Instruktur : Ferry Wahyu Wibowo, S.Si., M.Cs.
Aljabar Linear dan Matriks
(Transformasi Linier dan Matriks)
Ch2_2
2.1 Penjumlahan, Perkalian Skalar,
dan Perkalian Matriks• aij: unsur dari matriks A di baris i dan kolom j.
Definisi
Dua matriks adalah sama jika keduanya mempunyai ukuran yang sama dan
jika unsur terkaitnya juga sama.
Lalu A = B jika aij = bij i, j. ( untuk setiap atau untuk semua)
Ch2_3
Penjumlahan Matriks
DefinisiUntuk A dan B berupa matriks dengan ukuran yang sama.
sum A + B adalah matriks diperoleh dari penjumlahan unsur A dan B.
Matriks A + B akan berukuran sama sebagai A dan B.
Jika A dan B tidak sama ukurannya, maka kedua matriks tersebut tidak dapat
dijumlahkan.
. maka , jikaLalu i,jbacBAC ijijij
Ch2_4
Contoh
.72
45dan ,
813
652 ,
320
741Untuk
CBA
Tentukan A + B dan A + C, jika dapat dijumlahkan.
Solusi
.1113193
831230675421
813652
320741
)1(
BA
(2) A dan C tidak sama ukurannya, A + C tidak dapat dijumlahkan.
Ch2_5
Perkalian Skalar dari matriks
DefinisiUntuk A berupa matriks dan c berupa skalar. Perkalian skalar dari A oleh c,
didenotasikan cA, merupakan matriks yang didapatkan dari perkalian setiap
unsur dari A oleh c. Matrix cA akan mempunyai ukuran yang sama sebagai A.
Contoh
.027
421Untuk
A
.0921
126303)3(373
43)2(3133
A
Amati bahwa A dan 3A keduanya merupakan matriks 2 3.
., maka , jikaLalu jicabcAB ijij
Ch2_6
Negasi dan Pengurangan
DefinisiMatriks (1)C dituliskan –C dan disebut negatif dari C.
Contoh
.640
182dan
563
205 Diketahui
BA
.1123
183654603
)1(28025
BA
Definisi pengurangan dalam penjumlahan dan perkalian adalah :
A – B = A + (–1)B
Contoh
263
701lalu ,
263
701CC
., , maka , jikaLalu jibacBAC ijijij
Ch2_7
Perkalian Matriks
26
12
)54()23(
)52()21(
5
2 43
5
2 21
5
2
43
21
Contoh
2010
19614
6
102
2
002
3
5 02
6
131
2
031
3
5 31
623
105
02
31
Ch2_8
Contoh 1
ada. tidak produk bahwan Menunjukka
.36
27 ,
514
213Untuk
AB
BA
36
27
514
213AB
3
2 514
6
7 514
3
2 213
6
7 213
AB tidak ada.
Solusi
Catatan. Umumnya, ABBA.
Ch2_9
njinjiji
nj
j
j
iniiij bababa
b
b
b
aaac
2211
2
1
21
DefinisiUntuk jumlah kolom dalam matriks A berupa sama sebagaimana jumlah dari
baris di matriks B. Produk AB ada.
Jika jumlah kolom dalam A tidak sama dengan jumlah baris B,
dikatakan bahwa produk tidak ada.
Untuk A: matriks mn , B: matriks nk ,
Matriks produk C=AB mempunyai unsur
C merupakan matriks mk .
Ch2_10
Contoh 2
ada.produk jika ,dan Tentukan
.623
105 ,
02
31Untuk
BAAB
BA
623105
0231
AB .2010
91614
Solusi
Catatan. Umumnya, ABBA.
BA tidak ada.
2)14()23(12
43
23c
105
237dan
43
12BA
Contoh3
Untuk C = AB, Tentukan c23.
Ch2_11
Ukuran dari Matriks Produk
Jika A merupakan matriks m r dan B merupakan matriks r n, maka AB akan
berupa matriks m n.
A
m r
B
r n
= AB
m n
Contoh
Jika A merupakan matriks 5 6 dan B merupakan matriks 6 7.
Karena A mempunyai enam kolom dan B mempunyai enam baris, maka ABada.
AB akan menjadi matriks 5 7.
Ch2_12
DefinisiMatriks nol merupakan matriks yang semua unsurnya nol.
