7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
1/17
CAPTULO14IDENTIDADESYECUACIONESTRIGONOMTRICAS
IdentidadesPITAGRICAS
A
s se denomina a las identidadesque resultan del teorema de Pitgo-ras y se obtienen del crculo unitario
mediante un tringulo rectngulo de hipo-tenusa 1 y catetos con longitudes sena ycosa.
Por defi nicin del teorema de Pitgoras:
(1)2=(sena)2+(cosa)2
1=sen2a+cos2a
A la cual se le denomina identidad funda-mental.
Defniciones de
ngulos del libro
Los elementos de Euclides
sen
cos
r = 1
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
2/17
Identidades trigonomtricas
Son igualdades en las que intervienen unciones trigonomtricas y es vlida para cualquier valor angular.
Obtencin de las identidades trigonomtricas bsicas
Para determinar las identidades se hace uso de las defniciones de las unciones trigonomtricas.
En el tringulo las unciones del ngulo a se defnen:
sen =a
ctan =
a
bcsc =
c
a
cos =b
cctg =
b
asec =
c
b
a
a
a
a
a
a
a
b
c
a
b
Al multiplicar una uncin directa por cada una de sus recprocas se obtiene:
(sen )(csc ) =a
c
c
a=
a c
c a= 1
(cos )(sec ) =b
c
c
b=
b c
c b= 1
(tan )(ctg ) =a
b
b
a=
a b
b a= 1
a
a a
a a
a
Por tanto, se deducen las identidades recprocas.
Identidades recprocas
(sen a)(csca) = 1 (cosa)(seca) = 1 (tan a) (ctg a) = 1
Al realizar los respectivos despejes en las identidades anteriores, se obtienen las siguientes relaciones:
sen =1
csctan =
1
ctgcsc =
1
sen
cos =1
secctg =
1
tansec =
1
cos
aa
a
a
a
a
aa
a
a
a
a
Identidades de cociente
Si se realiza el cociente de la uncin seno (sen a) por la uncin coseno (cos a), se obtiene la uncin tan a:
sen
cos=
a
a
a
cb
c
=a c
b c=
a
b= tan a
De manera anloga se obtiene la uncin cotangente (ctga),
a
a
cos
sen=
b
ca
c
=b c
a c=
b
a= ctg a
Por tanto:
aa
aa
aatan =
sen
cos; ctg =
cos
sen
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
3/17
Identidades pitagricas
En el tringulo se aplica el teorema de Pitgoras:
a a
aaaa
a2
+ b2
= c2
Se divide entre c2 a ambos miembros.
a2
c2+
b2
c2= 1 Se aplica la ley de los exponentes.
a
c
2
+b
c
2
=
= =
1 Los cocientes son equivalentes a las unciones sen y cos
(sen )2+ (cos )
21, por consiguiente sen
2+ cos
21
En orma semejante se obtienen las dems identidades pitagricas, entonces:
sen2
a + cos2
a = 1 ; tan2
a + 1 = sec2
a y 1 + ctg2
a = csc2
a
De las identidades anteriores se realizan despejes, con el fn de obtener otras identidades:
sen2 + cos2 = 1 tan2 + 1 = sec2 1 + ctg2 = csc2
sen = 1 cos2 ( ) tan = sec2 1( ) ctg = csc2 1( )
cos = 1 sen2( ) sec = tan2 + 1( ) csc = ctg2 + 1( )
Demostracin de identidades trigonomtricas
Para realizar la demostracin de una identidad trigonomtrica se aplican procesos algebraicos como la actorizacin, las
operaciones entre racciones as como su simplifcacin, adems de las identidades trigonomtricas bsicas.
La aplicacin de estos procesos depende de la identidad en s; esto signifca que no existe un orden o procedimientoespecfco, debido a esta situacin sugerimos iniciar con el lado ms complejo o elaborado de la igualdad, con el fn
de llegar a demostrar el lado ms sencillo, como a continuacin se ejemplifca.
Demuestra la siguiente identidad: senx=cos x
ctgx
Demostracin
Se trabaja del segundo hacia el primer miembro, se sustituye ctg x= cosxsen x
y realiza el cociente correspondiente:
s S Sen x =cosx
ctg xsen x =
cosx
cosx
senx
sen x =sen x cos x
cosx
sen x sen x
Por tanto queda demostrada la identidad.
