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Problemtica
La enseanza de semejanza de figuras planas ha sido un tema
tratado durante muchos aos dentro de la enseanza de nuestro pas.
A pesar de esto, los estudiantes tienen diversas dificultades en la
apropiacin de este contenido.
En las prcticas profesionales realizadas durante el proceso de
formacin docente, observamos una tendencia a tratar las semejanza
a travs de formulas, sin tomar en cuenta las transformaciones
geomtricas involucradas en este contenido, dicho esto, quiero
referirme a las homotecias, tema tratado vagamente dentro de los
programas de segundo medio, y ms an, en los textos escolares. Las
homotecias, al igual que las semejanzas, es una transformacin
isomrfica, esto es, las figuras resultantes tienen la misma forma pero
no, necesariamente, el mismo tamao. Una de las diferencias que
podemos encontrar entre las semejanzas y homotecias, es que, estas
ltimas, estn determinadas por un punto fijo, llamado centro de la
homotecia.
En investigaciones realizadas sobre las concepciones de
estudiantes acerca de la semejanza se hace hincapi en la
importancia de las homotecias (manejo de escalas) para la
apropiacin de este conocimiento (Castro; Cspedes, 2009). Este
estudio tambin revela algunos de los errores cometidos por los
estudiantes al determinar cuando dos figuras son semejantes, como
por ejemplo; Al comparar figuras, los ngulos son iguales, entonces
las figuras son semejantes, Si los lados de una figura aumentan de
manera aditiva en la otra figura, entonces las figuras son semejantes.
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El objetivo de esta investigacin es, verificar que el aprendizaje
de la semejanza de tringulos, es ms significativo, si con anterioridad
se aborda el tema de homotecia. Para esto disearemos una situacin
de aprendizaje.
Luego la pregunta de investigacin de nuestro trabajo de
titulo es: Cmo introducir las semejanzas de tringulos a travs de
las homotecias?
Antecedentes.
A continuacin realizaremos un breve anlisis el programa de
segundo medio del ministerio de educacin, adems de dos textos
escolares, los cuales son: Educacin matemtica 2 para segundo ao
de educacin media editorial Santillana 2009,Texto es Matemtica
segundo medio editorial Marenostrum ao 2005.
Durante el anlisis de los programas escolares, observamos que
al introducir las transformaciones isomtricas (octavo bsico) los
estudiantes tienen la posibilidad de estudiar la geometra euclidiana
en movimiento, en dichos documentos, se recomienda al docente,
estimular a los estudiantes la comprensin de la naturaleza de estas
transformaciones, es decir, que al mover figuras (trasladar, rotar o
reflejar), estas mantienen su forma y tamao (figuras congruentes).
Esto permite a los estudiantes una mejor comprensin del concepto de
congruencia, ya que su enseanza, comienza desde una base ms
intuitiva.
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En cursos superiores, se abordan las transformaciones
isomtricas nuevamente, pero esta vez, en el plano cartesiano. Es en
este momento, en el cual se aborda el concepto de congruencia, se
nombra la importancia de vincular estrechamente las transformaciones
isomtricas con el concepto de congruencia, definiendo a estas
ltimas como: dos figuras como congruentes cuando es posible
aplicar una o ms transformaciones isomtricas a una de esas figuras
para luego obtener la otra.
Durante la ltima fase de este proceso, los estudiantes
establecen los criterios de congruencia, siendo guiados por el docente.
En el caso de las semejanzas, las orientaciones didcticas de los
programas de estudio de segundo ao de enseanza media indican
algunas de las dificultades de los estudiantes para la apropiacin de
este conocimiento; Las figuras semejantes presentan un nivel de
evidencia a simple vista; la dificultad reside en el anlisis de las
condiciones que generan aquello que es visible y tangible; es el salto
cualitativo que va desde la superposicin de dos tringulossemejantes, constatando la igualdad de los ngulos, a los teoremas de
semejanza; es el anlisis que permite concluir que todos los polgonos
regulares son semejantes entre s.. Cabe destacar, que en las
orientaciones didcticas, no se nombra las transformaciones
geomtricas involucradas en las semejanzas, como por ejemplo, las
homotecias, al contrario de lo que sucede en el caso de las
transformaciones isomtricas con la congruencia de figuras planas
este punto, puede ser una de las dificultades que afrontan los
estudiantes en el estudio del concepto de semejanza, a este ltimo, lo
ven como un objeto aislado de los otros contenidos geomtricos,
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abordados en 8 ao de enseanza bsica, y 1 ao de enseanza
media. Basndonos en la siguiente definicin de semejanza: la
semejanza es el producto de una homotecia por un movimiento,
S=HM (Martnez et al., 1984 p.364), pretendemos lograr que el
estudiante, utilizando el concepto de homotecia, sea capaz de
establecer criterios de semejanza.