Matriks diagonal merupakan matriks bujur sangkar yang semua unsurnya
yang tidak ada di bagian diagonalnya adalah nol.
Matriks identitas merupakan matriks diagonal yang setiap unsur diagonalnya
adalah 1.
nol matriks
000
000
000
mn0
A diagonal matriks
00
00
00
22
11
nna
a
a
A
identitas matriks
100
010
001
nI
Matriks Khusus
Ch2_13
Teorema 2.1Untuk A adalah matriks m n dan Omn adalah matriks nol m n. Untuk B adalah
matriks bujur sangkar n n. On dan In adalah matriks nol dan n n matriks
identitas. Maka,
A + Omn = Omn + A = ABOn = OnB = On
BIn = InB = B
Contoh 4
.43
12dan
854
312Untuk
BA
AOA
854
312
000
000
854
31223
2200
00
00
00
33
12OOB
BBI
43
12
10
01
43
122
Ch2_14
(a) A: mn, B: nrUntuk kolom B adalah matriks B1, B2, …, Br.
Tulis B=[B1 B2 … Br].
Lalu AB=A[B1 B2 … Br]=[AB1 AB2 … ABr].
120
314dan
51
02BA
Perkalian matriks dalam kolom
Contoh
1
3 ,
2
1 ,
0
4321 BBB
2114
628AB dan
2
6 ,
11
2 ,
4
8321 ABABAB
Ch2_15
(b)
A: mn, B: n1, dimana A=[A1 A2 … An] dan .
Didapatkan,
5
2
3
dan 584
132BA
Perkalian Matriks terkait dengan kolom
Contoh
5
1 ,
8
3 ,
4
2321 AAA
3
5
5
15
8
32
4
23AB
nb
b
B 1
nn
n
n AbAbAb
b
b
AAAAB
2211
1
21
Ch2_16
Partisi MatriksMatriks dapat disub-bagikan menjadi jumlah sub-matriks.
Contoh
SR
QPA
152
413
210
dimana 15dan 2 ,41
21 ,
3
0
SRQP
SNRM
QNPM
N
M
SR
QPAB
Contoh
N
MB
SR
QPA
45
12
01
dan
234
203
121
Ch2_17
Contoh 5
Untuk
SJRH
QJPH
J
H
SR
QPAB
.131
121dan
42
03
11
BA
Sebagaimana dengan matriks A.
SR
QPA
42
03
11
Partisi matriks A diinterpretasikan sebagai matriks 22. Untuk produk AB sehingga ada,
maka B harus dipartisi menjadi matriks yang mempunyai dua baris.
Untuk .131
121
J
HB
2166
363
210
13141212
1310
1121
3
1
Ch2_18
2.2 Sifat-sifat Aljabar Operasi
Matriks
Teorema 2.2 -1
Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa
ukuran matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.
Sifat-sifat penjumlahan matriks dan perkalian skalar
1. A + B = B + A Sifat komutatif dari penjumlahan
2. A + (B + C) = (A + B) + C Sifat asosiatif dari penjumlahan
3. A + O = O + A = A (dimana O merupakan matriks nol yang sesuai)
4. c(A + B) = cA + cB Sifat distributif darri penjumlahan
5. (a + b)C = aC + bC Sifat distributif dari penjumlahan
6. (ab)C = a(bC)
Ch2_19
Untuk A, B, dan C berupa matriks dan a, b, dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa
ukuran matriks merupakan suatu operasi yang dapat ditampilkan.
Sifat-sifat perkalian matriks
1. A(BC) = (AB)C Sifat asosiatif dari perkalian
2. A(B + C) = AB + AC Sifat distributif dari perkalian
3. (A + B)C = AC + BC Sifat distributif dari perkalian
4. AIn = InA = A (dimana In merupakan matriks nol yang sesuai)
5. c(AB) = (cA)B = A(cB)
Catatan: AB BA umumnya, perkalian matriks bukan komutatif.
Teorema 2.2 -2
Ch2_20
13
205
12
733
54
312
.1817
2511
53101568
10216092
CBA 532
.13
20 and ,
12
73 ,
54
31Let
CBA
Contoh 1
BuktikanThm 2.2 (A+B=B+A)
.)()( ijijijijijij ABabbaBA
Menurut unsur (i,j)th dari matriks A+B dan B+A:
A+B=B+A
Ch2_21
Contoh 2
.1131112
201310
1321
AB
.19
014
1131112
)(
CAB
.
