ANALISIS REGRESI NONPARAMETRIK MODEL SPLINE DAN
PENERAPANNYA
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Vicensius Hernando Christianto
143114023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
i
ANALISIS REGRESI NONPARAMETRIK MODEL SPLINE DAN
PENERAPANNYA
Tugas Akhir
Diajukan untuk Memenuhi Salah Satu Syarat
Memperoleh Gelar Sarjana Sains
Program Studi Matematika
Oleh :
Vicensius Hernando Christianto
143114023
PROGRAM STUDI MATEMATIKA, JURUSAN MATEMATIKA
FAKULTAS SAINS DAN TEKNOLOGI
UNIVERSITAS SANATA DHARMA
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ii
NONPARAMETRIC REGRESSION ANALYSIS OF SPLINE MODELS
AND IT’S APPLICATIONS
Thesis
Presented as Partial Fulfillment of the
Requirements to Obtain the Degree of Sarjana Sains
Mathematics Study Program
Written by
Vicensius Hernando Christianto
143114023
MATHEMATICS STUDY PROGRAM
FACULTY OF SCIENCE AND TECHNOLOGY
SANATA DHARMA UNIVERSITY
YOGYAKARTA
2019
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
v
HALAMAN PERSEMBAHAN
“Barangsiapa setia dalam perkara-perkara kecil,
ia setia juga dalam perkara-perkara besar.
Dan barangsiapa tidak benar dalam perkara-perkara kecil,
ia tidak benar juga dalam perkara-perkara besar.”
Lukas 16:10
“Akulah pokok anggur dan kamulah ranting-rantingnya.
Barangsiapa tinggal di dalam Aku dan Aku di dalam dia,
ia berbuah banyak, sebab di luar Aku
kamu tidak dapat berbuat apa-apa”
Yohanes 15:5
Tugas akhir ini saya persembahkan untuk:
1. Tuhan Yesus Kristus atas segala Berkat dan Kasih-Nya sehingga tugas
akhir ini dapat selesai.
2. Papa, Mama, Valen, dan Sheren tercinta
3. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc., selaku dosen pembimbing yang
tidak tergantikan.
4. Semua orang yang membaca skripsi saya.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
viii
ABSTRAK
Pendekatan model regresi ada dua, yakni pendekatan parametrik dan
nonparametrik. Regresi Spline merupakan salah satu model dengan pendekatan
nonparametrik, yang merupakan modifikasi dari fungsi polynomial tersegmen.
Tujuan dari penelitian ini adalah mempelajari penggunaan regresi spline untuk
pendugaan dan pemodelan kurva regresi, serta memilih model regresi spline
terbaik dengan kriteria GCV yang minimum. Data yang digunakan adalah Harga
Kurs Jual dan Kurs Beli Rupiah ke dollar Amerika Serikat pada tahun 2018. Hasil
penelitian menunjukkan bahwa untuk data Kurs Beli adalah 7431.198=GCV ;
dan model Regresi spline tersebut memiliki Koefisien Determinasi (R-Squared) sebesar 97.79% Sedangkan untuk data Kurs Jual adalah dengan 7579.271=GCV ;
dan model Regresi spline tersebut memiliki Koefisien Determinasi (R-Squared)
sebesar 97.79%.
Kata kunci: Nonparametrik, Spline, GCV, Knot
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
ix
ABSTRACT
There are two regression modelling approaches, namely parametric and non-
parametric approaches. Spline regression is one of non-parametric approach
which is a modification of segmented polynomial function. The aim of this
research is to study the use of spline regression in estimating and modelling
regression curve and determining the best spline regression model by using
minimum GCV criterion. The data used in this research is the exchange rate
Indonesian Rupiah to US Dollar in 2018. The result of the research shows that the
best spline regression for buying rate is GCV = 7431.198; and this spline
regression model has the number of Coefficient of Determination (R-Squared) at
97.79%. Meanwhile, for selling rate is GCV = 7579.271; and this spline
regression model has the number of Coefficient of Determination (R-Squared) at
97.79%.
Key words : nonparametic, spline, GCV, Knot
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
x
KATA PENGANTAR
Puji dan syukur kepada Tuhan Yang Maha Esa atas berkat yang selalu
menyertai penulis dalam menyelesaikan tugas akhir ini. Tugas akhir ini dibuat
sebagai salah satu syarat untuk memperoleh gelar Sarjana Sains pada Program
Studi Matematika, Universitas Sanata Dharma.
Banyak rintangan dalam proses penulisan tugas akhir ini, namun dengan
rahmat Tuhan Yesus Kristus serta dukungan dari berbagai pihak akhirnya tugas
akhir ini dapat diselesaikan. Untuk itu penulis ingin mengucapkan terima kasih
kepada:
1. Bapak Ir. Ig. Aris Dwiatmoko, M.Sc. , selaku dosen pembimbing yang
telah meluangkan waktu, tenaga dan pikiran serta ilmu yang telah
diberikan sehingga terselesaikannya tugas akhir ini.
2. Bapak Sudi Mungkasi, S.Si., M.Math.Sc., Ph.D. selaku dekan Fakultas
Sains dan Teknologi.
3. YG. Hartono, S.Si., M.Sc., Ph.D. selaku Ketua Program Studi
Matematika.
4. Romo Prof. Dr. Frans Susilo, S.J., selaku Dosen Pembimbing
Akademik.
5. Ibu M.V. Any Herawati, S.Si., M.Si., dan Bapak Dr. rer. Nat. Herry P
Suryawan, S.Si., M.Si., selaku dosen Program Studi Matematika yang
telah memberikan banyak pengetahuan kepada penulis selama proses
perkuliahan.
6. Bapak/Ibu dosen/karyawan Fakultas Sains dan Teknologi yang telah
berdinamika bersama selama penulis berkuliah.
7. Kedua orang tua, Yudi Kristianto dan Ika Riajatika . Adikku Valen dan
Sheren yang selalu memberikan dukungan, doa dan semangat.
8. Kak Bintang dan Kak Ezra yang sudah membantu dan memberi
semangat.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xii
DAFTAR ISI
HALAMAN JUDUL .................................................................................................... i
HALAMAN PERSETUJUAN PEMBIMBING .......................................................... iii
HALAMAN PENGESAHAN ..................................................................................... iv
HALAMAN PERSEMBAHAN .................................................................................. v
PERNYATAAN KEASLIAN KARYA ...................................................................... vi
LEMBAR PERNYATAAN......................................................................................... vii
ABSTRAK ................................................................................................................... viii
ABSTRACT ................................................................................................................. ix
KATA PENGANTAR ................................................................................................. x
DAFTAR ISI ................................................................................................................ xii
DAFTAR GAMBAR ................................................................................................... xiv
BAB I PENDAHULUAN ............................................................................................ 1
A. Latar Belakang ................................................................................................. 1
B. Rumusan Masalah ............................................................................................ 2
C. Batasan Masalah ............................................................................................... 3
D. Tujuan Penulisan .............................................................................................. 3
E. Manfaat Penulisan ............................................................................................ 3
F. Metode Penulisan ............................................................................................. 3
G. Sistematika Penulisan ....................................................................................... 3
BAB II MODEL REGRESI LINEAR........................................................................... 5
A. Analisis Regresi ................................................................................................ 5
B. Regresi Parametrik ........................................................................................... 5
C. Penduga Parameter Regresi .............................................................................. 7
D. Koefisien Determinasi....................................................................................... 14
BAB III MODEL REGRESI SPLINE.......................................................................... 16
A. Regresi Nonparametrik...................................................................................... 16
B. Regresi Spline.................................................................................................... 18
C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal…………………. 21
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiii
BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK KURS RUPIAH
TERHADAP DOLLAR AMERIKA.............................................................................
30
A. Sumber Data...................................................................................................... 30
B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah........................................................ 30
C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat
Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline................................................... 31
D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat di
tahun 2018
31
E. Model Regresi Nonparametrik Spline............................................................... 33
F. Pemilihan Titik Knot Optimum........................................................................ 33
G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline.............................................. 36
BAB V PENUTUP ...................................................................................................... 44
A. Kesimpulan ...................................................................................................... 44
B. Saran ................................................................................................................ 44
DAFTAR PUSTAKA .................................................................................................. 46
LAMPIRAN ................................................................................................................ 48
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
xiv
DAFTAR GAMBAR
Gambar 3.1 .................................................................................................. 17 Gambar 3.2 .................................................................................................. 20 Gambar 3.3 .................................................................................................. 23 Gambar 3.4 .................................................................................................. 29 Gambar 4.1 .................................................................................................. 32 Gambar 4.2 .................................................................................................. 32 Gambar 4.3 .................................................................................................. 36 Gambar 4.4 .................................................................................................. 38 Gambar 4.5 .................................................................................................. 40
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
1
BAB I
PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
Dalam dunia sains dan teknik, banyak penelitian yang bertujuan
mencari dasar-dasar untuk mengadakan prediksi suatu variabel dari
informasi-informasi yang diperoleh dari variabel tersebut. Misalnya,
apakah prestasi pemain sepak bola dapat diprediksi dari keahliannya dan
umur pemain tersebut, apakah keadaan cuaca dapat diramalkan dari suhu,
tekanan udara dan kecepatan angin, dan lain sebagainya. Dalam kehidupan
sehari-hari kita sering melihat suatu peristiwa yang terjadi akibat peristiwa
yang lain. Untuk menelusuri pola hubungan yang modelnya belum
diketahui, analisis regresi dapat digunakan untuk membantu menganalisis
hubungan tersebut.
Analisis regresi merupakan kajian terhadap hubungan satu variabel
terikat dengan satu atau lebih variabel bebas. Terdapat beberapa
pendekatan yang ada dalam analisis regresi, yaitu regresi parametrik, dan
regresi nonparametrik. Analisis regresi parametrik adalah analisis yang
paling banyak digunakan. Dalam regresi parametrik terdapat banyak
asumsi yang harus dipenuhi, salah satunya adalah bentuk kurva regresi
yang harus diketahui, bisa berbentuk linier, kuadratik, kubik dan lain-lain.
Apabila bentuk kurva regresi tidak diketahui polanya, maka analisis
regresi nonparametrik lebih disarankan untuk digunakan. Pendekatan
nonparametrik juga lebih fleksibel, hal ini dikarenakan tidak dibatasi oleh
asumsi-asumsi seperti halnya pada pendekatan parametrik. Salah satu
model regresi dengan pendekatan nonparametrik yang dapat digunakan
untuk menduga kurva regresi adalah regresi spline.
Regresi spline adalah suatu pendekatan ke arah pengepasan data
dengan tetap memperhitungkan kemulusan kurva. Spline merupakan
model polinomial yang tersegmen/terbagi. Sifat tersegmen/terbagi inilah
yang memberikan fleksibilitas yang lebih baik daripada model polinomial
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
2
biasa. Sifat ini memungkinkan model regresi spline menyesuaikan diri
secara efektif terhadap karakteristik lokal dari data. Spline juga
mempunyai keunggulan dalam mengatasi pola data yang cenderung
naik/turun secara tajam, serta kurva yang dihasilkan relatif mulus.
Penggunaan spline difokuskan kepada adanya perilaku atau pola data,
yang pada daerah tertentu, mempunyai karakteristik yang berbeda. Untuk
memperoleh regresi spline yang optimal maka perlu dipilih lokasi knot
yang optimal pula.
Metode yang digunakan untuk menentukan knot yang optimal,
beberapa di antaranya adalah MSE (Mean Square Error) dan GCV
(Generalized Cross Validation). Titik knot optimal diperoleh dari nilai
MSE dan GCV minimum. GCV merupakan modifikasi dari CV (Cross
Validation).
Pada tugas akhir ini akan dibahas tentang penggunaan estimasi
spline terpotong (truncated) dalam menentukan model terbaik regresi
nonparametrik dengan penyelesaian optimal dan pemilihan knot yang
optimal dengan menggunakan metode GCV.
B. Rumusan Masalah
Perumusan masalah yang akan dibahas pada tugas akhir ini adalah:
1. Bagaimana model optimal untuk menduga nilai kurs harian rupiah
terhadap dollar Amerika Serikat dengan regresi nonparametik spline?
2. Bagaimana menyelesaikan pemrograman regresi nonparametrik spline
menggunakan perangkat lunak R?
C. Batasan Masalah
Tugas akhir ini dibatasi oleh beberapa masalah, yaitu:
1. Metode yang digunakan untuk menentukan banyaknya titik knot dan
lokasi titik knot optimum adalah dengan menggunakan metode
Generalized Cross Validation (GCV).
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
3
2. Membahas penentuan model regresi spline secara deskriptif dan
menggunakannya untuk estimasi nilai di masa depan.
