Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 32
Vektorok, mátrixok
mn× dimenziós mátrix: egy sorból és oszlopból álló számtáblázat.
Jelölés:
n m
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
==×
nmnn
m
m
mn
aaa
aaa
L
MM
L
21
22221
11211
AA
⎛ aaa L
, ahol az i-edik sor j-edik
eleme.
ija
n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.
Jelölés:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nb
bb
M2
1
b , ahol az i-edik koordináta. ib
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 33
n dimenziós nullvektor az az n dimenziós vektor, melynek minden koordinátája 0.
Jelölés:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
0
00
M0 .
sorvektor: ( )nuuu ,...,, 21
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 34
Négyzetes mátrixnak nevezünk egy olyan mátrixot, amelyben a sorok és az oszlopok száma megegyezik. n-edrendű mátrixnak nevezzük az nn× dimenziós négyzetes mátrixokat. Egy n-edrendű mátrix főátlója (fődiagonálisa) az elemeket tartalmazó átló.
nnaaa ,,, 2211 K
Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, ha szimmetrikus a főátlójára nézve, azaz . jiij aa =
n-ed rendű mátrix spurja vagy nyoma (trace)
∑=
=n
iiiaSp
1
A
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 35
A diagonális mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amely legfeljebb a főátlójában tartalmaz 0-tól eltérő elemet.
Példa:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
−20000300000000010
.
Az egységmátrix egy olyan diagonális mátrix, amely a főátlóban 1-eseket tartalmaz.
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=== ×
1000
010000100001
L
MOM
L
nnn III .
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 36
Mátrixalgebra Két mátrix egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞⎛ aaa L
és
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
=×
nmnn
m
m
mn
aaa
aaa
L
MM
L
21
22221
11211
A
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=×
klkk
l
l
lk
ccc
cccccc
L
MM
L
L
21
22221
11211
C
egyenlő pontosan akkor, ha kn = , lm = és . ijij ca =
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛≠
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
wuv
wvu
, ha , vu ≠ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛≠⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛4321
043021
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 37
Két dimenziós mátrix mn× összege az a szintén mn× dimenziós mátrix, ahol minden elem a két összeadandó mátrix megfelelő elemeinek összegeként áll elő.
:
21
22221
11211
21
22221
11211
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=+=
nmnn
m
m
nmnn
m
m
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
L
MM
L
L
L
MM
L
L
BAC
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+++
++++++
=
nmnmnnnn
mm
mm
bababa
babababababa
L
MM
L
L
2211
2222222121
1112121111
ijijij bac +=
A mátrixok összeadása kommutatív és asszociatív. ABBA +=+
( ) ( )CBACBA ++=++ .
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 38
Egy dimenziós mátrix mn× szorzata a k valós számmal (skalárral) egy olyan m dimenziós mátrix, ahol minden elem az eredeti mátrix megfelelő elemének k-szorosa.
n×
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
nmnn
m
m
nmnn
m
m
kakaka
kakakakakaka
aaa
aaaaaa
kk
L
MM
L
L
L
MM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
: AC .
( ) AA −=−−= 11k
( )BABA −+=−
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 39
Példa: legyen ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
532
:a és ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
205
:b .
Példa: Számoljuk ki az alábbi kifejezésekt: ba + , ba 23 − ! Megoldás: a két vektor dimenziója azonos, tehát összeadhatóak.
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
+++
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡+
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=+
737
250352
205
532
ba és
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−=
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
−⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡
⋅⋅⋅
=⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡−
⎥⎥⎥
⎦
⎤
⎢⎢⎢
⎣
⎡=−
1194
220252
533323
205
2532
323 ba
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 40
Példa: legyen ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
4321
:A és ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
=2101
:B .
Számoljuk ki az alábbi kifejezéseket: BA + , ! BA 23 −
Megoldás: a két mátrix dimenziója azonos, tehát összeadhatóak.
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡+−++
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
+⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=+
6222
24130211
2101
4321
BA és
⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡=⎥
⎦
⎤⎢⎣
⎡−+−−
=⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡−
⋅−⎥⎦
⎤⎢⎣
⎡⋅=−
81161
412290623
2101
24321
323 BA
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 41
Egy dimenziós mátrix transzponáltja az az mn× nm× dimenziós mátrix, amely az eredeti mátrixból a sorok és az oszlopok felcserélésével keletkezik.
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nmmm
n
n
T
nmnn
m
m
aaa
aaaaaa
aaa
aaaaaa
L
MM
L
L
L
MM
L
L
21
22212
12111
21
22221
11211
AA .
TAC = jiij ac =
n dimenziós sorvektor egy n dimenziós (oszlop)vektor transzponáltja.
( )nT
n
bbb
b
bb
LM 212
1
=⇒
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= bb .
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 42
Két n dimenziós vektor,
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
na
aa
M2
1
a és
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
nb
bb
M2
1
b skaláris szorzata az
( ) nnn
i ii
n
nT babababa
b
bb
aaa +++==
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
= ∑ = KML 221112
1
21ba szám.