En el anlisis de los dos textos escolares que utilizaremos
en nuestra investigacin, nos encontramos con dos estrategias para
abordar el contenido de semejanza.
El primero de los textos analizados es; Educacin
matemtica 2 para segundo ao de educacin media editorial
Santillana 2009. En este texto se abordan la semejanza, en un primer
momento, a travs de dibujos a escala, luego de esto se le da al
estudiante propiedades de semejanza Dos figuras son semejantes
cuando la razn entre las medidas de sus segmentos homlogos (o
correspondientes) es constante, o sea, son proporcionales. Luego se
aborda teorema de Thales, finalizando con homotecias
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Objeto matemtico.
Transformaciones geomtricas
Definicin: Son procesos de variacin o movimiento de los
puntos del plano de forma que se establece una relacin entre loselementos origen y los elementos transformados. Estas
transformaciones las podemos clasifican en tres grupos; Isomrficas,
Isomtricas, Anamrficas.
Isomtricas: Son aquellas transformaciones que conservan las
dimensiones y los ngulos entre la figura original y la transformada.
Ejemplo: Traslaciones, Rotaciones, Simetras (central, axial).
Isomrficas: Son aquellas transformaciones que conservan la forma,
es decir, los ngulos de la figura original y la transformada son iguales
y las longitudes son proporcionales. Ejemplo: Homotecia, Simetra.
Anamrficas: Son aquellas transformaciones en las que cambia la
forma entre la original y la transformada. Ejemplo: Inversin
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Para efectos de nuestro trabajo de titulo, nos enfocaremos en las
transformaciones Isomrficas.
En el ao 1899, Hilbert (1862-1943) logr la fundamentacin dela geometra, con su libro llamado Grundlagen der Geometrie
(Fundamentos de Geometra). Los elementos de Euclides tenan ya
una estructura deductiva muy perfecta, pero en ellos se utilizaban a
menudo, implcitamente axiomas no formulados, definiciones sin
sentido e incluso razonamientos lgicamente incorrectos. Hilbert era
perfectamente consciente de que no todos los trminos que se usan
en una teora matemtica se pueden definir, y por lo tanto, comenz
su tratamiento de la geometra considerando, de entrada, tres tipos de
objetos indefinidos, estos son: puntos, rectas y planos, y sus
relaciones indefinidas: estar sobre, estar en, estar entre, ser
congruente, ser paralelo y ser continuo.
En lugar de los cinco axiomas (o nociones comunes) y los cinco
postulados de Euclides, Hilbert formula, para su geometra, un
conjunto de 21 axiomas (que posteriormente se reduciran a 20), que
se conocen desde entonces como los Axiomas de Hilbert para la
geometra Eucldeana.
Estos 21 axiomas estn distribuidos en 5 grupos, los cuales son:
1. Incidencia.
2. Ordenacin.
3. Paralelismo
4. Congruencia o movimiento.,
5. Continuidad.
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Axiomas de Incidencia.
Axioma 1: Dos puntos distintos determinan una nica recta
Axioma 2: Dos puntos cualesquiera de una recta la determinan por
completo; es decir, si , (donde ), entonces
Axioma 3: el plano contiene a lo menos tres puntos.
Axioma 4: Tres puntos (no alineados), determinan por
completa al plano .
Axioma 5: Si dos puntos , de la recta yacen en el plano ,
entonces todo punto de yace en .
Axioma 6: Si dos planos tienen un punto en comn, entonces
tienen al menos otro punto en comn.