1
EjemplosEJEMPLOS
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
4/17
12. ctg x tan x =2cos
2x 1
sen x cos x
13. 2csc2y =
1
1 cos y+
1
1+ cos y
14.1
csca a
a a
+ ctg
= csc ctg
15. 3sen2x 9sen x? ctg x + 7cos2x 4cos x = (4cos x 1)(cos x 3)
16. cos2x +
tan2x
1+ sec x+ sen
2x = sec x
17. cos4x + sen2x + sen2x cos2x = 1
18.1 c b
b b
bbos
1+ cos
+1+ cos
1 cos
= 2csc
19. cos x(2sec x + tan x)(sec x 2tan x) = 2cos x 3tan x
20. 1 +sen x ctg 2x
1+ sen x= csc x
21. 2(sen6x + cos6x) 3(sen4x + cos4x) + 1 = 0
22. sen x(1 + ctg x) = cos3x(1 + tan x) + sen3x(1 + ctg x)
23. (csc x sen x)2
+ (sec x cos x)2
= tan2
x + ctg2
x 1
24.2 csc
2x
tan x 1 csc
2x + 1 = ctg x
25.tan x+ ctg x
csc x sen x = sec3x
26.cos x sec x
sen x csc x = sec x (sec
2x 1) sen x
27. sec3x =
sec3x secx tan2x
1 sen x( ) 1 + sen x( )
28. sen2x + tan
2x + cos
2x =
1
cos2x
29. sec2x + csc2x = (csc x sec x)2
30. sec2x; sen x csc x + sen x(sen x sec2x)
31. 1csc x+ ctg x 1ctg x csc x = 2sen x
32. 1 ctg x = csc2x 2ctg x( )
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
5/17
Obtencin de las identidades trigonomtricasde la suma y la diferencia de ngulos
Considerando que OB BC , OC DC , se realiza una proyeccin de OD con el eje Xy OA AD , DE CE ,donde AE BC= , as como AB CE=
Para obtener sen ( + b)
b
a
a
XA B
CE
D
O
Y
sen (a + b) =AD
ODpero AD AE ED= + ;
entonces,
sen (a + b) =AE ED
OD
+ sen (a + b) =
AE
OD
ED
OD+
Para obtener las unciones trigonomtricas de los ngulos a y b
sen a =BC
OC=
AE
OC=
CE
CD(1) sen b =
CD
OD(3)
cos a =OB
OC=
ED
CD(2) cos b =
OC
OD(4)
Si se realiza el producto de (1) y (4); (2) y (3) se tiene:
(sen a)(cosb) = AEOC? OC
OD= AE
OD(5)
(sen b)(cos a) =CD
OD?
ED
CD=
ED
OD(6)
Al sumar (5) y (6):
(sena)( cosb) + (sen
b)( cosa) =AE
OD
ED
OD+ ;
Se obtiene sen (a + b), entonces:
sen (a + b) = (sena)(cosb) + (sen b)(cos a)
Para obtener cos (a + b)
cos (a + b) =OA
OD; pero OA OB AB= ;
entonces,
cos (a + b) = OB ABOD cos (a + b) = OB
ODABOD
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
6/17
Si se realiza el producto de (2) y (4); (1) y (3) se tiene:
(cosa)(cos b) =OB
OC?
OC
OD=
OB
OD (7)
(sen a)(senb) =
CE
CD?