0
1
4
dan ,201
310 ,
13
21Untuk
CBA Hitung ABC.
Solusi
A B C = D22 23 31 21
ABC = (AB)C = A(BC)
Ch2_22
Dalam aljabar diketahui bahwa hukum pembatalan berlaku.
Jika ab = ac dan a 0 maka b = c.
Jika pq = 0 maka p = 0 atau q = 0.
Bagaimanapun hasil yang sesuai tidak benar untuk matriks.
AB = AC tidak berimplikasi dengan B = C.
PQ = O tidak berimplikasi dengan P = O atau Q = O.
Perhatian
Contoh
. tetapi,86
43 bahwa Amati
.23
83dan ,
12
21 ,
42
21 matriks aSebagaiman (1)
CBACAB
CBA
.dan tetapi, bahwa Amati
.31
62dan ,
42
21 matriks aSebagaiman (2)
OQOPOPQ
QP
Ch2_23
Pangkat Matriks
Teorema 2.3
Jika A merupakan sebuah matriks bujur sangkar n n dan r dan smerupakan integer bukan negatif, maka
1. ArAs = Ar+s.
2. (Ar)s = Ars.
3. A0 = In (secara definisi)
Definisi
Jika A merupakan matriks bujur sangkar, maka
kali k
k AAAA
Ch2_24
Contoh 3
. hitung ,01
21 Jika 4AA
21
23
01
21
01
212A
.65
1011
21
23
21
234
A
Solusi
2
2222
22
463
57362
57)2(3)2(
BBAAB
ABBABBAABA
ABBABABBAA
Contoh 4 Sederhanakan ungkapan matriks berikut
ABBABABBAA 57)2(3)2( 22 Solusi
Ch2_25
Sistem Persamaan Linear
Sistem persamaan linear m dalam n variabel sebagaimana berikut
mnmnm
nn
bxaxa
bxaxa
11
11111
Untuk
mnmnm
n
b
b
B
x
x
X
aa
aa
A
11
1
111
dan , ,
Dapat dituliskan sistem persamaan dalam bentuk matriks
AX = B
Ch2_26
Solusi Persamaan Linear
Sesuai dengan sistem persamaan linear homogen AX=0.
Untuk X1 dan X2 berupa solusi. Maka
AX1=0 and AX2=0
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 0 X1 + X2 juga merupakan solusi
Catatan.
Himpunan solusi untuk sistem persamaan linear merupakan himpunan tertutup
dari penjumlahan dan perkalian skalar, yang merupakan sub-ruang.
Jika c merupakan skalar,
A(cX1) = cAX1 = 0 cX1 juga merupakan solusi
Ch2_27
Contoh 5
Sesuai sistem persamaan linear homogen berikut.
05
03
082
321
32
321
xxx
xx
xxx
Dapat ditunjukkan bahwa ada banyak solusi,
x1=2r, x2=3r, x3 = r.
Solusi merupakan vektor dalam R3
dari bentuk (2r, 3r, r) or r(2, 3, 1).
Solusi membentuk sub-ruang R3 dari
dimensi 1.
Gambar 2.4
Catatan. x1=0, …, xn = 0, merupakan
solusi sampai setiap sistem homogen.
Himpunan solusi untuk setiap sistem
melewati asalnya.
Ch2_28
Solusi untuk sistem Nonhomogen
Untuk AX=Y berupa sistem persamaan linear, sehingga Y0.
Untuk X1 dan X2 berupa dua solusi, maka
AX1=Y dan AX2=Y
A(X1 + X2) = AX1 + AX2 = 2Y X1 + X2 bukan sebuah solusi.
Jika c adalah skalar,
A(cX1) = cAX1 = cY cX1 bukan solusi.
Latihan 41
Tunjukkan bahwa himpunan solusi untuk sistem persamaan linear nonhomogen
tidak tertutup pada penjumlahan dan perkalian skalar, dan bahwa bukan sub-
ruang dari Rn..
Bukti
Himpunan solusi bukan sub-ruang dari Rn.
Contoh
Ch2_29
65
23
882
321
32
321
xxx
xx
xxx
Menurut sistem persamaan linear nonhomogen berikut.
Solusi umum dari sistem ini adalah (2r+4, 3r+2, r).