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
543
,321
ba , ( ) 26534231543
321 =⋅+⋅+⋅=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=baT
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 43
Egy dimenziós mn× mátrix és egy m dimenziós vektor szorzata a következő n dimenziós vektor:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
∑
∑∑
=
=
=
m
j jnj
m
j jj
m
j jj
mnmnn
m
m
xa
xa
xa
x
xx
aaa
aaaaaa
1
1 2
1 1
2
1
21
22221
11211
MM
L
MM
L
L
Ax .
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
420
,654321
xA ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
3416
241001240
420
654321
Ax
Egyenletrendszer:
264532
=−=+
yxyx
⇒ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⋅⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛− 2
564
32yx
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 44
Egy dimenziós és egy ln× ml × dimenziós mátrix szorzata az az mn× dimenziós mátrix, mely i-edik sorának j-edik eleme az első mátrix i-edik sorának és a második mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata:
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
lmll
m
m
nlnn
l
l
bbb
bbbbbb
aaa
aaaaaa
L
MM
L
L
L
MM
L
L
21
22221
11211
21
22221
11211
AB
⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
∑∑∑
∑∑
==
=
==
l
j jmnj
l
j jnj
l
j jkijik
l
j jmj
l
j jj
baba
bac
baba
11 1
1
1 11 11
L
MM
L
lkil
kikiik
bababac
++++=
...2211
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
1069554686136302718
116851067596051148310473940311281102719201
11109870
654321
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 45
A mátrixok szorzása nem kommutatív, azaz . BAAB ≠Megjegyzés: 1. Az AB szorzat létezéséből nem is következik, hogy a BA szorzat is létezik.
( )321 aaa=A ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
bbb
B ( ) 3322113
2
1
321 babababbb
aaa ++=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=AB
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
332313
322212
312111
321
3
2
1
ababababababababab
aaabbb
BA
3. Négyzetes mátrixok szorzása sem kommutatív:
pl. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛1111
1111
4321
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 46
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−− 64
644321
1111
A mátrixok szorzása asszociatív és disztributív, azaz ( ) ( )CABBCA = , valamint ( ) ACABCBA +=+ , ha a műveletek értelmesek. Példa: asszociativitás illusztrálására
( ) ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛==⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
dcba
yxyx T Auu ,,
( ) ( )dybxcyaxdcba
yxT ++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=Au
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 47
( ) ( ) ( ) 22, dybxycxyaxyx
dybxcyaxyx
dcba
yxT +++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=uAu
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
dycxbyax
yx
dcba
Au
( ) ( ) 22 dybxycxyaxdycxbyax
yxT +++=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
=Auu
( ) ( )AuuuAu TT =⇒ (Kvadratikus függvények felírhatók mátrixok szorzataként.)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 48
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=== ×
1000
010000100001
L
MOM
L
nnn III
Ha A -es mátrix, akkor IA=AI=A. nn×Ha C -es: illetve mn× CCI =×nn CCI =×mm . Egy A n-edrendű mátrix inverze az 1−A mátrix, ha IAAAA 1 == −−1 . Mátrixok osztása: CSAK INVERZZEL VALÓ SZORZÁS lehetséges, ha létezik az inverz.
1AB− , illetve . A kettő általában nem ugyanaz. példa? AB 1−Csak négyzetes mátrixnak létezhet inverze!! NULLOSZTÓ!
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 49
Alkalmazások 1. Gráfelmélet
Adjacencia vagy szomszédsági mátrix: Illeszkedési mátrix az n csúccsal rendelkező gráf esetén az az nn× -es mátrix, amelyben , ha az i-edik csúcsból él vezet a j-edik csúcsba, egyébként pedig .
1=ija
0=ija
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 50
Irányítatlan gráf (szimmetrikus mátrix) 54321
5
1
4
32
⇒
⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
00001
⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
00010001000100011110
54321
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 51
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
Irányított gráf:
⇒
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
0000000100000000001010001100000001000001000000010
7654321
7654321
7
6
5
432
1
Irányított gráf esetén az adjacencia mátrix nem szimmetrikus, csak a megfelelő helyen vannak 1-esek. Például, az 1. sor 2. oszlopában van 1, hiszen az 1. csúcsból a 2.-ba vezet él, viszont a 2.-ből az 1.-be nem, így a 2. sor 1. oszlopában 0 áll.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 52
2. Ökológia (Thall, Mortimer, Rebman, Baum, 1967) Mérgező anyagok felhalmozódásának vizsgálata táplálkozási láncokban (pl. Hg).
Ökológiai rendszer: 1. A növényevő állatok táplálékául szolgáló vegetáció:
rppp ,...,, különböző növények. 212. Növényevő állatok:
aaa ,..., különböző fajok. s213. Húsevő állatok:
különböző fajok. tccc ,...,, 21 ? Mennyit evett indirekt módon a a -ből egy adott időszakban? jc ip
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 53
X átmeneti mátrix: az faj egyes egyedei által -ből megevett átlagos mennyiség (g vagy kg).
ijx ja ip
Y átmeneti mátrix: az faj egyes egyedei által -ből megevett mennyiség. ( darabszámot jelent).
ijy jc ia
ijy
sr
rsrr
s
s
r
s
xxx
xxxxxx
p
pp
aaa
×=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
X
...
