Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea ... · 10 0 0 0. Az ....

Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea - Reiczigel Jenő, 2010 ősz 32

Vektorok, mátrixok

mn× dimenziós mátrix: egy sorból és oszlopból álló számtáblázat.

Jelölés:

n m

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

==×

nmnn

m

m

mn

aaa

aaa

L

MM

L

21

22221

11211

AA

⎛ aaa L

, ahol az i-edik sor j-edik

eleme.

ija

n dimenziós (oszlop)vektor egy n sorból és 1 oszlopból álló mátrix.

Jelölés:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

M2

1

b , ahol az i-edik koordináta. ib


n dimenziós nullvektor az az n dimenziós vektor, melynek minden koordinátája 0.

Jelölés:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

0

00

M0 .

sorvektor: ( )nuuu ,...,, 21


Négyzetes mátrixnak nevezünk egy olyan mátrixot, amelyben a sorok és az oszlopok száma megegyezik. n-edrendű mátrixnak nevezzük az nn× dimenziós négyzetes mátrixokat. Egy n-edrendű mátrix főátlója (fődiagonálisa) az elemeket tartalmazó átló.

nnaaa ,,, 2211 K

Egy négyzetes mátrix szimmetrikus, ha szimmetrikus a főátlójára nézve, azaz . jiij aa =

n-ed rendű mátrix spurja vagy nyoma (trace)

∑=

=n

iiiaSp

1

A


A diagonális mátrix egy olyan négyzetes mátrix, amely legfeljebb a főátlójában tartalmaz 0-tól eltérő elemet.

Példa:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

−20000300000000010

.

Az egységmátrix egy olyan diagonális mátrix, amely a főátlóban 1-eseket tartalmaz.

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=== ×

1000

010000100001

L

MOM

L

nnn III .


Mátrixalgebra Két mátrix egyenlő, ha elemeik rendre megegyeznek.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞⎛ aaa L

és

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

=×

nmnn

m

m

mn

aaa

aaa

L

MM

L

21

22221

11211

A

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=×

klkk

l

l

lk

ccc

cccccc

L

MM

L

L

21

22221

11211

C

egyenlő pontosan akkor, ha kn = , lm = és . ijij ca =

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛≠

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

wuv

wvu

, ha , vu ≠ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛≠⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛4321

043021


Két dimenziós mátrix mn× összege az a szintén mn× dimenziós mátrix, ahol minden elem a két összeadandó mátrix megfelelő elemeinek összegeként áll elő.

:

21

22221

11211

21

22221

11211

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=+=

nmnn

m

m

nmnn

m

m

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

L

MM

L

L

L

MM

L

L

BAC

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+++

++++++

=

nmnmnnnn

mm

mm

bababa

babababababa

L

MM

L

L

2211

2222222121

1112121111

ijijij bac +=

A mátrixok összeadása kommutatív és asszociatív. ABBA +=+

( ) ( )CBACBA ++=++ .


Egy dimenziós mátrix mn× szorzata a k valós számmal (skalárral) egy olyan m dimenziós mátrix, ahol minden elem az eredeti mátrix megfelelő elemének k-szorosa.

n×

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

nmnn

m

m

nmnn

m

m

kakaka

kakakakakaka

aaa

aaaaaa

kk

L

MM

L

L

L

MM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211

: AC .

( ) AA −=−−= 11k

( )BABA −+=−


Példa: legyen ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

532

:a és ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

205

:b .

Példa: Számoljuk ki az alábbi kifejezésekt: ba + , ba 23 − ! Megoldás: a két vektor dimenziója azonos, tehát összeadhatóak.

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

+++

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡+

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=+

737

250352

205

532

ba és

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−=

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

−⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡

⋅⋅⋅

=⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡−

⎥⎥⎥

⎦

⎤

⎢⎢⎢

⎣

⎡=−

1194

220252

533323

205

2532

323 ba


Példa: legyen ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

4321

:A és ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

=2101

:B .

Számoljuk ki az alábbi kifejezéseket: BA + , ! BA 23 −

Megoldás: a két mátrix dimenziója azonos, tehát összeadhatóak.

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡+−++

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

+⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=+

6222

24130211

2101

4321

BA és

⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡=⎥

⎦

⎤⎢⎣

⎡−+−−

=⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡−

⋅−⎥⎦

⎤⎢⎣

⎡⋅=−

81161

412290623

2101

24321

323 BA


Egy dimenziós mátrix transzponáltja az az mn× nm× dimenziós mátrix, amely az eredeti mátrixból a sorok és az oszlopok felcserélésével keletkezik.

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nmmm

n

n

T

nmnn

m

m

aaa

aaaaaa

aaa

aaaaaa

L

MM

L

L

L

MM

L

L

21

22212

12111

21

22221

11211

AA .

TAC = jiij ac =

n dimenziós sorvektor egy n dimenziós (oszlop)vektor transzponáltja.

( )nT

n

bbb

b

bb

LM 212

1

=⇒

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= bb .


Két n dimenziós vektor,

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

na

aa

M2

1

a és

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

nb

bb

M2

1

b skaláris szorzata az

( ) nnn

i ii

n

nT babababa

b

bb

aaa +++==

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

= ∑ = KML 221112

1

21ba szám.

