192
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
PEMBAHASAN PENYISIHAN OMITS 2013
SOAL PILIHAN GANDA
1. Jawaban : D
Pembagi positif dari selain adalah , tetapi .
Pembagi positif dari selain adalah dan , tetapi .
Pembagi positif dari selain adalah dan , tetapi .
Pembagi positif dari selain adalah dan sehingga .
Jadi, dari keempat bilangan di atas, yang termasuk bilangan sempurna
adalah 6.
2. Jawaban : C
( )( ) ( )( ).
Perhatikan bahwa digit terakhir dari {
Karena ( )( ) merupakan bilangan ganjil maka digit terakhir dari
( )( ) adalah 5.
3. Jawaban : B
Misalkan Tika lahir pada tahun .
Pada tanggal 9 Februari 2013 usianya sama dengan jumlah digit dari tahun
dimana dia dilahirkan, maka ( )
Karena dan bilangan bulat dan , maka
.
.
.
Karena maka pasangan terurut ( ) yang memenuhi
hanyalah ( ) dan ( ).
Jika dan , maka persamaan (1) menjadi :
.
( ) .
.
Karena bilangan bulat dan , maka
.
Karena bilangan bulat maka nilai yang mungkin hanyalah 8 dan 9.
193
Buku Panduan Jawara Omits SMP
Jika maka ( )
(tidak memenuhi,
sebab
bukan bilangan bulat).
Jika maka ( )
Jika dan , maka
.
( ) .
( ).
Nilai yang mungkin hanyalah 1, sehingga nilai ( )
Jadi, ada 2 kemungkinan, yaitu Tika lahir pada tahun 1992 atau Tika lahir
pada tahun 2010.
4. Jawaban : B
Masing-masing huruf dari dan diganti dengan sebuah digit
berbeda dari 1, 2, 3, 4, 5, dan 6. Nilai maksimum (
) dicapai jika
dan maksimum sedangkan dan minimum.
Jadi, (
)
.
5. Jawaban : C
.
6. Jawaban : C
Diketahui
dan dengan dan bilangan bulat
positif.
.
Karena bilangan bulat positif maka haruslah faktor positif dari 5,
sehingga kemungkinannya hanyalah atau .
Diperoleh atau .
Jika maka , sehingga .
Jika maka , sehingga .
Jadi, nilai terkecil dari adalah 17.
7. Jawaban : A
.
194
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
.
.
(
) (
) (
)
.
.
.
Jadi, nilai dari
.
8. Jawaban : D
( ) .
9. Jawaban : C
.
.
.
10. Jawaban : B
Misalkan dan berturut-turut adalah panjang, lebar dan tinggi balok.
cm2, cm
2 dan cm
2.
( ) √
Jadi, volume balok √ .
11. Jawaban : A
√
( )
√ √
.
12. Jawaban : D
Rumus suku ke – dari barisan geometri adalah dengan suku
pertama dan rasio.
√ .
.
√ .
195
Buku Panduan Jawara Omits SMP
13. Jawaban : D
Diketahui :
( )
( )
Dari persamaan (1) diperoleh :
( ) ( ) ( )( ) .
( )( )( ) ( ) ( ) ( )
Selanjutnya subtitusikan persamaan (2) ke persamaan (3).
( )
.
14. Jawaban : B
Perhatikan gambar di bawah ini !
Misalkan dan . Karena , maka
, dan juga karena , maka .
dan .
Perhatikan !
( ) ( ) .
( ) .
15. Jawaban : D
(√ √ )(√ √ )
√ √ (√ √ )(√ √ )(√ √ )
√ √ ( )( √ )
√ √
( √ )
√ √
Rasionalkan penyebut dengan mengalikan pembilang dan penyebut dengan
akar sekawan dari penyebut, diperoleh :
196
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
(√ √ )(√ √ )
√ √ (
( √ )
√ √ ) (
√ √
√ √ )
( √ √ √ √ )
(√ √ )(√ √ )
√ √ √ √ √ √ √ √ .
16. Jawaban : C
Bilangan polindrom antara 100 sampai 2013 terdiri dari 3 digit dan 4 digit.
Bentuk umum bilangan polindrom 3 digit adalah .
hanya boleh diisi angka (ada 9 pilihan untuk mengisi ).
hanya boleh diisi angka (ada 10 pilihan untuk mengisi ).
