Com Pi La Do

8/6/2019 Com Pi La Do

1/26

Problemtica

La enseanza de semejanza de figuras planas ha sido un tema

tratado durante muchos aos dentro de la enseanza de nuestro pas.

A pesar de esto, los estudiantes tienen diversas dificultades en la

apropiacin de este contenido.

En las prcticas profesionales realizadas durante el proceso de

formacin docente, observamos una tendencia a tratar las semejanza

a travs de formulas, sin tomar en cuenta las transformaciones

geomtricas involucradas en este contenido, dicho esto, quiero

referirme a las homotecias, tema tratado vagamente dentro de los

programas de segundo medio, y ms an, en los textos escolares. Las

homotecias, al igual que las semejanzas, es una transformacin

isomrfica, esto es, las figuras resultantes tienen la misma forma pero

no, necesariamente, el mismo tamao. Una de las diferencias que

podemos encontrar entre las semejanzas y homotecias, es que, estas

ltimas, estn determinadas por un punto fijo, llamado centro de la

homotecia.

En investigaciones realizadas sobre las concepciones de

estudiantes acerca de la semejanza se hace hincapi en la

importancia de las homotecias (manejo de escalas) para la

apropiacin de este conocimiento (Castro; Cspedes, 2009). Este

estudio tambin revela algunos de los errores cometidos por los

estudiantes al determinar cuando dos figuras son semejantes, como

por ejemplo; Al comparar figuras, los ngulos son iguales, entonces

las figuras son semejantes, Si los lados de una figura aumentan de

manera aditiva en la otra figura, entonces las figuras son semejantes.


2/26

El objetivo de esta investigacin es, verificar que el aprendizaje

de la semejanza de tringulos, es ms significativo, si con anterioridad

se aborda el tema de homotecia. Para esto disearemos una situacin

de aprendizaje.

Luego la pregunta de investigacin de nuestro trabajo de

titulo es: Cmo introducir las semejanzas de tringulos a travs de

las homotecias?

Antecedentes.

A continuacin realizaremos un breve anlisis el programa de

segundo medio del ministerio de educacin, adems de dos textos

escolares, los cuales son: Educacin matemtica 2 para segundo ao

de educacin media editorial Santillana 2009,Texto es Matemtica

segundo medio editorial Marenostrum ao 2005.

Durante el anlisis de los programas escolares, observamos que

al introducir las transformaciones isomtricas (octavo bsico) los

estudiantes tienen la posibilidad de estudiar la geometra euclidiana

en movimiento, en dichos documentos, se recomienda al docente,

estimular a los estudiantes la comprensin de la naturaleza de estas

transformaciones, es decir, que al mover figuras (trasladar, rotar o

reflejar), estas mantienen su forma y tamao (figuras congruentes).

Esto permite a los estudiantes una mejor comprensin del concepto de

congruencia, ya que su enseanza, comienza desde una base ms

intuitiva.


3/26

En cursos superiores, se abordan las transformaciones

isomtricas nuevamente, pero esta vez, en el plano cartesiano. Es en

este momento, en el cual se aborda el concepto de congruencia, se

nombra la importancia de vincular estrechamente las transformaciones

isomtricas con el concepto de congruencia, definiendo a estas

ltimas como: dos figuras como congruentes cuando es posible

aplicar una o ms transformaciones isomtricas a una de esas figuras

para luego obtener la otra.

Durante la ltima fase de este proceso, los estudiantes

establecen los criterios de congruencia, siendo guiados por el docente.

En el caso de las semejanzas, las orientaciones didcticas de los

programas de estudio de segundo ao de enseanza media indican

algunas de las dificultades de los estudiantes para la apropiacin de

este conocimiento; Las figuras semejantes presentan un nivel de

evidencia a simple vista; la dificultad reside en el anlisis de las

condiciones que generan aquello que es visible y tangible; es el salto

cualitativo que va desde la superposicin de dos tringulossemejantes, constatando la igualdad de los ngulos, a los teoremas de