...
......
21
22221
11211
2
1
21
MMMM
ts
stss
t
t
s
t
yyy
yyyyyy
a
aa
ccc
×=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
Y
...
...
......
21
22221
11211
2
1
21
MMMM
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 54
Ha megeszik -ből -et és megeszik -ből -et, akkor 1c 1a 11y 1a 1p 11x -et evett -en keresztül -ből. 1c 1111xy 1a 1pUgyanígy:
1c -őt evett -n keresztül -ből … 1221xy 2a 1p1c -et evett -en keresztül -ből. ss xy 11 sa 1p
Összesen: 1111xy + +…+ 1221xy ss xy 11
X első sora szorozva Y első oszlopával. Általánosítva:
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==×
rtrr
t
t
tr
zzz
zzzzzz
K
MMMM
K
K
21
22221
11211
XYZ
ijz megmondja, hogy a j-edik ragadozó közvetve mennyit fogyasztott az i-edik növényből.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 55
Geometriai vektorok A 2, illetve 3 dimenziós vektorok megfeleltethetőek geometriai értelemben vett vektoroknak a síkon, illetve a térben az alábbi
módon: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
a esetén x, y koordináták, vagy a vektor
komponensei.
xy
P(x,y) a
x
y a
u
v b
a+b Két vektor, ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
a és ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
vu
b összege a síkon
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛++
=+vyux
ba
Vektor számszorosa: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
a , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
kykx
ka
x
y a
kx
kyka
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 56
Egy vektor normája (vagy abszolút értéke vagy hossza) a következő:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
a aaa Tyx =+= 22
Általánosan: ha ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
na
aM1
a , akkor
aaa Tnaaa =+++=22
221 K .
Bebizonyítható, hogy 2 kétdimenziós vektor skaláris szorzata
αcosbaba =T , ahol α a két vektor által bezárt szög.
Ha o90=α ⇒ 0cos =α ⇒ 0=baT , és megfordítva is (ha a, b ≠ 0)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 57
Merőleges (ortogonális) vektrorok: Tudjuk, hogy derékszögű háromszögek esetén igaz a Pitagorasz tétel. Ezt és a norma.illetve vektor szorzás tulajdonságait felhasználva:
222
2121 aaaa +=−
( ) ( ) ( )( )2212121
21212121
aaaaaaaaaaaa
aaaaaaaaaaTTTTT
TTT
1
22
2211
21
2
2−+=+−−=
=−−=−−=−
a1 a1-a2
a2
A két azonosságot összevetve kiderül, hogy ha két vektor merőleges egymásra, skaláris szorzatuk 0. Fordítva is igaz, ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor merőlegesek egymásra.
Koordinátákkal: ⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
22
1
1 ,yx
yx
aa1 02121 =+ yyxx .
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 58
e1
e2
Egységvektorok: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛=
10
,01
21 ee
021 =eeT
Minden kétdimenziós vektor felírható a 2 egységvektor lineáris kombinációjaként: 2211 eea aa += Egy A négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha diagonális mátrix. Ez azt jelenti, hogy A sorai páronkéntként merőlegesek egymásra, azaz skaláris szorzatuk 0.
TAA
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
==
nn
T
d
dd
000
000000
22
11
MOMMDAA
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 59
Egy A négyzetes mátrixot ortonormáltnak nevezünk, ha egységmátrix. TAAEgy ortonormált mátrix transzponáltja is ortonormált, azaz oszlopai is merőlegesek egymásra. Ortonormált mátrix esetén, mivel IAA =T , ezért 1−= AAT
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 60
Lineáris transzformációk Példa: síkbeli forgatás az origó körül 90°-kal pozitív irányba.
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
yx
a , ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=′
xy
a
a’ a
x
y x
-y
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −=′
xy
yx
0110
a
A transzformáció felírható mátrixszal való szorzásként. Általában egy A
nn× -es mátrixszal való szorzás, Axx =′ , nR -nek egy transzformációját hozza létre. Erre teljesül: ( ) ( ) AxxAxx αααα =′=′ (, ) , és ( ) yxyx ′+′=′+ ,
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 61
ezért ezt lineáris transzformációnak nevezzük. A a lineáris transzformáció mátrixa. A fenti példa szerint a síkon az origó körüli 90°-os forgatás lineáris
transzformáció, melynek mátrixa: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −0110
.
