Bab 3 Transformasi Laplace

8/16/2019 Bab 3 Transformasi Laplace

http://slidepdf.com/reader/full/bab-3-transformasi-laplace 1/14

BAB 3

TRANSFORMASI LAPLACE

3.1 Metoda Transformasi Laplae

Metoda transformasi Laplace merupakan metode operasional dalam bentuk

fungsi aljabar kompleks. Suatu fungsi kompleks F(s) adalah fungsi s yang memilikidua komponen yaitu bagian nyata dan bagian khayal (imajiner). Fungsi kompleks

dituliskan : F(s) = F ! jFy dengan F fungsi bagian nyata dan jFy fungsi bagian

khayal. Sedangkan s adalan bilangan kompleks yang terdiri atas bagian nyata dan

bagian imajiner: " dengan σ adalah bagian nyata dan jω adalah bagian imajiner.

#ransformasi Laplace diperoleh dari perubahan fungsi $aktu F(t) ke bentuk

fungsi kompleks F(s) dengan memakai rumus :

( )( ) ( ) ( )∫ ∞

−==%

st et f s F t F L

&engan :

L = Simbol operasi Laplace

s = 'ariabel kompleks

f(t) = Fungsi $aktu

F(s) = Fungsi kompleks (transformasi laplace f(t))

contoh soal 3.1

&iketahui sebuah fungsi step sebagai berikut :( ) { %(%

%(

<

>=

t

t At f

#entukanlah fungsi transformasi laplace :

a$ab :

( )( )

s

A

e s

Ae

s

A

e s

A

dt e At F L

st

st

=

−−

−=

−=

=

−∞

∞−

∞−

∫

%

%

%

S

A F S =)(

contoh soal 3.2

&iketahui sebuah fungsi ramp sebagai berikut :



( ) %%

%

<≥= t

t At t f

#entukanlah fungsi transformasi laplace :

a$ab :

( )( ) ∫ ∞

−=%

dt et At f L st

*ntegral berbentuk :

∫ ∫ −= duvuvvd u

Missal :

dt e s

vdt edv

Adt du At u

st st −− −==

==+

( )( )

,

%

%

%

%

s

A

dt e s

A

dt s

e A

s

e At dt et At f L

st

st st st

=

=

−−

−==

∫

∫ ∫ ∞

−

∞ −∞

−∞−

,

)( s

A s F =

-eberapa hasil transformasi Laplace diberikan dalam tabel diba$ah ini yang berguna

untuk mempermudah persoalanpersoalan dalam memecahkan persamaan differensial

Tabe 3.l Transformasi Laplace

/o f(t) F!s"

+ ( )t δ +

, + s

+



0 t ,

+

s

1)+(

+

−

−

n

t n

n s

+

2 nt +

3+n s

n

4 at e

−

a s ++

5 at n et

n

−−

−+

)3+(

+na s )(

+

+

6 at te −,)(

+

a s +

7 Sin $t ,, w s

w

+

+% 8os $t ,, w s s+

++ at net −+)(

3++ na s

n

+, wt e at

sin−

,,)( wa s

w

++

+0 wt e at cos−

,,)( wa s

a s

+++

+1 ( )at e

a

−−++

)(

+

a s s +

#ransformasi laplace memiliki sifat sifat seperti terlihat diba$ah ini :

+. 9 ( )[ ] ( ) s F At f A =

,. 9 ( ) ( ) ( ) ( ) s F s F t f t f ,+,+ +=±

0. 9 ( ) ( ) ( )±−=

± % f s F st f dt

d

1. 9 ( ) ( ) ( ) ( )±−±−=

±

%%+

,

,

,

f sf s F st f dt

d

2. 9 ( ) ( )( )

