservation du nombre de Reynolds
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• Application : Etude de la trainée
La similitude de Reynolds.be
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• Une similitude complète impose à la fois une conservation des 3 forces en jeu :
La similitude parfaite
.be
Des forces de viscosité
Des forces d’inertie
Des forces de gravité
Similitude de Reynolds
Similitude de Froude **
1U
L
* *U L
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* 1L Le prototype et le modèle sont à la
même échelle. Impossible !
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17Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
.be • Echelle du débit:
* * * * *
* *1
U L U L
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* ** * *
*
* * *2 * *
1U L
U L
Q U L L
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Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
.be
• Echelle du coefficient de perte de charge par la similitude de Reynolds:
* * * * *
* *1
U L U L
2P KQ P
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y 2P KQ 2
PK
Q
* *3 *2 *
* * * 2* * 4
* *2 * *2 *4
L U L
P F LK L
Q U L
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19Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
• Phénomène principal à modéliser : pertes internes dans le fluide
• Conséquence : utilisation d’une similitude de Reynolds
.be
• Propriétés des fluides:
* * * * *
* *1
U L U L
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ww.hach.ulg.ac. Prototype : hydrogène Modèle : eau
100 bars = 7,84 kg/m³ = 1000 kg/m³
= 7.42 × 10−6 kg/m.s = 10‐3 kg/m.s
= 9.46 10‐7 m²/s = 10‐6 m²/s
20
• Prototype :– Diamètre conduite : 7 10-2 m
– Vitesse : 190 m/s
– Débit : 0.731 m³/s
Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI
.be
éb t : 0.73 /s
• Modèle :– Débit maximum des pompes : 0,93 m³/s
• Échelle – Viscosité * modèle
prototype
1.06
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– Longueur
p yp
**
*1.2
QL
Echelle géométrique retenue 1.2/1
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• Modèle :– Débit maximum des pompes : 0,93 m³/s
– Diamètre des conduites : 8.4 10-2 m
– Vitesse : 168 m/s
Application: Vanne de la chambre à hydrogène VINCI.be
Vitesse : 168 m/s
7Re 1.4110
Lors des essais, de la cavitation est apparue dans le modèle car pression imposée insuffisante
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ww.hach.ulg.ac. diminution du débit et donc de la vitesse
perte de la similitude de Reynolds
22
Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI
• Néanmoins, le régime d’écoulement atteint permet de conclure à une indépendance du coefficient de frottement par rapport au nombre de Reynolds
• Rugosité relative = 1 42 10-3
.be
• Rugosité relative = 1.42 10
cien
t de
frot
tem
ent
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Coe
ffic
Nombre de Reynolds
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23Application: Similitude de Froude en régime turbulent rugueux
Exemple : Prototype
.be
oeff
icie
nt d
e fr
otte
men
t
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ww.hach.ulg.ac. Co
Nombre de Reynolds
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Application: Vanne chambre à hydrogène VINCI
.be
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25Application : Barrage en Inde
.be
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26
Approach channelDesilting
Spillweir
Dam
Application : Barrage en Inde
.be
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Poussée d’Archimède + traînée
Etude de la sédimentation.be
Résultante = Vitesse de sédimentation
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Poussée d’Archimède + traînée
Etude de la sédimentation
.be
Résultante = Vitesse de sédimentation
Vitesse de l’écoulement
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ww.hach.ulg.ac. Gravité
Mouvement résultant
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• Définition : vitesse ultime qu’atteint une particule solide dans de l’eau distillée au repos
• Dépend de
Vitesse de chute.be
Dépend de– Taille de la particule
– Forme de la particule
– Masse volumique déjaugée de la particule
– Viscosité de l’eau
– Concentration en sédimentssW
DF
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• Ex. loi de Stokes (particule isolée dans un fluide au repos !)