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

543

,321

ba , ( ) 26534231543

321 =⋅+⋅+⋅=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=baT


Egy dimenziós mn× mátrix és egy m dimenziós vektor szorzata a következő n dimenziós vektor:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

∑

∑∑

=

=

=

m

j jnj

m

j jj

m

j jj

mnmnn

m

m

xa

xa

xa

x

xx

aaa

aaaaaa

1

1 2

1 1

2

1

21

22221

11211

MM

L

MM

L

L

Ax .

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

420

,654321

xA ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

3416

241001240

420

654321

Ax

Egyenletrendszer:

264532

=−=+

yxyx

⇒ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⋅⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛− 2

564

32yx


Egy dimenziós és egy ln× ml × dimenziós mátrix szorzata az az mn× dimenziós mátrix, mely i-edik sorának j-edik eleme az első mátrix i-edik sorának és a második mátrix j-edik oszlopának skaláris szorzata:

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

lmll

m

m

nlnn

l

l

bbb

bbbbbb

aaa

aaaaaa

L

MM

L

L

L

MM

L

L

21

22221

11211

21

22221

11211

AB

⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

∑∑∑

∑∑

==

=

==

l

j jmnj

l

j jnj

l

j jkijik

l

j jmj

l

j jj

baba

bac

baba

11 1

1

1 11 11

L

MM

L

lkil

kikiik

bababac

++++=

...2211

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅⋅+⋅

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

1069554686136302718

116851067596051148310473940311281102719201

11109870

654321


A mátrixok szorzása nem kommutatív, azaz . BAAB ≠Megjegyzés: 1. Az AB szorzat létezéséből nem is következik, hogy a BA szorzat is létezik.

( )321 aaa=A ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

bbb

B ( ) 3322113

2

1

321 babababbb

aaa ++=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=AB

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

332313

322212

312111

321

3

2

1

ababababababababab

aaabbb

BA

3. Négyzetes mátrixok szorzása sem kommutatív:

pl. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−−−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛1111

1111

4321


⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−− 64

644321

1111

A mátrixok szorzása asszociatív és disztributív, azaz ( ) ( )CABBCA = , valamint ( ) ACABCBA +=+ , ha a műveletek értelmesek. Példa: asszociativitás illusztrálására

( ) ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛==⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dcba

yxyx T Auu ,,

( ) ( )dybxcyaxdcba

yxT ++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=Au


( ) ( ) ( ) 22, dybxycxyaxyx

dybxcyaxyx

dcba

yxT +++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=uAu

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

dycxbyax

yx

dcba

Au

( ) ( ) 22 dybxycxyaxdycxbyax

yxT +++=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=Auu

( ) ( )AuuuAu TT =⇒ (Kvadratikus függvények felírhatók mátrixok szorzataként.)


⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=== ×

1000

010000100001

L

MOM

L

nnn III

Ha A -es mátrix, akkor IA=AI=A. nn×Ha C -es: illetve mn× CCI =×nn CCI =×mm . Egy A n-edrendű mátrix inverze az 1−A mátrix, ha IAAAA 1 == −−1 . Mátrixok osztása: CSAK INVERZZEL VALÓ SZORZÁS lehetséges, ha létezik az inverz.

1AB− , illetve . A kettő általában nem ugyanaz. példa? AB 1−Csak négyzetes mátrixnak létezhet inverze!! NULLOSZTÓ!


Alkalmazások 1. Gráfelmélet

Adjacencia vagy szomszédsági mátrix: Illeszkedési mátrix az n csúccsal rendelkező gráf esetén az az nn× -es mátrix, amelyben , ha az i-edik csúcsból él vezet a j-edik csúcsba, egyébként pedig .

1=ija

0=ija


Irányítatlan gráf (szimmetrikus mátrix) 54321

5

1

4

32

⇒

⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

00001

⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

00010001000100011110

54321


⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

Irányított gráf:

⇒

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

0000000100000000001010001100000001000001000000010

7654321

7654321

7

6

5

432

1

Irányított gráf esetén az adjacencia mátrix nem szimmetrikus, csak a megfelelő helyen vannak 1-esek. Például, az 1. sor 2. oszlopában van 1, hiszen az 1. csúcsból a 2.-ba vezet él, viszont a 2.-ből az 1.-be nem, így a 2. sor 1. oszlopában 0 áll.


2. Ökológia (Thall, Mortimer, Rebman, Baum, 1967) Mérgező anyagok felhalmozódásának vizsgálata táplálkozási láncokban (pl. Hg).

Ökológiai rendszer: 1. A növényevő állatok táplálékául szolgáló vegetáció:

rppp ,...,, különböző növények. 212. Növényevő állatok:

aaa ,..., különböző fajok. s213. Húsevő állatok:

különböző fajok. tccc ,...,, 21 ? Mennyit evett indirekt módon a a -ből egy adott időszakban? jc ip


X átmeneti mátrix: az faj egyes egyedei által -ből megevett átlagos mennyiség (g vagy kg).

ijx ja ip

Y átmeneti mátrix: az faj egyes egyedei által -ből megevett mennyiség. ( darabszámot jelent).

ijy jc ia

ijy

sr

rsrr

s

s

r

s

xxx

xxxxxx

p

pp

aaa

×=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

X

...