példa: 180°-os forgatás Két 90°-os forgatás egymás utánja:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−−
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−=⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛ −yx
yx
yx
1001
0110
0110
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 62
Determinánsok Lineáris egyenletrendszerek
Példa: vagy mátrix alakban írva . vdxcxubxax
=+=+
21
21 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=⎟⎟
⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
xx
dcba
2
1
Ha létezik egyértelmű megoldás, akkor az felírható:
abxux 2
1
−= , ha 0≠a
vdxabxuc =+− 22
avadxcbxcu =+− 22
2)( xadcbavcu −=−
bcadvbudx
bcadcuav
adcbavcux
−−
=−−
=−−
= 12 , , ha 0≠−bcad
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 63
Bevezetve a bcaddcba
dcba
−==⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛det definíciót,
dcbadvbu
bcadvbudx =
−−
=1 és
dcbavcua
bcadcuavx =
−−
=2 ,
ahol 0≠dcba
Megjegyzés: Nem csak másodrendű, hanem magasabb rendű mátrixoknak is létezik determinánsa. A magasabb rendű determinánsok kiszámítása visszavezethető alacsonyabb rendűek kiszámításásra. Cramer szabály
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 64
Tekintsük az n egyenletből álló, n ismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ahol detA ≠ 0. Ekkor az egyenletrendszer megoldható és
pontosan egy x megoldása van, ahol
uAx =
AA k
kx = , , ahol úgy
keletkezik, hogy az A mátrix k-adik oszlopát kicseréljük az u vektorral.
( )nk ,,2,1 K= kA
Példa: (mo: 52237158
21
21
=+=−
xxxx
22119,
221229
21 == xx )
3333232131
2323222121
1313212111
uxaxaxauxaxaxauxaxaxa
=++=++=++
⇒ uAx =
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 65
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
3
2
1
3
2
1
333231
232221
131211
,,uuu
xxx
aaaaaaaaa
uxA
Adet33323
23222
13121
1
aauaauaau
x = ,Adet
33331
23221
13111
1
auaauaaua
x = ,Adet
33231
22221
11211
1
uaauaauaa
x =
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 66
Hogyan lehet magasabb rendű determinánsokat kiszámítani? rekurzív definíció: Aldeterminánsokkal
Egy -es nn× A determináns elemhez tartozó ija ( ) ( )11 −×− nn -es előjeles aldeterminánsa az ijA determináns, mely az A determinánsból az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával és ( ) -vel való szorzással keletkezik. ji+−1Kifejtési tétel: n>2 esetén a determinánsok értéke a determináns hagyományos, itt nem említett definíciója alapján nehezen határozható meg. A következő egyenlőséggel a feladat azonban visszavezethető eggyel kisebb méretű determinánsok meghatározására: ( ) ∑ ==
n
i ijija
1det AA , illetve
( ) ∑ ==n
j ijija
1det AA , ahol ijA a megfelelő előjeles aldetermináns. Ezt a módszert a determináns j. oszlopa, illetve i. sora szerinti kifejtésnek nevezzük.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 67
Példa: az alábbi 3x3-as determináns az első oszlopa szerint kifejtve:
2322
131231
3332
131221
3332
232211
333231
232221
131211
333231
232221
131211
detaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
+−==⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
A második oszlop szerint kifejtve:
2321
131132
3331
131122
3331
232112
333231
232221
131211
333231
232221
131211
detaaaa
aaaaa
aaaaa
aaaaaaaaaa
aaaaaaaaa
−+−==⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
Előjelek megválasztása (indexek összegének paritása): +−+−+−+−+
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 68
Példa:
345752
1823
321
321
321
=++−=−−
=−+
xxxxxx
xxx
megoldás: 38246,
38144,
38387
321 =−
== xxx .
Nullák sokat segítenek a determinánsok kiszámításánál: példa:
( ) 1386501049822513
9810620902571313
=+=−
=−
−
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 69
1. Ha van egy 0 sor vagy oszlop, a determináns 0. 2. Egy determináns értéke nem változik, ha felcseréljük sorait és
oszlopait, azaz ( ) ( )TAA detdet = . 3. Ha egy mátrix két sorát vagy két oszlopát felcseréljük, akkor a
determinánsa (-1)-szeresére változik. 4. Ha egy mátrix két sora vagy oszlopa megegyezik, vagy egymás
számszorosa, akkor a determinánsa 0. 5. Ha egy mátrix valamely sorát vagy oszlopát λ -val szorozzuk, akkor a
determinánsa is λ -val szorzódik.
321
321
321
321
321
321
cccbbbaaa
cccbbbaaa
λλλλ
=
6. Ha a főátló alatt, vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 70
7. Ha ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
321
321
321
vvvuuuaaa
A és ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
321
321
321
vvvuuubbb
B ,
akkor ( ) ( )321
321
332211
detdetvvvuuu
bababa +++=+ BA
8. Ha egy mátrix bármelyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) számszorosát, a determináns értéke nem változik.
321
321
332211
321
321
321
cccbbb
bababa
cccbbbaaa λλλ +++
=
9. Két mátrix szorzatának determinánsa megegyezik a két mátrix determinánsának a szorzatával, azaz ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet = .
Példa:
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 71
(1) (2)
( )( )
( ) 11222861132473
113
5249731100
3524973148
31
5204753197031408
5204753122321408
=+⋅⋅=−
⋅
−=
−
−−−=
−−
−
=
−−
−
(1) A 2. sorhoz hozzáadjuk a 3. sort. (2) Az 1. sorhoz hozzáadjuk a 3. sor kétszeresét.