3. Tidak membahas fungsi pemulus.
4. Tidak membahas uji hipotesis model.
5. Landasan teori yang dibahas hanya yang berkaitan langsung dengan
materi
D. Tujuan Penulisan
Mengetahui model regresi nonparametrik spline terbaik pada nilai kurs
harian rupiah terhadap dollar Amerika Serikat dengan menggunakan GCV
sebagai metode untuk menentukan knot yang menghasilkan nilai yang
minimum dalam menentukan model regresi spline, serta penerapannya
pada data.
E. Manfaat Penulisan.
Manfaat penulisan tugas akhir ini adalah untuk mengetahui cara
penyelesaian beberapa masalah di kehidupan nyata menggunakan regresi
nonparametrik spline.
F. Metode Penulisan
Metode penulisan yang digunakan dalam tugas akhir ini yaitu studi
pustaka dengan membaca buku, jurnal-jurnal, dan makalah ilmiah yang
berhubungan dengan regresi nonparametrik spline serta simulasi
menggunakan program R.
G. Sistematika Penulisan
BAB I PENDAHULUAN
A. Latar Belakang
B. Rumusan Masalah
C. Batasan Masalah
D. Tujuan Penulisan
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
4
E. Manfaat Penulisan
F. Metode Penulisan
G. Sistematika Penulisan
BAB II MODEL REGRESI LINEAR
A. Analisis Regresi
B. Regresi Parametik
C. Penduga Parameter Regresi
D. Koefisien Determinasi
BAB III MODEL REGRESI SPLINE
A. Regresi Nonparametrik
B. Regresi Spline
C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal
BAB IV PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK KURS
RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA
A. Sumber Data
B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah
C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika
Serikat Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline
D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika
Serikat di tahun 2018
E. Model Regresi Nonparametrik Spline
F. Pemilihan Titik Knot Optimum
G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline
BAB V PENUTUP
A. Kesimpulan
B. Saran
LAMPIRAN
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
5
BAB II
MODEL REGRESI LINEAR
A. Analisis Regresi
Analisis regresi merupakan teknik analisis untuk menyelidiki dan
membuat model hubungan di antara variabel-variabel. Tujuan analisis regresi
yaitu untuk mendapatkan model terbaik yang menggambarkan hubungan antara
variabel respon (variabel tak bebas/variabel dependen) dengan satu atau lebih
variabel penjelas (variabel bebas/variabel independen) (Hosmer and Lemeshow,
2000). Variabel penjelas adalah variabel yang nilainya dapat ditentukan atau yang
nilainya dapat diamati. Variabel respon adalah variabel yang nilainya dipengaruhi
oleh variabel-variabel penjelas. Analisis regresi sendiri dapat dibedakan menjadi
dua, regresi parametrik dan regresi nonparametrik.
B. Regresi Parametrik
Regresi parametrik merupakan suatu metode yang sederhana dalam kajian
analisis regresi, namun di sisi lain menuntut terpenuhinya berbagai asusmsi yang
sangat ketat, salah satunya adalah bentuk kurva regresi diketahui, misalnya linear,
kuadartik, kubik, polinomial derajat-p, eksponen, dan lain-lain.
Pendekatan parametrik mengasumsikan bahwa )(xf memiliki keluarga
fungsi parametrik: )( βxf . Jadi f diketahui hingga sejumlah parameter terbatas.
Beberapa contohnya:
21
221
1
ββββ
ββββ
βββ
xxf
xxxf
xxf
o
o
o
+=
++=
+=
)(
)(
)(
Pendekatan parametrik cukup fleksibel karena tidak dibatasi hanya pada
prediktor linier seperti pada model pertama dari tiga di atas. Kita dapat
menambahkan berbagai jenis istilah seperti polinomial dan fungsi lain dari
variabel untuk mencapai kecocokan. Model nonlinier, seperti kasus ketiga di atas,
juga bersifat parametrik.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
6
Pengetahuan terhadap bentuk kurva regresi memudahkan dalam memilih
salah satu bentuk keluarga kurva atau fungsi regresi yang memungkinkan dari
beberapa alternatif yang ada, kemudian menempatkan fungsi regresi tersebut
dalam proses inferensi. Jika bentuk kurva atau fungsi regresi yang dipilih bisa
tepat, maka analisis regresi parametrik akan lebih menguntungkan, khususnya
metode inferensinya dan interpretasi parameter akan lebih sederhana. Oleh karena
itu analisis regresi parametrik lebih sering digunakan apabila terdapat informasi
tentang bentuk kurva regresinya.
Secara matematis model regresi parametrik untuk sebuah pengamatan iy
bisa ditulis dengan persamaan sebagai berikut:
iii xfy ε+= )( , ni ,,2,1 = (2.1)
fungsi )( ixf seringkali disebut sebagai fungsi regresi parametrik atau kurva
regresi parametrik yang memiliki galat acak iε dan diasumsikan berdistribusi
normal, independen dengan rata-rata nol dan variansi 2σ . Fungsi )( ixf dapat
dituliskan dalam bentuk:
iiy ε+= βXi
dimana [ ]ipii xxx 21=iX , ni ,,2,1 = ; sedangkan n adalah banyaknya data
dan p adalah banyaknya variabel, sementara
=
pβ
ββ
1
0
β . Sehingga persamaannya
menjadi:
[ ] i
p
ipiii xxxy ε
β
ββ
+
=
1
0
211
iippiii xxxy εββββ +++++= 22110 , ni ,,2,1 = (2.2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
7
di mana
=iy nilai ke-i dari variabel respon ( n,,,i ,321= )
=ijx nilai ke-i dari variabel penjelas ke-j ( p,,,j ,321= )
=oβ konstanta regresi / slope
=pβββ ,,, 21 koefisien regresi
=iε galat
Untuk semua i, model (2.1) dapat dinyatakan dalam bentuk matriks
sebagai berikut
εβXy +=
dengan
=
ny
yy
2
1
y ,
=
npnn
p
p
p
xxx
xxxxxxxxx
21
33231
22221
11211
11111
X ,
=
pβ
ββ
1
0
β ,
=
nε
εε
2
1
ε
dengan
=y vektor kolom dari variabel respon ( )1×n
=X matriks dari variabel penjelas ( ))( 1+× pn
=β vektor kolom dari parameter ( )11 ×+ )( p
=ε vektor kolom dari galat ( )1×n
Jika variabel penjelas hanya satu maka model menjadi Regresi linear
sederhana, maka hubungan tersebut dapat ditulis sebagai
εββ ++= xy o 1
C. Penduga Parameter Regresi
Parameter dalam model regresi dapat diduga dengan Metode Kuadrat
Terkecil (Ordinary Least Square). Untuk mendapatkan estimasi OLS dari β ,
pertama tuliskan k-variable sample regression:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
8
ikikiii XXXY εββββ
+++++= 22110 (2.3)
yang dapat ditulis secara ringkas dalam notasi matriks sebagai
εβXy += (2.4)
dan dalam bentuk matriks sebagai
+
=
nkknnn
k
k
n XXX
XXXXXX
Y
YY
ε
εε
β
ββ
2
1
1
0
31
23212
13111
2
1
1
11
(2.5)
di mana β
adalah vektor kolom k+1-elemen dari estimasi OLS dari koefisien
regresi dan di mana ε adalah vektor kolom nx1 dari n residual.
dalam kasus k+1 variabel penduga OLS diperoleh dengan meminimalkan
( )∑∑ −−−−−=2
221102
kikiiii XXXY ββββε
(2.6)
di mana ∑ 2iε adalah jumlah sisa kuadrat (RSS). Dalam notasi matriks, ini berarti
meminimalkan εε T
[ ] ∑=+++=
= 2222
21
2
1
21T
in
n
n εεεε
ε
εε
εεεεε (2.7)
sekarang dari (2.4) kita dapatkan
βXyε −= (2.8)
karena itu
( ) ( )βXβXyXβyy
βXyβXyεε
TTTTT
TT
2 +−=
−−= (2.9)
di mana sifat-sifat transpose dari sebuah matriks yaitu, ( ) TTXββX
=T dan karena
yXβ TT adalah skalar (bilangan real), itu sama dengan transpose βXyT .
Persamaan (2.9) adalah representasi matriks dari (2.6) dalam notasi skalar, metode
OLS terdiri atas estimasi 0β , 1β , ... , kβ sehingga ∑ 2iε sekecil mungkin. Ini
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
9
dilakukan dengan menurunkan (2.6) secara parsial terhadap 0β
, 1β
, ... , kβ
dan
menyama dengankan dengan nol. Proses ini menghasilkan k+1 persamaan
simultan dengan k+1 paramater yang tidak diketahui, yaitu persamaan normal dari
teori kuadrat-terkecil.
Mencari nilai turunan dari
( )∑∑ −−−−−=2
221102
kikiiii XXXY ββββε
terhadap 0β
, 1β
, ... , kβ
, kita peroleh
( ) ( )
( ) ( )
( ) ( )kikikiiik
i
ikikiiii
kikiiii
XXXXY
XXXXY
XXXY
−−−−−−=∂
∂
−−−−−−=∂
∂
−−−−−−=∂
∂
∑∑
∑∑
∑∑
222110
2
12
221101
2
222110
0
2
2
2
12
βββββε
βββββε
βββββε
dengan menetapkan turunan parsial sebelumnya sama dengan nol kita
memperoleh k+1 persamaan normal sebagai berikut
∑∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
∑∑∑∑
=++++
=++++
=++++
=++++
ikikikikiikiki
iikiikiiii
iikiikiiii
ikikii
YXXXXXXX
YXXXXXXX
YXXXXXXX
YXXXn
222110
2222212120
112122
1110
22110
ββββ
ββββ
ββββ
ββββ
(2.10)
Dalam bentuk matriks (2.10) dapat direpresentasikan sebagai
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
10
( ) yXβXX TT
3
2
1
21
22221
11211
2
1
0
221
222122
1122
11
21 111
=
∑∑∑∑
∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑∑
nknkk
n
n
kkiikiikiki
kiiiiii
kiiiiii
kiii
Y
YYY
XXX
XXXXXX
XXXXXX
XXXXXXXXXXXX
XXXn
β
βββ
atau, lebih ringkasnya, sebagai
( ) yXβXX TT =
(2.11)
Dalam (2.11) ( )XXT dan yXT diketahui dan vektor yang tidak diketahui adalah β
. Berdasarkan aljabar matriks, jika invers dari ( )XXT ada, katakanlah, ( ) 1T −XX ,
maka kita memperoleh
( ) ( ) ( ) yXXXβXXXX T1TT1T −−=
karena ( ) ( ) IXXXX =
− T1T , sebuah matriks identitas dari ( )11 +×+ kk ,
didapatkan
( ) yXXXβI T1T −=
atau
( )( ) ( ) ( ) ( )( ) ( )111111
T1T
××++×+×+=
−
nnkkkkyXXXβ
Contoh 2.1
Carilah model regresi linier ini ke data yang diberikan dan kemudian
perkirakan jumlah nitrous oxide yang dipancarkan untuk kondisi di mana
kelembaban adalah 50%, suhu adalah 76◦F, dan tekanan barometer adalah 29,30.
Tabel 2.1 Data contoh 2.1
Nitrous Oxide
(y)
Humidity
(x1)
Temp.
(x2)
Pressure
(x3)
0.9 72.4 76.3 29.18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
11
0.91 41.6 70.3 29.35
0.96 34.3 77.1 29.24
0.89 35.1 68 29.27
1 10.7 79 29.78
1.1 12.9 67.4 29.39
1.15 8.3 66.8 29.69
1.03 20.1 76.9 29.48
0.77 72.2 77.7 29.09
1.07 24 67.7 29.6
1.07 23.2 76.8 29.38
0.94 47.4 86.6 29.35
1.1 31.5 76.9 29.63
1.1 10.6 86.3 29.56
1.1 11.2 86 29.48
0.91 73.3 76.3 29.4
0.87 75.4 77.9 29.28
0.78 96.6 78.7 29.29
0.82 107.4 86.8 29.03
0.95 54.9 70.9 29.37
Sumber data: Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers &
Keying Ye. (2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. 9𝑡ℎ
Edition. Boston: Prentice Hall. Halaman: 445.
Jawab
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
12
=
95082078087091011111194007107177003115111
189096091090
.
.
.
.
...........
.
.
..
y
=
3729970954103298864107129297786961282997747514293763731482986211156293866101632997653113529686447138298762231629767241
092977727214829976120169298663813929467912178297971012729681351242917733413529370641118293764721
...
...
...
...............................................
X
=
511727887449764252838458787449763117912096700041530425283096700089548761863
8458741530186320
T
....
