8/18/2019 Articulo Dimension Fractal
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Medición de una dimensión fractal
Marcely López Castellanos
Yeradin Zapata Taborda
Universidad de Antioquia, Medellín, Antioquia,
Colombia
!"#$
Resumen.
En el siguiente artículo se describe cómo medir la dimensión fractal y la lagunaridad de
una esfera de papel comprimida manualmente, a partir de la toma de datos como la
masa y el diámetro, asimismo se da a conocer los conceptos aplicados para el análisis de
la dimensión fractal (Dimensión fractal de una esfera, ecuaciones para figuras esféricas
homogéneas). El resultado obtenido esta dentro del rango de error experimental, con
d!."#.
$dicionalmente se relaciona la cantidad de masa con la capacidad de absorción del
papel, comparando dos tipos de papel% papel periódico y papel bond.
Abstract.
&he follo'ing article describes ho' to measure the fractal dimension and lacunarity of a
sphere of compressed paper manually, from data collection as the mass and diameter
also disclosed the concepts used for the analysis of the dimension fractal (fractal
dimension of a sphere, homogeneous euations for spherical shapes). &he result is
'ithin the range of experimental error, 'ith d !."#.
$dditionally the amount of mass is related to the absorbency of paper, by comparing
t'o types of paper% ne'sprint and bond paper.
1. Introducción
n fractal es un ob*eto geométrico en el
ue se repite el mismo patrón a
diferentes escalas y con diferente
orientación +-. na propiedad de los
fractales es ue, al aumentar su tamao,
disminuye su densidad. / ya ue la
longitud no es un concepto significati0o
para los fractales, los matemáticos
calculan para ellos la dimensión fractal.
1a dimensión fractal (d ) es un n2mero
ue dice cuan densamente tal ob*eto
ocupa el espacio métrico en el cual él
está situado. $l tratarse de una esfera,
su dimensión fractal debe estar entredos y tres, porue no se encuentra en
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dos dimensiones y no ocupa
completamente el espacio. En la
mayoría de los casos d, no es un n2mero
entero. +!-
El ob*eti0o de esta práctica es entonces,calcular la dimensión fractal de una
esfera de papel a partir de siete bolas de
papel comprimidas manualmente. 3e
anali4ará los resultados ue arro*an las
fórmulas y mediciones ue in0olucra el
experimento teniendo en cuenta los
errores y se contrastará con los
resultados de dimensión fractal de una
esfera, teóricamente conocidos, para 0er la efecti0idad del método usado.
2. Marco teórico
5omo ya se mencionó en la
introducción, la dimensión fractal de un
ob*eto, es el 0alor ue indica el 0alor
ue ocupa determinado ob*eto, con la
intención de dar mayor claridad a dicho
concepto, se profundi4ará un poco más
en el tema.
Dimensión Fractal
1a geometría euclidiana, no tiene las
herramientas necesarias para conocer la
dimensión de un fractal, debido a ue
tiene componentes a una escala tan
peuea ue no pueden ser medidos con
precisión, es por esto ue se recurre a la
dimensión fractal, ue permite conocer
ue porción del plano o espacio ocupa
el fractal ue se uiere estudiar. +"-
6ara el cálculo de la dimensión fractal
se tiene la ecuación ()
D=km1
d
Donde % diámetro, d dimensiónfractal y & 5onstante de
proporcionalidad entre diámetro y masa
(7d), ue llamaremos lagunaridad. +!-
$ tra0és de la ecuación () y usando
algunas herramientas matemáticas, se
obtienen las ecuaciones (!) y (")
m
log ( D)=log (k )+ 1
d log ¿ ) (2)
dlog ( D )=dlog (k )+log (m ) (3)
3. Materiales
6apel periódico.
6apel bond.
• 6ie de rey.
• 8alan4a digital.
• 5ronometro.
• 5ubeta con agua.
4. Procedimiento y Resultados
4.1.laboración de las es!eras de
"a"el
3e toma la ho*a de papel periódico y se
di0ide como lo muestra la figura. 3e
recortan los peda4os y se comprimen
cada uno de ellos manualmente,
formando así siete esferas de papel,
como se obser0a en la figura!.