( )±−=

−

−

−± ∑ %

+

+

k n

k

k nn

n

n

f s s F st f dt

d

4. 9 ( )[ ] ( ) ( )

s

dt t f

s

s F dt t f

t ±=±

∫ ∫ += %

5. 9 ( )[ ] ( )( )( )[ ] ±=

=+−± ∫ ∫ ∑∫ ∫ += %

++

+t

k n

k k nn

n dt t f s s

s F dt t f



6. 9 ( ) ( )

s

s F dt t f

t

=

∫ %

7. ( ) ( ) ( ) ( )∫ ∫ ∞ ∞

→=

% %%

lim adat d t f jika s F dt t f s

+%. 9 ( )[ ] ( )a s F t f e at +=−

++. 9 ( ) ( )[ ] ( ) %≥=−− −α α α

α s F et ut f s

+,. 9 ( )[ ] ( ) s F ds

d t f t

,

,, =

+0. 9 ( )[ ] ( ) ( ) s F ds

d t f t

n

nnn +−=

+1. 9 ( )[ ] ( ) s F ds

d

t f t −=

+2. 9 ( ) ( ) ( ) sd s F t f t ∫

∞

=

%

+

+4. 9 ( )as F aa

t f =

3.# Transformasi Laplae Bali$ !In%ers Laplae transform)

#ransformasi laplace balik adalah transformasi yang mengubah fungsi kompleksF(s) menjadi fungsi $aktu F(t). adi merupakan kebalikan dari transformasi laplace.

umus transformasi laplace balik adalah :

( )[ ] ( )t f s F L =−+

( ) ( ) ( )∫ ∞+

∞−

>= jc

jc

st t dse s F

jt f %

,

+

π

c = dipilih ; dari semua bagian real titik singular. <enyelesaian melalui cara ini sangat

sulit untuk dikerjakan untuk itu dipakai tabel #ransformasi Laplace

3.3 Metoda &raian pea'an parsial &nt&$ menari transformasi laplae (ali$

pabila F(s) adalah transformasi laplace dari f(t)" yang dapat diuraikan atas

komponenkomponennya yaitu :

F(s) = F+(s) ! F,(s) !F0(s) !>>>>.!Fn(s)

Maka transformasi laplace balik adalah :

[ ] [ ]

)()()()(

)()()()()(

0,+

0,+

++

t F t F t F t F

s F s F s F s F L s F L

n

n

++++=++++= −−

&alam system kendali fungsi F(s) memiliki bentuk :



)(

)()(

s A

s s F =

&engan (s) dan -(s) adalah polynomial dalam s"dan derajat -(s) lebih rendah dari

(s).

( ) ( )

( )

( )( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )nm

p s p s p s

! s ! s ! sk

s A

s s F

n

m <+++

+++==

,+

,+

&engan p+" p,">>"pn dan ?+" ?,">>."?n adalah bilangan nyata atau kompleks

-erdasarkan bentuk persamaan polynomial diatas" maka agar dapat menyelesaikan

secara mudah persamaan tersebut dengan transformasi laplace balik" perlu terlebih

dahulu bentuk kasus uraianuraian pecahan parsial

3.3.1 )raian pea'an parsial *i$a F!s" 'an+a memili$i $&t&(,$&t&( (er(eda

pabila suatu persamaan polynomial memiliki kutubkutub berbeda maka F(s)dapat diuraikan menjadi suatu penjumlahan pecahan parsial sederhana.

( ) ( )

( ) n

n

k

k

p s

a

p s

a

p s

a

p s

a

s A

s s F

+++

+++

++

+==

,

,

+

+

dengan k a adalah konstanta. Sekarang kita selesaikan persamaan polynomial

menggunakan transformasi laplace balik. @arga konstanta ak dapat dicari dengan cara

mengalikan F(s) dengan (s !pk ) dan memasukkan harga s = pk sebegai berikut :

( )( )

( )

( ) ( ) ( )

( ) pk S

k

n

n

k

k

k k k

p sk k

p s p s

a

p s p s

a p s

p s

a p s

p s

a

p s s A

s a

k

−=

−=

+

++

++

++++

+++

+=

+=

.........

......................,

,

+

+

ika nilai s = pk dimasukkan dalam persamaan tersebut diatas" maka semua suku

suku uraian dari persamaan diatas menjadi nol kecuali ak" dengan demikian :

( )

( )

( )k p s

k k s A

s p sa

−=

+=

Sehingga diperoleh inAers lapplace dari ak diatas adalah :

t p

k

k

k k ea p s

a L −− =

+

+

-erdasarkan tabel diperoleh :



( ) ( )[ ] ( )%....,+

,+

+ ≥+++== −−− t eaeaea s F Lt f t p

n

t pt p n

contoh Soal 3. 3

( )( ) ( ),+

1++ +=

s s s s F

carilah f "t# = >>B

a$ab :

( )( ) ( ) ,+,+

1 ,+

++

+=

+++

= s

a

s

a

s s

s s F

dengan rumusan k a didapat

( ) ( ) ( )

