8/18/2019 Articulo Dimension Fractal

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 Medición de una dimensión fractal 

 Marcely López Castellanos

Yeradin Zapata Taborda

Universidad de Antioquia, Medellín, Antioquia,

Colombia

!"#$

Resumen.

En el siguiente artículo se describe cómo medir la dimensión fractal y la lagunaridad de

una esfera de papel comprimida manualmente, a partir de la toma de datos como la

masa y el diámetro, asimismo se da a conocer los conceptos aplicados para el análisis de

la dimensión fractal (Dimensión fractal de una esfera, ecuaciones para figuras esféricas

homogéneas). El resultado obtenido esta dentro del rango de error experimental, con

d!."#.

$dicionalmente se relaciona la cantidad de masa con la capacidad de absorción del

 papel, comparando dos tipos de papel% papel periódico y papel bond.

Abstract.

&he follo'ing article describes ho' to measure the fractal dimension and lacunarity of a

sphere of compressed paper manually, from data collection as the mass and diameter 

also disclosed the concepts used for the analysis of the dimension fractal (fractal

dimension of a sphere, homogeneous euations for spherical shapes). &he result is

'ithin the range of experimental error, 'ith d !."#.

$dditionally the amount of mass is related to the absorbency of paper, by comparing

t'o types of paper% ne'sprint and bond paper.

1. Introducción

n fractal es un ob*eto geométrico en el

ue se repite el mismo patrón a

diferentes escalas y con diferente

orientación +-. na propiedad de los

fractales es ue, al aumentar su tamao,

disminuye su densidad. / ya ue la

longitud no es un concepto significati0o

 para los fractales, los matemáticos

calculan para ellos la dimensión fractal.

1a dimensión fractal (d ) es un n2mero

ue dice cuan densamente tal ob*eto

ocupa el espacio métrico en el cual él

está situado. $l tratarse de una esfera,

su dimensión fractal debe estar entredos y tres, porue no se encuentra en

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dos dimensiones y no ocupa

completamente el espacio. En la

mayoría de los casos d, no es un n2mero

entero. +!-

El ob*eti0o de esta práctica es entonces,calcular la dimensión fractal de una

esfera de papel a partir de siete bolas de

 papel comprimidas manualmente. 3e

anali4ará los resultados ue arro*an las

fórmulas y mediciones ue in0olucra el

experimento teniendo en cuenta los

errores y se contrastará con los

resultados de dimensión fractal de una

esfera, teóricamente conocidos, para 0er la efecti0idad del método usado.

2. Marco teórico

5omo ya se mencionó en la

introducción, la dimensión fractal de un

ob*eto, es el 0alor ue indica el 0alor 

ue ocupa determinado ob*eto, con la

intención de dar mayor claridad a dicho

concepto, se profundi4ará un poco más

en el tema.

Dimensión Fractal

1a geometría euclidiana, no tiene las

herramientas necesarias para conocer la

dimensión de un fractal, debido a ue

tiene componentes a una escala tan

 peuea ue no pueden ser medidos con

 precisión, es por esto ue se recurre a la

dimensión fractal, ue permite conocer 

ue porción del plano o espacio ocupa

el fractal ue se uiere estudiar. +"-

6ara el cálculo de la dimensión fractal

se tiene la ecuación ()

 D=km1

d

Donde  % diámetro, d dimensiónfractal y & 5onstante de

 proporcionalidad entre diámetro y masa

(7d), ue llamaremos lagunaridad. +!-

$ tra0és de la ecuación () y usando

algunas herramientas matemáticas, se

obtienen las ecuaciones (!) y (")

m

log ( D)=log  (k )+ 1

d  log  ¿ ) (2)

dlog ( D )=dlog (k )+log (m )   (3)

3. Materiales

 

6apel periódico.

 

6apel bond.

• 6ie de rey.

• 8alan4a digital.

• 5ronometro.

• 5ubeta con agua.

4. Procedimiento y Resultados

4.1.laboración de las es!eras de

"a"el

3e toma la ho*a de papel periódico y se

di0ide como lo muestra la figura. 3e

recortan los peda4os y se comprimen

cada uno de ellos manualmente,

formando así siete esferas de papel,

como se obser0a en la figura!.