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4.2. Datos
tomados en laboratorio
6ara hallar la dimensión
fractal de una 9bola: de
papel, se midieron los diámetros de
cada una de las esferas en tres
direcciones diferentes (con ayuda de un pie de rey) y luego se calculó el
promedio de estas medidas. $demás las
esferas fueron pesadas con una balan4a
digital. 1os datos obtenidos se muestran
a continuación.
PromedioDiámetro (mm)
Masa(gramos)
51,75±0,
05
8,67±0,0
1
35,30±0,
05
4,36±0,0
1
28,2±0,0
5 2,2±0,01
20,98±0,
05
1,08±0,0
1
15,37±0,
05
0,55±0,0
1
11,12±0,
05
0,26±0,0
18,70±0,0
5
0,14±0,0
1
Tabla"$ %atos tomados en laboratorio$ Los
anteriores datos tienen errores asociados al pie
de rey y a la balanza di'ital$
;aciendo uso de la herramienta Excel
se obtu0o la gráfica de >?. &eniendo el
intercepto, se contin2a con el siguiente
procedimiento%
log (k )=1.30 k =101.30
@inalmente se obtiene &*"+$+$
4.2.1. An#lisis de absorción del "a"el
1a segunda parte del laboratorio se
relaciono la masa del papel con la
capacidad de absorción y se compararon
dos tipos de papel.
6ara calcular el peso de las esferas
mo*adas, se sumergieron en agua y
antes de pesarlas se tomó un inter0alo
de tiempo de dos segundos, entre dosgotas de agua, esto se hi4o con el
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propósito de mantener un mismo
parámetro de tiempo para cada esfera y
así tener un rango de precisión en la
recolección de los datos.
$ continuación se muestran los pesos delas esferas de papel bond y las esferas
de papel periódico seco y mo*ado.
=rgani4ados en las tablas ! y ".
1uego se procede a graficar los datos de
las tablas ! y ".
(ra)ica .
(ra)ica $
$ partir de los datos mostrados en las
graficas anteriores. 3e procede a
comparar la capacidad de absorciónentre cada tipo de papel.
5on la información tomada en
laboratorio y los resultados obtenidos,
se puede afirmar ue el papel periódico
absorbe mayor cantidad de agua ue el
papel bond y ue a mayor densidad y
masa, mayor absorción.
$. %onclusiones
• De acuerdo al resultado para laconstante A, podemos inferir
ue entre más grande sea su
diámetro, mayor 0a a ser su
masa y entre más grande sea este
n2mero más dependientes 0an a
ser una de la otra, es decir si una
crece la otra también,
aproximadamente a proporción
del resultado obtenido.
• 1a 0ariación del peso en las
bolas de papel periódico es más
ele0ada o significati0a para las
bolas más peueas en su
mayoría, esto indica ue entre
más peuea sea la bola de
papel, más agua 0a a absorber,
es decir, 0a a de*ar escapar
menos cantidad de agua de su
interior. En otras palabras tienen
mayor capacidad de absorciónlas bolas más peueas.
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6or otro lado para las bolas de
papel bond con relación a los
resultados obtenidos podemos
concluir, ue estas no dependen
del tamao, ya ue su masa
0aría casi igual en las bolasgrandes y en las peueas.
• 6ara la absorción de los
diferentes tipos de papel, en este
caso papel periódico y papel
bond, se obser0a con claridad
ue el papel periódico cuenta
con una mayor capacidad para
absorber el agua, ya ue su masa
0aria de una manera más
considerable ue la del papel bond, teniendo en cuenta ue
cuando las bolas de papel
periódico y bond están secas, la
masa de las de bond es mayor,
mientras ue después de
remo*adas el resultado se
in0ierte, y la masa de las bolas
de papel periódico es mucho
mayor ue la del papel bond.
&. Re!erencias
[1] Universidad de
Barcelona
http://www.mat.ub.edu/fu
turs_ub/activitats/Matefes
t/212/triptics/!2_"racta
ls.pdf
[2] #ern$nde%& !erm$n 'Biof(sica ) * +aboratorioMedici,n de la -imensi,n"ractal.
[] http://denicion.de/fractal/
http://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdf
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