semejanza; es el anlisis que permite concluir que todos los polgonos

regulares son semejantes entre s.. Cabe destacar, que en las

orientaciones didcticas, no se nombra las transformaciones

geomtricas involucradas en las semejanzas, como por ejemplo, las

homotecias, al contrario de lo que sucede en el caso de las

transformaciones isomtricas con la congruencia de figuras planas

este punto, puede ser una de las dificultades que afrontan los

estudiantes en el estudio del concepto de semejanza, a este ltimo, lo

ven como un objeto aislado de los otros contenidos geomtricos,


4/26

abordados en 8 ao de enseanza bsica, y 1 ao de enseanza

media. Basndonos en la siguiente definicin de semejanza: la

semejanza es el producto de una homotecia por un movimiento,

S=HM (Martnez et al., 1984 p.364), pretendemos lograr que el

estudiante, utilizando el concepto de homotecia, sea capaz de

establecer criterios de semejanza.

En el anlisis de los dos textos escolares que utilizaremos

en nuestra investigacin, nos encontramos con dos estrategias para

abordar el contenido de semejanza.

El primero de los textos analizados es; Educacin

matemtica 2 para segundo ao de educacin media editorial

Santillana 2009. En este texto se abordan la semejanza, en un primer

momento, a travs de dibujos a escala, luego de esto se le da al

estudiante propiedades de semejanza Dos figuras son semejantes

cuando la razn entre las medidas de sus segmentos homlogos (o

correspondientes) es constante, o sea, son proporcionales. Luego se

aborda teorema de Thales, finalizando con homotecias


5/26

Objeto matemtico.

Transformaciones geomtricas

Definicin: Son procesos de variacin o movimiento de los

puntos del plano de forma que se establece una relacin entre loselementos origen y los elementos transformados. Estas

transformaciones las podemos clasifican en tres grupos; Isomrficas,

Isomtricas, Anamrficas.

Isomtricas: Son aquellas transformaciones que conservan las

dimensiones y los ngulos entre la figura original y la transformada.

Ejemplo: Traslaciones, Rotaciones, Simetras (central, axial).

Isomrficas: Son aquellas transformaciones que conservan la forma,

es decir, los ngulos de la figura original y la transformada son iguales

y las longitudes son proporcionales. Ejemplo: Homotecia, Simetra.

Anamrficas: Son aquellas transformaciones en las que cambia la

forma entre la original y la transformada. Ejemplo: Inversin


6/26

Para efectos de nuestro trabajo de titulo, nos enfocaremos en las

transformaciones Isomrficas.

En el ao 1899, Hilbert (1862-1943) logr la fundamentacin dela geometra, con su libro llamado Grundlagen der Geometrie

(Fundamentos de Geometra). Los elementos de Euclides tenan ya

una estructura deductiva muy perfecta, pero en ellos se utilizaban a

menudo, implcitamente axiomas no formulados, definiciones sin

sentido e incluso razonamientos lgicamente incorrectos. Hilbert era

perfectamente consciente de que no todos los trminos que se usan

en una teora matemtica se pueden definir, y por lo tanto, comenz

su tratamiento de la geometra considerando, de entrada, tres tipos de

objetos indefinidos, estos son: puntos, rectas y planos, y sus

relaciones indefinidas: estar sobre, estar en, estar entre, ser

congruente, ser paralelo y ser continuo.

En lugar de los cinco axiomas (o nociones comunes) y los cinco

postulados de Euclides, Hilbert formula, para su geometra, un

conjunto de 21 axiomas (que posteriormente se reduciran a 20), que

se conocen desde entonces como los Axiomas de Hilbert para la

geometra Eucldeana.

Estos 21 axiomas estn distribuidos en 5 grupos, los cuales son:

1. Incidencia.

2. Ordenacin.

3. Paralelismo

4. Congruencia o movimiento.,

5. Continuidad.


7/26

Axiomas de Incidencia.

Axioma 1: Dos puntos distintos determinan una nica recta

Axioma 2: Dos puntos cualesquiera de una recta la determinan por

completo; es decir, si , (donde ), entonces

Axioma 3: el plano contiene a lo menos tres puntos.

Axioma 4: Tres puntos (no alineados), determinan por

completa al plano .

Axioma 5: Si dos puntos , de la recta yacen en el plano ,

entonces todo punto de yace en .

Axioma 6: Si dos planos tienen un punto en comn, entonces

tienen al menos otro punto en comn.