 

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4.2. Datos

tomados en laboratorio

6ara hallar la dimensión

fractal de una 9bola: de

 papel, se midieron los diámetros de

cada una de las esferas en tres

direcciones diferentes (con ayuda de un pie de rey) y luego se calculó el

 promedio de estas medidas. $demás las

esferas fueron pesadas con una balan4a

digital. 1os datos obtenidos se muestran

a continuación.

PromedioDiámetro (mm)

Masa(gramos)

51,75±0,

05

8,67±0,0

1

35,30±0,

05

4,36±0,0

1

28,2±0,0

5 2,2±0,01

20,98±0,

05

1,08±0,0

1

15,37±0,

05

0,55±0,0

1

11,12±0,

05

0,26±0,0

18,70±0,0

5

0,14±0,0

1

Tabla"$ %atos tomados en laboratorio$ Los

anteriores datos tienen errores asociados al pie

de rey y a la balanza di'ital$

;aciendo uso de la herramienta Excel

se obtu0o la gráfica de >?. &eniendo el

intercepto, se contin2a con el siguiente

 procedimiento%

log (k )=1.30   k =101.30

@inalmente se obtiene &*"+$+$

4.2.1. An#lisis de absorción del "a"el

1a segunda parte del laboratorio se

relaciono la masa del papel con la

capacidad de absorción y se compararon

dos tipos de papel.

6ara calcular el peso de las esferas

mo*adas, se sumergieron en agua y

antes de pesarlas se tomó un inter0alo

de tiempo de dos segundos, entre dosgotas de agua, esto se hi4o con el

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 propósito de mantener un mismo

 parámetro de tiempo para cada esfera y

así tener un rango de precisión en la

recolección de los datos.

$ continuación se muestran los pesos delas esferas de papel bond y las esferas

de papel periódico seco y mo*ado.

=rgani4ados en las tablas ! y ".

1uego se procede a graficar los datos de

las tablas ! y ".

(ra)ica .

(ra)ica $

$ partir de los datos mostrados en las

graficas anteriores. 3e procede a

comparar la capacidad de absorciónentre cada tipo de papel.

5on la información tomada en

laboratorio y los resultados obtenidos,

se puede afirmar ue el papel periódico

absorbe mayor cantidad de agua ue el

 papel bond y ue a mayor densidad y

masa, mayor absorción.

$. %onclusiones

• De acuerdo al resultado para laconstante A, podemos inferir 

ue entre más grande sea su

diámetro, mayor 0a a ser su

masa y entre más grande sea este

n2mero más dependientes 0an a

ser una de la otra, es decir si una

crece la otra también,

aproximadamente a proporción

del resultado obtenido.

• 1a 0ariación del peso en las

 bolas de papel periódico es más

ele0ada o significati0a para las

 bolas más peueas en su

mayoría, esto indica ue entre

más peuea sea la bola de

 papel, más agua 0a a absorber,

es decir, 0a a de*ar escapar 

menos cantidad de agua de su

interior. En otras palabras tienen

mayor capacidad de absorciónlas bolas más peueas.

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6or otro lado para las bolas de

 papel bond con relación a los

resultados obtenidos podemos

concluir, ue estas no dependen

del tamao, ya ue su masa

0aría casi igual en las bolasgrandes y en las peueas.

• 6ara la absorción de los

diferentes tipos de papel, en este

caso papel periódico y papel

 bond, se obser0a con claridad

ue el papel periódico cuenta

con una mayor capacidad para

absorber el agua, ya ue su masa

0aria de una manera más

considerable ue la del papel bond, teniendo en cuenta ue

cuando las bolas de papel

 periódico y bond están secas, la

masa de las de bond es mayor,

mientras ue después de

remo*adas el resultado se

in0ierte, y la masa de las bolas

de papel periódico es mucho

mayor ue la del papel bond.

&. Re!erencias

[1] Universidad de

Barcelona

http://www.mat.ub.edu/fu

turs_ub/activitats/Matefes

t/212/triptics/!2_"racta

ls.pdf 

[2]  #ern$nde%& !erm$n 'Biof(sica ) * +aboratorioMedici,n de la -imensi,n"ractal.

[] http://denicion.de/fractal/ 

 

http://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdfhttp://www.mat.ub.edu/futurs_ub/activitats/Matefest/2012/triptics/G02_Fractals.pdf

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