...

......

21

22221

11211

2

1

21

MMMM

ts

stss

t

t

s

t

yyy

yyyyyy

a

aa

ccc

×=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

Y

...

...

......

21

22221

11211

2

1

21

MMMM


Ha megeszik -ből -et és megeszik -ből -et, akkor 1c 1a 11y 1a 1p 11x -et evett -en keresztül -ből. 1c 1111xy 1a 1pUgyanígy:

1c -őt evett -n keresztül -ből … 1221xy 2a 1p1c -et evett -en keresztül -ből. ss xy 11 sa 1p

Összesen: 1111xy + +…+ 1221xy ss xy 11

X első sora szorozva Y első oszlopával. Általánosítva:

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==×

rtrr

t

t

tr

zzz

zzzzzz

K

MMMM

K

K

21

22221

11211

XYZ

ijz megmondja, hogy a j-edik ragadozó közvetve mennyit fogyasztott az i-edik növényből.


Geometriai vektorok A 2, illetve 3 dimenziós vektorok megfeleltethetőek geometriai értelemben vett vektoroknak a síkon, illetve a térben az alábbi

módon: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

a esetén x, y koordináták, vagy a vektor

komponensei.

xy

P(x,y) a

x

y a

u

v b

a+b Két vektor, ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

a és ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

vu

b összege a síkon

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛++

=+vyux

ba

Vektor számszorosa: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

a , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

kykx

ka

x

y a

kx

kyka


Egy vektor normája (vagy abszolút értéke vagy hossza) a következő:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

a aaa Tyx =+= 22

Általánosan: ha ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

na

aM1

a , akkor

aaa Tnaaa =+++=22

221 K .

Bebizonyítható, hogy 2 kétdimenziós vektor skaláris szorzata

αcosbaba =T , ahol α a két vektor által bezárt szög.

Ha o90=α ⇒ 0cos =α ⇒ 0=baT , és megfordítva is (ha a, b ≠ 0)


Merőleges (ortogonális) vektrorok: Tudjuk, hogy derékszögű háromszögek esetén igaz a Pitagorasz tétel. Ezt és a norma.illetve vektor szorzás tulajdonságait felhasználva:

222

2121 aaaa +=−

( ) ( ) ( )( )2212121

21212121

aaaaaaaaaaaa

aaaaaaaaaaTTTTT

TTT

1

22

2211

21

2

2−+=+−−=

=−−=−−=−

a1 a1-a2

a2

A két azonosságot összevetve kiderül, hogy ha két vektor merőleges egymásra, skaláris szorzatuk 0. Fordítva is igaz, ha két vektor skaláris szorzata 0, akkor merőlegesek egymásra.

Koordinátákkal: ⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

22

1

1 ,yx

yx

aa1 02121 =+ yyxx .


e1

e2

Egységvektorok: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛=

10

,01

21 ee

021 =eeT

Minden kétdimenziós vektor felírható a 2 egységvektor lineáris kombinációjaként: 2211 eea aa += Egy A négyzetes mátrixot ortogonálisnak nevezünk, ha diagonális mátrix. Ez azt jelenti, hogy A sorai páronkéntként merőlegesek egymásra, azaz skaláris szorzatuk 0.

TAA

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

==

nn

T

d

dd

000

000000

22

11

MOMMDAA


Egy A négyzetes mátrixot ortonormáltnak nevezünk, ha egységmátrix. TAAEgy ortonormált mátrix transzponáltja is ortonormált, azaz oszlopai is merőlegesek egymásra. Ortonormált mátrix esetén, mivel IAA =T , ezért 1−= AAT


Lineáris transzformációk Példa: síkbeli forgatás az origó körül 90°-kal pozitív irányba.

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

yx

a , ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=′

xy

a

a’ a

x

y x

-y

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −=′

xy

yx

0110

a

A transzformáció felírható mátrixszal való szorzásként. Általában egy A

nn× -es mátrixszal való szorzás, Axx =′ , nR -nek egy transzformációját hozza létre. Erre teljesül: ( ) ( ) AxxAxx αααα =′=′ (, ) , és ( ) yxyx ′+′=′+ ,


ezért ezt lineáris transzformációnak nevezzük. A a lineáris transzformáció mátrixa. A fenti példa szerint a síkon az origó körüli 90°-os forgatás lineáris

transzformáció, melynek mátrixa: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −0110

.

példa: 180°-os forgatás Két 90°-os forgatás egymás utánja:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−−

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−=⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛ −yx

yx

yx

1001

0110

0110


Determinánsok Lineáris egyenletrendszerek

Példa: vagy mátrix alakban írva . vdxcxubxax

=+=+

21

21 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=⎟⎟

⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

xx

dcba

2

1

Ha létezik egyértelmű megoldás, akkor az felírható:

abxux 2

1

−= , ha 0≠a

vdxabxuc =+− 22

avadxcbxcu =+− 22

2)( xadcbavcu −=−

bcadvbudx

bcadcuav

adcbavcux

−−

=−−

=−−

= 12 , , ha 0≠−bcad


Bevezetve a bcaddcba

dcba

−==⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛det definíciót,

dcbadvbu

bcadvbudx =

−−

=1 és

dcbavcua

bcadcuavx =

−−

=2 ,

ahol 0≠dcba

Megjegyzés: Nem csak másodrendű, hanem magasabb rendű mátrixoknak is létezik determinánsa. A magasabb rendű determinánsok kiszámítása visszavezethető alacsonyabb rendűek kiszámításásra. Cramer szabály


Tekintsük az n egyenletből álló, n ismeretlenes lineáris egyenletrendszert, ahol detA ≠ 0. Ekkor az egyenletrendszer megoldható és

pontosan egy x megoldása van, ahol

uAx =

AA k

kx = , , ahol úgy

keletkezik, hogy az A mátrix k-adik oszlopát kicseréljük az u vektorral.