Axioma 7: En cada recta hay al menos dos puntos; en cada plano hay

al menos tres puntos no situados en la misma recta; y existen al

menos cuatro puntos no situados en un mismo plano.

Axiomas de orden.

Axioma 1: Si un punto est entre los puntos , tambin est

entonces entre , y existe una recta que contiene a los tres.

Axioma 2: Si son dos puntos de una recta, existe al menos otro

punto entre , y al menos un punto , de tal manera que est

entre .

Axioma 3: Dados tres puntos en una recta, slo uno de ellos est entre

los otros dos.


8/26

Dada una pareja de puntos , puede hablarse entonces del

segmento . Los puntos del segmento son todos aquellos que

estn entre , siendo extremos del segmento.

Axioma de Pasch: Sean , tres puntos no situados en la misma

recta y sea una recta contenida en el plano ABC, que no pasa por

ninguno de los tres puntos mencionados. Entonces, si pasa por algn

punto del segmento , entonces pasa tambin por algn punto, o

bien, del segmento , o bien, del segmento . Puede probarse

entonces que dadas una recta y un punto en ella, puede dividirse la

recta en dos semi-rayos, disjuntos entre s, que emanan de , tales

que su unin constituye toda la recta a excepcin de A. De igual modo,

dados un plano y una recta en el, pueden distinguirse en l dos

partes disjuntas en el plano, los lados de respecto a , donde de

nuevo su unin constituye todo el plano a excepcin de .

Axiomas de paralelismo

Axioma 1: En un plano puede encontrarse una nica recta que

pase por un punto dado , el cual no pertenece a una recta dada ,

de forma que no tengan ningn punto en comn. Est recta se

llama, la paralela a que pasa por .

Axiomas de congruencia o movimiento

Definiremos un ngulo como una pareja de semi-rayos

yaciendo en un plano que emanan del mismo punto . Se


9/26

demuestra que puede dividirse el plano en dos regiones: el interiory el

exterior de , donde son los lados del ngulo y su

vrtice. El segmento entre dos puntos cualesquiera del interior est

contenido por completo en dicha regin. Esto no se cumple para una

pareja de puntos cualesquiera en el exterior.

Un tringulo queda definido por tres segmentos de la forma

, Dichos segmentos son los lados del tringulo, y los tres

puntos son sus vrtices. El tringulo divide el plano definido

por sus tres vrtices en interior y exterior, con las mismas propiedades

que en caso de los ngulos. Al ngulo definido por los dos semi-rayos

que salen de y que pasan por respectivamente se le denotapor , y su interior contiene todos los puntos del interior del

tringulo .

Axioma1: Si , son dos puntos de la recta , y es un punto

sobre la recta (sea esta igual a o no), se tiene que, de un lado

cualquiera de en la recta , existe un nico tal que el segmento

es congruente con el segmento , y lo denotamos por

. Todo segmento es congruente consigo mismo.

Axioma 2: Si un segmento es congruente con el segmento y

tambin con el segmento , entonces los segmentos y

son congruentes entre s. (la congruencia entre segmentos es

transitiva).

Axioma 3 Sean dos segmentos de la misma recta sin puntos

en comn a excepcin de , y sean adems dos

segmentos de la recta (sea sta igual o no a ) sin ms puntos en


10/26

comn que . Entonces, si y , se tiene que

.

Axioma 4: Sea un ngulo en el y sea un recta en el plano

. Supngase que en el plano , se escoge uno de los lados

respecto a . Sea un semirayo de que emana de un punto de

dicha recta. Entonces, en el plano existe un nico semirayo que

sale de de forma que es congruente con , y de forma

que todos los puntos del interior de estn en el lado escogido

de . Se denota por . Todo ngulo es congruente

consigo mismo.

Axioma 5: Si el ngulo es congruente con el ngulo y

con el ngulo , entonces es congruente con

.

Axioma 6: Si dados dos tringulos se tiene que ,

, , , entonces se tiene a su vez que

y .

Axiomas de continuidad.

Axioma de Arqumedes: Sea un punto cualquiera de una recta ,

situado entre los puntos arbitrarios y de la misma. Tmense los

puntos de tal manera que est entre , est

entre , etc. Supngase adems que los segmentos


11/26

son todos congruentes entre s. Entonces, en esta serie existe

siempre un cierto tal que est entre .