........
...
XX
( )
−−−
−−−
=−
2569173000219001566104296000219000132570000007080104830015661000000708000013590460770
429610483046077093228611T
....
....
........
XX
=
121957143714834777794219
T
....
yX
sehingga
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
13
( )
−−
=
×
−−−
−−−
==−
154155.0000799.0
00262.050778.3
1219.571437.1483477.77942.19
256917.3000219.0015661.042.96000219.00013257.000000708.010483.0015661.000000708.00001359.046077.0
42.9610483.046077.0932.2861
3
2
1
0
T1T
ββββ
yXXXβ
Perhitungan diatas sama nilainya dengan menggunakan program R berikut
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> data
> attach(data)
> model=lm(y~x1+x2+x3)
> summary(model)
Hasil:
Solusi yang didapatkan dari data di atas adalah
507778130 .−=β , 002625001 .−=β , 000798902 .=β , 154155003 .=β
karena itu, persamaan regresinya adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
14
321 15415500000798900026250050777813 xxxy .... ++−−=
Untuk kelembaban 50%, suhu 76◦F, dan tekanan barometrik 29,30, perkiraan
jumlah nitrous oxide yang dipancarkan adalah
938403029154155007600079890500026250050777813
.).(.)(.)(..
=++−−=y
D. Koefisien Determinasi
Salah satu tujuan analisis regresi adalah mendapatkan model terbaik yang
mampu menjelaskan hubungan antara variabel prediktor dan variabel respon.
Kriteria yang dapat digunakan dalam pemilihan model terbaik salah satunya
adalah dengan menggunakan koefisien determinasi/ R-Square 2R . Secara
umum semakin besar nilai 2R , maka semakin baik pula model yang
didapatkan.
Definisi 2.1
Koefisien determinasi didefinisikan sebagai berikut :
( )
( )2
1
2
12
∑
∑
−
=
−
−=
n
ii
n
ii
yy
yyR
Besaran nilai 2R tidak pernah negatif dan batasannya adalah 10 2 ≤≤ R
Contoh 2.2
Mencari nilai 2R perhitungan dengan menggunakan data contoh 2.1
Nitrous Oxide (y) y ( )2yy − ( )2yy −
0.9 0.86137097 0.012018524 0.005041
0.91 0.96363392 5.42591E-05 0.003721
0.96 0.97127189 7.39242E-08 0.000121
0.89 0.96652655 2.00118E-05 0.006561
1 1.1179835 0.021604149 0.000841
1.1 1.04282081 0.005158229 0.016641
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
15
1.15 1.10066297 0.016812486 0.032041
1.03 1.04538431 0.005533026 0.003481
0.77 0.84914048 0.014849743 0.040401
1.07 1.04629553 0.005669417 0.009801
1.07 1.02175142 0.002575707 0.009801
0.94 0.96143099 9.1566E-05 0.000961
1.1 1.03858256 0.004567402 0.016641
1.1 1.09016387 0.014200028 0.016641
1.1 1.0760168 0.011028528 0.016641
0.91 0.89292257 0.006096085 0.003721
0.87 0.87018971 0.010162715 0.010201
0.78 0.81672038 0.023802201 0.036481
0.82 0.75476117 0.046759232 0.022801
0.95 0.93228386 0.001498939 0.000441
Jumlah 0.202502321 0.25298
dengan 971.0=y maka di peroleh
( )
( )8005.0
25298.0202502321.0
2
1
2
12 ==
−
−=
∑
∑
−
=
n
ii
n
ii
yy
yyR
sehingga hasil yang didapat nilainya sama dengan menggunakan program R pada
contoh 2.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
16
BAB III
MODEL REGRESI SPLINE
A. Regresi Nonparametrik
Model regresi nonlinear tradisional di tulis dalam bentuk
ε+= )θ,x(fy
dengan θ adalah vektor parameter yang akan diestimasi, dan x adalah
vektor penjelas, error ε diasumsikan terdistribusi secara normal dan independen
dengan rata-rata 0 dan varians konstan 2σ . Fungsi )θx,(f , menghubungkan nilai
rata-rata dari respon y terhadap penjelas, ditentukan sebelumnya, seperti dalam
model regresi parametrik.
Model regresi nonparametrik secara umum ditulis dengan cara yang sama,
tetapi fungsi f tidak dispesifikasi
εε
+=+=
),,,()x(
pxxxffy
21
untuk p penjelas T21 ),,,(x pxxx = .Selain itu, objek regresi
nonparametrik adalah untuk memperkirakan fungsi regresi )(xf secara langsung,
daripada menduga parameter. Sebagian besar metode regresi nonparametrik
secara implisit menganggap bahwa f adalah fungsi yang mulus dan kontinu.
Kasus khusus yang penting dari model umum adalah regresi sederhana
nonparametrik, di mana ada hanya satu penjelas:
ε+= )(xfy
Regresi sederhana nonparametrik sering disebut pemulusan diagram
pencar (scatterplot smoothing) karena aplikasi pentingnya adalah mencari kurva
mulus yang melalui diagram pencar y terhadap x. Istilah regresi nonparametrik
akan digunakan sepanjang tulisan ini.
Karena sulit untuk menyesuaikan model regresi nonparametrik umum
ketika ada banyak penjelas, dan karena sulit untuk menggambarkan model yang
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
17
tepat ketika ada lebih dari dua atau tiga penjelas, model yang lebih restriktif telah
dikembangkan. Salah satu model tersebut adalah model regresi aditif
εβ +++++= )()()( pp xfxfxfy 22110
di mana fungsi regresi parsial )( jj xf diasumsikan mulus, dan akan diduga
dari data. Model ini jauh lebih restriktif daripada model regresi nonparametrik
umum, tetapi kurang restriktif daripada model regresi linier, yang mengasumsikan
bahwa semua fungsi regresi parsial adalah linear.
Contoh 3.1
Regresi nonparametrik data contoh diambil dari R “Speed and Stopping
Distances of Cars”. Data yang diberikan kecepatan mobil (mph) dan jarak yang
ditempuh untuk berhenti (ft). Data diambil pada tahun 1920 dengan 50
pengamatan pada 2 variabel. Data bisa dilihat pada Lampiran 1.
(https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/cars.html)
Gambar 3.1 Diagram Pencar
dengan menggunakan program R
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
18
> cars
> data=cars
> attach(data)
> xa<-ifelse(speed>10,1,0)
> xb<-ifelse(speed>15,1,0)
> xc<-ifelse(speed>20,1,0)
> x1<-(speed-10)*xa
> x2<-(speed-15)*xb
> x3<-(speed-20)*xc
> working<-data.frame(dist,speed,x1,x2,x3)
> out1<-lm(dist~speed+x1+x2+x3,data=working)
> plot(speed,dist,xlab="speed",ylab="distance", main="Speed and
Stopping Distances of Cars",pch=19)
> lines(speed,out1$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=3)
Gambar 3.1 adalah contoh data dalam bentuk diagram pencar yang didekati
dengan model regresi nonparametrik. Cara menentukan grafik yang optimal akan
dibahas dalam subbab berikutnya.
B. Regresi Spline
Pemulusan merupakan salah satu metode yang digunakan dalam analisis
data nonparametrik. Tujuan dari pemulusan adalah untuk memperkecil keragaman
dari data yang tidak memiliki pengaruh sehingga ciri-ciri dari data akan tampak
lebih jelas. Pemulusan telah menjadi teknik umum di dalam metode-metode
nonparametrik yang digunakan untuk menduga fungsi.
Salah satu model regresi dengan pendekatan nonparametrik yang dapat
digunakan untuk menduga kurva regresi adalah regresi spline. Regresi spline
adalah suatu pendekatan ke arah plot data dengan tetap memperhitungkan
kemulusan kurva. Spline merupakan model polinomial yang tersegmen atau
terbagi dimana sifat segmen inilah yang memberikan fleksibelitas yang lebih baik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
19
dibanding model polinomial biasa. Sifat ini memungkinkan model regresi spline
menyesuaikan diri secara efektif terhadap karakteristik lokal dari data.
Definisi 3.1
Fungsi Spline berorde ke-M dengan knot Kτττ <<< 21 adalah fungsi
polinomial terpotong f sedemikian sehingga
1. f adalah polinomial berderajat M pada setiap ( ]1,τ∞− ,
[ ] [ ]KK ττττ ,,,, 121 − , [ )∞,Kτ
2. f kontinu dan memiliki turunan kontinu dari orde 1, ..., M-1 pada
knot Kτττ ,,, 21
fungsi Spline dapat disajikan dalam bentuk
ετβββ +−++= +=
+=
∑∑ Mk
K
kkM
M
m
mm xxxf )()(
110
dengan fungsi truncated (potongan) adalah
k
kM
kMk x
xuntukuntukx
xτττ
τ<≥
−
=− ++ ,
,0
)()(
dimana β adalah parameter, kτ adalah knot ke-K dari variabel x ,
Kk ,,2,1 = . M menjelaskan pangkat polinomial yang digunakan dalam model
spline dan K adalah banyaknya knot. Knot adalah titik-titik batas potongan-
potongan polinomial. Bila k=3 maka kurva model regresi spline terpotong ke
dalam 4 potongan. Jadi ketika k=K maka kurva model terpotong kedalam K+1
potongan
Fungsi regresi spline dapat di tulis dalam bentuk matriks
εβ)X(y += k
dengan
=
ny
yy
2
1
y
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
−−
−−−−
=
++
++
++
MKn
Mn
Mnn
MK
MM
MK
MM
xxxx
xxxxxxxx
k
ττ
ττττ
1
21222
11111
1
11
)(X
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
20
=
+
+
kM
M
M
β
ββ
βββ
1
2
1
0
β
=
nε
εε
2
1
ε
dengan
y = vektor kolom dari variabel respon ( )1×n
)(kX = matriks dari variabel penjelas ( ))1( ++× KMn
β = vektor kolom dari parameter ( )1)1( ×++ KM
ε = vektor kolom dari galat ( )1×n Contoh 3.2
Data contoh diambil dari R “Speed and Stopping Distances of Cars”. Data yang
diberikan kecepatan mobil (mph) dan jarak yang ditempuh untuk berhenti (ft).
Data diambil pada tahun 1920 dengan 50 pengamatan pada 2 variabel. Data bisa
dilihat pada Lampiran 1.
Gambar 3.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
21
dengan menggunakan program R
> plot(speed,dist,xlab="speed",ylab="distance", main="Speed and
Stopping Distances of Cars",pch=19)
> lines(speed,out1$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=2)
> abline(v=c(10,15,20),lty=1,col="darkgreen")
Gambar 3.2 adalah contoh data dalam bentuk diagram pencar yang didekati
dengan model regresi nonparametrik spline dengan 3 titik knot 10,15,20.
C. Pemilihan Model Regresi Spline dengan titik knot Optimal
Sesuai tujuan dari pendekatan regresi nonparametrik, yakni ingin
didapatkan kurva mulus yang mempunyai titik knot optimal menggunakan data
amatan sebanyak n, maka diperlukan ukuran kinerja atas penduga yang dapat
diterima secara universal. Ukuran kinerja atas penduga tersebut adalah:
a. Rata-rata kuadrat sisaan ( Mean Squared Error – MSE )
Ukuran kinerja atas penduga yang sederhana adalah kuadrat dari
sisaan yang di rata-rata
( ) ( )∑=
−=n
iiiK yy
nMSE
1
221
1,,, τττ
dengan =i 1, 2, 3,...,n dan ( )ii xfy = adalah penduga fungsi f(x).
b. Generalized Cross-Validation (GCV)
Dalam regresi spline, hal penting yang berperan dalam
mendapatkan estimator spline terbaik adalah pemilihan titik knot yang
optimal. Salah satu metode yang sering digunakan dalam memilih titik
knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV). Metode
GCV juga memiliki kelebihan tidak memerlukan pengetahuan
terhadap variansi populasi 2σ . Metode GCV merupakan modifikasi
dari Cross-Validation (CV) dimana
( )2
121 1
1,,, ∑=
−−
=n
i ii
iiK h
yyn
CV
τττ
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
22
dan iih adalah elemen diagonal ke-i dari matriks H . Matriks H
adalah T1T XX)X(X − . Dengan demikian GCV adalah
( )( )
( )[ ]( )
( )[ ]2121
21
2
21
1,,,
11,,,
H
H
trnMSE
trn
yy
nGCV
K
n
niii
K
−
−
=
−=
−
−=
∑
τττ
τττ
Kedua kriteria pengujian ( )KMSE τττ ,,, 21 dan ( )KGCV τττ ,,, 21
diharapkan memiliki nilai yang minimum sehingga model regresi
spline dapat dikatakan memiliki titik knot yang optimal. Terlihat
bahwa ada hubungan linear antara MSE dan GCV. Bila nilai MSE
kecil maka nilai yang dihasilkan oleh GCV akan kecil juga.