Egy n-edrendű mátrix szinguláris, ha determinánsa 0, reguláris, ha nem 0. Szinguláris mátrixnak nincs inverze. Ha detA≠0, akkor A-nak létezik inverze.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 72
Ha A-nak létezik inverze, akkor detA≠0. Mátrix inverzének kiszámítása Egyenletrendszer: uAxuAx 1−=⇒=
3×3-as esetben:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
+−+
−+−
+−+
=−
2221
1211
3231
1211
3231
2221
2321
1311
3331
1311
3331
2321
2322
1312
3332
1312
3332
2322
det1
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
aaaa
AA 1
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 73
1. Számítsuk ki detA-t! 2. Készítsünk el egy mátrixot az eredeti mátrix alapján úgy, hogy minden
a elem helyére a hozzá tartozó aldeterminánst írjuk! ij3. Transzponáljuk a mátrixot! 4. Osszuk el -val! Adet
példa: Számítsuk ki az ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=
022315214
A inverzét!
megoldás: ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−−−−
−=−
9612246
546
611A
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 74
Lineáris összefüggőség
1446723−=+−
=−yxyx
A két egyenlet egymás számszorosa, a második nem tartalmaz új információt. A két egyenlet lineárisan függ egymástól.
a
2/3a-3a
a
Vektorok esetén:
( )⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−
=−⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
−=
126
183,
639
23,
426
aaa
Két vektor lineárisan összefüggő, ha létezik 1λ és 2λ nem mindkettő 0 úgy, hogy 0aa 21 =+ 21 λλ .
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 75
Három vektor akkor lineárisan összefüggő, ha létezik 1λ , 2λ és 3λ nem mind 0 úgy, hogy 0aaa 321 =++ 321 λλλ . Ha például 03 ≠λ , akkor
213 aaa3
2
3
1
λλ
λλ
−−= .
Az az és lineáris kombinációja. 3a 1a 2a
a3
-(λ1/λ3)a1 a2 a1
-(λ2/λ3)a2
(Egy síkon vannak.)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 76
Az n dimenziós vektorok kaaa ,,, 21 K lineárisan összefüggőek, ha léteznek olyan kλλλ ,,, 21 K számok úgy, hogy nem mindegyikük 0, és
0aaa =+++ kkλλλ K2211 . Az A kn× dimenziós mátrix és a b n dimenziós vektor lineárisan összefüggőek, ha az A mátrix oszlopaiból képzett n dimenziós vektorok és a b vektor lineárisan összefüggőek.
kaaa ,,, 21 K
Az n dimenziós vektorok kaaa ,,, 21 K lineárisan függetlenek, ha nem lineárisan összefüggőek. Az n dimenziós vektorok (k
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 77
Példa: ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=10
24
1a , ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−=15
36
2a , a belőlük képzett mátrix ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛−−1510
3264
.
Az aldeterminánsok 032
64=
−−, 0
151064= és 0
151032=
−−, vagyis
valamennyien 0-k, ezért a vektorok lineárisan összefüggőek. Példa: ( )15121 −=Ta , ( )010052 =Ta , ( )30213 −=Ta Függetlenek-e?
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 78
Altér, generált altér, generáló rendszer, bázis nR -et n dimenziós vektortérnek nevezzük
nRV ⊆≠∅ altér, ha az összeadás és számmal szorzás nem vezet ki belőle. A vektorok által nRvvv ∈k,...,, 21 generált altér az a legszűkebb altér, amely a vektorokat tartalmazza. Ez a vektorok összes lineáris kombinációiból álló halmaz. A 3 dimenziós térben az alterek az origón átmenő egyenesek, illetve síkok, valamint a { }0 és maga a tér. A vektorokat nRvvv ∈k,...,, 21 generátor rendszernek nevezzük, ha az általuk generált altér a teljes nR . A vektorokat nRvvv ∈k,...,, 21 bázisnak nevezzük, ha a vektorok lineárisan függetlenek és generáló rendszert alkotnak. Egy bázis ortonormált, ha egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektorokból áll.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 79
Példa: 3R természetes bázisa: ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
100
,010
,001
. Ez a bázis ortonormált.
Állítás: nR bármely bázisa n vektorból áll. Állítás: A -es mátrix. Tekintsük az x-hez Ax-et hozzárendelő leképezést. A oszlopai a természetes bázis elemeinek képei.
nn×
Állítás: Ha A ortonormált, akkor a transzformáció a természetes bázist egy ortonormált bázisba képzi le (koordináta- rendszer váltás). Példa: Tükrözés, forgatás. Ha Rn-ben vagyunk, és n-nél több vektorunk van, akkor ezek biztosan
összefüggők, azaz maximum n db független vektorunk lehet.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 80
Ha k vektor független, és elveszünk belőle egyet, a maradék is független lesz. Ha összefüggőek, és hozzávesszünk egyet, ismét összefüggőeket kapunk.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 81
Egyenletrendszerek megoldhatósága
Példa: Az egyik elhagyható. Az együttható mátrix
determinánsa 0 van (sok) megoldás. 1446
723−=+−
=−yxyx
1146723
=+−=−
yxyx
11≠(-2)7, 04623
det =⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
− nincs megoldás.