( )nk ,,2,1 K= kA

Példa: (mo: 52237158

21

21

=+=−

xxxx

22119,

221229

21 == xx )

3333232131

2323222121

1313212111

uxaxaxauxaxaxauxaxaxa

=++=++=++

⇒ uAx =


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

,,uuu

xxx

aaaaaaaaa

uxA

Adet33323

23222

13121

1

aauaauaau

x = ,Adet

33331

23221

13111

1

auaauaaua

x = ,Adet

33231

22221

11211

1

uaauaauaa

x =


Hogyan lehet magasabb rendű determinánsokat kiszámítani? rekurzív definíció: Aldeterminánsokkal

Egy -es nn× A determináns elemhez tartozó ija ( ) ( )11 −×− nn -es előjeles aldeterminánsa az ijA determináns, mely az A determinánsból az i-edik sor és j-edik oszlop elhagyásával és ( ) -vel való szorzással keletkezik. ji+−1Kifejtési tétel: n>2 esetén a determinánsok értéke a determináns hagyományos, itt nem említett definíciója alapján nehezen határozható meg. A következő egyenlőséggel a feladat azonban visszavezethető eggyel kisebb méretű determinánsok meghatározására: ( ) ∑ ==

n

i ijija

1det AA , illetve

( ) ∑ ==n

j ijija

1det AA , ahol ijA a megfelelő előjeles aldetermináns. Ezt a módszert a determináns j. oszlopa, illetve i. sora szerinti kifejtésnek nevezzük.


Példa: az alábbi 3x3-as determináns az első oszlopa szerint kifejtve:

2322

131231

3332

131221

3332

232211

333231

232221

131211

333231

232221

131211

detaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

+−==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

A második oszlop szerint kifejtve:

2321

131132

3331

131122

3331

232112

333231

232221

131211

333231

232221

131211

detaaaa

aaaaa

aaaaa

aaaaaaaaaa

aaaaaaaaa

−+−==⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

Előjelek megválasztása (indexek összegének paritása): +−+−+−+−+


Példa:

345752

1823

321

321

321

=++−=−−

=−+

xxxxxx

xxx

megoldás: 38246,

38144,

38387

321 =−

== xxx .

Nullák sokat segítenek a determinánsok kiszámításánál: példa:

( ) 1386501049822513

9810620902571313

=+=−

=−

−


1. Ha van egy 0 sor vagy oszlop, a determináns 0. 2. Egy determináns értéke nem változik, ha felcseréljük sorait és

oszlopait, azaz ( ) ( )TAA detdet = . 3. Ha egy mátrix két sorát vagy két oszlopát felcseréljük, akkor a

determinánsa (-1)-szeresére változik. 4. Ha egy mátrix két sora vagy oszlopa megegyezik, vagy egymás

számszorosa, akkor a determinánsa 0. 5. Ha egy mátrix valamely sorát vagy oszlopát λ -val szorozzuk, akkor a

determinánsa is λ -val szorzódik.

321

321

321

321

321

321

cccbbbaaa

cccbbbaaa

λλλλ

=

6. Ha a főátló alatt, vagy fölött minden elem 0, akkor a determináns a főátlóbeli elemek szorzata.


7. Ha ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

321

321

321

vvvuuuaaa

A és ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

321

321

321

vvvuuubbb

B ,

akkor ( ) ( )321

321

332211

detdetvvvuuu

bababa +++=+ BA

8. Ha egy mátrix bármelyik sorához (oszlopához) hozzáadjuk egy másik sor (oszlop) számszorosát, a determináns értéke nem változik.

321

321

332211

321

321

321

cccbbb

bababa

cccbbbaaa λλλ +++

=

9. Két mátrix szorzatának determinánsa megegyezik a két mátrix determinánsának a szorzatával, azaz ( ) ( ) ( )BAAB detdetdet = .

Példa:


(1) (2)

( )( )

( ) 11222861132473

113

5249731100

3524973148

31

5204753197031408

5204753122321408

=+⋅⋅=−

⋅

−=

−

−−−=

−−

−

=

−−

−

(1) A 2. sorhoz hozzáadjuk a 3. sort. (2) Az 1. sorhoz hozzáadjuk a 3. sor kétszeresét.

Egy n-edrendű mátrix szinguláris, ha determinánsa 0, reguláris, ha nem 0. Szinguláris mátrixnak nincs inverze. Ha detA≠0, akkor A-nak létezik inverze.