(2r+4, 3r+2, r) = r(2, 3, 1)+(4, 2, 0)
Catatan bahwa r(2, 3, 1)
merupakan solusi umum
dari sistem homogen
terkait. Vektor (4, 2, 0)
merupakan solusi khusus
untuk sistem nonhomogen
terkait dengan r=0.
Gambar 2.5
Ch2_30
Matriks Idempotent dan Nilpotent
Definisi
(1) Matriks bujur sangkar A dikatakan idempotent jika A2=A.
(2) Matriks bujur sangkar A dikatakan nilpotent jika ada integer positif pdimana A
p=0. Integer terendah p pada A
p=0 disebut derajat nilpotency
dari matriks.
.21
63 ,
21
63 (1) 2 AAA
Contoh
2 :nilpotencyderajat .00
00 ,
31
93 (2) 2
BB
Ch2_31
2.3 Matriks Simetris
DefinisiTranspose matriks A, didenotasikan A
t, merupakan matriks yang
mempunyai kolom dari baris matriks A.
Contoh
.431dan ,654
721 ,
08
72
CBA
0782tA
675241
tB .431
tC
jiAAmnAnmA jiij
tt ., )( ,: : yaitu,
Ch2_32
Teorema 2.4 Sifat-sifat transpos
Untuk A dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran
matriks merupakan matriks yang dapat ditampilkan.
1. (A + B)t = At + Bt Transpos dari penjumlahan
2. (cA)t = cAt Transpos dari perkalian skalar
3. (AB)t = BtAt Transpos dari produk
4. (At)t = A
Ch2_33
nijnijij
ni
i
i
jnjjjiijt
bababa
b
b
b
aaaABAB
2211
2
1
21
)()(
Teorema 2.4 Sifat-sifat TransposBuktikan nomor 3. (AB)t = BtAt
nijnijij
jn
j
j
niii
tttt
ij
tt
bababa
a
a
a
bbb
AjBiAjBiAB
2211
2
1
21
] dari [baris ] dari kolom[] dari [kolom ] dari baris[)(
Ch2_34
Matriks Simetris
6394323293704201
384871410
4552
sesuai
sesuai
DefinisiMatriks simetris merupakan matriks yang sama dengan transpos-nya.
jiaaAA jiij
t , i.e., ,
Contoh
Ch2_35
Contoh 3
UntukC = aA+bB, dimana a dan b merupakan skalar.
Ct = (aA+bB)t
= (aA)t + (bB)t Teorema 2.4 (1)
= aAt + bBt Teorema 2.4 (2)
= aA+ bB karena A dan B adalah simetris
= C
Lalu C adalah simetris.
Buktikan
Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Untuk C berupa
kombinasi linear dari A dan B. Buktikan bahwa produk C adalah simetris.
Ch2_36
Contoh 4
*Harus menunjukkan (a) AB merupakan simetris AB = BA,
dan sebaliknya, (b) AB merupakan simetris AB = BA.
() Untuk AB berupa simetris, maka
AB= (AB)t definisi dari matriks simetris
= BtAt Teorema 2.4 (3)
= BA karena A dan B merupakan simetris
() Untuk AB = BA, maka
(AB)t = (BA)t
= AtBt Teorema 2.4 (3)
= AB karena A dan B merupakan simetris
Buktikan
Untuk A dan B berupa matriks simetris dari ukuran yang sama. Buktikan
bahwa produk AB merupakan simetris jika dan hanya jika AB = BA.
Ch2_37
Contoh 3
Buktikan
Untuk A berupa matriks simetris. Buktikan bahwa A2 merupakan simetris.
tA )( 2 tAA)( )( tt AA 2AAA
Ch2_38
DefinisiUntuk A berupa matriks bujur sangkar. Trace dari A, didenotasikan tr(A)
merupakan jumlah unsur diagonal dari A. Lalu jika merupakan matriks n x n.
tr(A) = a11 + a22 + … + ann
Contoh 5
Tentukan trace dari matriks .037652214
A
Solusi
Sehingga,
.10)5(4)( Atr
Trace matriks
Ch2_39
Teorema 2.5 Sifat-sifat TraceUntukA dan B berupa matriks dan c berupa skalar. Asumsikan bahwa ukuran
dari matriks merupakan operasi yang dapat ditampilkan.
