BAB VI
TRANSFORMASI LAPLACE
6.1 Pengantar
Secara umum mentransformasikan sinyal atau sistem dari kawasan waktu ke
kawasan-s.
L (6.1)
Fungsi F(s) adalah transformasi Laplace dari f(t) yang adalah suatu frekuensi s,
s = + jw
Contoh :
1) Hitunglah transformasi Laplace dari fungsi undak satuan u(t)
Jawab :
u(t) =
L [u(t)] =
= 0 +
Jadi L [u(t)] =
2) Hitunglah transformasi Laplace dari f(t) = e-at u(t) a > 0
Jawab :
L [f(t)] =
=
L [f(t)] =
3) Hitunglah transformasi Laplace dari e-t
L [f(t)] =
=
L [f(t)] =
6.2 Invers Transformasi Laplace
Kebalikan transformasi Laplace diberikan oleh :
f(t) = integral lintasan Bronwich, yang
merupakan sebuah garis tegak s = dari –jw
hingga jw dalam bidang s.
atau
f(t) = L-1[F(s)]
Terdapat sifat keintegralan transformasi Laplace, yaitu tidak mungkin ada
dua fungsi berbeda yang mempunyai transformasi Laplace [F(s)] yang sama. Oleh
karena itu, dengan mengetahui transformasi Laplace suatu fungsi tertentu, kebalikan
transformasinya adalah fungsi itu sendiri.
Dengan menggunakan daftar pasangan transformasi Laplace dapatlah dicari
f(t) asalkan bentuk F(s) terdapat dalam daftar tersebut.
6.3 Teorema Dasar Transformasi Laplace
1. Transformasi kombinasi Linear
Jika f1(t) dan f2(t) adalah dua fungsi waktu, a dan b = konstanta, maka :
L[af1(t) + bf2(t)] = aF1(s) + bF2(s) (6.2)
Contoh :
Tentukan transformasi Laplace dari f(t) = 3 e-t – e-2t
Peny :
Transformasi Laplace dari :
L[e-t] = dan L[e-2t] =
Maka menurut teorema 1 :
L[3e-t – e-2t] = 3 L [e-t] – L [e-2t]
=
=
=
L[3e-t – e-2t] =
Hitunglah transformasi Laplace dari cos wt dan sin wt
Peny :
Berdasarkan rumus Euler,
eIjwt = cos wt j sin wt
Dengan menjumlahkan kedua persamaan diatas diperoleh :
cos wt =
Dan dengan mengurangkannya diperoleh :
sin wt =
L[e+jwt] = dan L[e-jwt] =
sehingga :
L[cos wt] = L
=
=
=
L[cos wt] =
L[sin wt] =
=
=
L[sin wt] =
2. Transformasi Turunan
L = s F(s) – f(0+) (6.3)
Persamaan di atas dapat diintegrasikan secara parsial dengan memisalkan :
u = e-st dan dv = df(t)
kemudian disisipkan ke dalam persamaan :
karena
du = -se-st dan v = f(t)
maka transformasi Laplace turunan :
L
= s F(s) – f(0)
dimana f(0) = f(t)
untuk turunan berikutnya :
L
Jadi :
(6.4)
Contoh :
Tentukan transformasi Laplace dari
Peny :
Karena L dan e-t = 1
maka : L = s F(s) – f(0)
= s
=
3. Transformasi Integral
L (6.5)
Contoh :
Tentukan transformasi Laplace dari :
karena L
L
4. Teorema Harga Awal
Harga awal f(0+) dari sebuah fungsi f(t) yang transformasi Laplace F(s) nya
adalah :
f(0+) = t > 0 (6.6)
Contoh :
Tentukan TL dari f(t) = e-3t
L
Harga awal dari e-3t dapat ditentukan oleh Teorema harga awal sebesar
f(0+) = = 1
5. Teorema Harga Akhir
Harga akhir f(~) dari sebuah fungsi f(t) yang transformasi Laplace F(s) nya
adalah :
f(~) = (6.7)
Contoh :
f(~) = = 1
6. Transformasi Laplace dari sebuah fungsi f(t/a) (Penskalaan waktu) adalah :
L [f(t/a)] = aF(as), dimana F(s) = L[f(t)]
L [f(t/a)] =
= L
Jika = x, maka
L[f(t/a)] =
Jadi L[f(t/a)] = a F(as)
L-1 [a F(as)] = f = a L-1 [F(as)]
7. Transformasi Pergeseran Frekwensi
Tinjau transformasi dari fungsi e-at f(t), yaitu :
L [e-at f(t)] =
=
Jadi L [e-at f(t)] = F (s+a)
Dengan F adalah transformasi Laplace dari f. Tampak disini bahwa faktor e-at
menyebabkan terjadi pergeseran frekuensi sebesar a pada kawasan frekuensinya.