Ha A-nak létezik inverze, akkor detA≠0. Mátrix inverzének kiszámítása Egyenletrendszer: uAxuAx 1−=⇒=

3×3-as esetben:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

+−+

−+−

+−+

=−

2221

1211

3231

1211

3231

2221

2321

1311

3331

1311

3331

2321

2322

1312

3332

1312

3332

2322

det1

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

aaaa

AA 1


1. Számítsuk ki detA-t! 2. Készítsünk el egy mátrixot az eredeti mátrix alapján úgy, hogy minden

a elem helyére a hozzá tartozó aldeterminánst írjuk! ij3. Transzponáljuk a mátrixot! 4. Osszuk el -val! Adet

példa: Számítsuk ki az ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=

022315214

A inverzét!

megoldás: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−−−−

−=−

9612246

546

611A


Lineáris összefüggőség

1446723−=+−

=−yxyx

A két egyenlet egymás számszorosa, a második nem tartalmaz új információt. A két egyenlet lineárisan függ egymástól.

a

2/3a-3a

a

Vektorok esetén:

( )⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−

=−⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

−=

126

183,

639

23,

426

aaa

Két vektor lineárisan összefüggő, ha létezik 1λ és 2λ nem mindkettő 0 úgy, hogy 0aa 21 =+ 21 λλ .


Három vektor akkor lineárisan összefüggő, ha létezik 1λ , 2λ és 3λ nem mind 0 úgy, hogy 0aaa 321 =++ 321 λλλ . Ha például 03 ≠λ , akkor

213 aaa3

2

3

1

λλ

λλ

−−= .

Az az és lineáris kombinációja. 3a 1a 2a

a3

-(λ1/λ3)a1 a2 a1

-(λ2/λ3)a2

(Egy síkon vannak.)


Az n dimenziós vektorok kaaa ,,, 21 K lineárisan összefüggőek, ha léteznek olyan kλλλ ,,, 21 K számok úgy, hogy nem mindegyikük 0, és

0aaa =+++ kkλλλ K2211 . Az A kn× dimenziós mátrix és a b n dimenziós vektor lineárisan összefüggőek, ha az A mátrix oszlopaiból képzett n dimenziós vektorok és a b vektor lineárisan összefüggőek.

kaaa ,,, 21 K

Az n dimenziós vektorok kaaa ,,, 21 K lineárisan függetlenek, ha nem lineárisan összefüggőek. Az n dimenziós vektorok (k


Példa: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=10

24

1a , ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−=15

36

2a , a belőlük képzett mátrix ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛−−1510

3264

.

Az aldeterminánsok 032

64=

−−, 0

151064= és 0

151032=

−−, vagyis

valamennyien 0-k, ezért a vektorok lineárisan összefüggőek. Példa: ( )15121 −=Ta , ( )010052 =Ta , ( )30213 −=Ta Függetlenek-e?


Altér, generált altér, generáló rendszer, bázis nR -et n dimenziós vektortérnek nevezzük

nRV ⊆≠∅ altér, ha az összeadás és számmal szorzás nem vezet ki belőle. A vektorok által nRvvv ∈k,...,, 21 generált altér az a legszűkebb altér, amely a vektorokat tartalmazza. Ez a vektorok összes lineáris kombinációiból álló halmaz. A 3 dimenziós térben az alterek az origón átmenő egyenesek, illetve síkok, valamint a { }0 és maga a tér. A vektorokat nRvvv ∈k,...,, 21 generátor rendszernek nevezzük, ha az általuk generált altér a teljes nR . A vektorokat nRvvv ∈k,...,, 21 bázisnak nevezzük, ha a vektorok lineárisan függetlenek és generáló rendszert alkotnak. Egy bázis ortonormált, ha egységnyi hosszúságú, egymásra merőleges vektorokból áll.


Példa: 3R természetes bázisa: ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

100

,010

,001

. Ez a bázis ortonormált.

Állítás: nR bármely bázisa n vektorból áll. Állítás: A -es mátrix. Tekintsük az x-hez Ax-et hozzárendelő leképezést. A oszlopai a természetes bázis elemeinek képei.

nn×

Állítás: Ha A ortonormált, akkor a transzformáció a természetes bázist egy ortonormált bázisba képzi le (koordináta- rendszer váltás). Példa: Tükrözés, forgatás. Ha Rn-ben vagyunk, és n-nél több vektorunk van, akkor ezek biztosan

összefüggők, azaz maximum n db független vektorunk lehet.


Ha k vektor független, és elveszünk belőle egyet, a maradék is független lesz. Ha összefüggőek, és hozzávesszünk egyet, ismét összefüggőeket kapunk.


Egyenletrendszerek megoldhatósága

Példa: Az egyik elhagyható. Az együttható mátrix

determinánsa 0 van (sok) megoldás. 1446

723−=+−

=−yxyx

1146723

=+−=−

yxyx

11≠(-2)7, 04623

det =⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

− nincs megoldás.

A bal oldalak még mindig nem függetlenek.!

05023

=+=−

yxyx

homogén lineáris egyenletrendszer

Triviális megoldás: 0,0 == yx . Mi van, ha az egenletek száma nem egyenlő az ismeretlenek számával?