Contoh 3.3
Carilah model terbaik dari data dibawah dan nilai GCV dengan
spline kubik dan 3 titik knot Tabel 3.1 Data contoh 3.3
x y
0.1 0.31
0.2 0.01
0.3 0.59
0.4 0.02
0.5 0.83
0.6 0.12
0.7 0.9
0.8 1.1
0.9 0.47
1 0.68
1.1 1.77
1.2 0.97
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
23
1.3 2.01
1.4 1.48
1.5 2.58
1.6 2.01
1.7 3.17
1.8 2.87
1.9 3.96
2 3.79
Jawab
Mk
K
kkM
M
m
mm xxxf +
=+
=∑∑ −++= )()(
110 τβββ
jika orde 3=M (Kubik) dan titik knot 3=s maka fungsi menjadi
( ) 336
325
314
33
2210 )()()( +++ −+−+−++++= τβτβτβββββ xxxxxxxf
dengan Scatter Plot sebagai berikut
Gambar 3.3 Scatter Plot x terhadap y
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
24
ambil sembarang titik knot dengan 5.01 =τ , 12 =τ ,dan 5.13 =τ sehingga di
dapatkan
( ) 36
35
34
33
2210 )5.1()1()5.0( +++ −+−+−++++= xxxxxxxf βββββββ
dengan fungsi truncated (potongan)
5.05.0
,,
0)5.0(
)5.0(3
3
<≥
−
=− ++ x
xuntukuntukx
x
11
,,
0)1(
)1(3
3
<≥
−
=− ++ x
xuntukuntukx
x
.5.15.1
,,
0)5.1(
)5.1(3
3
<≥
−
=− ++ x
xuntukuntukx
x
mencari nilai 0β , 1β , 2β , 3β , 4β , 5β ,dan 6β terlebih dahulu dengan menggunakan
metode kuadrat terkecil. Fungsi regresi spline dapat di tulis dalam bentuk matriks
εβ)X(y += k
dengan
( ) ( )( ) ( )
( ) ( )
−−
−−−−
=
++
++
++
MKn
Mn
Mnn
MK
MM
MK
MM
xxxx
xxxxxxxx
k
ττ
ττττ
1
21222
11111
1
11
)(X
melalui fungsi truncated didapatkan bentuk matriks y dan )X(k yaitu
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
25
=
125.01375.38421064.0729.0744.2859.661.39.11027.0512.0197.2832.524.38.11008.0343.0728.1913.489.27.11001.0216.0331.1096.456.26.110125.01375.325.25.110064.0729.0744.296.14.110027.0512.0197.269.13.110008.0343.0728.144.12.110001.0216.0331.121.11.1100125.0111100064.0729.081.09.0100027.0512.064.08.0100008.0343.049.07.0100001.0216.036.06.01000125.025.05.01000064.016.04.01000027.009.03.01000008.004.02.01000001.001.01.01
)X(k
=
79.396.387.217.301.258.248.101.297.077.168.047.01.19.012.083.002.059.001.031.0
,y
dengan menggunakan metode kuadrat terkecil
=
020515.018844.0671965.063984.18442.04354.0225.018844.0978405.156888.7228055.1929985.105583.5025.3671965.056888.748292.2014432.804232.440312.254.1463984.1228055.1914432.8045581.216333.1232666.721.448442.029985.104232.44333.1232666.721.447.284354.05583.50312.252666.721.447.2821225.0025.34.141.447.282120
T XX
perhitungan ( ) 1T XX − dapat dilihat pada Lampiran Matriks 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
26
=
83205.014877.1067112.4328507.1212187.71859.4364.29
yXT
( )
−−
−
−
==−
589363.25661256.1
76950237.70572913.6
15320896.84998055.2
43546977.0
T1T yXXXβ
mencari nilai GCV dari data di atas dengan titik knot 5.01 =τ , 12 =τ ,dan 5.13 =τ
karena model estimasi telah diketahui maka kita bisa mendapat nilai penduganya
yang ditulis pada tabel berikut
x y iy 2)( iyy −
0.1 0.31 0.260964 0.002405
0.2 0.01 0.213179 0.041282
0.3 0.59 0.25577 0.11171
0.4 0.02 0.352394 0.110486
0.5 0.83 0.466708 0.131981
0.6 0.12 0.570136 0.202623
0.7 0.9 0.665183 0.055139
0.8 1.1 0.762122 0.114161
0.9 0.47 0.871227 0.160983
1 0.68 1.00277 0.10418
1.1 1.77 1.165458 0.365471
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
27
1.2 0.97 1.361735 0.153456
1.3 2.01 1.592476 0.174326
1.4 1.48 1.858559 0.143307
1.5 2.58 2.16086 0.175678
1.6 2.01 2.497666 0.237818
1.7 3.17 2.856906 0.098028
1.8 2.87 3.223921 0.12526
1.9 3.96 3.584052 0.141337
2 3.79 3.922638 0.017593
Jumlah 2.667223
sehingga didapatkan nilai ( ) 13336115.0667223.2201,,, 21 =×=KMSE τττ .
lalu mencari matriks H untuk mencari nilai GCV. Dimana H adalah
T1T XX)X(X − perhitungan ( ) 1T XX − dapat dilihat pada Lampiran Matriks 3.2
dan perhitungan matriks H dapat di lihat pada Lampiran Matriks 3.3 . Sehingga
didapatkan ( ) 7=Htr nilai dari GCV
( ) ( )( )[ ]
315647.04225.0
13336115.0
72011
13336115.01
,,,,,,
2
2121
21
==
×−
=
−=
− HtrnMSEGCV K
Kττττττ
Nilai MSE dan GCV di atas sama dengan nilai yang dihitung dengan
menggunakan program R
> library(mgcv)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> attach(data)
> X2<-x^2
> X3<-x^3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
28
> XA<-ifelse(x>0.5,1,0)
> XB<-ifelse(x>1,1,0)
> XC<-ifelse(x>1.5,1,0)
> knot1<-(x-0.5)^3*XA
> knot2<-(x-1)^3*XB
> knot3<-(x-1.5)^3*XC
> Contoh<-data.frame(y,x,X2,X3, knot1, knot2, knot3)
> GCV<- gam(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)
> GCV
Hasil:
> OUTPUT<-lm(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)
> summary(OUTPUT)
Hasil:
sehingga solusi yang didapatkan dari data di atas adalah
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
29
4355.00 =β , 5003.21 −=β , 1534.82 =β , 0573.63 −=β , 7695.74 =β ,
5661.15 −=β , 5898.23 −=β
karena itu, persamaan regresinya spline adalah
3
3332
)5.1(5898.2
)1(5661.1)5.0(7695.70573.61534.85003.24355.0
+
++
−−
−−−+−+−=
xxxxxxy
Selanjutnya estimasi model regresi spline kubik dengan tiga titik knot
disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut :
≥−−−−
−+−+−
<≤−−
−+−+−<≤−+−+−
<−+−
=
++
+
+
+
+
5.1;)5.1(5898.2)1(5661.1
)5.0(7695.70573.61534.80350.24355.0
5.11;)1(5661.1
)5.0(7695.70573.65341.85003.24355.015.0;)5.0(7695.70573.61534.85003.24355.0
5.0;0573.61534.85003.24355.0
33
332
3
332
332
32
xxx
xxxx
xx
xxxxxxxxx
xxxx
y
yang memiliki nilai GCV=0.31565 dan bentuk plot estimasi data adalah sebagai
berikut
Gambar 3.4 Plot Hasil Estimasi data terhadap x
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
30
BAB IV
PENERAPAN MODEL REGRESI SPLINE UNTUK
KURS RUPIAH TERHADAP DOLLAR AMERIKA
Pada bagian ini akan dijelaskan mengenai metode dan tahapan-tahapan
dalam menyelesaikan permasalahan dalam data tentang “kurs jual dan kurs beli”
rupiah ke dollar Amerika Serikat di tahun 2018. Data tersebut akan diolah dengan
menggunakan metode statistika deskriptif, dan pemodelannya dengan
menggunakan metode regresi Nonparametrik Spline, serta penggunaan GCV
sebagai metode pemulus optimal pada data.
A. Sumber Data
Data yang digunakan dalam studi kasus ini berupa data historis sekunder
yang diambil dari website resmi Bank Indonesia, yaitu
https://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx .
Data tersebut merupakan data kurs harian yang berupa time series untuk nilai
tukar mata uang rupiah terhadap mata uang dollar Amerika Serikat terhitung
sejak tanggal 2 Januari 2018 sampai dengan tanggal 31 Desember 2018.
B. Variabel Penelitian dan Langkah-langkah
Data yang digunakan pada studi kasus ini adalah data tentang “kurs jual
dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat di tahun 2018. Variabel yang
digunakan dalam penelitian ini adalah kurs jual beli menurut tanggal.
Variabel penjelas (X) yang di gunakan adalah waktu di tahun 2018 sedangkan
variabel respon (Y) adalah harga kurs jual dan kurs beli.
Langkah-langkah analisis yang akan dilakukan dalam penelitian ini adalah
sebagai berikut.
a. Membuat scatter plot antara hari (x) dan kurs jual-beli (y)
untuk mengetahui hubungan antara kedua variabel.
b. Memodelkan Kurs jual dan beli dengan menggunakan spline
linear, spline kuadratik dan spline kubik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
31
c. Membuat simulasi model yang mengkombinasikan derajat
polinomial (1,2,3) dan banyaknya titik knot (5,6, …,10)
d. Memilih kombinasi derajat polinomial dan banyaknya titik
knots yang menghasilkan GCV yang minimum.
e. Berdasarkan model spline terbaik langkah berikutnya adalah
membuat persamaan regresi spline dan fungsi potongan
(truncated).
f. Membuat kurva estimasi regresi spline dan interpretasi model.
Dalam proses pengolahan data digunakan software aplikasi R versi 3.4.1
C. Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika
Serikat Menggunakan Regresi Nonparametrik Spline
Pemodelan “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika
Serikat sebagai variabel respon pada tahun 2018 dilakukan dengan
menggunakan metode regresi nonparametrik Spline. Adapun tahapan-
tahapan dalam melakukan pemodelan ialah membentuk scatter plot “kurs
jual dan kurs beli” di tahun 2018, membentuk model regresi
nonparametrik Spline untuk estimasi parameter, memilih titik knot optimal
yang menghasilkan nilai Generalized Cross Validation (GCV) terkecil,
membentuk persamaan regresi dengan knot yang paling optimal.
D. Scatterplot “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika
Serikat di tahun 2018
Pola hubungan yang terbentuk antara variabel respon yakni “kurs
jual dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat dengan variabel
predictor yaitu waktu (X) dapat ditunjukkan pada Gambar 4.1 dan 4.2.
Gambar 4.1 menunjukkan bahwa pola hubungan yang terbentuk antara
nilai “kurs beli” rupiah ke dollar (Y) pada tahun 2018 dan Gambar 4.2
menunjukkan bahwa pola hubungan yang terbentuk antara nilai “kurs
jual” rupiah ke dollar (Y) pada tahun 2018. Berdasarkan hasil scatterplot
tersebut secara umum terdapat kecenderungan nilai rupiah menurun pada
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
32
tanggal 28 Januari 2018 kemudian naik sampai pada tanggal 11 Oktober
2018 dan kemudian menurun lagi. Diantara batas-batas naik turun tersebut
terdapat pola naik turun dengan rentang waktu yang kecil.
Gambar 4.1 Scatter Plot waktu (x) terhadap harga Kurs Beli (y)
Gambar 4.2 Scatter Plot waktu (x) terhadap harga Kurs Jual (y)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
33
E. Model Regresi Nonparametrik Spline
Setelah melihat pola “kurs jual dan kurs beli” rupiah ke dollar
Amerika Serikat di tahun 2018 maka selanjutnya adalah memodelkan data
tersebut. Metode yang digunakan untuk memodelkan “kurs jual dan kurs
beli” adalah regresi nonparametrik Spline.
ετβββ +−++= +=
+=
∑∑ Mk
K
kkM
M
m
mm xxxf )()(
110
dengan fungsi truncated (potongan) adalah
k
kM
kMk x
xuntukuntukx
xτττ
τ<≥
−
=− ++ ,
,0
)()(
pada tugas akhir ini akan dicobakan kominasi M=1, 2,dan 3 dan
K=5,6,7,8,9,10.