CD
OD=
CE
OD=
AB
OD (8)
Al restar (8) de (7):
(cosa)(cosb) (sen a)(sen
b) =
OB
OD
AB
OD;
Se obtiene cos (a + b)
cos (a + b) = (cosa)(cosb) (sena)(senb)
Para obtener tan (a + b), se emplean identidades bsicas:
tan (a + b) =sen
cos
+( )+( )
; tan (a + b) =sen cos sen cos
cos cos sen
( )( ) + ( )( )( )( ) ( ))( )sen
Si se divide entre (cos a)(cos b)? 0, entonces,
tan (a + b) =
sen cos sen cos
cos cos
cos
( )( ) + ( )( )( )( )
( ) ccos sen sencos cos
( ) ( ) ( )( )( )
=
sen cos
cos cos
sen cos
cos
( )( )
( )( )+ ( )( )
( ) ccos
cos coscos cos
sen sen
( )
( )( )( )( )
( )( ))( )( )cos cos
;
tan (a + b) =
sen
cos
sen
cos
sen
cos
sen
( )
( )+
( )
( )
( )
( )1
( )
( )cos
=tan tan
tan tan
+ 1
Finalmente se deduce que:
tan ( + ) =tan +tan
1 tan tan
Para obtener las identidades trigonomtricas de la dierencia se emplean las identidades de los ngulos negativos en
uncin de ngulos positivos, es decir:
sen ( x) = sen (x) cos ( x) =cos (x) tan ( x) = tan (x)
Por tanto:
sen (a + b) = (sena)(cosb) + (sen
b)(cosa)
Se cambia b por b y se obtiene:
sen (a b) = (sen a)(cos(b)) + (sen (b))(cosa)
sen (a b) = (sena)(cos b) (sen b)(cosa)
De una manera semejante se realiza la dierencia para las dems unciones trigonomtricas y se obtiene:
cos (a b) = (cos a)(cos b) + (sen a)(sen b)
tan ( ) =tan tan
1 +tan tan
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
7/17
Resumen de frmulas
Identidades trigonomtricas de la suma de ngulos:
sen (a + b) = (sena)(cosb) + (senb)(cosa)
cos (a + b) = (cosa)(cosb) (sena)(senb)
tan ( + ) =tan +tan
1 tan tan
Identidades trigonomtricas de la dierencia de ngulos:
sen (a b) = (sena)(cosb) (senb)(cosa)
cos (a b) = (cosa)(cosb) + (sena)(senb)
tan ( ) =tan tan
1 +tan tan
Valor de una funcin trigonomtrica para la suma y la diferencia de ngulosLos valores de las unciones trigonomtricas de ngulos notables se emplean para obtener el valor de una uncin
cuyo ngulo se pueda descomponer en una suma o dierencia.
Obtn el valor de sen
4 6+
.
Solucin
Al aplicar la identidad para el seno de la suma de ngulos, se determina que:
sen
4 6+
= sen
4cos
6+ cos
4sen
6=
2
2
3
2
2
2
1
2
+
=6
4
2
4+
=6 2
4
+
Calcula el valor exacto de tan (90 60).
Solucin
Se aplica la identidad de la tangente de la dierencia de ngulos y se obtiene:
tan (90 60) =tan tan
tan tan
90 60
1 90 60
+
La tan 90 no est defnida, por consiguiente, se multiplica la identidad tantan tan
tan tan( )a b
a b
a b =
+1por la unidad
expresada como 1 =ctg
ctg
a
a
tantan tan
tan tan
ctg
ctg( )a b
a b
a b
a =
+
1 aa
a a b a
a a b
=
+
tan ctg tan ctg
ctg tan tan ctgga
Por identidades tanactga= 1, entonces:
tantan ctg
ctg tan
tan ctg
c( )
(a b
b a
a b)
b a =
+
=1
1
1
ttg tana b+
Sustituyendo a= 90, b= 60 y posteriormente los valores de ctg 90 = 0 y tan60 3 = , se obtiene como resultado:
tan tan ctgctg tan
( )90 60 1 60 9090 60
1 = +
= (( )( )3 00 3
1 03
13
13
33+
= = = =. 33
22
1
EjemplosEJEMPLOS
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
8/17
Determina los valores de las siguientes funciones trigonomtricas y expresa los ngulos como suma o diferencia:
1. tan 105 3. csc 15 5. tan 255 7. tan 345 9. csc 255
2. cot75 4. sec 105 6. cos 285 8. sec 165 10. sen 165
11. Sicos = 4
5
con
2
y tan =2
3
con 0
2
, halla sen(a + b), cos(a + b)y tan(a + b).
12. Si tan a = 1con 3
2y sec b = 2con
3
22 , halla sen(a b), cos(a b)y tan(a b).
13. Si sec a = 3
2con
3
2y ctg b = 2 con 0
2
, halla las seis unciones trigonomtricas de (a + b)
y(a b).