A nem triviális megoldás léte az együttható mátrix determinánsától függ. Az lineáris egyenletrendszer megoldhatóságára az alábbiak igazak:

ha , akkor a Cramer szabály alkalmazható és - (homogén) esetén csak az 0x

uAx =( ) 0det ≠A

0u = = triviális megoldás létezik, - esetén létezik pontosan egy 00u ≠ x ≠ nem triviális megoldás;

ha , akkor a Cramer szabály nem alkalmazható és - (homogén) esetén az 0x

( ) 0det =A0u = = triviális megoldás és végtelen sok

0 nem triviális megoldás létezik - esetén, ha A és u függetlenek, ekkor nincs megoldás egyébként végtelen sok megoldás van.

x ≠0u ≠


Példa: 030202

321

21

321

=+−=+=−−

xxxxx

xxx

030202

321

21

321

=++=+=−−

xxxxx

xxx

Vektorok összefüggőségének és az egyenletrendszerek megoldhatóságának

kapcsolata:

Példa: Összefüggőek-e ⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

112

,212

,121

321 uuu , azaz létezik-e

321 és, λλλ nem mind 0, úgy hogy 0321 =++ 321 uuu λλλ , azaz


⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛=

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

++++++

=⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛+

⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜

⎝

⎛

000

22

22

112

212

121

321

321

321

321

λλλλλλλλλ

λλλ .

Egy homogén lineáris egyenletrendszert kell megoldani. Ha csak a triviális

megoldás van, akkor függetlenek, ha van nem triviális megoldás, akkor összefüggőek.


Fordítva: Ax vektor ~ A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja, amelyben az együtthatók az x vektor koordinátái. Az Ax=b egyenletrendszernek pontosan akkor létezik megoldása, ha a b vektor előáll, mint az A mátrix oszlopvektorainak lineáris kombinációja (a b benne van az A oszlopvektorai által generált altérben). Ha az egyenletrendszernek van megoldása, akkor az pontosan akkor egyértelmű, ha az A oszlopvektorai lineárisan függetlenek (ha összefüggők, akkor végtelen sok megoldás van.) Ha n egyenletünk van n ismeretlenre, akkor az oszlopvektorok függetlensége ekvivalens azzal, hogy detA≠0. Ez ekvivalens azzal, hogy

- A invertálható, - A sorvektorai lineárisan függetlenek.


Sajátvektor, sajátérték Négyzetes mátrixok ~ lineáris transzformációk: az u vektor képe Au Lineáris transzformáció sajátvektora olyan (nem 0) vektor, amelynek képe a vektor számszorosa. A szorzószám a sajátvektorhoz tartozó sajátérték. Négyzetes mátrix sajátvektora és sajátértéke: A-nak az u ≠ 0 vektor sajátvektora λ sajátértékkel, ha Au = λu (λ∈R). - u-nak a transzformáció csak a hosszát változtatja, az irányát nem; ( - minden sajátvektorhoz csak egy sajátérték tartozik); - az u = 0 vektort azért zártuk ki, mert ott a sajátérték nem egyértelmű; - sajátvektor helyett sajátirányt is mondhatnánk (u sajátvektor → αu is az)


- ha egy u ≠ 0 vektor képe a 0 vektor (azaz, ha Au = 0), akkor u a mátrix sajátvektora 0 sajátértékkel (és fordítva is, azaz ha egy mátrixnak a 0 sajátértéke, akkor ∃u ≠ 0: Au = 0 ) - egy u sajátvektort normáltnak nevezünk, ha |u| = 1 (sajátvektor alatt néha normáltat értenek akkor is, ha külön nem mondják)

Példa: A = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛5.25.15.15.2

, u1 = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛11

, u2 = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−1

1 → Au1 = 4u1 , Au2 = u2

Tehát A hatása az u1 vektor irányában 4-szeresére nyújtás, az u2 irányában pedig helyben hagyás. (Ezekből már a többi iránybeli hatása is következik.) Megjegyzés: nem minden lineáris transzformációnak/mátrixnak van

sajátvektora, például a nem o180⋅k -os elforgatásnak, mint pl. A = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 01

10,

nincsen.


Állítás: azonos sajátértékhez tartozó sajátvektorok – a 0 vektort hozzávéve – alteret alkotnak, azaz bármely lineáris kombinációjuk is sajátvektor, szintén ugyanazzal a sajátértékkel (sajátvektor ~ sajátirány ~ sajátaltér). Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λu1 és Au2=λu2 . Ekkor

A(αu1 + βu2) = Aαu1 + Aβu2 = λαu1 + λβu2 = λ (αu1 + βu2) . Állítás: egy n×n-es mátrixnak legfeljebb n különböző sajátéréke van. (Bizonyítás: Az a kérdés, hogy az Au = λu egyenletnek hány különböző λ valós szám esetén van u ≠ 0 megoldása. Átrendezve:

Au – λu = 0 (A – λI)u = 0

Ennek az egyenletnek csak akkor van u ≠ 0 megoldása, ha det(A – λI) = 0. Mivel det(A – λI) a λ-nak n-edfokú polinomja, ezért a det(A – λI) = 0 egyenletnek legfeljebb n valós gyöke lehet.)