1. tr(A + B) = tr(A) + tr(B)
2. tr(AB) = tr(BA)
3. tr(cA) = c tr (A)
4. tr(At) = tr(A)
Karena unsur diagonal dari A + B are (a11+b11), (a22+b22), …, (ann+bnn), maka
tr(A + B) = (a11 + b11) + (a22 + b22) + …+ (ann + bnn)
= (a11 + a22 + … + ann) + (b11 + b22 + … + bnn)
= tr(A) + tr(B).
Buktikan dari (1)
Ch2_40
Contoh (2) tr(AB)=tr(BA)
101
123 ,
21
02
31
BA
52
118 ,
121
246
220
BAAB
)( 3)( BAtrABtr
Ch2_41
Matriks dengan unsur-unsur kompleks
Unsur matriks dapat berupa bilangan kompleks. Bilangan kompleks berbentuk
z = a + bi
Dimana a dan b merupakan bilangan real dan a disebut bagian real dan bbagian imajiner dari z.
.1i
Konjugasi dari bilangan kompleks z = a + bi didefinisikan dan ditulis z = a bi.
Ch2_42
Contoh 7
.321
23dan
54
232Untuk
ii
iB
i
iiA
Hitung A + B, 2A, dan AB.
Solusi
ii
i
iii
iii
ii
i
i
iiBA
825
35
32514
22332
321
23
54
232
i
ii
i
iiA
108
4624
54
23222
ii
ii
iiiii
iiiiiii
ii
i
i
iiAB
181557
910411
)32)(5()2(4)1)(5()3)(4(
)32)(23()2)(2()1)(23(3)2(
321
23
54
232
Ch2_43
Definisi(i) Istilah konjugasi dari matriks A didenotasikan A dan diperoleh dengan
mengambil konjugasi setiap unsur matriks.
(ii) Transpos konjugasi dari A sditulis dan didefinisikan oleh A*=A t.
(iii) Matriks bujur sangkar C dikatakan hermitian jika C=C*.
i
iiA
76
4132
Contoh (i), (ii)
i
iiA
76
4132
ii
iAA
t
741
632*
Contoh (iii)
*
643
432C
i
iC
Ch2_44
2.4 Invers Matriks
DefinisiUntuk A berupa matriks n n . Jika matriks B ditemukan pada AB = BA = In, maka
A dikatakan invertible dan B disebut invers dari A. Jika suatu matriks B tidak ada,
maka A tidak mempunyai invers. (didenotasikan B = A1, dan Ak=(A1)k )
4321
A
Contoh 1
Buktikan bahwa matriks mempunyai invers .12
2
1
2
3
B
Bukti
22
1
2
3 100112
4321
IAB
22
1
2
3 1001
432112
IBA
Lalu AB = BA = I2, buktikan bahwa matriks A mempunyai invers B.
Ch2_45
Teorema 2.7
Jika matriks mempunyai invers, maka invers-nya unik.
Bukti
Untuk B dan C berupa invers dari A.
Lalu AB = BA = In, dan AC = CA = In.
Kalikan kedua sisi persamaan AB = In dengan C.
C(AB) = CIn(CA)B = C
InB = C
B = C
Lalu matriks dapat diinvers hanya mempunyai satu invers.
Teorema2.2
Ch2_46
Untuk A berupa matriks nn yang
dapat diinvers, Cari A-1?
. ,Untuk 2121
1
nnn CCCIXXXA
Pencarian A1 dengan mencari X1, X2, …, Xn.
Karena AA1 =In, maka .2121 nn CCCXXXA
.,, , yaitu, 2211 nn CAXCAXCAX
Selesaikan sistem tersebut dengan menggunakan Eliminasi Gauss-Jordan
.:
::penambahan matriks
21
21
nn
n
XXXI
CCCA
.:: 1 AIIA nn
Ch2_47
Eliminasi Gauss-Jordan untuk
mencari Invers MatriksUntuk A berupa matriks n n.
1. Adjoin matriks identitas In n n dari A untuk membentuk matriks [A : In].
2. Hitung bentuk baris tereduksi dari [A : In].
Jika bentuk barisam tereduksi berupa [In : B], maka B adalah invers dari A.
Jika bentuk barisan tereduksi tidak berupa [In : B], pada sub-matriks n ntidak In, maka A tidak mempunyai invers.
Matriks A n n dapat diinvers jika dan hanya jika direduksi bentuk barisannya,
yaitu In.