Banyaknya bilangan polindrom 3 digit adalah
Bentuk umum bilangan polindrom 4 digit adalah .
Karena dibatasi sampai 2013, maka hanya boleh diisi angka dan .
Jika maka hanya boleh diisi angka
(ada 10 pilihan untuk mengisi ).
Jika maka hanya boleh diisi angka
(ada 1 pilihan untuk mengisi ).
Banyaknya bilangan polindrom 4 digit sampai 2013 adalah
Jadi, bilangan polindrom antara 100 sampai 2013 adalah .
17. Jawaban : A
Misalkan dan berturut-turut adalah gradien dari garis
dan , maka
dan
.
Karena garis dan garis sejajar maka
berlaku .
.
Garis berpotongan dengan garis
dan garis di satu titik.
Titik potongnya dapat ditentukan dengan cara eliminasi.
dan .
Subtitusi dan ke persamaan .
( )( ) ( )
Jadi, nilai dari .
197
Buku Panduan Jawara Omits SMP
18. Jawaban : A
( ) ( ) ( )
( )
.
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )
( )
.
19. Jawaban : C
( ) (
)
Jika maka ( ) (
) ( ), sehingga diperoleh :
( ) ( ) ( )
Jika maka ( ) (
) ( ), sehingga diperoleh :
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Jika persamaan (2) disubtitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh :
( ) ( ( )) ( ) .
20. Jawaban : D
Perhatikan pola berikut !
Catatan :
Gradien dari garis adalah
.
Gradien garis yang melalui 2 titik, yaitu ( ) dan ( )
adalah
.
Gradien dari garis adalah
Dua garis dan saling sejajar jika dan hanya jika .
Dua garis dan saling tegak lurus jika dan hanya jika
.
Dengan dan berturut turut adalah gradien garis dan .
198
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
Jumlah digit-digit dari adalah ( )
21. Jawaban : C
Misalkan dan berturut-turut adalah banyaknya jawaban Angga yang
benar, salah dan tidak dijawab.
Banyaknya soal adalah 50 dan Angga hanya menjawab 40, maka
dan .
Jawaban benar bernilai 5, jawaban salah bernilai , tidak dijawab bernilai
dan Angga mendapat nilai 71, maka
.
.
Jadi, banyaknya jawaban Angga yang benar adalah 23.
22. Jawaban : D
Diketahui :
( ( )) ( ( )) ( ( )) .
(Lihat catatan logaritma halaman 45).
( ( )) .
( ( )) ( ) .
( ) .
( ( )) .
( ( )) ( ) .
( ) .
( ( )) .
( ( )) ( ) .
( ) .
Jadi, nilai dari .
23. Jawaban : B
( )( ).
Karena maka dan , sehingga
( )( ).
199
Buku Panduan Jawara Omits SMP
( ) ( ) ( ) .
Dengan menggunakan kesamaan koefisien ruas kiri dan ruas kanan maka
diperoleh
Jadi, .
24. Jawaban : A
Jumlah 100 bilangan asli pertama adalah 5050, maka
.
Nilai dari
( ) ( ) ( ) ( )
( )
( )
25. Jawaban : C
Nilai dari
( ) ( )
( ) ( ) .
26. Jawaban : A
Perhatikan gambar berikut !
Luas Luas , karena dan persegi
maka √
. Titik adalah titik tengah busur , akibatnya
( )
( ) .
Luas daerah yang diarsir
Luas Luas Luas Luas Luas
( )
( )
( )
( )( )
( ) .
200
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
27. Jawaban : C
Gunakan formulasi ( )( ).
( ) ( ) ( )
( )( ) ( )( )
( )( )
( )( ) ( )( ) ( )( )
(lihat rumus halaman 9)
( )
.
28. Jawaban : B
.
( ) ( ) .
Misalkan dan .
, jika kedua ruas dikalikan -2 maka
.
( ) ( ) ( ) .
( ) ( ) ( ) .
( ) ( ) ( ) .
Karena bilangan riil, maka
( ) ( ) dan ( ) .
Sehingga persamaan di atas terpenuhi jika dan hanya jika
, dan .
Diperoleh .
Bilangan riil yang memenuhi persamaan di atas adalah 0.
Jadi, ada 1 bilangan riil yang memenuhi.