Sehingga bentuk model regresi nonparametrik Spline Linear
(M=1) dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut
++++ −++−+−+−++= )()()()( 101134231210 τβτβτβτβββ xxxxxy
Adapun model regresi nonparametrik Spline Kuadratik (M=2)
dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut 2
10122
352
242
132
210 )()()()( ++++ −++−+−+−+++= τβτβτβτββββ xxxxxxy
dan yang terakhir untuk model regresi nonparametrik Spline Kubik
(M=3) dengan menggunakan sepuluh titik knot sebagai berikut 3
10133
253
143
32
210 )()()( +++ −++−+−++++= τβτβτβββββ xxxxxxy
F. Pemilihan Titik Knot Optimum
Dalam pendekatan regresi nonparametrik Spline, dikenal adanya
titik knot. Titik knot merupakan titik perpaduan bersama dimana terdapat
perubahan perilaku data. Didalam sebuah plot antara variabel respon dan
prediktor yang termasuk dalam komponen nonparametrik dapat dibuat
beberapa potongan berdasarkan titik knot. Metode yang digunakan untuk
mencari titik knot optimal adalah Generalized Cross Validation (GCV).
Estimasi model regresi Spline dipengaruhi oleh GCV. Pemilihan GCV
dipengaruhi oleh pemilihan orde dan titik knot. Untuk mendapatkan model
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
34
spline yang baik dipilih dari nilai GCV yang minimum, yang dilakukan
dengan cara coba-coba dari bentuk spline.
Tabel 4.1 (Kurs Beli) Pemilihan Titik Knot Optimum
M (Orde) s Titik Knot GCV 2R
1
5 40,80,120,160,200 15143.55 0.9522
6 40,80,100,120,160,200 15237.82 0.9523
7 40,80,100,120,140,160,200 15127.14 0.9531
8 40,80,100,120,140,160,180,200 14090.8 0.9567
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 8793.837 0.9732
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7817.121 0.9764
2
5 40,80,120,160,200 15616.51 0.9511
6 40,80,100,120,160,200 15636.69 0.9515
7 40,80,100,120,140,160,200 12575.88 0.9613
8 40,80,100,120,140,160,180,200 9433.192 0.9712
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 9165.034 0.9723
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7640.313 0.9771
3
5 40,80,120,160,200 8971.962 0.9722
6 40,80,100,120,160,200 9042.792 0.9722
7 40,80,100,120,140,160,200 8956.032 0.9727
8 40,80,100,120,140,160,180,200 9029.153 0.9727
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 7500.998 0.9775
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7431.198 0.9779
Berdasarkan Tabel 4.1 pada Kurs Beli nilai GCV minimum yang
diperoleh adalah 7431.198 dengan menggunakan Spline Kubik dan titik
knot optimum untuk masing-masing variabel adalah sebagai berikut.
( 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;
1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
35
Tabel 4.2 (Kurs Jual) Pemilihan Titik Knot Optimum
M (Orde) s Titik Knot GCV 2R
1
5 40,80,120,160,200 15438.31 0.9522
6 40,80,100,120,160,200 15533.55 0.9523
7 40,80,100,120,140,160,200 15418.64 0.9531
8 40,80,100,120,140,160,180,200 14359.05 0.9567
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 8966.538 0.9732
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7971.434 0.9764
2
5 40,80,120,160,200 15921.66 0.9511
6 40,80,100,120,160,200 15940.17 0.9515
7 40,80,100,120,140,160,200 12814.34 0.9614
8 40,80,100,120,140,160,180,200 9611.517 0.9713
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 9340.834 0.9723
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7795.953 0.9771
3
5 40,80,120,160,200 9147.526 0.9722
6 40,80,100,120,160,200 9219.358 0.9722
7 40,80,100,120,140,160,200 9133.546 0.9727
8 40,80,100,120,140,160,180,200 9207.907 0.9727
9 40,80,100,120,140,160,180,200,220 7648.319 0.9775
10 20,40,80,100,120,140,160,180,200,220 7579.271 0.9779
Berdasarkan Tabel 4.2 pada Kurs Jual nilai GCV minimum yang
diperoleh adalah 7579.271 dengan menggunakan Spline Kubik dan titik
knot optimum untuk masing-masing variabel adalah sebagai berikut.
( 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;
1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ )
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
36
Gambar 4.3
Dari gambar 4.3 terdapat kecenderungan bahwa makin tinggi K
makin besar juga R2, tetapi tidak dapat disimpulkan bahwa dengan makin
besar M makin besar juga R2. Beberapa nilai R2 untuk M=1 lebih tinggi
dari R2 untuk M=2, sementara untuk M=3 nilai R2 lebih tinggi dari R2
untuk M=1 dan M=2. Penentuan knot 5,6,7,8,9,10 bersifat coba-coba.
Penentuan titik knot yang optimum dapat mengacu pada Journal of
Computational and Graphical Statistics (Ruppret, 2002) menggunakan
metode Monte Carlo yang tidak dibahas dalam makalah ini yang dikatakan
bahwa harus ada knot yang cukup agar sesuai dengan fitur dalam data.
Penambahan dalam jumlah knot memiliki sedikit efek pada R2. Hal ini
memunculkan pertanyaan yang perlu diuji lebih lanjut, yaitu apakah untuk
M yang semakin tinggi, R2 juga akan semakin besar.
G. Parameter Model Regresi Nonparametrik Spline
Model regresi nonparametrik Spline terbaik dihasilkan melalui
perolehan titik knot optimum. Nilai GCV terkecil yang dihasilkan dengan
berbagai Regresi spline, dapat dilihat bahwa nilai GCV yang paling
minimum adalah menggunakan spline kubik, sehingga untuk analisis
0.945
0.95
0.955
0.96
0.965
0.97
0.975
0.98
0 2 4 6 8 10 12
𝑅𝑅2
K
Hubungan banyaknya Knot (K) dengan 𝑅𝑅2
LinearKuadratikKubik
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
37
selanjutnya digunakan nilai GCV dari spline kubik. Berdasarkan proses
pemilihan titik knot yang telah dilakukan sebelumnya. Hasil estimasi
parameter dengan menggunakan spline kubik sepuluh titik knot adalah
sebagai berikut.
Kurs Beli
Pada data Kurs Beli titik knot yang mempunyai nilai GCV terkecil
yaitu 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;
1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ didapatkan nilai masing-masing penduga
Penduga
Parameter Nilai
Penduga
Parameter Nilai
0β 13560 7β 0.00331
1β -61.85 8β -0.0012
2β 3.829 9β 0.00447
3β -0.0638 10β -0.0022
4β 0.05909 11β -0.0439
5β 0.00865 12β 0.1277
6β -0.0072 13β -0.1775
sehingga model regresi nonparametrik spline kubik yang
terbentuk adalah
333
333
333
332
)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0
)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0
)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0
)20(05909.00638.0829.385.6113560
+++
+++
+++
+
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−=
xxxxxx
xxxxxxxy
estimasi model regresi spline kubik dengan sepuluh titik knot
disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
38
≥
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−
<≤−−−+
−+−+−
<≤−+
−+−+−<≤−+−+−
<−+−
=
+++
+++
+++
+
++
+
+
+
+
220;
)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0
)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0
)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0
)20(05909.00638.0829.385.6113560
10080;)80(0072.0)40(00865.0
)20(05909.00638.0829.385.6113560
8040;)40(00865.0
)20(05909.00638.0829.385.61135604020;)20(05909.00638.0829.385.6113560
20;0638.0829.385.6113560
333
333
333
332
33
332
3
332
332
32
x
xxxxxx
xxxxxxx
xxx
xxxx
xx
xxxxxxxxx
xxxx
y
Estimasi model regresi nonparametrik spline kubik dapat disajikan
melalui ploting data dengan 10 titik knot.
Gambar 4.4 Ploting Estimasi Data Kurs Beli
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
39
Model regresi Spline dengan spline kubik dengan sepuluh titik knot ini memiliki 2R sebesar 97.79% maka model yang didapatkan sangatlah baik .
Kurs Jual
Pada data Kurs Jual titik knot yang mempunyai nilai GCV terkecil
yaitu 201 =τ ; 402 =τ ; 803 =τ ; 1003 =τ ; 1203 =τ ; 1403 =τ ; 1603 =τ ;
1803 =τ ; 2003 =τ ; 2203 =τ didapatkan nilai masing-masing penduga
Penduga
Parameter Nilai
Penduga
Parameter Nilai
0β 13700 7β 0.003216
1β -62.16 8β -0.00109
2β 3.847 9β 0.004431
3β -0.06399 10β -0.00222
4β 0.05921 11β -0.04424
5β 0.008807 12β 0.1289
6β -0.00723 13β -0.1793
sehingga model regresi nonparametrik spline kubik yang
terbentuk adalah
333
333
333
332
)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0
)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0
)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0
)20(05921.006399.0847.316.6213700
+++
+++
+++
+
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−=
xxxxxxxxx
xxxxy
estimasi model regresi spline kubik dengan sepuluh titik knot
disajikan dalam bentuk fungsi terpotong (truncated) sebagai berikut:
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
40
≥
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−
<≤−−−+
−+−+−
<≤−+
−+−+−<≤−+−+−
<−+−
=
+++
+++
+++
+
++
+
+
+
+
220;
)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0
)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0
)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0
)20(05921.006399.0847.316.6213700
10080;)80(00723.0)40(008807.0
)20(05921.006399.0847.316.6213700
8040;)40(008807.0
)20(05921.006399.0847.316.62137004020;)20(05921.006399.0847.316.6213700
20;06399.0847.316.6213700
333
333
333
332
33
332
3
332
332
32
x
xxxxxxxxx
xxxx
xxx
xxxx
xx
xxxxxxxxx
xxxx
y
Estimasi model regresi nonparametrik spline kubik dapat disajikan
melalui ploting data dengan 10 titik knot.
Gambar 4.5 Ploting Estimasi Data Kurs Jual
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
41
Model regresi Spline dengan spline kubik sepuluh titik knot ini memiliki 2R
sebesar 97.79% maka model yang didapatkan sangatlah baik.
Sebagai catatan model ini dapat disajikan untuk memprediksi nilai kurs
rupiah dalam jangka pendek ke depan. Prediksi dalam jangka panjang hasilnya
menjadi kasar, karena nilai rupiah bisa dipengaruhi oleh situasi dan kondisi global
yang tidak mudah untuk diprediksi.
Berikut disajikan data terkini yang diambil pada tanggal 2 Januari 2019
sampai pada tanggal 10 Juli 2019 dibandingkan dengan prediksi yang
menggunakan model spline terbaik.
Tanggal Kurs Beli 𝑦𝑡� error
2-Jan-19 14393 14426.5 33.50472
3-Jan-19 14402 14388.78 13.2153
4-Jan-19 14278 14343.26 65.25675
7-Jan-19 14034 14289.37 255.3658
8-Jan-19 13961 14226.56 265.5567
9-Jan-19 14049 14154.27 105.2744
10-Jan-19 14023 14071.96 48.96389
11-Jan-19 14006 13979.07 26.93
14-Jan-19 13982 13875.04 106.9623
15-Jan-19 14014 13759.31 254.6882
… … … …
27-Jun-19 14109 -173642 187751.2
28-Jun-19 14070 -178145 192215.3
1-Jul-19 14046 -182720 196765.5
2-Jul-19 14069 -187365 201434.4
3-Jul-19 14089 -192083 206172.4
4-Jul-19 14035 -196874 210909.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
42
5-Jul-19 14077 -201738 215815.4
8-Jul-19 14076 -206676 220752.3
9-Jul-19 14058 -211689 225746.7
10-Jul-19 14081 -216776 230857.1
Pada kurs beli hasil dari prediksi bisa dilihat bahwa pada jangka pendek memiliki
error yg relatif kecil, sedangkan pada jangka panjang memiliki error yang cukup
besar.