Ch2_48
Contoh 2
Tentukan invers matriks
531532211
A
Solusi
100531010532001211
]:[ 3IA
101320012110001211
1R
R1R3
2)(R2
101320012110001211
R2)1(
123100012110013101
R2)2(R3R2R1
.
123
135
110
Lalu, 1
A
123100135010010001
R3)1(R2R3R1
1
Ch2_49
135000011210012301
3R2R3
R2)1(R1
Contoh 3Tentukan invers matriks berikut, jika ada.
412721511
A
Solusi
100412010721001511
]:[ 3IA
102630011210001511
R1)2(R3
1)R1(R2
Tidak diperlukan untuk meneruskan lebih lanjut.
Bentuk barisan tereduksi tidak dapat mempunyai satu di lokasi (3, 3).
Bentuk barisan tereduksi tidak dapat berbentuk [In : B].
Lalu A–1 tidak ada.
Ch2_50
Sifat-sifat Invers MatriksUntuk A dan B dapat diinvers matriksnya dan c merupakan skalar bukan nol, Lalu
AA 11)( 1.11 1
)( .2 Ac
cA
111)( .3 ABAB
nn AA )()( .4 11
tt AA )()( .5 11
Buktikan
1. Dengan definisi, AA1=A1A=I.
))(())(( .2 11 11cAAIAcA
cc
))(( )())(( .3 1111111 ABABIAAABBAABAB
nn
nn
nn AAIAAAAAA )( )( .4 1
kali
11
kali
1
,)( )( ,
,)( )( , .5
111
111
IAAAAIAA
IAAAAIAA
ttt
ttt
Ch2_51
Contoh 4
.)( menghitunguntuk tersebut informasiGunakan
.43
11 bahwadiperoleh maka ,
13
14 Jika
1
1
tA
AA
Solusi
.)()(41
31
43
1111
t
tt AA
Ch2_52
Teorema 2.8
Untuk AX = Y berupa sistem persamaan linear dalam n variabel.
Jika A–1 ada, solusinya unik dan diberikan oleh X = A–1Y.
Buktikan
(X = A–1Y merupakan solusi.)
Substitusikan X = A–1Y menjadi persamaan matriks.
AX = A(A–1Y) = (AA–1)Y = InY = Y.
(Solusinya unik.)
Untuk X1 merupakan suatu solusi, maka AX1 = Y. Kalikan kedua sisi
persamaan tersebut dengan A–1 sehingga,
A–1AX1= A–1YInX1 = A–1YX1 = A–1Y.
Ch2_53
Contoh 5
Selesaikan sistem persamaan
253
3532
12
321
321
321
xxx
xxx
xxx
Solusi
Sistem tersebut dapat dituliskan dalam bentuk matriks :
231
531532211
3
2
1
x
x
x
Jika matriks koefisien dapat diinvers, solusi uniknya berupa
231
531532211
1
3
2
1
x
x
x
Inversnya dapat ditemukan di contoh 2, sehingga didapatkan,
121
231
123135110
3
2
1
x
x
x
.1 ,2 ,1 : uniknya Solusi 321 xxx
Ch2_54
Matriks Dasar
DefinisiMatriks dasar salah satunya dapat diperoleh dari matriks identitas In melalui
operasi baris dasar tunggal.
Contoh
100
010
001
3I
010
100
001
1ER2 R3
100
050
001
2E5R2
100
012
001
3ER2+ 2R1
Ch2_55
Matriks Dasar
ihg
fed
cba
A
AEA
fed
ihg
cba
1
010
100
001
R2 R3
AEA
ihg
fed
cba
2
100
050
001
555
5R2
AEA
ihg
cfbead
cba
3
100
012
001
222
R2+ 2R1
Operasi baris dasar,Matriks dasar。
Ch2_56
Catatan untuk matriks dasar
Setiap matriks dasar adalah bujur sangkar dan dapat diinvers.
Contoh
Jika A dan B merupakan matriks ekuivalen baris dan
A dapat diinvers, maka B dapat diinvers.
Bukti
Jika A … B, maka
B=En … E2 E1 A untuk beberapa matriks dasar En, … , E2 dan E1.
Sehingga B1 = (En … E2 E1A)1 =A1E11 E2
1 … En1.
1221EI
RR
100
010
021
1E
100
010
001
I
100
010
021
2E
, 221
1 IERR
IEE 12 i.e.,
Terima Kasih
Top Related