Axioma 7: En cada recta hay al menos dos puntos; en cada plano hay
al menos tres puntos no situados en la misma recta; y existen al
menos cuatro puntos no situados en un mismo plano.
Axiomas de orden.
Axioma 1: Si un punto est entre los puntos , tambin est
entonces entre , y existe una recta que contiene a los tres.
Axioma 2: Si son dos puntos de una recta, existe al menos otro
punto entre , y al menos un punto , de tal manera que est
entre .
Axioma 3: Dados tres puntos en una recta, slo uno de ellos est entre
los otros dos.
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Dada una pareja de puntos , puede hablarse entonces del
segmento . Los puntos del segmento son todos aquellos que
estn entre , siendo extremos del segmento.
Axioma de Pasch: Sean , tres puntos no situados en la misma
recta y sea una recta contenida en el plano ABC, que no pasa por
ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces, si pasa por algn
punto del segmento , entonces pasa tambin por algn punto, o
bien, del segmento , o bien, del segmento . Puede probarse
entonces que dadas una recta y un punto en ella, puede dividirse la
recta en dos semi-rayos, disjuntos entre s, que emanan de , tales
que su unin constituye toda la recta a excepcin de A. De igual modo,
dados un plano y una recta en el, pueden distinguirse en l dos
partes disjuntas en el plano, los lados de respecto a , donde de
nuevo su unin constituye todo el plano a excepcin de .
Axiomas de paralelismo
Axioma 1: En un plano puede encontrarse una nica recta que
pase por un punto dado , el cual no pertenece a una recta dada ,
de forma que no tengan ningn punto en comn. Est recta se
llama, la paralela a que pasa por .
Axiomas de congruencia o movimiento
Definiremos un ngulo como una pareja de semi-rayos
yaciendo en un plano que emanan del mismo punto . Se
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demuestra que puede dividirse el plano en dos regiones: el interiory el
exterior de , donde son los lados del ngulo y su
vrtice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior est
contenido por completo en dicha regin. Esto no se cumple para una
pareja de puntos cualesquiera en el exterior.
Un tringulo queda definido por tres segmentos de la forma
, Dichos segmentos son los lados del tringulo, y los tres
puntos son sus vrtices. El tringulo divide el plano definido
por sus tres vrtices en interior y exterior, con las mismas propiedades
que en caso de los ngulos. Al ngulo definido por los dos semi-rayos
que salen de y que pasan por respectivamente se le denotapor , y su interior contiene todos los puntos del interior del
tringulo .
Axioma1: Si , son dos puntos de la recta , y es un punto
sobre la recta (sea esta igual a o no), se tiene que, de un lado
cualquiera de en la recta , existe un nico tal que el segmento
es congruente con el segmento , y lo denotamos por
. Todo segmento es congruente consigo mismo.
Axioma 2: Si un segmento es congruente con el segmento y
tambin con el segmento , entonces los segmentos y
son congruentes entre s. (la congruencia entre segmentos es
transitiva).
Axioma 3 Sean dos segmentos de la misma recta sin puntos
en comn a excepcin de , y sean adems dos
segmentos de la recta (sea sta igual o no a ) sin ms puntos en
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comn que . Entonces, si y , se tiene que
.
Axioma 4: Sea un ngulo en el y sea un recta en el plano
. Supngase que en el plano , se escoge uno de los lados
respecto a . Sea un semirayo de que emana de un punto de
dicha recta. Entonces, en el plano existe un nico semirayo que
sale de de forma que es congruente con , y de forma
que todos los puntos del interior de estn en el lado escogido
de . Se denota por . Todo ngulo es congruente
consigo mismo.
Axioma 5: Si el ngulo es congruente con el ngulo y
con el ngulo , entonces es congruente con
.
Axioma 6: Si dados dos tringulos se tiene que ,
, , , entonces se tiene a su vez que
y .
Axiomas de continuidad.
Axioma de Arqumedes: Sea un punto cualquiera de una recta ,
situado entre los puntos arbitrarios y de la misma. Tmense los
puntos de tal manera que est entre , est
entre , etc. Supngase adems que los segmentos
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son todos congruentes entre s. Entonces, en esta serie existe
siempre un cierto tal que est entre .