29. Jawaban : D
Misalkan bilangan dua digit adalah
Karena maka pasangan ( ) yang memenuhi adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) dan ( ).
Karena habis dibagi 34 maka satu-satunya yang memenuhi
hanyalah dan , sehingga diperoleh .
Nilai dari
30. Jawaban : D
Pilihan jawaban :
201
Buku Panduan Jawara Omits SMP
A. ( ) (kelipatan 7 tetapi , jadi bukan bilangan prima).
B. ( ) (kelipatan 5 tetapi , jadi bukan bilangan prima).
C. ( ) (kelipatan 3 tetapi , jadi bukan bilangan prima).
D. ( ) (bilangan prima).
31. Jawaban : C
( ) (
) dengan syarat
(lihat catatan logaritma halaman 45).
( ) (
) .
( )
(
) .
( ) √
.
( )
√
( )
√
√
.
Selanjutnya kedua ruas dikuadratkan sehingga diperoleh : ( )
–
( ) ( ).
( ) ( ) .
Selanjutnya difaktorkan menjadi :
( )(( ) ) ( )( ) .
Diperoleh
atau
.
Karena syaratnya
, maka nilai yang memenuhi hanyalah
.
32. Jawaban : C
Didefinisikan
untuk semua bilangan bulat dan
, untuk setiap bilangan bulat . Berdasarkan definisi maka
33. Jawaban : D
Misalkan
untuk dan bilangan positif berbeda, maka
( )
( )
( )
202
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
Jika persamaan (2) disubtitusikan ke persamaan (1) maka diperoleh :
( ) ( ) ( )
Dari persamaan (3) diperoleh :
( )
Jika persamaan (4) disubtitusikan ke persamaan (5) maka diperoleh :
( ) ( ) ( ) .
Karena bilangan positif maka haruslah , selanjutnya
difaktorkan menjadi ( )( ) , diperoleh atau .
Jika , maka persamaan (3) menjadi ( )
.
Jika , maka persamaan (3) menjadi ( )
(tidak memenuhi, sebab dan bilangan positif).
Jadi, nilai dari
adalah
.
34. Jawaban : A
Perhatikan pola berikut !
Jumlah semua angka pada :
Baris pertama :
Baris kedua :
Baris ketiga :
Baris keempat :
Jumlah semua angka pada masing-masing baris membentuk barisan geometri
dengan suku pertama dan rasio .
Suku ke dari barisan geometri adalah , sehingga jumlah
semua angka pada baris ke ( ) .
35. Jawaban : D
Dari angka-angka 3, 6, 2, 9, 5 akan dibentuk bilangan ganjil yang terdiri dari
5 angka tanpa perulangan.
Misalkan bilangan terbesar yang terbentuk adalah , maka haruslah
bilangan ganjil terkecil, Selanjutnya dan diisi dengan
bilangan secara terurut dari yang terbesar sampai yang terkecil sehingga
diperoleh .
203
Buku Panduan Jawara Omits SMP
Misalkan bilangan terkecil yang terbentuk adalah , maka haruslah
bilangan ganjil terbesar, Selanjutnya dan diisi dengan
bilangan secara terurut dari yang terkecil sampai yang terbesar sehingga
diperoleh .
Jadi, selisih bilangan terbesar dan terkecil adalah
36. Jawaban : D
Jika bernilai ganjil maka ada 2 kemungkinan, yaitu ganjil dan
genap atau genap dan ganjil.
A. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka
bukan bilangan ganjil.
B. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka
bukan bilangan ganjil.
C. Jika ganjil dan genap maka bilangan ganjil. Akan tetapi jika
genap dan ganjil maka bukan bilangan ganjil.
D. Jika ganjil dan genap atau genap dan ganjil maka ( )( )
bilangan ganjil.
Jadi, jika bernilai ganjil maka ( )( ) pasti bilangan ganjil.