Contoh :
Hitunglah transformasi Laplace dari fungsi e-at cos wt dan e-at sin wt
Peny :
L
L
8. Transformasi Pergeseran Waktu (Penundaan Waktu)
Fungsi f(t – T) dimana T > 0 dan f(t – T) = 0 untuk t T, adalah :
L [f(t – T)] = e-sT F(s), dimana F(s) = L [f(t)]
9. Integral Konvolusi
Andaikanlah dua buah fungsi f1(t) dan f2(t) mempunyai transformasi Laplace
F1(s) dan F2(s). Hasil kali F1(s) dan F2(s) adalah transformasi Laplace suatu fungsi
yang diberikan oleh persamaan :
f(t) = L =
dengan sebagai variabel pengganti t. Kedua integral di atas dikenal sebagai
integral konvolusi.
Konvolusi f1(t) dan f2(t) ditunjukkan dengan notasi khusus.
f(t) = f1(t) * f2(t)
Dalam notasi konvolusi tersebut tampak bahwa :
F(s) = L[f1(t) * f2(t)]
F(s) = F1(s) . F2(s)
Jadi transformasi Laplace Invers suatu perkalian f1(s) dengan f2(s) diperoleh
dengan mengkonvolusikan f1(t) dan f2(t) menurut persamaan diatas.
Untuk menurunkan persamaan-persamaan tersebut, tampak bahwa F(s) = F1(s)
F2(s) dapat ditulis sebagai hasil kali integral transformasi Laplace yang meliputi
variabel-variabel x dan y sebagai
F(s) =
Karena masing-masing integral ini konstan maka persamaan di atas dapat disusun
kembali sehingga menjadi :
F(s) =
Selanjutnya diperkenalkan dua variabel baru, t dan yang mempunyak hubungan
dengan x dan y sebagai
t = x + y
= x
Diferensial dydx dan d dt dihubungkan menurut persamaan
dydx =
Contoh :
Tentukan invers transformasi dari hasil kali kedua fungsi dalam kawasan
frekuensi berikut :
F1(s) = dan F2(s) =
Peny:
Invers transformasi Laplace masing-masing fungsi tersebut tentu saja adalah
f1(t) = u(t) dan f2(t) = e-t u(t)
dengan menggunakan integral konvolusi yang diberikan oleh persamaan,
diperoleh :
f(t) = f1(t) * f2(t) =
=
= -e-t – (-e-0)
= -e-t – 1
= 1 - e-t
6.4 Perluasan Pecahan Parsial
Jika :
F(s) = ni = akar-akar yang sama (6.8)
Perluasan pecahan parsial dari fungsi rasional F(s) adalah :
F(s) = bn + (6.9)
Dimana bn = 0 kecuali m = n
Koefisien-koefisien cik diberikan oleh :
cik =
(6.10)
Jika tak ada satupun akar-akar yang berulang, maka :
F(s) = bn + dan ci1 = (6.11)
Contoh :
Selidiki fungsi rasional F(s) =
Sehingga perluasan pecahan parsial :
F(s) = b2 +
Koefisien pembilang dan penyebut (s2) adalah = 1, m = n
Koefisien-koefisien c11 dan c21 adalah :
c11 = (s + 1)
= = 1
c21 = (s + 2)
= = -2
Sehingga :
F(s) = 1 +
6.5 Penerapan Transformasi Laplace Untuk Penyelesaian Persamaan
Diferensial Koefisien Linear
Dua golongan persamaan umum :
, dimana y = keluaran
x = masukan
ai = koefisien
Sehingga :
Syarat awal untuk persamaan di atas :
dimana yok merupakan tetapan-tetapan.
Transformasi Laplace dari persamaan di atas diberikan oleh :
= x(s)
Transformasi Laplace = Y(s) =
Sehingga jawab waktu y(t) dari persamaan tersebut adalah :
y(t ) =
Contoh:
1.
L = s2 Y(s) – syo – y(0+) = s2 Y(s)
L = s Y(s) – y(0) = s Y(s)
L = s X(s) – x(0) = s X(s) – x(0)
L
s2 Y(s) + s Y(s) + Y(s) = s X(s) – x(0)
Y(s) (s2 + 2 + 1) = s X(s) – x(0)
Y(s) =
Contoh :
Untuk jaringan RC dibawah :
+- i
Teg. Masukan x
C=1
+ -
R=1
+
Y = keluaran
-
a. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y
dan tegangan masukan x
b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt
dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan
teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).
Penyelesaian :
a. Dari HTK :
y = R . i = 1 . i = i
x =
x = VC0 +
x = VC0 +
b. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a
sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)
x = 2e-t X(s) = (2e-t)=
dan x(0+)
sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari
persamaan tegangan semula :
X(0+) =
X(0+) = VC0 + y(0+)
Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1
Sehingga :
Kemudian transfer fungsi y(t) adalah
s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)
(s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+)
Y(s) =
=
=
Yib =
C11 = = -2
C12 = = 2
Sehingga :
Y(s) = b +
=
Y(t) = -2
Y(t) = -2te-t + e-t
Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah :
Y(t) = -2te-t + e-t
2. Untuk jaringan RC dalam skema di bawah
a. Carilah watak sistem atau sebuah persamaan diferensial yang
menghubungkan tegangan keluaran y dan tegangan masukan x.
b. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya Vc0 = 1 volt
dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. Dengan menggunakan
teknik transformasi Laplace.