Tanggal Kurs Jual 𝑦𝑡� error
2-Jan-19 14537 14525.49 11.50825
3-Jan-19 14546 14486.64 59.36198
4-Jan-19 14422 14439.88 17.8845
7-Jan-19 14176 14384.67 208.6702
8-Jan-19 14101 14320.43 219.4342
9-Jan-19 14191 14246.62 55.61549
10-Jan-19 14163 14162.65 0.346924
11-Jan-19 14146 14067.99 78.014
14-Jan-19 14122 13962.05 159.9467
15-Jan-19 14154 13844.29 309.706
… … … …
27-Jun-19 14251 -175681 189931.9
28-Jun-19 14212 -180234 194445.6
1-Jul-19 14188 -184858 199046.1
2-Jul-19 14211 -189555 203766
3-Jul-19 14231 -194325 208555.9
4-Jul-19 14177 -199168 213345.4
5-Jul-19 14219 -204086 218304.9
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
43
8-Jul-19 14218 -209078 223296.1
9-Jul-19 14200 -214146 228345.5
10-Jul-19 14223 -219289 233511.7
Dan pada kurs beli hasil dari prediksi bisa dilihat bahwa pada jangka pendek
memiliki error yg relatif kecil, sedangkan pada jangka panjang memiliki error
yang cukup besar.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
44
BAB V
PENUTUP
A. Kesimpulan
Berdasarkan analisis dan pembahasan yang telah diuraikan pada bab
sebelumnya, maka dapat diperoleh kesimpulan:
1. Model regresi nonparametrik spline paling optimum dengan
menggunakan spline kubik sepuluh titik knot pada data “kurs jual
dan kurs beli” rupiah ke dollar Amerika Serikat pada tahun 2018
adalah sebagai berikut.
333
333
333
332
)220(1775.0)200(1277.0)180(0439.0
)160(0022.0)140(00447.0)120(0012.0
)100(00331.0)80(0072.0)40(00865.0
)20(05909.00638.0829.385.6113560
+++
+++
+++
+
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−=
xxxxxx
xxxxxxxy
Pada model diatas merupakan estimasi model dari harga kurs beli
rupiah kedollar Amerika Serikat pada tahun 2018 dengan nilai
koefisien determinasi 97.79% sedangkan
333
333
333
332
)220(1793.0)200(1289.0)180(04424.0
)160(0022.0)140(004431.0)120(00109.0
)100(003216.0)80(00723.0)40(008807.0
)20(05921.006399.0847.316.6213700
+++
+++
+++
+
−−−+−−
−−−+−−
−+−−−+
−+−+−=
xxxxxxxxx
xxxxy
model diatas merupakan estimasi model dari harga kurs jual rupiah
kedollar Amerika Serikat pada tahun 2018 dengan nilai koefisien
determinasi 97.79%
2. Terdapat kecenderungan bahwa semakin banyak titik knot maka
semakin besar juga R-squared, tetapi tidak dapat disimpulkan
bahwa dengan semakin besar orde semakin besar juga R-squared.
B. Saran
Karena keterbatasan peneliti dalam hal memperoleh referensi dan
pemrograman untuk perhitungan, pada penelitian ini masih banyak
permasalahan yang belum dikaji secara mendalam dan rinci. Oleh karena
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
45
itu, beberapa hal yang dapat disarankan pada penelitian selanjutnya
adalah:
1. Masih banyak metode yang dapat dikembangkan dari penelitian
mengenai regresi nonparametrik yang ada.
2. Dapat memperbanyak banyaknya jumlah titik knot dan lokasi titik
knot optimum sehingga GCV yang dihasilkan bisa semakin kecil
dan model regresi nonparametrik spline akan semakin bagus.
3. Dapat memperluas metode regresi spline dengan menggunakan
semiparametrik.
4. Untuk kombinasi Orde dan Knot yang makin besar dapat dilakukan
pengujian lebih lanjut.
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
46
Dafta Pustaka
Eubank, Randal L. (1999). Nonparametric Regression and Spline
Smoothing. New York : Marcel Dekker.
Homser, David W. & Stanley Lemeshow. (2000). Applied Logistic
Regression. nd2 Edition. New York: John Wiley & Sons.
Rumlawang F.Y., S. N. Aulele, & N. Kasim. 2018. Penentuan Model
Regresi Nonparametrik Spline pada Data Pertumbuhan Balita di
Desa Nania Provinsi Maluku Tahun 2013-2014. Barekeng Jurnal
Ilmu Matematika dan terapan. 12(1): 27 – 32.
Ruppert, David. (2002). Selecting the Number of Knots for Penalized
Splines. Journal of Computational and Graphical Statistics. 11 (4)
: 735-757.
https://www.jstor.org/stable/1391159 (Di akses 26 Juni 2019)
Wapole, Ronald E., Raymond H. Myers, Sharon L. Myers & Keying Ye.
(2012). Probability & Statistics for Engineers & Scientists. 9𝑡ℎ
Edition. Boston: Prentice Hall.
Wackerly Dennis D., William Mendenhall III, & Richard L. Scheaffer.
(2008). Mathematical Statistics with Applications. Seventh Edition.
Duxbury : Brooks/Cole
https://www.rdocumentation.org/packages/mgcv/versions/1.8-28
(8 Mei 2019 pukul 03.49)
https://stat.ethz.ch/R-manual/R-devel/library/datasets/html/cars.html
(10 Oktober 2018 pukul 02.35)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
47
https://www.bi.go.id/id/moneter/informasi-kurs/transaksi-bi/Default.aspx
(Diakses 1 Januari 2019)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
48
Lampiran
Lampiran 1: Data Contoh 3.1 Speed and Stopping Distances of Cars
speed dist
4 2
4 10
7 4
7 22
8 16
9 10
10 18
10 26
10 34
11 17
11 28
12 14
12 20
12 24
12 28
13 26
13 34
13 34
13 46
14 26
14 36
14 60
14 80
15 20
15 26
15 54
16 32
16 40
17 32
17 40
17 50
18 42
18 56
18 76
18 84
19 36
19 46
19 68
20 32
20 48
20 52
20 56
20 64
22 66
23 54
24 70
24 92
24 93
24 120
25 85
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
49
Lampiran 2: Gambar 3.3 Scatter Plot
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> data
x y
1 0.1 0.31
2 0.2 0.01
3 0.3 0.59
4 0.4 0.02
5 0.5 0.83
6 0.6 0.12
7 0.7 0.90
8 0.8 1.10
9 0.9 0.47
10 1.0 0.68
11 1.1 1.77
12 1.2 0.97
13 1.3 2.01
14 1.4 1.48
15 1.5 2.58
16 1.6 2.01
17 1.7 3.17
18 1.8 2.87
19 1.9 3.96
20 2.0 3.79
> attach(data)
> plot(x, y, main="Scatter Plot (CONTOH)", xlab="X", ylab="Y", pch=149)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
50
Lampiran 3: Gambar 3.4 Ploting Estimasi
> library(mgcv)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> attach(data)
> X2<-x^2
> X3<-x^3
> XA<-ifelse(x>0.5,1,0)
> XB<-ifelse(x>1,1,0)
> XC<-ifelse(x>1.5,1,0)
> knot1<-(x-0.5)^3*XA
> knot2<-(x-1)^3*XB
> knot3<-(x-1.5)^3*XC
> Contoh<-data.frame(y,x,X2,X3, knot1, knot2, knot3)
> OUTPUT<-gam(y ~ x+ X2+ X3+ knot1+ knot2+ knot3, data= Contoh)
> lines(x,OUTPUT$fitted.values, lty="dashed",col="blue",lwd=3)
Lampiran 4: Data Kurs Jual dan Kurs Beli
Kurs Jual Kurs Beli Tanggal
14,553.00 14,409.00 31 Des 2018
14,615.00 14,469.00 28 Des 2018
14,636.00 14,490.00 27 Des 2018
14,675.00 14,529.00 26 Des 2018
14,552.00 14,408.00 21 Des 2018
14,571.00 14,427.00 20 Des 2018
14,452.00 14,308.00 19 Des 2018
14,596.00 14,450.00 18 Des 2018
14,690.00 14,544.00 17 Des 2018
14,611.00 14,465.00 14 Des 2018
14,609.00 14,463.00 13 Des 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
51
14,650.00 14,504.00 12 Des 2018
14,686.00 14,540.00 11 Des 2018
14,590.00 14,444.00 10 Des 2018
14,612.00 14,466.00 7 Des 2018
14,580.00 14,434.00 6 Des 2018
14,455.00 14,311.00 5 Des 2018
14,364.00 14,222.00 4 Des 2018
14,323.00 14,181.00 3 Des 2018
14,411.00 14,267.00 30 Nop 2018
14,480.00 14,336.00 29 Nop 2018
14,608.00 14,462.00 28 Nop 2018
14,577.00 14,431.00 27 Nop 2018
14,624.00 14,478.00 26 Nop 2018
14,625.00 14,479.00 23 Nop 2018
14,665.00 14,519.00 22 Nop 2018
14,691.00 14,545.00 21 Nop 2018
14,659.00 14,513.00 19 Nop 2018
14,667.00 14,521.00 16 Nop 2018
14,838.00 14,690.00 15 Nop 2018
14,829.00 14,681.00 14 Nop 2018
14,969.00 14,821.00 13 Nop 2018
14,821.00 14,673.00 12 Nop 2018
14,705.00 14,559.00 9 Nop 2018
14,724.00 14,578.00 8 Nop 2018
14,838.00 14,690.00 7 Nop 2018
14,965.00 14,817.00 6 Nop 2018
15,047.00 14,897.00 5 Nop 2018
15,164.00 15,014.00 2 Nop 2018
15,271.00 15,119.00 1 Nop 2018
15,303.00 15,151.00 31 Okt 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
52
15,313.00 15,161.00 30 Okt 2018
15,294.00 15,142.00 29 Okt 2018
15,283.00 15,131.00 26 Okt 2018
15,286.00 15,134.00 25 Okt 2018
15,269.00 15,117.00 24 Okt 2018
15,284.00 15,132.00 23 Okt 2018
15,268.00 15,116.00 22 Okt 2018
15,297.00 15,145.00 19 Okt 2018
15,263.00 15,111.00 18 Okt 2018
15,254.00 15,102.00 17 Okt 2018
15,282.00 15,130.00 16 Okt 2018
15,322.00 15,170.00 15 Okt 2018
15,270.00 15,118.00 12 Okt 2018
15,329.00 15,177.00 11 Okt 2018
15,291.00 15,139.00 10 Okt 2018
15,309.00 15,157.00 9 Okt 2018
15,269.00 15,117.00 8 Okt 2018
15,258.00 15,106.00 5 Okt 2018
15,209.00 15,057.00 4 Okt 2018
15,163.00 15,013.00 3 Okt 2018
15,063.00 14,913.00 2 Okt 2018
14,980.00 14,830.00 1 Okt 2018
15,004.00 14,854.00 28 Sep 2018
14,994.00 14,844.00 27 Sep 2018
15,013.00 14,863.00 26 Sep 2018
14,967.00 14,819.00 25 Sep 2018
14,939.00 14,791.00 24 Sep 2018
14,898.00 14,750.00 21 Sep 2018
14,913.00 14,765.00 20 Sep 2018
14,970.00 14,822.00 19 Sep 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
53
14,983.00 14,833.00 18 Sep 2018
14,933.00 14,785.00 17 Sep 2018
14,909.00 14,761.00 14 Sep 2018
14,868.00 14,720.00 13 Sep 2018
14,937.00 14,789.00 12 Sep 2018
14,909.00 14,761.00 10 Sep 2018
14,958.00 14,810.00 7 Sep 2018
14,965.00 14,817.00 6 Sep 2018
15,002.00 14,852.00 5 Sep 2018
14,914.00 14,766.00 4 Sep 2018
14,841.00 14,693.00 3 Sep 2018
14,785.00 14,637.00 31 Agust 2018
14,728.00 14,582.00 30 Agust 2018
14,716.00 14,570.00 29 Agust 2018
14,687.00 14,541.00 28 Agust 2018
14,683.00 14,537.00 27 Agust 2018
14,728.00 14,582.00 24 Agust 2018
14,693.00 14,547.00 23 Agust 2018
14,641.00 14,495.00 21 Agust 2018
14,651.00 14,505.00 20 Agust 2018
14,692.00 14,546.00 16 Agust 2018
14,694.00 14,548.00 15 Agust 2018
14,698.00 14,552.00 14 Agust 2018
14,656.00 14,510.00 13 Agust 2018
14,509.00 14,365.00 10 Agust 2018
14,494.00 14,350.00 9 Agust 2018
14,511.00 14,367.00 8 Agust 2018
14,557.00 14,413.00 7 Agust 2018
14,553.00 14,409.00 6 Agust 2018
14,576.00 14,430.00 3 Agust 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
54
14,518.00 14,374.00 2 Agust 2018
14,514.00 14,370.00 1 Agust 2018
14,485.00 14,341.00 31 Jul 2018
14,481.00 14,337.00 30 Jul 2018
14,555.00 14,411.00 27 Jul 2018
14,515.00 14,371.00 26 Jul 2018
14,588.00 14,442.00 25 Jul 2018
14,614.00 14,468.00 24 Jul 2018
14,526.00 14,382.00 23 Jul 2018
14,593.00 14,447.00 20 Jul 2018
14,490.00 14,346.00 19 Jul 2018
14,478.00 14,334.00 18 Jul 2018
14,463.00 14,319.00 17 Jul 2018
14,468.00 14,324.00 16 Jul 2018
14,430.00 14,286.00 13 Jul 2018
14,507.00 14,363.00 12 Jul 2018
14,463.00 14,319.00 11 Jul 2018
14,398.00 14,254.00 10 Jul 2018
14,404.00 14,260.00 9 Jul 2018
14,481.00 14,337.00 6 Jul 2018
14,459.00 14,315.00 5 Jul 2018
14,415.00 14,271.00 4 Jul 2018
14,490.00 14,346.00 3 Jul 2018
14,403.00 14,259.00 2 Jul 2018
14,476.00 14,332.00 29 Jun 2018
14,342.00 14,200.00 28 Jun 2018
14,234.00 14,092.00 27 Jun 2018
14,234.00 14,092.00 26 Jun 2018
14,176.00 14,034.00 25 Jun 2018
14,173.00 14,031.00 22 Jun 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
55
14,160.00 14,020.00 21 Jun 2018
13,972.00 13,832.00 20 Jun 2018
13,972.00 13,832.00 19 Jun 2018
13,972.00 13,832.00 8 Jun 2018
13,937.00 13,799.00 7 Jun 2018
13,944.00 13,806.00 6 Jun 2018
13,956.00 13,818.00 5 Jun 2018
13,941.00 13,803.00 4 Jun 2018
14,021.00 13,881.00 31 Mei 2018
14,102.00 13,962.00 30 Mei 2018
14,135.00 13,995.00 28 Mei 2018
14,237.00 14,095.00 25 Mei 2018
14,276.00 14,134.00 24 Mei 2018
14,263.00 14,121.00 23 Mei 2018
14,249.00 14,107.00 22 Mei 2018
14,247.00 14,105.00 21 Mei 2018
14,178.00 14,036.00 18 Mei 2018
14,144.00 14,004.00 17 Mei 2018
14,164.00 14,024.00 16 Mei 2018
14,090.00 13,950.00 15 Mei 2018
14,046.00 13,906.00 14 Mei 2018
14,118.00 13,978.00 11 Mei 2018
14,144.00 14,004.00 9 Mei 2018
14,106.00 13,966.00 8 Mei 2018
14,026.00 13,886.00 7 Mei 2018
14,013.00 13,873.00 4 Mei 2018
14,035.00 13,895.00 3 Mei 2018
14,006.00 13,866.00 2 Mei 2018
13,946.00 13,808.00 30 Apr 2018
13,948.00 13,810.00 27 Apr 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
56
14,000.00 13,860.00 26 Apr 2018
13,957.00 13,819.00 25 Apr 2018
13,970.00 13,830.00 24 Apr 2018
13,963.00 13,825.00 23 Apr 2018
13,873.00 13,735.00 20 Apr 2018
13,847.00 13,709.00 19 Apr 2018
13,839.00 13,701.00 18 Apr 2018
13,839.00 13,701.00 17 Apr 2018
13,835.00 13,697.00 16 Apr 2018
13,822.00 13,684.00 13 Apr 2018
13,832.00 13,694.00 12 Apr 2018
13,816.00 13,678.00 11 Apr 2018
13,828.00 13,690.00 10 Apr 2018
13,840.00 13,702.00 9 Apr 2018
13,840.00 13,702.00 6 Apr 2018
13,836.00 13,698.00 5 Apr 2018
13,829.00 13,691.00 4 Apr 2018
13,834.00 13,696.00 3 Apr 2018
13,819.00 13,681.00 2 Apr 2018
13,825.00 13,687.00 29 Mar 2018
13,814.00 13,676.00 28 Mar 2018
13,777.00 13,639.00 27 Mar 2018
13,845.00 13,707.00 26 Mar 2018
13,849.00 13,711.00 23 Mar 2018
13,806.00 13,668.00 22 Mar 2018
13,828.00 13,690.00 21 Mar 2018
13,830.00 13,692.00 20 Mar 2018
13,834.00 13,696.00 19 Mar 2018
13,834.00 13,696.00 16 Mar 2018
13,817.00 13,679.00 15 Mar 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
57
13,808.00 13,670.00 14 Mar 2018
13,826.00 13,688.00 13 Mar 2018
13,837.00 13,699.00 12 Mar 2018
13,863.00 13,725.00 9 Mar 2018
13,843.00 13,705.00 8 Mar 2018
13,832.00 13,694.00 7 Mar 2018