Axioma 211
Teorema de Pasch: Sean cuatro puntos cualesquiera , deuna recta , de forma que est entre y entre , y que
est entre y entre .
Homotecias.
Definicin: Sea en el plano un punto fijo y un nmero real .
Llamaremos Homotecia de centro y razn , a toda transformacin
del plano en si mismo que verifica:
1. Un punto y su imagen estn alineadas con .
2.
Proposicin 1: Las rectas que pasan por el centro de la homotecia ()
se transforman en si mismas.
Proposicin 2: La imagen de una recta que no pasa por el centro de
homotecia es otra recta paralela a la primera.
1R.L Moore demostr que este axioma era redundante en 1902.
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Demostracin:
Sean y dos puntos y y sus respectivas imgenes en
una homotecia de centro y razn . Queremos demostrar que la
recta definida por A y B, y la recta definida por A y B, son
paralelas.
y
, por definicin de Homotecia
Luego
, por lo tanto
Proposicin 3: La homotecia transforma puntos alineados en puntos
alineados y puntos no alineados en puntos no alineados.
Demostracin:
Sean tres puntos y, sus imgenes obtenidas a
travs de una homotecia de centro y razn
Caso 1) Si estn alineados.
Por proposicin 2 se verifica que;
,
por proporcionalidad
, luego se obtiene que
; ;
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Como estn alineados, uno de los tres puntos ser
interior al segmento determinado por los otros dos. Supongamos que
es interior a . Entonces:
Multiplicando por tenemos que
Luego estn alineados.
Caso 2)Si A, B y C no estn alineados
Se verifica que: luego multiplicando por
Por lo tanto no estn alineados.
Proposicin 4: Las homotecias transforman segmentos en
segmentos.
Demostracin:
Es una consecuencia de la proposicin anterior.
Proposicin 5: El producto de dos homotecias de centro es una
homotecia del mismo centro.
Demostracin:
Sea el centro de ambas homotecias, siendo
imagen de respecto de la primera homotecia y imagen d respecto de la
segunda tenemos:
Tenemos: estn alineados y estn alineados
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Sea la razn de la primera Homotecia:
Sea la razn de la segunda Homotecia:
Multiplicando ambas expresiones.
Entonces es la razn de la Homotecia del producto.
Proposicin: La inversa de una homotecia de centro y razn es
una homotecia del mismo centro y razn
.
Demostracin: Si A es la imagen de A por la homotecia de razn
k, entonces:
Por lo tanto:
La consecuencia de estas dos ltimas proposiciones es que el
conjunto de las homotecias de centro es un grupo conmutativo,
denotndose por
Semejanza en el plano
Definicin: Llamamos semejanza en el plano, a toda
correspondencia biunvoca, tal que, si son las imgenes de dos
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puntos cualquiera , se verifica que
, donde es llamado
razn de la semejanza.
Al igual que las homotecias, las semejanzas verifican
propiedades similares.
Propiedades: Las semejanzas verifican las siguientes propiedades:
1. Transforman puntos alineados en puntos alineados y puntos no
alineados en puntos no alineados
2. Transforman segmentos en segmentos.
3. Transforman ngulos en ngulos iguales (conservan los ngulos)4. Transforman tringulos en tringulos semejantes.
A la vista de lo anterior, tambin podramos haber definido una
semejanza en el plano como sigue:
Si realizamos el producto de una homotecia por un movimiento,
o lo que es lo mismo, movemos una de las dos figuras homotticas,
como el movimiento conserva la alineacin, el orden y el sentido (en
movimientos directos) y transforma segmentos, en segmentos y
ngulos, en otros congruentes, la transformacin resultante verifica
que:
1) A puntos alineados le corresponden puntos alineados y en el
mismo orden.
2) Los segmentos homlogos son proporcionales.
3) Los ngulos homlogos son iguales.
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La transformacin anterior recibe el nombre de semejanza en el
plano.
Dos figuras, entre cuyos puntos se pueda establecer una
correspondencia biunvoca que cumpla las tres condiciones anteriores,
diremos que dichas figuras son semejantes entre si.