Axioma 211

Teorema de Pasch: Sean cuatro puntos cualesquiera , deuna recta , de forma que est entre y entre , y que

est entre y entre .

Homotecias.

Definicin: Sea en el plano un punto fijo y un nmero real .

Llamaremos Homotecia de centro y razn , a toda transformacin

del plano en si mismo que verifica:

1. Un punto y su imagen estn alineadas con .

2.

Proposicin 1: Las rectas que pasan por el centro de la homotecia ()

se transforman en si mismas.

Proposicin 2: La imagen de una recta que no pasa por el centro de

homotecia es otra recta paralela a la primera.

1R.L Moore demostr que este axioma era redundante en 1902.


12/26

Demostracin:

Sean y dos puntos y y sus respectivas imgenes en

una homotecia de centro y razn . Queremos demostrar que la

recta definida por A y B, y la recta definida por A y B, son

paralelas.

y

, por definicin de Homotecia

Luego

, por lo tanto

Proposicin 3: La homotecia transforma puntos alineados en puntos

alineados y puntos no alineados en puntos no alineados.

Demostracin:

Sean tres puntos y, sus imgenes obtenidas a

travs de una homotecia de centro y razn

Caso 1) Si estn alineados.

Por proposicin 2 se verifica que;

,

por proporcionalidad

, luego se obtiene que

; ;


13/26

Como estn alineados, uno de los tres puntos ser

interior al segmento determinado por los otros dos. Supongamos que

es interior a . Entonces:

Multiplicando por tenemos que

Luego estn alineados.

Caso 2)Si A, B y C no estn alineados

Se verifica que: luego multiplicando por

Por lo tanto no estn alineados.

Proposicin 4: Las homotecias transforman segmentos en

segmentos.

Demostracin:

Es una consecuencia de la proposicin anterior.

Proposicin 5: El producto de dos homotecias de centro es una

homotecia del mismo centro.

Demostracin:

Sea el centro de ambas homotecias, siendo

imagen de respecto de la primera homotecia y imagen d respecto de la

segunda tenemos:

Tenemos: estn alineados y estn alineados


14/26

Sea la razn de la primera Homotecia:

Sea la razn de la segunda Homotecia:

Multiplicando ambas expresiones.

Entonces es la razn de la Homotecia del producto.

Proposicin: La inversa de una homotecia de centro y razn es

una homotecia del mismo centro y razn

.

Demostracin: Si A es la imagen de A por la homotecia de razn

k, entonces:

Por lo tanto:

La consecuencia de estas dos ltimas proposiciones es que el

conjunto de las homotecias de centro es un grupo conmutativo,

denotndose por

Semejanza en el plano

Definicin: Llamamos semejanza en el plano, a toda

correspondencia biunvoca, tal que, si son las imgenes de dos


15/26

puntos cualquiera , se verifica que

, donde es llamado

razn de la semejanza.

Al igual que las homotecias, las semejanzas verifican

propiedades similares.

Propiedades: Las semejanzas verifican las siguientes propiedades:

1. Transforman puntos alineados en puntos alineados y puntos no

alineados en puntos no alineados

2. Transforman segmentos en segmentos.

3. Transforman ngulos en ngulos iguales (conservan los ngulos)4. Transforman tringulos en tringulos semejantes.

A la vista de lo anterior, tambin podramos haber definido una

semejanza en el plano como sigue:

Si realizamos el producto de una homotecia por un movimiento,

o lo que es lo mismo, movemos una de las dos figuras homotticas,

como el movimiento conserva la alineacin, el orden y el sentido (en

movimientos directos) y transforma segmentos, en segmentos y

ngulos, en otros congruentes, la transformacin resultante verifica

que:

1) A puntos alineados le corresponden puntos alineados y en el

mismo orden.

2) Los segmentos homlogos son proporcionales.

3) Los ngulos homlogos son iguales.


16/26

La transformacin anterior recibe el nombre de semejanza en el

plano.

Dos figuras, entre cuyos puntos se pueda establecer una

correspondencia biunvoca que cumpla las tres condiciones anteriores,

diremos que dichas figuras son semejantes entre si.