Megjegyzés: a det(A – λI) polinomot, illetve a det(A – λI) = 0 egyenletet az A mátrix karakterisztikus polinomjának, illetve karakterisztikus egyenleté-nek nevezik. Állítás: egy mátrixnak és a transzponáltjának ugyanazok a sajátértékei Bizonyítás: det(AT – λI) = det(A – λI) miatt A és AT karakterisztikus egyenlete ugyanaz. Állítás: szimmetrikus mátrix különböző sajátértékekhez tartozó sajátvektorai

páronként merőlegesek egymásra. (Példa erre az előző ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛5.25.15.15.2

mátrix.)

(Bizonyítás: tegyük fel, hogy Au1=λ1u1 és Au2=λ2u2 , λ1 ≠ λ2. Ha A szimmetrikus, akkor A = AT, és ezért u1TAu2 = u1TATu2 . Másrészt u1TAu2 = λ2u1Tu2 és u1TATu2 = λ1u1Tu2 , tehát λ2u1Tu2 =λ1u1Tu2 , ami csak akkor lehetséges, ha u1Tu2=0.)


Megjegyzés: ha nem szimmetrikus a mátrix, akkor nem biztos, hogy a

sajátvektorok merőlegesek. Pl. ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3012

sajátvektorai ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛01

és ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛11

.

Mátrix sajátértékeinek és sajátvektorainak kiszámítása

Példa: határozzuk meg az A = ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3122

mátrix sajátértékeit és sajátvektorait!

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛3122

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vuλλ

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−λ

λ31

22 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛00

(*)


Csak akkor létezik nem 0 megoldás, ha det ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−λ

λ31

22 = 0, vagyis a

(2 – λ)(3 – λ) – 2 = 0 egyenletet kell megoldani. A megoldások: λ1 = 1, λ2 = 4. A sajátvektorok meghatározásához a sajátértékeket beírjuk a (*) egyenletbe és megoldjuk:

λ1: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛2121

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛00

→ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−λλ

12

,

λ2: ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛−

−11

22⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛00

→ ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛vu

= μμμ

=⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛11

Figyelem, ezeknek az egyenleteknek mindig végtelen sok megoldása van! (v.ö. sajátirány, sajátaltér). Ha normált sajátvektorra van szükség, akkor a


kapott megoldást normálhatjuk: a λ1-hez tartozó normált sajátvektor

51 ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛−1

2, a λ2-höz tartozó 2

1 ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛11

.

Általánosan: A négyzetes mátrix sajátértékeinek kiszámítása:

det( ) 0

21

22221

11211

=

−

−−

=−

λ

λλ

λ

nnnn

n

n

aaa

aaaaaa

K

MKMM

K

K

IA megoldásával.

Ez λ egy n-ed fokú polinomja, a mátrix karakterisztikus egyenlete. Sajátvektorok kiszámítása:

jj

j uAu λ=


0uIA =− jj )( λ ( )

( )

( ) 0...

0...

0...

22211

2222121

1212111

=−+++

=++−+

=+++−

jnjn

jn

jn

jnn

jj

j

jnn

jjj

uauaua

uauaua

uauaua

λ

λ

λ

M

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

jn

j

j

j

u

uu

M

2

1

u

Egy szimmetrikus mátrixhoz találhatunk olyan ortonormált bázist, amely csupa sajátvektorból áll (bizonyítás nélkül).

( )nuuuU K21= mátrix λdiagT =AUU , ha A szimmetrikus

( ) 0=kTj uu , minden kj ≠ esetén, azaz merőlegesek egymásra.


(Legyen A szimmetrikus mátrix, U pedig olyan ortonormált mátrix, amelynek oszlopvektorai az A sajátvektorai. Ekkor a UTAU mátrix diagonális, főátlójában az A sajátértékei állnak. ) Példa: A számolást gyakorolhatjuk a fenti példákban szereplő mátrixokkal:

⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛5.25.15.15.2

, ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛− 01

10, ⎟

⎠

⎞⎜⎝

⎛3012

Mit kapunk a második mátrix esetében, amely arra volt példa, hogy nem mindig létezik sajátérték? Az egységmátrixnak bármely nem 0 vektor sajátvektora és bármely sajátvektorához tartozó sajátértéke 1. Egy diagonális mátrixnak a természetes bázis vektorai mind sajátvektorai, sajátértékei pedig a mátrix diagonális elemei.


(Egy transzformáció mátrixa akkor és csak akkor diagonális, ha a mátrixot sajátvektorokból álló bázis szerint írtuk fel. Ekkor a főátlóban épp a bázisvektorokhoz tartozó sajátérétkek állnak.) Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) definitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív). Egy szimmetrikus mátrixot pozitív (negatív) szemidefinitnek nevezünk, ha minden sajátértéke pozitív (negatív) vagy nulla. Ha A pozitív (negatív) definit, akkor bármely u ≠ 0-ra uTAu > 0 (uTAu < 0) (Ortonormált mátrixnak megfelelő lineáris transzformáció - koordináta rendszer váltás. Ekkor a determináns nem változik, azaz a det. = a sajátértékek szorzatával.)


