Transformasi Laplace 5-8

7/24/2019 Transformasi Laplace 5-8

1/16

Matematika Teknik(JTP-304 / 3 SKS)Teknik Pertambangan

DR. Fachrul Razi !.T

Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 $


2/16

%uku Re&eren'i%uku Re&eren'i

$. K. (. Stru*. !atematika+ntuk Teknik $,, *.4rlangga.

#. . J. Purcell *an D. arberg.Kalkulu' *an emetri (naliti'*.1 rlangga

3. !. June* Jalil. Diktat!atematika Teknik.

Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 #


3/16

Tran'&rma'i 2alaceTran'&rma'i 2alace

Re5ie6Re5ie6

Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4

1. Definisi; J ikaF(t) suatu fungsidaritygtertentuuntukt> 0makatransformasiLaplacedariF(t) disimbolkansebagai

L{F(t)}

L{F(t)} = estF(t)dt= f(s)0

...(1)

parametersberupabil. Riel, danLmerupakanoperatorLaplace.

2. Bila fungsidaritdinyatakandgnhurufbesar, misalF(t), G(t)danH(t), makatransformasiLaplacenyadituliskandalamhurufkecil.

L{F(t)} = f(s), L{G(t)} =g(s), danL{H(t)} =h(s)

3


4/16

Tabel Tran'&rma'iTabel Tran'&rma'i

2alace Fung'i Se*erhana2alace Fung'i Se*erhana

Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 4


5/16

%eberaa Si&at Penting%eberaa Si&at Penting

Tran'&rma'i 2alaceTran'&rma'i 2alace


1. SifatLinier;

J ikaC1 danC2 suatu konstanta, sedangkanF1(t) danF2 (t)

adalah fungsidengantransformasiLaplacenya masing-masing

f1(s) dan f2 (s) maka:

L{C1F1(t) +C2F2 (t)} =L{C1F1(t)} +L{C2F2 (t)}

=C1 L{F1(t)} +C2 L{F2 (t)}

L{C1F1(t) +C2F2 (t)}= C1 f1(s) +C2 f2 (s)

Contoh: L{5sin2t3cosh4t+ 5e3t+ 4t3}

L{5sin2t} L{3cosh4t}+ L{5e3t}+L{4t3}

5L{sin2t}

3L{cosh 4t}+

5L{e

3t

}+

4L{t

3

}

5. 2

s2 + 43.

s

s2 16+ 5.

1

s+3+ 4.

3!

s+310

s2 + 4

3s

s2 16+

5

s+3+

24

s+3

1


6/16


2. SifatTranslasiataupergeseranpertama;

J ikaL{F(t)} = f(s), maka

L{eatF(t)}= f(sa)

Contoh: L{e3t(Sin2t+Cos2t)}?L{Sin2t+Cos2t} =L{Sin2t}+ L{Cos2t}

= 2s2 + 4

+ ss2 + 4

= 2+ ss2 + 4

akaL{e3t(Sin2t+Cos2t)}= 2+ (s3)

(s3)2

+ 4= s1

s

2

6s+13


7/16


3. SifatTranslasiataupergeserankedua;

J ikaL{F(t)} = f(s), danG(t) =F(ta), t> a

0 , t< a

akaL{G(t)} =eas f(s)

Contoh: L{Sin3t} = 3

s

2

+ 9

danG(t) =Sin3(t), t>

0 , t20 , t


8/16


4. Sifat!engubahanSkala;

J ikaL{F(t)} = f(s),

akaL{F(at)}= 1af( sa

)

Contoh: L{Cost} = ss2 +1

, makaL{Cos2t}= 12

s

2

s

2

2

+1

=14

. s

s2

4 +1

= ss2 + 4

Contoh: L{et} = 1s1

, makaL{e3t} = 13

.1

s

31

= 13 s3( )

3

= 1s3

akaL{G(t)} = e2s.2s5

= 2e2s

s5

9


9/16


5. SifatTransformasi Laplacedariturunan;

J ikaL{F(t)} = f(s),

akaL{F (t)}=s. f(s)F(0) ...(Turunankesatu)

L{F"(t)}=s2. f(s) s.F(0) F (0) ...(Turunankedua)

L{F"(t)}=s3. f(s) s2.F(0) s.F (0) F"(0) ...(Turunanketiga) : :

L{Fn(t)}=sn. f(s) sn1.F(0) sn2.F (0) . . . s.F(n2) (0) F(n1) (0) ...(Turunanken)

BilaF(t),F (t), . . . , F(n1) (t) kontinuuntuk 0 t" # #ksponensialberordeuntukt>"

Contoh:HitungL{F

(t)}, $ikaF(t) =cos2tF(0) =1makaL{F(t)}= f(s)

L{cos2t}= ss2 + 4

akaL{F (t)}=s. f(s)F(0) =s. s

s2

+ 41= 4

s2

+ 4Selidiki!F(t) =cos 2t, makaF (t) =2sin2t

makaL{F (t)}= L{2sin2t} = 2L{sin2t} =2. 2s2 + 4

= 4s2 + 4

,


10/16


Contoh 2 : J ikaF(t) =e2t(sin3t+ cos3t), tentukanL{F"(t)}

akaL{F"(t)}= s2. f(s) s.F(0) F (0)