Peny:
a. Dari HTK :
= x
x = VC0 +
x = VC0 +
x = VC0 +
karena y = R. i = i
Dengan mendiferensialkan kedua sisi :
b. Transformasi Laplace dari P.D yang didapatkan dalam a) adalah
sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)
dimana X(s) =L dan x(0+) = = 2
Untuk mencari y(0+), batas-batasnya diambil di kedua sisi dari persamaan
tegangan semula :
+- i
Teg. Masukan x
C=1
+ -
R=1
t
y
y
X(0+) = = VC0 + y(0+)
Sehingga :
Y(0+) = x(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1
Kemudian transfer fungsi y(t) adalah
s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)
(s + 1) Y(s) = s X(s) – X(0+) + y(0+)
Y(s) =
=
=
Gunakan pecahan parsial
Y(s) = b +
= = 0
Jawaban :
4.40. Dengan menggunakan integral konvolusi carilah invers transformasi Laplace
dari :
Peny :
= e-2t u(t), maka
=
4.41. Tentukan teorema harga akhir dari fungsi f(t) yang ditransformasi Laplacenya
adalah :
F(s) =
Dari teorema harga akhir
= =
4.4.3. Carilah perluasan pecahan parsial dari fungsi F(s) =
Peny:
Perluasan pecahan parsial F(s) adalah :
F(s) = b4 +
b4 = 0
C11 = (s + 2)3 . F(s)
= (s + 2)3 .
= = 5
C12 =
=
=
C21 =
=
=
=
= = =
=
C14 =
=
=
Jadi F(s) =
f(t) = st2e-2t – e-2t + e-2t – e-4t
4.46. Dengan menggunakan teknik transformasi Laplace, carilah tanggapan terpaksa
dari persamaan diferensial
, dimana x(t) = e-3t, t > 0
x(t) = e-3t
x(s) =
dan x(0+) = = e-3t = 1
Sehingga :
s2 Y(s) + 4s Y(s) + 4 Y(s) = 3 (sX(s) –1) + 2 X(s)
Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) – 3 + 2 X(s)
Y(s) (s2 + 4s + 4) = 35 X(s) + 2 X(s) – 3
Y(s) =
=
=
Yb =
=
Yb =
Penyelesaiannya menggunakan pecahan parsial :
Yb = b3 +
b3 = 0
C11 = (s+2)2
= = -4
C12 =
=
=
= = 7
C31 =
= = -7
Sehingga :
Yb = 0 –
=
karena :
= e-2t
= te-2t
= e-3t
maka :
y(t) = 7
y(t) = 7e-2t – 4te-2t – 7e-3t
Contoh :
Untuk jaringan RC dibawah :
c. Buatlah persamaan diferensial yang menghubungkan tegangan keluaran y
dan tegangan masukan x
d. Misalkan tegangan awal yang melintasi kapasitor C besarnya VC0 = 1 Volt
dengan polaritas yang terlihat, dan misalkan x = 2e-t. dengan menggunakan
teknik transformasi Laplace, carilah y sebagai fungsi waktu y(t).
Penyelesaian :
c. Dari HTK :
y = R . i = 1 . i = i
x =
x = VC0 +
x = VC0 +
d. Transformasi Laplace dari pers pada bagian a
sY(s) – y(0+) + Y(s) = sX(s) – x(0+)
x = 2e-t X(s) = (2e-t)=
dan x(0+)
+- i
Teg. Masukan x
C=1
+ -
R=1
+
Y = keluaran
-
sehingga untuk mencari y(0+), baas-batasnya diambil di kedua sisi dari
persamaan tegangan semula :
X(0+) =
X(0+) = VC0 + y(0+)
Jadi y(0+) = X(0+) – VC0 = 2 – 1 = 1
Sehingga :
Kemudian transfer fungsi y(t) adalah
s Y(s) – y(0+) + Y(s) = s X(s) – X(0+)
(s + 1) –1 +Y(s) = s X(s) – X(0+)
Y(s) =
=
=
Yib =
C11 = = -2
C12 = = 2
Sehingga :
Y(s) = b +
=
Y(t) = -2
Y(t) = -2te-t + e-t
Jadi persamaan fungsi waktu dari rangkaian diatas adalah :
Y(t) = -2te-t + e-t
Soal :
1. Tentukan y(t) dari persamaan transformasi Laplace di bawah ini :
X(s) =
2.
L = x(t), y(t) =
L = x(t)
L
+-
L=1 R=2
V(t)C=1
it
y
X = 2e-2t
Top Related