Demuestra las siguientes identidades:
14. sen x sen x sen x ( ) +
2
1 2 2cos x cos x [ ]
15. cos x cos x 3
2
+
( )
2 2
sen x cos x
+ + +
2 sen x
16. cos x sen x co
2
+( )
ss x cos x sen x
23+( ) + +
+ ccos x
17.
sen
sec
cos
csc
3
2 2
+
1
18. tan sen sen
3
2( ) +
( ) 1 2 cos
19. sen sen cos cos cos 2[ ] +( ) + +2
[[ ] 2
2
20.sec
csc
sen
cos
( )
+
++( )
2
1
+( ) tan
21. csc ycos y
tan ysen y
( ) +
+( )+( )
22.
csc x
cos x
tan x
2
2
+
(( ) +( )sen x
sec x csc x 1
23. sen x cos x 22
2
+( ) +
+
44 2
2
4cos x
csc x
( )
24. sen sencos
+ +( ) + ( )+ +( ) + cos
tan
( )
EJERCICIO 44
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
9/17
25. sen sen sen sen sen +( ) ( ) +( ) ssen ( )
26. tan tan
4
4
+
+
2
2 2sen cos
27. 43
2
4arc tan arc tan
+
1
5
28. sen sen 1 11
5 2
2
5
29. cos cos se12
13
33
65
1 1 nn13
5
30. sect
t
ctg t t + >1
211 0, 0
31. arc sent
arc cost
tarc tan
tt
1
1
1
1
1, 0
2
2
2+
+
>
32. sent
tsen
tsen t
++
+ ( ) >1
2
1
2
1
1
1
11 , 0
33. sent
t
sen
t
sent
t
t
+
+
+
1 1 1
1
1
1
1
1
, 1
34. arc tan s arc sent
tarc t
12
+ aan
s t
sts t
1, 0 y 0
+
> >
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Funciones trigonomtricas del ngulo doble
Estas unciones se obtienen a partir de las identidades de la suma de ngulos, como se muestra a continuacin:
Seno del ngulo doble sen (2a)
Para obtener el sen (2a) se emplea la identidad sen (a + b) donde b = a
Entonces:
sen (a + b) = (sen a)(cos b) + (sen b)(cos a)
sen (2a) = (sen a)(cos a) + (sen a)(cos a)
sen (2a) = 2 (sen a)(cosa)
Coseno del ngulo doble cos (2a)
Para obtener cos (2a) se emplea la identidad cos (a + b) donde b = a
Entonces:
cos (a + b) = (cos a)(cos b) (sen a)(sen b)
cos (2a) = (cos a)(cos a) (sen a)(sen a)
cos (2a) =cos2a sen2a (con el empleo de identidades trigonomtricas bsicas)
cos (2a) = 1 2 sen2a
cos (2a) = 2 cos2a 1
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
10/17
Tangente del ngulo doble tan (2a)Para obtener tan (2a) se emplea la identidad tan (a + b) donde b = a
Entonces:
tan (a + b) =tan tan
tan tan
+ 1
tan (2a) =tan tan
tan tan
+
1
tan (2a) =2
1 2tan
tan
=3o
sEJEMPLOS
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
11/17
Al racionalizar el denominador:
tanv
2
=
1 1
1 1
( ) ( )+( ) ( )
cos cos
cos cos
=
1
1
2
2
( )
cos
cos
=
12
2
( )cossen
=
1 cossen
Por tanto:
tanv
2 =1
1
cos
cos
v
v+=
1 cos
sen
v
v
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
12/17
1. Utiliza las identidades del ngulo mitad para obtener las unciones trigonomtricas de los ngulos
8,
3
8,
5
8y
7
8 .
2. Obtn las unciones trigonomtricas de (2a)y
2
, si se sabe que csc a = 4para
2 .
3. Si se sabe que tan b = 125
, para 32, halla las unciones trigonomtricas de (2b)y
2 .
4. Dada la uncin trigonomtrica cos v =5
8donde
3
22 , encuentra las unciones trigonomtricas de
(2v)y
2
.
5. Obtn las unciones trigonomtricas de(2a)y
2
si se sabe que: sec a =
7
2para
2 .
6. Si sen 2
= 3 56
+ y 2
, determina sen a, cos ay tan a.
7. Si cos2b =
15
17y
3
2, encuentra las unciones trigonomtricas de by
2.