• Autres formulations en pratique
30
• Pour une particule isolée, ou en faible concentration
– Forces s’appliquant sur la particule :
Vitesse de chute
.be
• Poids déjaugé
• Force de trainée
sW
DF 3s 1sW ga d
22 s
D D 2 2
wF C a d
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Pour une sphère : 1 6
a
2 4a
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• Pour une particule isolée, ou en faible concentration
– Equilibre des forces s’appliquant sur la particule :
Vitesse de chute
DF
W F
.be
Vitesse de chute :
sW
s D
23 2 s
1 D 2 2s
W F
wga d C a d
2
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1s
2 D
2 saw gd
a C
Coefficient de traînée fonction du nombre de
Reynolds
32
• Formule pratique, valable pour des sédiments de taille entre 100 microns et 1 mm (van Rijn, 1993)
Vitesse de chute
3
2
0.01 1101 1
s gdw
.be
s 21 1w
d
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Coefficient de traînée fonction du nombre de Reynolds de particule
(Sp = 0.7 pour des sédiments naturels)
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33Etude de la sédimentation
1. Ecoulement à surface libre conservation du nombre de Froude
2*1
m
m m m
r r r
gL
u u LL
gL u L Echelle géométrique : L*
.be
2r r
ru
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Etude de la sédimentation
1. Ecoulement à surface libre conservation du nombre de Froude
2*1
m
m m m
r r r
gL
u u LL
gL u L Echelle géométrique : L*
.be
Poussée d’Archimède + traînée
Vitesse de l’écoulement
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
2r r
ru
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Gravité
Résultante = Vitesse de sédimentation
Mouvement résultant
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1. Ecoulement à surface libre conservation du nombre de Froude
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
Etude de la sédimentation
smw
.be
*1m sm m
sr sr r
r
u w uL
w w uu
On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure à 100 microns :
3 30.01 0.01101 1 1 1
1 1m eau m m eau mgd gd
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On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste suffisamment grand.
*
2 2
3 3
2 2
1 1 1 1
0.01 0.0110 11
11 1 1
m eau m m eau m
msm
sr mr e
r
au r ear u r
r
d d
dgd gd
wL
w
d
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1. Ecoulement à surface libre conservation du nombre de Froude
2. Conservation du rapport vitesse d’écoulement / vitesse de sédimentation
Etude de la sédimentation
smw
.be
*1m sm m
sr sr r
r
u w uL
w w uu
On reprend l’expression de la vitesse de chute pour des sédiments de taille supérieure à 100 microns :
1.1 m eaumgd
d
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On vérifiera a posteriori que le Reynolds de particule sur le modèle reste suffisamment grand.
*
1.1
m eaueausm
sr r eau r eau
eau
m
rr
d
dgd
wL
w
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37
Deux degrés de liberté (m et dm) pour vérifier une condition.
1 Une possibilité consisterait à simplement choisir l’échelle géométrique des particules égale à l’échelle géométrique du modèle (puis d’en déduire l’échelle de densité)
Etude de la sédimentation.be
MAIS cela conduit en pratique à des tailles de particules beaucoup trop faibles (effets de cohésion)
Exemple : projet de Kol Dam
Diamètre de grain réels = 250 microns
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Echelle du modèle = 1 / 18,5
Les particules sur le modèles devraient avoir une taille de 14 microns !!!
38
2 Deuxième possibilité : combiner la mise à l’échelle de la taille des particules avec un changement de matériau (masse volumique différente)
très porteur en pratique
Etude de la sédimentation
E l j t d K l D
.be
Exemple : projet de Kol Dam
Diamètre de grain réels = 250 microns
Echelle du modèle = 1 / 18,5
Utilisation de sciure de bois calibrée et saturée :
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ww.hach.ulg.ac. Diamètre de grain = 650 microns
Densité = 1,05 (après saturation d’eau)
OK : loi de similitude vérifiée
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39Sédimentation dans la retenue
.be
Initial
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Final
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• Test de pluie sur un cabriolet– Contrôle des projections des roues
– Stabilité aux rafales de vent
– Visibilité
Exemples de modèles physique
.be
V s b té
– Désembuage
– …
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• Ensablement du Mont Saint-Michel« On y simulait les mouvements de la marée, des fleuves et des différents phénomènes hydrauliques agitant la petite Baie, afin d'observer l’effet à long terme des aménagements projetés.
La tangue était figurée par de la sciure de bois, le sable par de la nacre artificielle de couleur rouge. C’était une première dans l’histoire des techniques de modélisation.
S l l f é l f é d é h ll d é é d l dél
Exemples d’études physiques .be
Sur cette maquette, les reliefs étaient amplifiés en raison des échelles et des nécessités de la modélisation. » Source : brochure hydro-sédimentaire http://www.projetmontsaintmichel.fr/agir/iso_album/dossier_hydro_p1a24_0812.pdf
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• Etude d’évacuateur de crues (barrage Folsom – Californie)
Exemples d’études physiques
.be
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• Reproduction du Mississipi
Exemples de modèle physique.be
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• Burj Dubaï, gratte-ciel de 750 m de haut – Etude en soufflerie
– Maquette au 1/50
– Section de la soufflerie 9 m x 9 m
Exemples de modèles physiques
.be
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