A bal oldalak még mindig nem függetlenek.!
05023
=+=−
yxyx
homogén lineáris egyenletrendszer
Triviális megoldás: 0,0 == yx . Mi van, ha az egenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával?
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 82
A nem triviális megoldás léte az együttható mátrix determinánsától függ. Az lineáris egyenletrendszer megoldhatóságára az alábbiak igazak:
ha , akkor a Cramer szabály alkalmazható és - (homogén) esetén csak az 0x
uAx =( ) 0det ≠A
0u = = triviális megoldás létezik, - esetén létezik pontosan egy 00u ≠ x ≠ nem triviális megoldás;
ha , akkor a Cramer szabály nem alkalmazható és - (homogén) esetén az 0x
( ) 0det =A0u = = triviális megoldás és végtelen sok
0 nem triviális megoldás létezik - esetén, ha A és u függetlenek, ekkor nincs megoldás egyébként végtelen sok megoldás van.
x ≠0u ≠
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 83
Példa: 030202
321
21
321
=+−=+=−−
xxxxx
xxx
030202
321
21
321
=++=+=−−
xxxxx
xxx
Vektorok összefüggőségének és az egyenletrendszerek megoldhatóságának
kapcsolata:
Példa: Összefüggőek-e ⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
112
,212
,121
321 uuu , azaz létezik-e
321 és, λλλ nem mind 0, úgy hogy 0321 =++ 321 uuu λλλ , azaz
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 84
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛=
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
++++++
=⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛+
⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜
⎝
⎛
000
22
22
112
212
121
321
321
321
321
λλλλλλλλλ
λλλ .
Egy homogén lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ha csak a triviális
megoldás van, akkor függetlenek, ha van nem triviális megoldás, akkor összefüggőek.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 85
Fordítva: Ax vektor ~ A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja, amelyben az együtthatók az x vektor koordinátái. Az Ax=b egyenletrendszernek pontosan akkor létezik megoldása, ha a b vektor előáll, mint az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja (a b benne van az A oszlopvektorai által generált altérben). Ha az egyenletrendszernek van megoldása, akkor az pontosan akkor egyértelmű, ha az A oszlopvektorai lineárisan függetlenek (ha összefüggők, akkor végtelen sok megoldás van.) Ha n egyenletünk van n ismeretlenre, akkor az oszlopvektorok függetlensége ekvivalens azzal, hogy detA≠0. Ez ekvivalens azzal, hogy
- A invertálható, - A sorvektorai lineárisan függetlenek.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 86
Sajátvektor, sajátérték Négyzetes mátrixok ~ lineáris transzformációk: az u vektor képe Au Lineáris transzformáció sajátvektora olyan (nem 0) vektor, amelynek képe a vektor számszorosa. A szorzószám a sajátvektorhoz tartozó sajátérték. Négyzetes mátrix sajátvektora és sajátértéke: A-nak az u ≠ 0 vektor sajátvektora λ sajátértékkel, ha Au = λu (λ∈R). - u-nak a transzformáció csak a hosszát változtatja, az irányát nem; ( - minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik); - az u = 0 vektort azért zártuk ki, mert ott a sajátérték nem egyértelmű; - sajátvektor helyett sajátirányt is mondhatnánk (u sajátvektor → αu is az)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 87
- ha egy u ≠ 0 vektor képe a 0 vektor (azaz, ha Au = 0), akkor u a mátrix sajátvektora 0 sajátértékkel (és fordítva is, azaz ha egy mátrixnak a 0 sajátértéke, akkor ∃u ≠ 0: Au = 0 ) - egy u sajátvektort normáltnak nevezünk, ha |u| = 1 (sajátvektor alatt néha normáltat értenek akkor is, ha külön nem mondják)
Példa: A = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛5.25.15.15.2
, u1 = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛11
, u2 = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−1
1 → Au1 = 4u1 , Au2 = u2
Tehát A hatása az u1 vektor irányában 4-szeresére nyújtás, az u2 irányában pedig helyben hagyás. (Ezekből már a többi iránybeli hatása is következik.) Megjegyzés: nem minden lineáris transzformációnak/mátrixnak van
sajátvektora, például a nem o180⋅k -os elforgatásnak, mint pl. A = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 01
10,
nincsen.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 88
Állítás: azonos sajátértékhez tartozó sajátvektorok – a 0 vektort hozzávéve – alteret alkotnak, azaz bármely lineáris kombinációjuk is sajátvektor, szintén ugyanazzal a sajátértékkel (sajátvektor ~ sajátirány ~ sajátaltér). Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λu1 és Au2=λu2 . Ekkor
A(αu1 + βu2) = Aαu1 + Aβu2 = λαu1 + λβu2 = λ (αu1 + βu2) . Állítás: egy n×n-es mátrixnak legfeljebb n különböző sajátéréke van. (Bizonyítás: Az a kérdés, hogy az Au = λu egyenletnek hány különböző λ valós szám esetén van u ≠ 0 megoldása. Átrendezve:
Au – λu = 0 (A – λI)u = 0
Ennek az egyenletnek csak akkor van u ≠ 0 megoldása, ha det(A – λI) = 0. Mivel det(A – λI) a λ-nak n-edfokú polinomja, ezért a det(A – λI) = 0 egyenletnek legfeljebb n valós gyöke lehet.)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 89
Megjegyzés: a det(A – λI) polinomot, illetve a det(A – λI) = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus polinomjának, illetve karakterisztikus egyenleté-nek nevezik. Állítás: egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanazok a sajátértékei Bizonyítás: det(AT – λI) = det(A – λI) miatt A és AT karakterisztikus egyenlete ugyanaz. Állítás: szimmetrikus mátrix különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorai
páronként merőlegesek egymásra. (Példa erre az előző ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛5.25.15.15.2
mátrix.)
(Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λ1u1 és Au2=λ2u2 , λ1 ≠ λ2. Ha A szimmetrikus, akkor A = AT, és ezért u1TAu2 = u1TATu2 . Másrészt u1TAu2 = λ2u1Tu2 és u1TATu2 = λ1u1Tu2 , tehát λ2u1Tu2 =λ1u1Tu2 , ami csak akkor lehetséges, ha u1Tu2=0.)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 90
Megjegyzés: ha nem szimmetrikus a mátrix, akkor nem biztos, hogy a
sajátvektorok merőlegesek. Pl. ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3012
sajátvektorai ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛01
és ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛11
.
Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámítása
Példa: határozzuk meg az A = ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3122
mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛3122
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vuλλ
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−λ
λ31
22 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛00
(*)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 91
Csak akkor létezik nem 0 megoldás, ha det ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−λ
λ31
22 = 0, vagyis a
(2 – λ)(3 – λ) – 2 = 0 egyenletet kell megoldani. A megoldások: λ1 = 1, λ2 = 4. A sajátvektorok meghatározásához a sajátértékeket beírjuk a (*) egyenletbe és megoldjuk:
λ1: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛2121
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛00
→ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−λλ
12
,
λ2: ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛−
−11
22⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛00
→ ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛vu
= μμμ
=⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛11
Figyelem, ezeknek az egyenleteknek mindig végtelen sok megoldása van! (v.ö. sajátirány, sajátaltér). Ha normált sajátvektorra van szükség, akkor a
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 92
kapott megoldást normálhatjuk: a λ1-hez tartozó normált sajátvektor
51 ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛−1
2, a λ2-höz tartozó 2
1 ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛11
.
Általánosan: A négyzetes mátrix sajátértékeinek kiszámítása:
det( ) 0
21
22221
11211
=
−
−−
=−
λ
λλ
λ
nnnn
n
n
aaa
aaaaaa
K
MKMM
K
K
IA megoldásával.
Ez λ egy n-ed fokú polinomja, a mátrix karakterisztikus egyenlete. Sajátvektorok kiszámítása:
jj
j uAu λ=
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 93
0uIA =− jj )( λ ( )
( )
( ) 0...
0...
0...
22211
2222121
1212111
=−+++
=++−+
=+++−
jnjn
jn
jn
jnn
jj
j
jnn
jjj
uauaua
uauaua
uauaua
λ
λ
λ
M
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
jn
j
j
j
u
uu
M
2
1
u
Egy szimmetrikus mátrixhoz találhatunk olyan ortonormált bázist, amely csupa sajátvektorból áll (bizonyítás nélkül).
( )nuuuU K21= mátrix λdiagT =AUU , ha A szimmetrikus
( ) 0=kTj uu , minden kj ≠ esetén, azaz merőlegesek egymásra.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 94
(Legyen A szimmetrikus mátrix, U pedig olyan ortonormált mátrix, amelynek oszlopvektorai az A sajátvektorai. Ekkor a UTAU mátrix diagonális, főátlójában az A sajátértékei állnak. ) Példa: A számolást gyakorolhatjuk a fenti példákban szereplő mátrixokkal:
⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛5.25.15.15.2
, ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛− 01
10, ⎟
⎠
⎞⎜⎝
⎛3012
Mit kapunk a második mátrix esetében, amely arra volt példa, hogy nem mindig létezik sajátérték? Az egységmátrixnak bármely nem 0 vektor sajátvektora és bármely sajátvektorához tartozó sajátértéke 1. Egy diagonális mátrixnak a természetes bázis vektorai mind sajátvektorai, sajátértékei pedig a mátrix diagonális elemei.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 95
(Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban épp a bázisvektorokhoz tartozó sajátérétkek állnak.) Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) definitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív). Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) szemidefinitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív) vagy nulla. Ha A pozitív (negatív) definit, akkor bármely u ≠ 0-ra uTAu > 0 (uTAu < 0) (Ortonormált mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció - koordináta rendszer váltás. Ekkor a determináns nem változik, azaz a det. = a sajátértékek szorzatával.)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 96
Példa: sajátérték, sajátvektor alkalmazására Adott egy populáció n korcsoporttal. Az egyedszámok korcsoportonként a 0. időpontban:
)0(),...,0(),0(),0( 321 nxxxx A t-edik időpontban a korcsoportvektor:
( )
( )( )
( )⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
tx
txtx
t
n
M
2
1
x
Feltesszük, hogy korcsoportonként a születő és elpusztuló egyedek aránya állandó.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 97
Szaporodásra képesek a k, k+1,...,k+p korcsoport egyedei. A (0,1) időintervallumban az i-edik korcsoport szaporulata:
( ) ),...,1,(0 pkkkixii ++=α
( )∑+
=
=⇒pk
kiii xx 0)1(1 α .