13,819.00 13,681.00 6 Mar 2018
13,809.00 13,671.00 5 Mar 2018
13,815.00 13,677.00 2 Mar 2018
13,862.00 13,724.00 1 Mar 2018
13,776.00 13,638.00 28 Feb 2018
13,718.00 13,582.00 27 Feb 2018
13,727.00 13,591.00 26 Feb 2018
13,738.00 13,602.00 23 Feb 2018
13,733.00 13,597.00 22 Feb 2018
13,650.00 13,514.00 21 Feb 2018
13,641.00 13,505.00 20 Feb 2018
13,609.00 13,473.00 19 Feb 2018
13,638.00 13,502.00 15 Feb 2018
13,725.00 13,589.00 14 Feb 2018
13,712.00 13,576.00 13 Feb 2018
13,677.00 13,541.00 12 Feb 2018
13,711.00 13,575.00 9 Feb 2018
13,670.00 13,534.00 8 Feb 2018
13,601.00 13,465.00 7 Feb 2018
13,646.00 13,510.00 6 Feb 2018
13,565.00 13,431.00 5 Feb 2018
13,495.00 13,361.00 2 Feb 2018
13,469.00 13,335.00 1 Feb 2018
13,480.00 13,346.00 31 Jan 2018
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
58
13,465.00 13,331.00 30 Jan 2018
13,394.00 13,260.00 29 Jan 2018
13,370.00 13,236.00 26 Jan 2018
13,356.00 13,224.00 25 Jan 2018
13,388.00 13,254.00 24 Jan 2018
13,385.00 13,251.00 23 Jan 2018
13,401.00 13,267.00 22 Jan 2018
13,398.00 13,264.00 19 Jan 2018
13,432.00 13,298.00 18 Jan 2018
13,390.00 13,256.00 17 Jan 2018
13,400.00 13,266.00 16 Jan 2018
13,397.00 13,263.00 15 Jan 2018
13,429.00 13,295.00 12 Jan 2018
13,494.00 13,360.00 11 Jan 2018
13,516.00 13,382.00 10 Jan 2018
13,495.00 13,361.00 9 Jan 2018
13,464.00 13,330.00 8 Jan 2018
13,472.00 13,338.00 5 Jan 2018
13,541.00 13,407.00 4 Jan 2018
13,565.00 13,431.00 3 Jan 2018
13,610.00 13,474.00 2 Jan 2018
Lampiran 5: Scatter Plot Kurs Beli dan Kurs Jual
Gambar 4.1 (Kurs Beli)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> attach(data)
> plot(Tanggal, Beli, main="Scatter Plot Kurs Beli", xlab="Waktu",
ylab="Harga", pch=149)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
59
Gambar 4.2 (Kurs Jual)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> attach(data)
> plot(Tanggal, Jual, main="Scatter Plot Kurs Jual", xlab="Waktu",
ylab="Harga", pch=149)
Lampiran 6: Nilai GCV
Tabel 4.1 (KURS BELI)
> library(mgcv)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> data
> attach(data)
> Tanggal2=Tanggal^2
> Tanggal3=Tanggal^3
> X1<-ifelse(Tanggal>20,1,0)
> X2<-ifelse(Tanggal>40,1,0)
> X3<-ifelse(Tanggal>80,1,0)
> X4<-ifelse(Tanggal>100,1,0)
> X5<-ifelse(Tanggal>120,1,0)
> X6<-ifelse(Tanggal>140,1,0)
> X7<-ifelse(Tanggal>160,1,0)
> X8<-ifelse(Tanggal>180,1,0)
> X9<-ifelse(Tanggal>200,1,0)
> X10<-ifelse(Tanggal>220,1,0)
# LINEAR SPLINE
> knot20<-(Tanggal-20)*X1
> knot40<-(Tanggal-40)*X2
> knot80<-(Tanggal-80)*X3
> knot100<-(Tanggal-100)*X4
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
60
> knot120<-(Tanggal-120)*X5
> knot140<-(Tanggal-140)*X6
> knot160<-(Tanggal-160)*X7
> knot180<-(Tanggal-180)*X8
> knot200<-(Tanggal-200)*X9
> knot220<-(Tanggal-220)*X10
#40,80,120,160,200
> working1<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot120,knot160,knot200)
> GCV1 <-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,
data=working1)
> GCV1
> Estimasi1<-lm( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,
data=working1)
> summary(Estimasi1)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
61
#40,80,100,120,160,200
> working2<-
data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot160,knot200)
> GCV2 <-gam(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working2)
> GCV2
> Estimasi2<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working2)
> summary(Estimasi2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
62
#40,80,100,120,140,160,200
> working3<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140,
knot160,knot200)
> GCV3 <-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot200, data=working3)
> GCV3
> Estimasi3<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot200, data=working3)
> summary(Estimasi3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
63
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working4<-data.frame (Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140,
knot160,knot180,knot200)
> GCV4<-gam(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200, data=working4)
> GCV4
> Estimasi4<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200, data=working4)
> summary(Estimasi4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
64
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working5<-data.frame(Beli,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140
,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV5<-gam( Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200+knot220, data=working5)
> GCV5
> Estimasi5<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200+knot220, data=working5)
> summary(Estimasi5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
65
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working6<-data.frame(Beli,Tanggal,knot20,knot40,knot80,knot100, knot120,
knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV6<-gam( Beli ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working6)
> GCV6
> Estimasi6<- lm(Beli ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working6)
> summary(Estimasi6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
66
# KUADRATIK SPLINE
> knot20<-(Tanggal-20)^2*X1
> knot40<-(Tanggal-40)^2*X2
> knot80<-(Tanggal-80)^2*X3
> knot100<-(Tanggal-100)^2*X4
> knot120<-(Tanggal-120)^2*X5
> knot140<-(Tanggal-140)^2*X6
> knot160<-(Tanggal-160)^2*X7
> knot180<-(Tanggal-180)^2*X8
> knot200<-(Tanggal-200)^2*X9
> knot220<-(Tanggal-220)^2*X10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
67
#40,80,120,160,200
> working7<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot120,
knot160,knot200)
> GCV7 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+knot40+knot80+knot120+
knot160+knot200, data=working7)
> GCV7
> Estimasi7<-lm( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+ knot40+knot80+knot120+
knot160+knot200, data=working7)
> summary(Estimasi7)
#40,80,100,120,160,200
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
68
> working8<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,knot120,
knot160,knot200)
> GCV8 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2 +knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working8)
> GCV8
> Estimasi8<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working8)
> summary(Estimasi8)
#40,80,100,120,140,160,200
> working9<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,knot120,
knot140,knot160,knot200)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
69
> GCV9 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2
+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working9)
> GCV9
> Estimasi9<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+ knot160+ knot200, data=working9)
> summary(Estimasi9)
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working10<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,
knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)
> GCV10<-gam(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+
knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working10)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
70
> GCV10
> Estimasi10<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+
knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200,
data=working10)
> summary(Estimasi10)
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working11<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,
knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV11<-gam( Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+
knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
71
> GCV11
> Estimasi11<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)
> summary(Estimasi11)
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working12<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,knot20,knot40,knot80,knot100,
knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
72
> GCV12<-gam( Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working12)
> GCV12
> Estimasi12<- lm(Beli ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working12)
> summary(Estimasi12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
73
# KUBIK SPLINE
> knot20<-(Tanggal-20)^3*X1
> knot40<-(Tanggal-40)^3*X2
> knot80<-(Tanggal-80)^3*X3
> knot100<-(Tanggal-100)^3*X4
> knot120<-(Tanggal-120)^3*X5
> knot140<-(Tanggal-140)^3*X6
> knot160<-(Tanggal-160)^3*X7
> knot180<-(Tanggal-180)^3*X8
> knot200<-(Tanggal-200)^3*X9
> knot220<-(Tanggal-220)^3*X10
#40,80,120,160,200
> working13<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,
knot80,knot120, knot160,knot200)
> GCV13 <-gam( Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot120+ knot160+knot200, data=working13)
> GCV13
> Estimasi13<-lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+
knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200, data=working13)
> summary(Estimasi13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
74
#40,80,100,120,160,200
> working14<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot160,knot200)
> GCV14 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+ knot160+knot200, data=working14)
> GCV14
> Estimasi14<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+ knot160+knot200, data=working14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
75
> summary(Estimasi14)
#40,80,100,120,140,160,200
> working15<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,
knot80,knot100,knot120, knot140,knot160,knot200)
> GCV15 <-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working15)
> GCV15
> Estimasi15<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100
+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working15)
> summary(Estimasi15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
76
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working16<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)
> GCV16<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100
+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)
> GCV16
> Estimasi16<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
77
> summary(Estimasi16)
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working17<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,
knot80,knot100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV17<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working17)
> GCV17
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
78
> Estimasi17<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working17)
> summary(Estimasi17)
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working18<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,
knot40,knot80,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV18<-gam(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+
knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working18)
> GCV18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
79
> Estimasi18<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+
knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working18)
> summary(Estimasi18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
80
Lampiran 7: Nilai GCV
Tabel 4.2 (KURS JUAL)
> library(mgcv)
> data= read.csv(file.choose(), header=T)
> data
> attach(data)
> Tanggal2=Tanggal^2
> Tanggal3=Tanggal^3
> X1<-ifelse(Tanggal>20,1,0)
> X2<-ifelse(Tanggal>40,1,0)
> X3<-ifelse(Tanggal>80,1,0)
> X4<-ifelse(Tanggal>100,1,0)
> X5<-ifelse(Tanggal>120,1,0)
> X6<-ifelse(Tanggal>140,1,0)
> X7<-ifelse(Tanggal>160,1,0)
> X8<-ifelse(Tanggal>180,1,0)
> X9<-ifelse(Tanggal>200,1,0)
> X10<-ifelse(Tanggal>220,1,0)
# LINEAR SPLINE
#40,80,120,160,200
> working1<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot120,knot160,knot200)
> GCV1 <-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,
data=working1)
> GCV1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
81
> Estimasi1<-lm( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200,
data=working1)
> summary(Estimasi1)
#40,80,100,120,160,200
> working2<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot160,knot200)
> GCV2 <-gam(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working2)
> GCV2
> Estimasi2<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working2)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
82
> summary(Estimasi2)
#40,80,100,120,140,160,200
> working3<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,
knot140,knot160,knot200)
> GCV3 <-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot200, data=working3)
> GCV3
> Estimasi3<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot200, data=working3)
> summary(Estimasi3)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
83