Proposicin: El producto de dos semejanzas es otra semejanza.

Demostracin: Sean dos semejanzas y un punto del

plano.

del plano, tal que

del plano, tal que

Por lo tanto, es la imagen de por

Si existiese otro punto tal que entonces

Por tanto, para razones y de respectivamente se

verifica:

y multiplicando miembro a miembro

Luego, la razn de la semejanza del producto, es igual al

producto de las razones de las semejanzas.


17/26

Propiedades:

1. El producto de las semejanzas es asociativo

2. El elemento neutro, o semejanza unidad, es aquella en la que

todos los puntos son dobles. (la identidad)

3. Toda semejanza admite una inversa.

Demostracin:

Las propiedades 1 y 2 son inmediatas, la propiedad 3 la

justificaremos ms adelante, cuando demostremos que toda

semejanza en el plano se puede escribir como producto de un

movimiento por una homotecia.

Semejanza de tringulos.

Definicin: Dados dos tringulos ABC y ABC, diremos que son

semejantes si:

1. Existe una biyeccin entre sus lados

2. Las razones de los lados homlogos son iguales.

Llamaremos razn de semejanza de los dos tringulos al valor

de tal que verifica:

Teorema: Existe una nica semejanza que transforma un tringulo en

otro semejante a l.

Demostracin: Sean y dos tringulos semejantes.

Existencia. La traslacin de vector transforma el tringulo

en el tringulo .


18/26

El giro de centro y ngulo orientado con semirrecta

origen , y semirrecta extremo transforma el punto en y

en . Por tanto el giro transforma el tringulo en el

tringulo

Si componemos ambas aplicaciones, la imagen del tringulo

es . Ahora pueden suceder dos casos:

La semirrecta coincida con

2. Las semirrectas y son simtricas respecto de la

En este segundo caso, hemos de aplicar una simetra axial de eje

, transformando el tringulo en

En el caso 1 los ngulos y son iguales.

En el caso 2 los ngulos y son iguales.

Entonces obtenemos las proporcionalidades:

Primer caso:

Segundo caso:

Por lo tanto, en ambos casos, existe una homotecia de centro A

y razn k que transforma el tringulo


19/26

Caso 1:

Caso 2.

Como los movimientos utilizados, (traslaciones, giros y simetras

axiales) y las homotecias son semejanzas, la transformacin del

tringulo en el tringulo es una semejanza.

Unicidad: Realicemos la demostracin por reduccin al absurdo.

Supongamos que son dos semejanzas que transforman eltringulo en el .

Dado un punto cualquiera P del plano, hemos de demostrar que

si entonces . Si consideramos la recta

, cortar a la recta en un punto

Sean y se verifica que:

Ya que la semejanza conserva la relacin entre tres puntos. De

forma anloga:

y por lo tanto: , luego tenemos que ,

De forma similar:


20/26

Entonces:

Luego tenemos que siendo la semejanza nica.

Descomposicin de una semejanza.

Teorema: Toda semejanza en el plano es el producto de un

movimiento por una homotecia.

Demostracin: Dada una semejanza del plano, sabemos que

queda determinada por tres puntos. Esos tres puntos determinan un

tringulo. La semejanza que transforma un tringulo en otro, por el

teorema anterior existe y es nica y se descompone como producto de

un movimiento

2

por una homotecia. Luego toda semejanza se puededescomponer como hemos indicado.

Semejanzas inversas y directas.

Definicin: Diremos que una semejanza es directa cuando, al

descomponerse en un movimiento por una homotecia, el movimiento

es inverso.

2movimientos directos: la simetra central, el giro y la traslacin

movimiento inverso: la simetra axial.


21/26

Teorema:

Sea una semejanza que transforma el tringulo en

es una semejanza directa, si y solo si, los tringulos tienen la misma

orientacin.

Demostracin: Por ser la semejanza directa, se descompone

como producto de una homotecia por un movimiento directo.

Sea:

Por ser el movimiento directo tiene la misma orientacin

que y como las homotecias tambin la conservan, tenemos que

tiene la misma orientacin que . Luego y

tienen la misma orientacin.