8. Si sen1
4 =
10 50 10 5
20
+, determina las unciones trigonomtricas de asi 0
2
.
9. Si csc 1
4= 6
3 6y 0
2 , halla las unciones trigonomtricas de by
2.
10. Si ctg
2= 3y
3
22 , halla las unciones trigonomtricas dev,2v y4v.
Demuestra las siguientes identidades:
11.2
1 2
2
+=
cossec
12. cos x sen x sen x 2 2 1 4[ ] = ( )2
13. cos 8x+ cos 4x= 2cos 2x 4sen2 3xcos 2x
14. sen x sen x sen x cos x 4 6 2 5+ = ( )
15. ctgsen
cos
1 2
2
4
=
+
16. cos sen cos cos8 81
42 3 4 = +( )
17. 21
4
2
secsen cos
=
+( )+ 2sen
18. cos 12 cos 24 cos 48 cos 96 = 1
16
19.2
22
3 3
cos x sen x cos x
cos x sen x = sen x cos xsen x
+( ) +
EJERCICIO 45
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
13/17
20.1
1
12
2
2
2+=
+
sen
tan
tan
1
2 +
ctg
2
21. 22 2 2 2
cosy
seny
seny
cosy
cos x co
+
= ss x y cos x y+( ) + ( )
22. sen x y sen x sen y cos x y+( ) = +( )2 2
23. 42
2
2 2 2csc cos ctg tan
=
24. 32
2
2
2
cos sen cos sen
+
= + +2 1cos sen
25. 1 34
26 6 2sen x cos x sen x + =
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Identidades trigonomtricas para transformar un producto en suma o resta
De las identidades:sen (x + y) = (sen x) (cos y) + (sen y) (cos x) se realiza la suma con
+ sen (x y) = (sen x) (cos y) (sen y) (cos x)
sen (x + y) + sen (x y) = 2 (sen x)(cos y)
Al despejar,
(sen x) (cos y) =1
2sen x y sen x y+( ) + ( )
De orma semejante se obtiene:
(cos x) (sen y) =1
2sen x y sen x y+( ) ( )
De las identidades:
cos (x + y) = (cos x) (cos y) (sen x) (sen y) se realiza la suma con
+ cos (x y) = (cos x) (cos y) + (sen x) (sen y)
cos (x + y) + cos (x y) = 2 (cos x)(cos y)
Al despejar,
(cos x) (cos y) =1
2cos x y cos x y+( ) + ( )
De la misma manera se obtiene:
(sen x) (sen y) = +( ) ( ) 1
2 cos x y cos x y
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
14/17
Demuestra las siguientes igualdades:
1.1
sec 30 csc120 =
3
4
2.
sen 75 cos 45
sen 225 cos 75 = 2 3
3.cos 35 sen 10 + cos 10 sen 35
cos 20 cos 10 sen 20 sen 10=
6
3
4.tan
6tan
5
12+ tan
12tan
5
12
1 tan
6
tan
12
= 2 + 3
5. sen x cos x + cos 3x sen x =1
2sen 4x
6. cos x+6
sen x6
=1
2sen 2x
3
2
7.
sen2 3
2x cos
2x
2
cos 2 x( )cos23
2x sen
2
2x
= sec x
8. cos x[cos 2x 2sen2x] = cos 3x
9. tan x+3
tan3
x =2 cos 2x+ 1
2 cos 2x 1
10. sen(10 + x) cos (20 x) + cos(80 x)sen(70 + x) = sen(2x 10)
11. sen2
9+x cos
1
18+x sen
5
18x cos
4
9x =
1
2
12.