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working4<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,
knot140,knot160,knot180,knot200)
> GCV4<-gam(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200, data=working4)
> GCV4
> Estimasi4<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200, data=working4)
> summary(Estimasi4)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
84
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working5<-data.frame(Jual,Tanggal,knot40,knot80,knot100,knot120,knot140
,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV5<-gam( Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200+knot220, data=working5)
> GCV5
> Estimasi5<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+
knot160+knot180+knot200+knot220, data=working5)
> summary(Estimasi5)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
85
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working6<-data.frame(Jual,Tanggal,knot20,knot40,knot80,knot100,
knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV6<-gam( Jual ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working6)
> GCV6
> Estimasi6<- lm(Jual ~ Tanggal+ knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working6)
> summary(Estimasi6)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
86
# KUADRATIK SPLINE
> knot20<-(Tanggal-20)^2*X1
> knot40<-(Tanggal-40)^2*X2
> knot80<-(Tanggal-80)^2*X3
> knot100<-(Tanggal-100)^2*X4
> knot120<-(Tanggal-120)^2*X5
> knot140<-(Tanggal-140)^2*X6
> knot160<-(Tanggal-160)^2*X7
> knot180<-(Tanggal-180)^2*X8
> knot200<-(Tanggal-200)^2*X9
> knot220<-(Tanggal-220)^2*X10
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
87
#40,80,120,160,200
> working7<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,
knot120,knot160,knot200)
> GCV7 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+knot40+knot80+knot120+
knot160+knot200, data=working7)
> GCV7
> Estimasi7<-lm( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+ knot40+knot80+knot120+
knot160+knot200, data=working7)
> summary(Estimasi7)
#40,80,100,120,160,200
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
88
> working8<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100
,knot120,knot160,knot200)
> GCV8 <-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2 +knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working8)
> GCV8
> Estimasi8<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working8)
> summary(Estimasi8)
#40,80,100,120,140,160,200
> working9<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100,knot120,
knot140,knot160,knot200)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
89
> GCV9 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2
+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working9)
> GCV9
> Estimasi9<- lm(Jual ~ Tanggal+
Tanggal2+knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot200,
data=working9)
> summary(Estimasi9)
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working10<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,knot100
,knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
90
> GCV10<-gam(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working10)
> GCV10
> Estimasi10<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+
knot40+knot80+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200,
data=working10)
> summary(Estimasi10)
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working11<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot40,knot80,k
not100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
91
> GCV11<-gam( Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)
> GCV11
> Estimasi11<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot40+knot80+knot100
+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220, data=working11)
> summary(Estimasi11)
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working12<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,knot20,knot40,knot80,knot100,
knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
92
> GCV12<-gam( Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working12)
> GCV12
> Estimasi12<- lm(Jual ~ Tanggal+ Tanggal2+knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working12)
> summary(Estimasi12)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
93
# KUBIK SPLINE
> knot20<-(Tanggal-20)^3*X1
> knot40<-(Tanggal-40)^3*X2
> knot80<-(Tanggal-80)^3*X3
> knot100<-(Tanggal-100)^3*X4
> knot120<-(Tanggal-120)^3*X5
> knot140<-(Tanggal-140)^3*X6
> knot160<-(Tanggal-160)^3*X7
> knot180<-(Tanggal-180)^3*X8
> knot200<-(Tanggal-200)^3*X9
> knot220<-(Tanggal-220)^3*X10
#40,80,120,160,200
> working13<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot120,knot160,knot200)
> GCV13 <-gam( Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80
+knot120+ knot160+knot200, data=working13)
> GCV13
> Estimasi13<-lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+
knot40+knot80+knot120+ knot160+knot200, data=working13)
> summary(Estimasi13)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
94
#40,80,100,120,160,200
> working14<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot160,knot200)
> GCV14 <-gam(Jual ~
Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100+knot120+
knot160+knot200, data=working14)
> GCV14
> Estimasi14<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+
knot100+knot120+ knot160+knot200, data=working14)
> summary(Estimasi14)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
95
#40,80,100,120,140,160,200
> working15<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120, knot140,knot160,knot200)
> GCV15 <-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100
+knot120 +knot140+ knot160+knot200, data=working15)
> GCV15
> Estimasi15<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100
+knot120+knot140+ knot160+knot200, data=working15)
> summary(Estimasi15)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
96
#40,80,100,120,140,160,180,200
> working16<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot140, knot160,knot180,knot200)
> GCV16<-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80+knot100
+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)
> GCV16
> Estimasi16<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+ knot40+knot80+
knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200, data=working16)
> summary(Estimasi16)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
97
#40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working17<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot40,knot80,
knot100,knot120,knot140 ,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV17<-gam(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80
+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working17)
> GCV17
> Estimasi17<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot40+knot80
+knot100+knot120+knot140+ knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working17)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
98
> summary(Estimasi17)
#20,40,80,100,120,140,160,180,200,220
> working18<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80
,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> GCV18<-gam(Jual ~
Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+knot80+knot100+
knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220, data=working18)
> GCV18
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
99
> Estimasi18<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40
+knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working18)
> summary(Estimasi18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
100
Lampiran 8: Parameter Penduga regresi
KURS BELI
> working18<-data.frame(Beli,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80
,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> Estimasi18<- lm(Beli ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40+
knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working18)
> summary(Estimasi18)
KURS JUAL
> working18<-data.frame(Jual,Tanggal,Tanggal2,Tanggal3,knot20,knot40,knot80
,knot100, knot120,knot140,knot160,knot180,knot200,knot220)
> Estimasi18<- lm(Jual ~ Tanggal+Tanggal2+Tanggal3+knot20+knot40
+knot80+knot100+ knot120+knot140+knot160+knot180+knot200+knot220,
data=working18)
> summary(Estimasi18)
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
101
Lampiran 9: Ploting Estimasi Data
Gambar 4.3(Kurs Beli)
> plot(Tanggal,Beli,main="Kurs Beli", xlab="Waktu", ylab="Harga",pch=149)
> lines(Tanggal,Estimasi18$fitted.values,lty="dashed",col="blue",lwd=2)
> abline(v=c(20,40,80,100,120,140,160,180,200,220),lty=2,col="darkgreen")
Gambar 4.4(Kurs Jual)
> plot(Tanggal,Jual,main="Kurs Jual", xlab="Waktu", ylab="Harga",pch=149)
> lines(Tanggal,Estimasi18$fitted.values,lty="dashed",col="blue",lwd=2)
> abline(v=c(20,40,80,100,120,140,160,180,200,220),lty=2,col="darkgreen")
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
102
( )
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−−−−−
−−−
=−
180207.2041561741.1090444239.14502756438.9676434.10870433246.3407843406.26561741.10907009224.87935176.1666576917.120020474.14015662928.45695058625.36
444239.145035176.1666328386.4987392794.3959815004.492653104.17682809414.1622756438.967576917.1200392794.3959177783.3196001917.4022345896.14687050465.137
6434.108720474.1401815004.4926001917.4022960179.5102931913.18874843054.1800433246.3405662928.45653104.1768345896.1468931913.18878542996.71400523501.71
7843406.2695058625.362809414.1627050465.1374843054.18000523501.71695320631.7
1TXX
Matriks 3.1
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
103
( )
−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−−−−−−
−−−−−−−−
−−−
=−
90123159.18578106683.4523593803.4881879521.2197179739.3988504638.0077333529.081392787.11970126746.5313958417.6049751187.4499941359.4393108067.1109073909.011033572.1971685413.6222738015.6933154171.3355231497.434444297.110507895.059071431.11721889437.107491341.0052188143.0083798846.003513892.0002860512.0
142213998.2954953365.4257346975.7726793328.4269639192.5635802444.1128286581.048572683.13253860308.990187472.10911178957.6654779064.7363445304.2184741361.087828203.15205579166.843694564.7393138249.4779351383.445351274.1112551298.092305826.10203104675.3757387491.0170433004.146593733.149575168.0408198.0
264414407.2270006689.3850627661.9155363366.7102737152.8546061065.2201123784.0453290663.6730198447.801227786.169374814.1015269816.12759128521.3294112508.058569807.1169391412.1041184107.15892615671.963747044.10196667159.3245537821.057901069.10557298164.7885172053.5597171658.2979908806.1376956377.0018102163.0
241678339.5235298701.1066467412.8570137488.7762312966.9355459251.3277689683.0527287404.1477435206.527546377.200300217.1625031636.19199468861.649438235.0828874971.6786254501.957420348.242031909.1896522285.20353961589.6484520467.0764072792.7896510127.879507298.1451035504.9508153927.9017826569.2100648665.0884313535.2679904787.124221288.1066838317.1062295392.15841516022.6642407483.0457193175.3326451775.676862574.3111534982.2722290421.3518252185.1308069864.1456793476.5919098055.702780882.2665347822.2015968541.25195115539.8387994526.0
689166496.2105427452.473659464.3089429834.2769871396.3893077829.16261935138.2
1T XXX
Matriks 3.2
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
104
=
0.885683390.03042166-0.03398522-0.02066043-0.00029757-0.017253070.022141200.009040140.00928243-0.01553524-0.00757298
0.03042166-0.279794430.240470550.152714330.049641120.03563374-0.06999489-0.03573882-0.023190610.047437710.02235319-0.03398522-0.240470550.234119570.187173540.119360480.05040839090.000045280.01788603-0.01308340-0.00112986-0.002391550.02066043-0.152714330.187173540.202286800.195076140.162563570.101771110.017787250.05203363-0.06227074-0.032496750.00029757-0.049641120.119360480.195076140.251315430.262605690.203474290.068724030.06574042-0.10373894-0.050908600.017253070.03563374-0.050408390.162563570.262605690.312308700.273446520.132367260.02628410-0.09328846-0.040573340.022141200.06999489-00.000045280.101771110.203474290.273446520.279979480.206159940.094254960.001326660.01556280-0.009040140.03573882-0.01788603-0.017787250.068724030.132367260.206159940.277302820.292027810.186324630.10381703-0.00928243-0.023190610.01308340-0.05203363-0.06574042-0.02628410-0.094254960.292027810.436110980.363812360.08756014-0.01553524-0.047437710.00112986-0.06227074-0.10373894-0.09328846-0.001326660.186324630.363812360.409868990.200573650.007572980.02235319-0.002391550.032496750.0509086060,040573340.01556280-0.10381703-0.08756014-0.200573650.92795015
H
Matriks 3.3
PLAGIAT MERUPAKAN TINDAKAN TIDAK TERPUJI
Top Related