Proposicin: El producto de dos semejanzas es otra semejanza.
Demostracin: Sean dos semejanzas y un punto del
plano.
del plano, tal que
del plano, tal que
Por lo tanto, es la imagen de por
Si existiese otro punto tal que entonces
Por tanto, para razones y de respectivamente se
verifica:
y multiplicando miembro a miembro
Luego, la razn de la semejanza del producto, es igual al
producto de las razones de las semejanzas.
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Propiedades:
1. El producto de las semejanzas es asociativo
2. El elemento neutro, o semejanza unidad, es aquella en la que
todos los puntos son dobles. (la identidad)
3. Toda semejanza admite una inversa.
Demostracin:
Las propiedades 1 y 2 son inmediatas, la propiedad 3 la
justificaremos ms adelante, cuando demostremos que toda
semejanza en el plano se puede escribir como producto de un
movimiento por una homotecia.
Semejanza de tringulos.
Definicin: Dados dos tringulos ABC y ABC, diremos que son
semejantes si:
1. Existe una biyeccin entre sus lados
2. Las razones de los lados homlogos son iguales.
Llamaremos razn de semejanza de los dos tringulos al valor
de tal que verifica:
Teorema: Existe una nica semejanza que transforma un tringulo en
otro semejante a l.
Demostracin: Sean y dos tringulos semejantes.
Existencia. La traslacin de vector transforma el tringulo
en el tringulo .
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El giro de centro y ngulo orientado con semirrecta
origen , y semirrecta extremo transforma el punto en y
en . Por tanto el giro transforma el tringulo en el
tringulo
Si componemos ambas aplicaciones, la imagen del tringulo
es . Ahora pueden suceder dos casos:
La semirrecta coincida con
2. Las semirrectas y son simtricas respecto de la
En este segundo caso, hemos de aplicar una simetra axial de eje
, transformando el tringulo en
En el caso 1 los ngulos y son iguales.
En el caso 2 los ngulos y son iguales.
Entonces obtenemos las proporcionalidades:
Primer caso:
Segundo caso:
Por lo tanto, en ambos casos, existe una homotecia de centro A
y razn k que transforma el tringulo
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Caso 1:
Caso 2.
Como los movimientos utilizados, (traslaciones, giros y simetras
axiales) y las homotecias son semejanzas, la transformacin del
tringulo en el tringulo es una semejanza.
Unicidad: Realicemos la demostracin por reduccin al absurdo.
Supongamos que son dos semejanzas que transforman eltringulo en el .
Dado un punto cualquiera P del plano, hemos de demostrar que
si entonces . Si consideramos la recta
, cortar a la recta en un punto
Sean y se verifica que:
Ya que la semejanza conserva la relacin entre tres puntos. De
forma anloga:
y por lo tanto: , luego tenemos que ,
De forma similar:
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Entonces:
Luego tenemos que siendo la semejanza nica.
Descomposicin de una semejanza.
Teorema: Toda semejanza en el plano es el producto de un
movimiento por una homotecia.
Demostracin: Dada una semejanza del plano, sabemos que
queda determinada por tres puntos. Esos tres puntos determinan un
tringulo. La semejanza que transforma un tringulo en otro, por el
teorema anterior existe y es nica y se descompone como producto de
un movimiento
2
por una homotecia. Luego toda semejanza se puededescomponer como hemos indicado.
Semejanzas inversas y directas.
Definicin: Diremos que una semejanza es directa cuando, al
descomponerse en un movimiento por una homotecia, el movimiento
es inverso.
2movimientos directos: la simetra central, el giro y la traslacin
movimiento inverso: la simetra axial.
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Teorema:
Sea una semejanza que transforma el tringulo en
es una semejanza directa, si y solo si, los tringulos tienen la misma
orientacin.
Demostracin: Por ser la semejanza directa, se descompone
como producto de una homotecia por un movimiento directo.
Sea:
Por ser el movimiento directo tiene la misma orientacin
que y como las homotecias tambin la conservan, tenemos que
tiene la misma orientacin que . Luego y
tienen la misma orientacin.