sen2
x
csc 2x
senx
csc3
2+ 2x
= sen 3x
13. cos 2x + 2[sen x cos y + cos x sen y] sen(x y) = cos 2y
14. sen2
x sen3
2x cos x( ) = cos3x
p p p p
p p
p p
pp
p pp
p p
p p p p
p
p
pp p
EJERCICIO 47
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
15/17
Identidades para transformar sumas o restas de funciones trigonomtricasen un producto
Dados los ngulosxyy, tales que
x+y = a ; xy = b
Al resolver el sistema de ecuaciones paraxyy se obtienen los siguientes resultados:
x= +
2; y =
2
Estos valores angulares se sustituyen en la identidad:
(sen x) (cos y) =1
2sen x y sen x y+( ) + ( )
Y el resultado es:
sen cos +
2 2=
1
2sen sen +[ ]
Ahora, al despejar la suma de los senos, se determina que:
sen a + sen b = 2sena + b a b
2
cos
2
De la misma manera se obtiene:
sen a sen b = 2cosa + b a b
a + b a b
a + b a b
2
sen2
cos a + cos b = 2cos2
cos2
cos a cos b = 2 2
sensen 2
Eecta lo siguiente: sen
2 sen
6
Solucin
Al aplicar la transormacin de dierencia de senos a productos, se obtiene:
sen
2 sen
6= 2 cos
2 6
2
+
sen
2 6
2
; simplifcando
sen
2 sen
6= 2 cos
3
sen
6
sen 2
sen 6
= 21
2
1
2
= 1
2
1
EjemplosEJEMPLOS
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
16/17
Demuestra las siguientes igualdades:
1. cos cos5
12
11
12p p+ =
2
2
2. sen sensen sen
40 2040 20
+
= 33
10ctg
3.sen sen
sen sen
p p
p p6
5
185
18 6
+
=
tan
tan
2
9
18
p
p
4. cos (x ) + cos (x + ) = 2 cos x
5. sen 2x + sen 4x sen 6x = 4sen x sen 2x sen 3x
6. sen x sen 2x + sen 3x sen 4x = 4senx
2cos
5
2
xcos x
7. cos x + cos 2x + cos 3x + cos 4x = 4cos5
2
xcos x cos
x
2
8. tan x =sen x sen x
cos x cos x
5 3
5 3
+
9.1 2
3
2
sen x
sen x sen x=
1
2csc x
10.cos x y cos x y
sen x y sen x y
+( ) ( )+( ) ( )
= tan x
11.1
2 3senx sen x sen x + +
=1
4
3
2 2
cscx
x secx
sec
12.1
4cos a b c cos a b c cos a b c cos a b c+ +( ) + + ( ) + +( ) + (( ) = cos a cos b cos c
EJERCICIO 49
Ecuaciones trigonomtricas
Una ecuacin trigonomtrica es una expresin que tiene como incgnita valores angulares bajo los signos de unciones
trigonomtricas.
Al resolver una ecuacin trigonomtrica se debe encontrar el o los valores que satisacen dicha ecuacin, esto es,
que en una ecuacin trigonomtrica no siempre existe una solucin nica, en ocasiones existen varias, las cuales se
expresan como conjunto solucin.
Este ejercicio no tiene soluciones al final del libro por ser demostraciones
EJERCICIO 50
7/31/2019 Bcap 14 Identidades y Ecuaciones Trigonometricas
17/17
Resuelve las siguientes ecuaciones, tales que 0 x 360.
1. sen x = senp
2
x
16. 2sen x + csc x = 3
2. cos x + 2 sen x = 2 17. sen x ctg x sen x = 0
3. 2 cos p4
x = 1 18. 2cos3x + cos2x 2cos x 1 = 0
4. csc x = sec x 19. 4cos x 2 = 2 tan x ctg x sec x
5. 2 cos x tan x 1 = 0 20. tan5x 9 tan x = 0
6. 4 cos2x = 3 4 cos x 21.1
3 02ctg x
tanx
+ =
7. 3 cos2
x + sen2
x = 3 22. sen x sec x sen x sec x + =2 2
8. 2 sen2x + sen x = 0 23. 2 3 2 3 2 2( ) + ( ) =sen x cos x
9. cos x + 9 sen2x = 1 24. 2 +( ) +( ) =5 1 2 5 2 2cos x sen x
10. csc2x = 2 cot2x 25. sec x(2sen x + 1) 2(2sen x+ 1) = 0
11. sen x tan x + 1 = sen x + tan x 26.3
0tanx
secx
cos x =
12. 2cos2x + 3sen x = 0 27. 2 2 3cos x sen x =
13. sen x cos x = 0 28. 5sen2x + cos2 x = 2
14. 3cos2x sen2x = 0 29.5
5 3 0csc x
cos x =
15. cos x 3 sen x = 0 30. cos2x + cos x = sen2x
EJERCICIO 50
Verifica tus resultados en la seccin de soluciones correspondiente
Top Related