: Si y tienen la misma orientacin, para transformar el

primero en el segundo necesitamos realizar una traslacin de vector

y un giro, pero no es necesario hacer una simetra axial, y luego

una homotecia.

Por lo tanto, la composicin de la traslacin y el giro nos da un

movimiento directo.

Metodologa de investigacin; ingeniera didctica.

Nuestra metodologa de investigacin ser la ingeniera

didctica, esta se caracteriza, en primer lugar, por un esquema

experimental basado en realizaciones didcticas en el aula, es decir,


22/26


23/26


24/26

y El anlisis de los Programas del Ministerio de Educacin

abordando la semejanza de figuras planas.

y El anlisis de los textos escolares.

y El anlisis epistemolgico del desarrollo histrico y de la nocin

de semejanzas de tringulos y homotecias.

Concepcin del instrumento de investigacin y anlisis a priori

En la fase de concepcin del instrumento de investigacin

constituye el diseo de la Ingeniera, la cual, actuar sobre undeterminado nmero de variables del sistema (variables comando),

estas deben estar fuera del campo de restricciones donde se va a

situar la realizacin didctica. Artigue distingue dos3 tipos de variables

de comando; variables macro-didcticas o globales y variables micro-

didcticas o locales, ambas pueden ser generales o dependientes del

contenido didctico, pero las segundas se refieren propiamente a la

organizacin y la gestin de la secuencia de clase.

Desde el inicio de la fase de concepcin del instrumento de

investigacin se inicia el proceso de validacin, por medio del anlisis

a priori. Dicho anlisis a priorise debe entender como un anlisis de

control de significado. Si la teora constructivista sienta el principio de

la participacin del estudiante en la construccin de sus conocimientos

a travs de la interaccin de un medio determinado, la teora de las

situaciones didcticas que sirve de referencia a la metodologa de la

3Cabe destacar, que las selecciones globales, aunque se presenten separadas de las

selecciones locales, no son independientes de estas ltimas.


25/26

ingeniera ha pretendido, desde su origen, constituirse en una teora

de control de las relaciones entre el significado y las situaciones.

(Artigue 1998, p. 44).

El objetivo del anlisis a priori consiste en determinar qu las

selecciones hechas permiten controlar pos-comportamientos de los

estudiantes y su significado. La validacin del conjunto de hiptesis,

que son la base del anlisis a priori, est indirectamente en juego en la

confrontacin que se realiza en la cuarta fase, entre el anlisis a priori

y el anlisis a posteriori. Como Artigue propone tradicionalmente este

anlisis a priori comprende una parte descriptiva y una predictiva, y sedebe:

y Describir las selecciones del nivel local (relacionndolas con

las selecciones globales) y las caractersticas de la situacin

didctica que de ellas se desprenden.

y Analizar qu podra ser lo que est en juego en esta situacin

para un estudiante en funcin de las posibilidades de accin,

de seleccin, de decisin, de control y de validacin de las

que l dispone, una vez puesta en prctica en un

funcionamiento casi aislado del profesor.

y Prever los campos de comportamientos posibles y se trata de

demostrar cmo el anlisis realizado permite controlar su

significado y asegurar, en particular, que los comportamientos

esperados, si intervienen, sean resultado de la puesta en

prctica del conocimiento contemplado por el aprendizaje.


26/26

En este anlisis el profesor slo interviene en al proceso

descriptivo, no as el estudiante, que es tomado en cuenta en ambos

procesos (descriptivo y predictivo).

Experimentacin

La tercera fase de esta metodologa de investigacin es la

Experimentacin, en esta se realiza la aplicacin de la ingeniera

didctica sobre un conjunto de estudiantes. Esta es la etapa donde

todos los involucrados en la investigacin entran en contacto, estos

son; investigador, profesor, observador, grupo de estudiantes objeto

de la investigacin.La experimentacin supone:

y La explicitacin de los objetivos y condiciones de realizacin

de la investigacin a los estudiantes que participarn de la

experimentacin;

y El establecimiento del contrato didctico;

y La aplicacin de los instrumentos de investigacin;

y El registro de observaciones realizadas durante la

experimentacin.

Esta experimentacin se realizara en 2 ao de enseanza media, en

un conjunto de 7 alumnos.

Com Pi La Do

Documents

Transcript of Com Pi La Do