( ) ( ) ( ) ,

+

1+

,+

1

0,

1+

,+

1

,,

,

++

+

−=

++=

+

+++=

=

++=

+

+++=

−=−=

−=−=

s s

s s

s

s s

s s

sa

s

s s

s s

sa

jadi

( ) ( )[ ]

( )

( ) ( )t uee

t ee

s L

s L

s F Lt f

t t

t t

,

,

++

+

,0

%,0

,

,

+

0

−−

−−

−−

−

−=

≥−=

+−

+

+=

=

3.3.# )raian pea'an parsial *i$a F!s" 'an+a memili$i $&t&( (er&lan-

pabila suatu persamaan polynomial memiliki kutubkutub berulang maka F(s)

dapat diuraikan menjadi :

( ) ( )

( )

n

n

r

r

r

r

r

r

r

r

r

r

$ s

a

$ s

a

p s

a $ s

b

$ s

b

$ s

b

$ s

b

s A

s s F

+++

++

+

+

+

++

+

+

+

+

+

==

+

+

+

+

−−

−−

.....................

..........

)()()(

,

,

+

+

+

+

,

+

,

+

+

+

+!

&engan

+

)()(

)(+

$ s

r

r p s s A

s b

−=

+=

+

+

)()(

)(

+ $ s

r $ s s A

s

ds

d b

r

−=

+=−



+

)()(

)(

3

++

$ s

r

j

j

jr $ s s A

s

ds

d

jb

−=

−

+=

+

)()(

)(

)3+(

+++

+

+

$ s

r

r

r

$ s s A

s

ds

d

r b

−=−

−

+

−=

%ontoh Soal 3.&

#entukanlah transformasi laplace dari : ( )( ) 0

,

+

0,

+++

= s

s s s F

a$ab :Ckspansi pecahan parsial menghasilkan

( ) ( )

( ) ( ) ( ) ( )+++

+

,

,

0

0

++

++

+==

s

b

s

b

s

b

s A

s s F

( )

( ) ( )

( )( )

,D0,E

++

0,+

+

,

+

0

0

,

+

0

0

=++=

+

+++

=

+=

−=

−=−=

s

S S

s s

s s

s s s

s A

s b

( ) ( )

[ ] [ ] %,,0,

++

0,)+()()(

++

,

+

00

,

+

0,

=+=++=

++ ++=

+=

=−=

−=−=

s s

S s

s s sds

d

s s

s sdsd s

s A s

dsd b

( ) ( ) ( )

+),(,

+D0,E

3,

+

++

0,

3,

+)+(

)(

)(

3+0

+

+

,

,

,

+

0

0

,

,

,

+

0

,

,

+

==++=

+

+++

=

+

−=

−=

−=−=

s

s s

s sds

d

s s

s s

ds

d s

s A

s

ds

d b

)+(

+)+(

,)( 0 +++= s s s F

[ ]

( ) %+

+

+

)+(

,)()(

,

,

+

0

++

≥+=

+=

++

+

==

−

−−

−−−

t untuk et

eet

s L

s L s F Lt f

t

t t

3.3.3 )raian pea'an parsial *i$a F!s" 'an+a memili$i $on+&-asi $omple$s

pabila suatu persamaan polynomial memiliki kutubkutub konyugasi kompleks

maka F(s) dapat diuraikan menjadi :



n

n

p s

a

p s

a

p s p s

s

s A

s s F

+++

++

++

+==

0

0

,+

,+

))((

)(

)(

)()(

α α

&engan

( )+

,+,+ ))(()(

)()( +

p s

p s pS p s s A

s s

−=−=

++=+α α

%ontoh soal 3.'