Példa: sajátérték, sajátvektor alkalmazására Adott egy populáció n korcsoporttal. Az egyedszámok korcsoportonként a 0. időpontban:

)0(),...,0(),0(),0( 321 nxxxx A t-edik időpontban a korcsoportvektor:

( )

( )( )

( )⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

tx

txtx

t

n

M

2

1

x

Feltesszük, hogy korcsoportonként a születő és elpusztuló egyedek aránya állandó.


Szaporodásra képesek a k, k+1,...,k+p korcsoport egyedei. A (0,1) időintervallumban az i-edik korcsoport szaporulata:

( ) ),...,1,(0 pkkkixii ++=α

( )∑+

=

=⇒pk

kiii xx 0)1(1 α .

A többi korcsoport új egyedszáma: lω - halálozási ráta ( ) ( ) 1,...,2,110011 −=


Átmeneti mátrix:

⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

−

++

00...00

0......00...0...00...00...0...00...00.........00

:

1

2

1

1

n

pkkk

ω

ωω

ααα

MMM

A

( )( )

( )0)(

0)2(0)1(

xAx

AAxxAxx

mm =

==

M


x(0)-ból x(1) meghatározható, de fordítva nem, hiszen ( )1)0( 1xAx −= lenne, de 1−A nem létezik, mivel van egy csupa 0 oszlopa,

és így detA=0. Mikor marad arányaiban állandó a populáció kormegoszlása?

Ax(0)=λx(0) λ sajátérték, x(0) sajátvektor

Ha x(0) A sajátvektora, akkor a populáció kormegoszlása állandó marad.


Példa: Lineáris programozás Optimalizálási feladat. Adott c n dimenziós és b m dimenziós vektorok, és az A m×n dimenziós mátrix. Keressük azokat az x n dimenziós vektorokat, amelyek esetén igaz, hogy xcx0bAx T,, ≤≤ maximális (minimális). példa: Szarvasmarhák etetésére mezei szénát és egy bizonyos fajta takarmánytápot akarunk használni. Az állatok tejhozamának fenntartására naponta 19,3 kcal energia, 1930 g fehérje, 114 g kalcium és 85 g foszfor szükséges. A széna kilónként 70 Ft-ba, a takarmánytáp pedig 300 Ft-ba kerül. Milyen arányban adjuk az állatoknak ezeket, hogy felhasználásuk a leggazdaságosabb legyen?


Tápanyag mennyiségek

Energia kcal/kg

Fehérje g/kg

Ca g/kg

P g/kg

Mezei széna 0,5 35 6 2,1 Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 Matematikai alak: ( széna ill. takapmánytáp mennyisége) 21 , xx

856,71,21146,26193020035

3,191,15,0

21

21

21

21

≥+≥+≥+≥+

xxxxxxxx

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

⎟⎟⎟⎟⎟

⎠

⎞

⎜⎜⎜⎜⎜

⎝

⎛

=

851141930

3,19

,

6,71,26,26

200351,15,0

bA ⎟⎠

⎞⎜⎝

⎛=

30070

c

⎟⎟⎠

⎞⎜⎜⎝

⎛=

2

1

xx

x , x0bAx ≤≥ , min30070 21 →+= xxT xc


Elnevezések: A – technikai együtthatók mátrixa b – jobboldal vektor c – költségvektor Megoldás: 2 dimenzióban grafikusan, egyébként számítógéppel. Grafikusan: egyenlőtlenségek ⇒félsíkok (metszet: megengedett megoldások)

856,71,21146,26193020035

3,191,15,0

21

21

21

21

≥+≥+≥+≥+

xxxxxxxx

)4()3()2()1(

28,08,113,28.43

17,065,945,05,17

12

12

12

12

xxxxxxxx

−≥−≥−≥−≥

⇒

21 37,0 xxz += költségfüggvény

12 23,0 xzx −= párhuzamos egyenesek


(1) (4)

(2)

50

50

30

30

10

10

(3)

Minimalizálás: a párhuzamos egyenesekkel lefelé tartva megkeressük a megengedett meoldások halmazával való legalsó metszéspontot. Ez az optimális megoldás: (28,24; 4,7)


Induló táblázat az Excelben:

Energia FehérjeCa P changing cells költség

Mezei széna 0,5 35 6 2,1 1 70Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 1 300Total 1,6 235 8,6 9,7 jobboldal 19,3 1930 114 85 target cell 370 Megoldás: (Tools, Solver (Add-Ins))

Energia FehérjeCa P changing cells költség

Mezei széna 0,5 35 6 2,1 28,2439 70Takarmánytáp 1,1 200 2,6 7,6 4,707317 300Total 19,3 1930181,702495,0878 jobboldal 19,3 1930 114 85 target cell 3389,268


Lehetséges esetek: ha létezik a megengedett megoldások halmaza: - egy csúcson van az optimum, - egy határoló szakaszon van (több megoldás) Többváltozós esetben: simplex módszer A megengedett tartomány csúcsain megy végig. Problémák:

- nincs megengedett megoldás (félsíkoknak nincs közös része), - a megengedett megoldások halmaza nem korlátos abban az irányban,

amerre a célfüggvény csökken.

Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea ... · 10 0 0 0. Az ....

Documents

Transcript of Biomatematika I. (SZIE ÁOTK zoológus szak) – Harnos Andrea ... · 10 0 0 0. Az ....