L{sin3t+ cos3t} =3

s2 + 9+

s

s2 +9=

3+ s

s2 + 9

akaL{e2t(sin3t+ cos3t)} = 3+ (s2)

(s2)2 + 9, sifat(2).

akaL{e2t(sin3t+ cos3t)} =1+ s

s2 4s+13

J ikaF(t) =e2t

(sin3t+ cos3t), makaF(0) = e0

(sin0+ cos0) =1danF (t) = 2e2t(sin3t+ cos3t)+ (3cos3t3sin3t)e2t

makaF (0) = 2e0 (0 +1)+ (3.13.0)e0 =5

akaL{F"(t)}= s2. f(s) s.F(0) F (0)

= s2. 1+ ss2 4s+13

s.(1)5 = s2

+ s3

s2 4s+13s(s

2

4s+13)s2 4s+13

5(s2

4s+13)s2 4s+13

akaL{F (t)}=s2 + s3 s3 + 4s2 13s5s2 +20s 65

s2 4s+13=

s65

s2 4s+13$%&i'iki! '%ngan caa tnan &angsng! 'im&ai 'ai *ais 2 'i atas!

$0


11/16


Sifat 6 : $i+at tans+omasi a-&ac% 'ai int%ga&;

J ikaL{F(t)}= f(s), maka

L{ F(u)du} =1

s0

t

f(s).

Contoh: L{cos3t} = ss2 + 9

,

akaL{ cos 3udu} =1s0

t

. ss2 + 9 = 1s2 + 9selidiki : cos3udu=1

30

t

sin3u0

t

=1

3(sin3t sin0) =1

3sin3t

akaL{ cos 3udu} =130

t

L{sin3t} =13

. 3

s2 + 9= 1s2 + 9

$$


12/16


Sifat : $i+at %ka&ian '%ngan tn;

J ikaL{F(t)}= f(s), maka

L{tnF(t)}= (1)ndn

dsnf(s) =(1)n fn(s).

Contoh:Tentukanlah

a. L{(t2 3t+ 2)sin3t}

J a%ab: L{sin3t} =3

s2 + 9, maka

makaL{(t2 3t+ 2)sin3t} =L{t2 sin3t}3L{tsin3t}+ 2L{sin3t}

=(1)2 f"(s)3(1) f (s)+ 2. 3

s2 + 9 ...(a)

f(s)= 3

s2 + 9,atau f(s)= 3(s2 + 9)1, f (s) =3.2s(s2 + 9)2 =

6s

(s2 + 9)2

f"(s)= 6(s2 + 9)2 2(s2 + 9)2s.6s

(s2 + 9)4

=

1/s2 54

(s2 + 9)3

subsitusinilai f (s) dan f"(s) kepers(a)

$#


13/16


Contoh:Tentukanlah

a. L{(t2 3t+ 2)sin3t}

=(

1)

2

f"(s)

3(

1)

f

(s)+

2.

3

s2 + 9 ...(a)

f(s) = 3

s2 + 9,atau f(s)= 3(s2 + 9)1, f (s) =3.2s(s2 + 9)2 =

6s

(s2 + 9)2

f"(s) = 6(s2 + 9)2 2(s2 + 9)2s.6s

(s2 + 9)4

=1/s2 54

(s2 + 9)3

subsitusinilai f (s) dan f"(s) kepers(a)

=(1)2 f"(s)3(1) f (s)+ 2. 3

s2 + 9 ...(a)

= 1/s2 54

(s2 + 9)3 1/s

(s2 + 9)2+ 6s2 + 9

= 6s41/s

3+126s

2126s+ 432

(s2 + 9)3

$3


14/16


Sifat/. Sifatpembagianoleht.

J ikaL{F(t)}= f(s), makaL F(t)t

= f(u)du

s

asalkanLimt0F(t)

t ada

Contoh; L{sin t} = 1s2 +1

dan &imt0

sint

t=1, maka

L{sint

t}= du

u2 +1s

= arctgus =arctgarctgs= arctg1s

arctg=90, sehinggatg90=Bukti : isalkan&=arctgarctgs & = 90arctgs, atauarctgs= 90& tg(90&) =s

ctg&=s

1

tg&=s, atautg&=1

s

maka&=arctg1s

$4


15/16

Sal latihanSal latihan


TentukanlahtransformasiLaplaceberikut!

1. a. L{t2e3t}, b. L{e2tsin4t}

2. a. L{tsinat} b. L{t2 cosat}

3. a. L{5t3} b. L{6sin2t 5cos2t} c. L{(t2 +1)2 }

4. a. L{etsin2 t} b. L{(1 +tet)3

5. L{t2 cost}

$1


16/16

Dr. Fachrul Razi !.T !atematikaTeknik/JTP-304/3 SKS /"ct #0$4 $

Transformasi Laplace 5-8

Documents

Transcript of Transformasi Laplace 5-8