#entukanlan transformasi laplace balik untuk fungsi diba$ah ini :

)+(

+)(

, +++

= s s s

s s F

a$ab :

)644"%2"%)(644"%2"%(

+

)+(

+)(

,

j s j s s

s

s s s

s s F

−+++

+=

++

+=

s

a

j s j s

s+

−++++

=)644"%2"%)(644"%2"%(

,+ α α

644"%2"%644"%2"%,+

+)( j s jS

s

s s −−=−−=

+=+α α

,+ )644"%2"%(644"%2"%

644"%2"%α α +−−=

−−−

j j

j

)644"%2"%()52"%644"%,2"%(644"%2"% ,+ j j j −−+−+=− α α

&engan menyamakan masingmasing bagian nyata dan khayal kedua persamaan

diatas diperoleh :

644"%644"%644"%

2"%2"%2"%

,+

,+

−=−=−−α α

α α

tau

+

+

,+

,+

−=−=−−

α α

α α

ika diselesaikan akan didapat :

%+ ,+ =−= α α dan

ntuk harga a diperoleh sebagai berikut

++(

+(%,

=

++

+= = s

s s s

s sa

&engan demikian :



)644"%2"%)(644"%2"%(

+)(

)+(

+)(

,

j s j s

s

s s F

s s

s

s s F

++−+−=

++−+=

,,,, 644"%)2"%(644"%256"%

644"%)2"%(2"%+)(

++−

+++−=

s s s

s s F

#ransformasi laplace balik menghasilkan :

t et et f t t 644"%sin256"%644"%cos+)( 2"%2"% −− −−=

Soal soal Lati'an

#entukan transformasi laplaca balik :

)+(

+)(.+ += s s s F

)+)(,(

+)(.,

+++= s s

s s F

)+)(64(

1)(.0

, ++++

= s s s

s s F

,),()(.1

+=

s

s s F

3./ Pen+elesaian Persamaan 0ifferensial Mema$ai Transformasi laplae

#ransformasi laplaiace sangat bermanfaat untuk dipakai dalam penyelesaian

persamaan diffrensial yang rumit. Melalui transformasi Laplace sebuah persamaan

differensial dapat diselesaikan dengan cara setiap sukusuku persamaan differensial

diubah ke transformasi laplace dan diuraikan persamaan laplace yang terbentuk

dengan uraian pecahan parsial" untuk selanjutnya masingmasing suku dicari

transformasi laplace balik berdasarkan tabel transformasi laplace. -erikut ini

diberikan contoh penyelesaian persamaan differensial orde dua melalui transformasi

Laplace.

k(dt

d(b

dt

(d mt f ++=

,

,

)(

#entukan penyelesaian persamaan differensial dengan transformasi laplace apabila :

a.Syarat semua kondisi a$al adalan nol

b. Syarat semua kondisi a$al tidak nol

a$ab :



-entuk penulisan persamaan differensial diatas dapat dituliskan lebih

sederhana sebagai berikut :

k( (b (mt f ++= )(

Sekarang dicari transformasi laplace setiap suku persamaan tersebut.

[ ]

[ ] [ ][ ] [ ]

[ ] )(

)%()(

)%()%()(

)()((

,

sk(k( L

( s s(b ( L

( s( s ( sm (m L

s F t f L

=−=

−−=

=

a. pabila semua syarat kondisi a$al adalah nol maka :

%)%()%( == ( (

adi persamaan diatas adalah :

)()()( , s (k bsms s F ++=

)(

)()(

, k bsms

s F s (

++=

++

= −

)(

)()(

,

+

k bsms

s F Lt (

Misalkan : F(t) =+ m = +" b=0" dan k = , " maka :

),()+(),)(+(

+

),0(

+

),0(

G+

)(

)()(

0,+

,,,

++

++=

++=

++=

++=

++=

s

a

s

a

s

a

s s s

s s s s s

s

k bsms

s F s (

2"%),)(+(

+

%

+ =

++

== s s s

a

+),(

+

+

, −=

+

=−= s

s sa

2"%)+(

+

,

0 =

+

=−= s

s sa

),(

2"%

)+(

+2"%)(

++

+−+=

s s s s (

t t

t t

ee

eet (−−

−−

−+=

+−=

)+(2"%

2"%2"%)(,

,

b. ika semua syarat kondisi a$al tidak nol

<ersamaan laplacenya adalah :

[ ]

[ ] [ ] )%()%(()(

)()%()()%()%()()(

,

,

(m (bms s (k bsms

sk( ( s s(b ( s( s (ms s F

−+−++=

+−+−−=



)(

)%(

)(

)%()(

)(

)()(

,,, k bsms

(m

k bsms

(bms

k bsms

s F s (

+++

++

++

++=

++++

+

++

= −−

)(

)%()%()(

)(

)()(

,

+

,

+

k bsms

(m (bms L

k bsms

s F Lt (

Misalkan : F(t) = + m = +" b=0" dan k = ,

Syarat kondisi a$al : +)%(+)%( −== (dan (

Maka :

