Conceptos Bsicos deElementos Finitos
Anlisis Estructural
FORMULACIONES PRINCIPALESFORMULACIONESPRINCIPALES
Formulacin Formulacin EulerianaFormulacinLangragiana
Formulacin Euleriana
D d l bl l i G d i i V dDatosdelproblemaelstico:Geometra,dominioVocupadoporelslido
Definicindelasvariablesindependientes:formulacinlagrangiana:lagrangiana:
x2
x1x
Identificacin de un elemento de volumen especficodi t t i i ( )mediante su vector posicin xi=(x1,x2,x3) en una
configuracin de referencia conocida
Vectordedesplazamientosu
ui=(u1,u2,u3)
uxi(x1,x2,x3,0)
X (x1 x2 x3 t)Xi(x1,x2,x3,t)
Campo de despla amientos ( t)} X xCampodedesplazamientos:ui=ui(x1,x2,x3,t)}=Xixi
Enfoquelagrangianoomaterial:variableindependiente:xi(posicin de la partcula en la configuracin de referencia)(posicindelapartculaenlaconfiguracindereferencia)
Caracterizacin delmovimiento enrepresentacin lagrangiana:
X =X (x x x t); donde (X X X ) es la posicin en el espacio ocupadaXi=Xi(x1,x2,x3,t);donde (X1,X2,X3)es laposicin enelespacio ocupadapor laparticula xi enelinstante t.xi (x1,x2,x3,0)es laposicin original
Vector de desplazamientos: ui = Xi xi;Vectordedesplazamientos:ui Xi xi;
Campodedesplazamientos:ui =ui(x1,x2,x3,t)
uiu20
i
Definicindelasvariablesindependientes:formulacineuleriana:
ddy1
dy2
dy3
Representacindelmovimientoenrepresentacineuleriana:
v =v (y y y t); donde (v v v ) es la velocidad de la particula que en elvi=vi(y1,y2,y3,t);donde(v1,v2,v3)eslavelocidaddelaparticulaqueenelenelinstantetocupalaposicinenelespacioyi
dy1
dy2
dy3
Formulacin Langragiana conel d d lMtodo deElementos Finitos
El mtodo de los elementos finitos es un caso particular de aplicacin del mtodo de
Pasos para obtener las funciones deinterpolacin:
Elmtodo deloselementos finitos es uncaso particulardeaplicacin delmtodo deGalerkin odelmtodo deRitzutilizando unas funciones deinterpolacin especiales
a) Dividir elvolumen delaestructura enelementos finitos:
123
44 7
8 12
13 14 19 20
nudos
1314 1920
21 22 23 24 25 26 27 28
246135
2122232425262728
elementos
b)Aproximarlosdesplazamientosmedianteseriesdefunciones.Seescogeunafuncin por nudo de la mallafuncinpornudodelamalla
)x(Nb)x(Nb)x(Nb)x(u)x(Na.....)x(Na)x(Na)x(u nn22111
}q)]{x(N[)}x(u{
)x(Nb.....)x(Nb)x(Nb)x(u nn22112
}q)]{([)}(u{
0N0N
ba
}{1
1
.......N0N0
.......0N0N)]x(N[
21
21
:ba}q{
2
2
:
Enelejemploanteriorseescogeran28funciones:(n=28)porser28nudos
c)Funcionesdeinterpolacionen1D
N (X) 1N3(X)
12345
Elementos1
X123456
nudos
inudojnudocoord(x) xsi 0)x(Ni nudo coord(x) xsi 1)x(N
i
i
udojudocoo d( )s0)(Ni
)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(Na)x(u 665544332211
Parax=coord(x)nudo3;u(x)=a3
Parax=coord(x)nudoi;u(x)=ai
Enelmtododeloselementosfinitos,lasconstantesai tieneninterpretacinfsica
c)Funcionesdeinterpolacionen2Dy3D
1N1
N15
xxsi0)x(Nxx si 1)x(N hh
xx si 0)x(Nh
hnudoelincluyequeelementox si 1)x(N0 h
casos dems losen 0)x(Nudoec uyequee e e os)(N0
h
h
Vectordedesplazamientos delosnodos
}q)]{x(N[)}x(u{
Funciones deForma
Elemento Finito de CerchaElemento Finito deCercha
Condosnodos
Ecuacin Cinemtica
Truss
dudxdudx )(
i jFi, ui Fj, uj
dxdxn
)(
Energa dedeformacin de
unelemento diferencial de
Trussvolumen dW:
Caso deesfuerzos
uniaxiales
Energa dedeformacin oEnergaI t W
Interna Wo
dW 1Si el material es elstico lineal: dvW 20
Sielmateriales elstico lineal:
Energa Total
TrussFi,ui Fj,uj
jjiiExt FuFuW**
ExtT WWU 0 ExtT 0
FuFudvU **1 jjiiT FuFudvU 2
Ley deComportamiento
TrussFi,ui Fj,uj
E
EAF
EAFA EAF
PrincipioEstacionario
TrussFi,ui Fj,uj
0
aUTa
Debe buscar laminimaEnerga acumulada
Funciones deFormapara losElementosde Barras
N1(x):=1x/L;
deBarras
1N1(x): 1 x/L;
11 2
}q)]{x(N[)}x(u{
N2(x):=x/L;
11 2
1
1
1u
2
1)}({uL
xLxxu
Funciones deFormapara losElementosde BarrasdeBarras
1}q)]{x(N[)}x(u{
11 3N1(x):=13*x/2/L+x^2/2/L^2;
11 2
1N2(x):=2*x/Lx^2/L^2;
1
1N3(x):=x/2/L+x^2/2/L^2;
1
222 23
u
xxxxxx
11 3
3
2222 222
2231)}({
u
uL
xLx
Lx
Lx
Lx
Lxxu
Elementosfinitostipobarra
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