A többi korcsoport új egyedszáma: lω - halálozási ráta ( ) ( ) 1,...,2,110011 −=
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 98
Átmeneti mátrix:
⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
−
++
00...00
0......00...0...00...00...0...00...00.........00
:
1
2
1
1
n
pkkk
ω
ωω
ααα
MMM
A
( )( )
( )0)(
0)2(0)1(
xAx
AAxxAxx
mm =
==
M
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 99
x(0)-ból x(1) meghatározható, de fordítva nem, hiszen ( )1)0( 1xAx −= lenne, de 1−A nem létezik, mivel van egy csupa 0 oszlopa,
és így detA=0. Mikor marad arányaiban állandó a populáció kormegoszlása?
Ax(0)=λx(0) λ sajátérték, x(0) sajátvektor
Ha x(0) A sajátvektora, akkor a populáció kormegoszlása állandó marad.
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 100
Példa: Lineáris programozás Optimalizálási feladat. Adott c n dimenziós és b m dimenziós vektorok, és az A m×n dimenziós mátrix. Keressük azokat az x n dimenziós vektorokat, amelyek esetén igaz, hogy xcx0bAx T,, ≤≤ maximális (minimális). példa: Szarvasmarhák etetésére mezei szénát és egy bizonyos fajta takarmánytápot akarunk használni. Az állatok tejhozamának fenntartására naponta 19,3 kcal energia, 1930 g fehérje, 114 g kalcium és 85 g foszfor szükséges. A széna kilónként 70 Ft-ba, a takarmánytáp pedig 300 Ft-ba kerül. Milyen arányban adjuk az állatoknak ezeket, hogy felhasználásuk a leggazdaságosabb legyen?
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 101
Tápanyag mennyiségek
Energia kcal/kg
Fehérje g/kg
Ca g/kg
P g/kg
Mezei széna 0,5 35 6 2,1 Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 Matematikai alak: ( széna ill. takapmánytáp mennyisége) 21 , xx
856,71,21146,26193020035
3,191,15,0
21
21
21
21
≥+≥+≥+≥+
xxxxxxxx
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
⎟⎟⎟⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜⎜⎜⎜
⎝
⎛
=
851141930
3,19
,
6,71,26,26
200351,15,0
bA ⎟⎠
⎞⎜⎝
⎛=
30070
c
⎟⎟⎠
⎞⎜⎜⎝
⎛=
2
1
xx
x , x0bAx ≤≥ , min30070 21 →+= xxT xc
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 102
Elnevezések: A – technikai együtthatók mátrixa b – jobboldal vektor c – költségvektor Megoldás: 2 dimenzióban grafikusan, egyébként számítógéppel. Grafikusan: egyenlőtlenségek ⇒félsíkok (metszet: megengedett megoldások)
856,71,21146,26193020035
3,191,15,0
21
21
21
21
≥+≥+≥+≥+
xxxxxxxx
)4()3()2()1(
28,08,113,28.43
17,065,945,05,17
12
12
12
12
xxxxxxxx
−≥−≥−≥−≥
⇒
21 37,0 xxz += költségfüggvény
12 23,0 xzx −= párhuzamos egyenesek
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 103
(1) (4)
(2)
50
50
30
30
10
10
(3)
Minimalizálás: a párhuzamos egyenesekkel lefelé tartva megkeressük a megengedett meoldások halmazával való legalsó metszéspontot. Ez az optimális megoldás: (28,24; 4,7)
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 104
Induló táblázat az Excelben:
Energia FehérjeCa P changing cells költség
Mezei széna 0,5 35 6 2,1 1 70Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 1 300Total 1,6 235 8,6 9,7 jobboldal 19,3 1930 114 85 target cell 370 Megoldás: (Tools, Solver (Add-Ins))
Energia FehérjeCa P changing cells költség
Mezei széna 0,5 35 6 2,1 28,2439 70Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 4,707317 300Total 19,3 1930181,702495,0878 jobboldal 19,3 1930 114 85 target cell 3389,268
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2002 ősz 105
Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 106
Lehetséges esetek: ha létezik a megengedett megoldások halmaza: - egy csúcson van az optimum, - egy határoló szakaszon van (több megoldás) Többváltozós esetben: simplex módszer A megengedett tartomány csúcsain megy végig. Problémák:
- nincs megengedett megoldás (félsíkoknak nincs közös része), - a megengedett megoldások halmaza nem korlátos abban az irányban,
amerre a célfüggvény csökken.
Top Related