)+(

+

)+)(,(

+

),0(

,

),0(

+

),0(

+

),0(

0

),0(

G+)(

,,

,,,

++

++=

++++

++=

++−

+++

++

++=

s s s s

s s

s

s s s

s s s s

s

s s

s s (

)+(2"%

)+(2"%

)+(

+

)+)(,(

+)(

,

,

++

t

t t t

e

eee

s L

s s s Lt (

−

−−−

−−

−=

+−−=

+

+

++

=

%ontoh 3.) *

&iketahui persamaan system sebagai berikut :

(dt

d(t ,)( +=δ

ika kondisi a$al (%) = , " tentukanlah solusi persamaan differensial tersebut.

a$ab :

,)()%()(

+)(

−=−=

=

s s( ( s s(dt

d( L

L t δ

[ ] )(,, s ( ( L =

[ ] +)(,,)()()( =+−== s ( s s( s F t f L

0)(),( =+ s ( s

,

0)( +

= s

( s

[ ] t e s ( Lt ( ,+ 0)()( −− ==

%ontoh soal 3.+ *



Sebuah system orde 0 dinyatakan dalam bentuk persamaan diba$ah ini

%4++4 =+++ , , , ,

#entukanlah solusi persamaan differensial diatas jika kondisi a$al adalah :

y(%) = % " yH(%) = + dan yI(%) = %

a$ab :

[ ] ))%()%()%(()( ,0 , , s , s s , s , L ++−=

[ ] ))%()%(()((44 , , s, s , s , L +−=

[ ] ))%()((++++ , s s, , L −=

[ ] )(44 s , , L =

[ ]

)4()()4++4(%

)%()%()4()%()++4()()4++4()(

,0

,,0

+−+++=

−+−++−+++=

s s , s s s

, , s , s s s , s s st f L

)0(),()+()0)(,)(+(

4

)42)(+(

4

)4++4(

4)(

0,+

,,0

++

++

+=

++++

=

++++

=+++

+=

s

a

s

a

s

a

s s s

s

s s s

s

s s s

s s ,

2",,

2+

)0)(,(

4+ ==−=

+++

= s s s

sa

1+

1,

)0)(+(

4

,

−=−

=−=++

+= s s s

sa

2"+,

00

),)(+(

40 ==−=

+++

= s s s

sa

0

2"+

,

1

+

2",)(

++

+−

+=

s s s s ,

t t t eeet , 0, 2"+12",)( −−− +−=

%ontoh soal 3.-

Sebuah rangkaian seri L memiliki tahanan +% %hm dan reaktans induktif %", @. <ada

saat t = %" saklar S ditutup. #entukan arus yang mengalir pada rangkaian sesaat setelah

saklar ditutup" anggap kondisi a$al arus pada rangkaian adalah nol. #egangan sumber

adalah ' = 2%e+%%t 'olt



a$ab :

<ada t = %" kondisi saklar ditutup" persamaan menjadi :

dt

diie

dt

di Li./

t ,"%+%2% +%% +=

+=

−

[ ]+%%

2%2% +%%

+=−

se L t

)(+%D+%E sii L =

( ) )(,"%)%()(,"%,"% si si si sdt

di L =−=

)(),"%+%()(,"%)(+%+%%

2% si s si s si

s+=+=

+

)2%)(+%%(

,2%

)+%,"%)(+%%(

2%)(

++=

++=

s s s s si

22%

,2%+%%+ −=

+= −= s s

a

2+%%

,2%2%, =

+= −= s s

a

2%

2

+%%

2)(

++

+−

= s s

si

)(2

22)(

+%%2%

2%+%%

t t

t t

ee

eet i

−−

−−

−=

+−=

Soal soal lati'an

. #entukanlah penyelesaian persamaan differensial diba$ah ini :

+. ,01,

,

=++ (dt

d(

dt

(d

Jondisi a$al : (%) = % dan H(%) = %

,. %+,5,

,

=++ ,dt d,

dt ,d



Jondisi a$al : y(%) = + dan yH(%) = +

0. t e ,dt

d,

dt

,d 1

,

,

,74 −=++

Jondisi a$al : y(%) = + dan yH(%) = ,

Bab 3 Transformasi Laplace

Documents

Transcript of Bab 3 Transformasi Laplace