Catatan :
Agar lebih mudah memahami pembahasan di atas perhatikan sifat-
sifat berikut :
a) Genap genap genap
b) Genap ganjil ganjil
c) Ganjil genap ganjil
d) Ganjil ganjil genap
e) ( ) genap
f) ( ) ganjil
g) Ganjil ganjil ganjil
h) Ganjil genap genap
i) Genap ganjil genap
j) Genap genap genap
204
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
37. Jawaban : A
Pernyataan pada soal ini dapat dinyatakan dalam tabel berikut :
Senin Selasa Rabu Kamis Jum’at
Ali masuk tidak masuk tidak masuk
Baiquini masuk masuk tidak masuk masuk
Chali tidak masuk masuk tidak tidak
Dita masuk masuk masuk masuk tidak
Eko tidak
selalu masuk masuk
tidak
selalu masuk
Dari tabel di atas jelas bahwa yang selalu dapat masuk hari Senin adalah
Dita, Baiquini dan Ali.
38. Jawaban : C
Misalkan usia Robi sekarang adalah tahun dan usia Soni sekarang adalah
tahun, maka
( )
( ) ( )
Subtitusi persamaan (1) ke persamaan (2) diperoleh :
( )
.
39. Jawaban : D
.
Diketahui dan bilangan bulat positif sehingga haruslah faktor positif
dari 32. Oleh karena maka pasangan ( ) yang memenuhi
hanyalah ( ) ( ) dan ( ).
.
Diketahui dan bilangan bulat positif sehingga haruslah faktor positif
dari 50. Oleh karena maka pasangan ( ) yang memenuhi hanyalah
( ) ( ) dan ( ).
Diketahui juga bahwa .
Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka ( )
( ). Akan tetapi hal ini tidak memenuhi .
Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka
( ) ( ). Akan tetapi hal ini tidak memenuhi .
205
Buku Panduan Jawara Omits SMP
Jika diambil ( ) ( ), agar memenuhi maka ( )
( ). Sehingga diperoleh dan
memenuhi
Jadi, nilai dari ( )
40. Jawaban : B
Diketahui dan .
( ) ( ) .
Jadi, nilai dari .
41. Jawaban : D
Perhatikan pola berikut !
Banyaknya bulatan pada :
pola ke-1 :
pola ke-2 :
pola ke-3 :
pola ke-100 : ( )( )
.
42. Jawaban : D
dengan dan bilangan bulat.
( )( ) .
Karena 37 bilangan prima maka pasangan (( ) ( )) yang
memenuhi adalah ( ) ( ) ( ) dan ( ).
( ) ( ) .
( ) ( ) .
( ) .
43. Jawaban : D
Diketahui √ √ √
√ √
√ √
√
√ √ √
√ .
206
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
Perhatikan bahwa :
√ √ , jika kedua ruas dari persamaan √
√ dipangkatkan maka
diperoleh √ √
√ . Selanjutnya, jika kedua ruas dari persamaan
√ √ dipangkatkan maka diperoleh √
√
√
√ .
Jika proses ini dilakukan berulang, maka akan diperoleh :
√
√ √
√ .
Jadi, nilai dari adalah 3.
44. Jawaban : D
.
.
Dengan sifat distributif, maka diperoleh :
( )
( ) .
.
Selanjutnya difaktorkan menjadi :
( ) .
Sehingga diperoleh atau .
.
45. Jawaban : B
Perhatikan gambar berikut !
√ √ .
( ) ( √ ) √ √ .
Karena maka dan adalah segitiga siku-siku
sama kaki yang kongruen, sehingga .
207
Buku Panduan Jawara Omits SMP
akibatnya ,
luas luas , dan luas juring luas juring .
Luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran
Luas daerah yang diarsir
Luas juring Luas juring + Luas + Luas
2 ( Luas juring Luas )
(
( )
) .
46. Jawaban : D
Suatu jam dinding selalu menghasilkan keterlambatan menit tiap jam.
Karena jam = menit maka setiap
jam, jam dinding selalu
menghasilkan keterlambatan jam.
Agar jam dinding menunjukkan kembali waktu yang tepat, maka jam tersebut
harus menghasilkan keterlambatan jam yang akan diperoleh setelah
jam.
47. Jawaban : C
Perhatikan gambar berikut !
Diketahui :
, .
adalah jajaran genjang, // akibatnya dan
( ) .
Jadi, nilai dari .
208
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
48. Jawaban : B
Misalkan lima pasangan suami istri tersebut adalah
( ) ( ) ( ) ( ) ( ).
Karena ada 5 pasang suami istri dan tiap pasangan dapat saling bertukar
tempat duduk dengan pasangannya sendiri, maka banyaknya cara mengatur
tempat duduk sehingga setiap pasang suami istri duduk berdampingan adalah
cara.