: Si y tienen la misma orientacin, para transformar el
primero en el segundo necesitamos realizar una traslacin de vector
y un giro, pero no es necesario hacer una simetra axial, y luego
una homotecia.
Por lo tanto, la composicin de la traslacin y el giro nos da un
movimiento directo.
Metodologa de investigacin; ingeniera didctica.
Nuestra metodologa de investigacin ser la ingeniera
didctica, esta se caracteriza, en primer lugar, por un esquema
experimental basado en realizaciones didcticas en el aula, es decir,
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y El anlisis de los Programas del Ministerio de Educacin
abordando la semejanza de figuras planas.
y El anlisis de los textos escolares.
y El anlisis epistemolgico del desarrollo histrico y de la nocin
de semejanzas de tringulos y homotecias.
Concepcin del instrumento de investigacin y anlisis a priori
En la fase de concepcin del instrumento de investigacin
constituye el diseo de la Ingeniera, la cual, actuar sobre undeterminado nmero de variables del sistema (variables comando),
estas deben estar fuera del campo de restricciones donde se va a
situar la realizacin didctica. Artigue distingue dos3 tipos de variables
de comando; variables macro-didcticas o globales y variables micro-
didcticas o locales, ambas pueden ser generales o dependientes del
contenido didctico, pero las segundas se refieren propiamente a la
organizacin y la gestin de la secuencia de clase.
Desde el inicio de la fase de concepcin del instrumento de
investigacin se inicia el proceso de validacin, por medio del anlisis
a priori. Dicho anlisis a priorise debe entender como un anlisis de
control de significado. Si la teora constructivista sienta el principio de
la participacin del estudiante en la construccin de sus conocimientos
a travs de la interaccin de un medio determinado, la teora de las
situaciones didcticas que sirve de referencia a la metodologa de la
3Cabe destacar, que las selecciones globales, aunque se presenten separadas de las
selecciones locales, no son independientes de estas ltimas.
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ingeniera ha pretendido, desde su origen, constituirse en una teora
de control de las relaciones entre el significado y las situaciones.
(Artigue 1998, p. 44).
El objetivo del anlisis a priori consiste en determinar qu las
selecciones hechas permiten controlar pos-comportamientos de los
estudiantes y su significado. La validacin del conjunto de hiptesis,
que son la base del anlisis a priori, est indirectamente en juego en la
confrontacin que se realiza en la cuarta fase, entre el anlisis a priori
y el anlisis a posteriori. Como Artigue propone tradicionalmente este
anlisis a priori comprende una parte descriptiva y una predictiva, y sedebe:
y Describir las selecciones del nivel local (relacionndolas con
las selecciones globales) y las caractersticas de la situacin
didctica que de ellas se desprenden.
y Analizar qu podra ser lo que est en juego en esta situacin
para un estudiante en funcin de las posibilidades de accin,
de seleccin, de decisin, de control y de validacin de las
que l dispone, una vez puesta en prctica en un
funcionamiento casi aislado del profesor.
y Prever los campos de comportamientos posibles y se trata de
demostrar cmo el anlisis realizado permite controlar su
significado y asegurar, en particular, que los comportamientos
esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en
prctica del conocimiento contemplado por el aprendizaje.
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En este anlisis el profesor slo interviene en al proceso
descriptivo, no as el estudiante, que es tomado en cuenta en ambos
procesos (descriptivo y predictivo).
Experimentacin
La tercera fase de esta metodologa de investigacin es la
Experimentacin, en esta se realiza la aplicacin de la ingeniera
didctica sobre un conjunto de estudiantes. Esta es la etapa donde
todos los involucrados en la investigacin entran en contacto, estos
son; investigador, profesor, observador, grupo de estudiantes objeto
de la investigacin.La experimentacin supone:
y La explicitacin de los objetivos y condiciones de realizacin
de la investigacin a los estudiantes que participarn de la
experimentacin;
y El establecimiento del contrato didctico;
y La aplicacin de los instrumentos de investigacin;
y El registro de observaciones realizadas durante la
experimentacin.
Esta experimentacin se realizara en 2 ao de enseanza media, en
un conjunto de 7 alumnos.
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