49. Jawaban : A
Misalkan dan berturut-turut adalah rata-rata usia dosen dan rata-rata usia
dokter. Sedangkan dan berturut-turut adalah banyaknya dosen dan
banyaknya dokter, adalah rata-rata usia gabungan dosen dan dokter.
.
.
.
. ( ) ( )
.
.
.
Jadi, perbandingan banyaknya dosen dan dokter adalah 2 : 1.
Untuk menyelesaikan soal di atas dapat juga diterapkan cara cepat pada
halaman 9.
50. Jawaban : A
Diketahui
dan
.
.
209
Buku Panduan Jawara Omits SMP
Soal Isian Singkat
1. Jawaban : 2012
Diketahui ( )
dengan .
Perhatikan bahwa :
( ) (
)
(
) .
Maka nilai dari ( ) ( ) ( ) ( ) (
) (
)
(
) (
)
( ( ) (
)) ( ( ) (
)) ( ( ) (
))
( ( ) (
))
⏟
.
2. Jawaban : 64
Diketahui
, maka dan .
√
√
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
√ ( )
√
3. Jawaban : 0 atau 5
Misalkan √ √ √ √ √ √ .
√ √ √
Jika kedua ruas dikuadratkan maka diperoleh :
√ √ √ .
Selanjutnya difaktorkan menjadi ( )
diperoleh atau
√ √ √
Jika kedua ruas dikuadratkan maka diperoleh :
√ √ √ .
210
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
Untuk maka
Untuk maka ( )
diperoleh atau
Jadi, nilai yang memenuhi persamaan
√ √ √ √ √ √ adalah 0 atau 5.
4. Jawaban : 3
( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) dengan syarat
.
( ) ( ) ( ) ( ).
( ) ( ) ( ) ( ) .
( ) ( ( ) ( ) ) sehingga diperoleh
( ) atau ( ) ( ).
( )
( ) ( ) diperoleh
Karena
maka nilai yang memenuhi adalah 3.
5. Jawaban :
.
Nilai dari
( ) ( ) .
6. Jawaban : bola merah 8 buah dan bola hijau 36 buah
Misalkan dan berturut-turut adalah banyaknya bola merah dan bola hijau
di dalam kantong. Sedangkan adalah banyaknya semua bola dalam
kantong.
( ) ( )
( ) ( )
Dari persamaan (1) dan (2) :
diperoleh dan
sehingga diperoleh .
211
Buku Panduan Jawara Omits SMP
Jadi, banyaknya bola merah adalah 8 buah. Sedangkan banyaknya bola hijau
adalah 36 buah.
7. Jawaban : Rifdi dan Diana
Asumsikan pernyataan wanita pendek benar, maka Rifdy adalah pria pendek
dan Yahya adalah pria tinggi. Akibatnya pernyataan pria tinggi salah dan
pernyataan pria pendek benar dan pernyataan wanita tinggi salah.
Pria pendek (Rifdy) berkata “saya tidak berpacaran dengan Anin”.
Karena pernyataan pria pendek benar maka dapat dipastikan bahwa pria
pendek (Rifdy) berpacaran dengan wanita pendek (Diana).
8. Jawaban : Tika
Misalkan dan berturut-turut adalah kecepatan Tika dan Tiwi, adalah
jarak A ke B dan dan berturut-turut adalah total waktu yang dibutuhkan
Tika dan Tiwi dari A ke B lalu kembali ke A lagi.
dan .
.
.
Karena maka yang sampai kembali ke A terlebih dahulu adalah Tika.
9. Jawaban :
Perhatikan gambar berikut !
Karena dan
maka dapat ditulis panjang dan
untuk suatu bilangan riil positif , sehingga
.
Jadi, perbandingan luas segitiga dan adalah .
212
Pembahasan Penyisihan Omits 2013
10. Jawaban :
Perhatikan gambar berikut !
Jika diletakkan benteng dimanapun maka banyaknya posisi yang tidak boleh
ditempati benteng kedua agar tidak saling memakan adalah
Sedangkan banyaknya semua posisi untuk benteng kedua adalah 63.
Jadi, peluang kedua benteng tidak saling memakan adalah
Top Related