MATRIKS

BAB I

Vektor & Matriks• Skalar = kuantiti matematis yg digambarkan dg

besaran (single number, ditulis dg huruf kecil)ex : tekanan, debit alir, temperatur

• Vektor = kuantiti matematis yg digambarkan dg besaran dan arah (ditulis dg huruf kecil tebal). Vektor merupakan matriks spesial yg ditulis dlm satu baris atau satu kolom

• Vektor x berdimensi-d dan transposenya ditulis :

dT

d

xxx,x

x

xx

x 212

1

Vektor• Inner product (dot product/scalar product) :

• Panjang vektor (norma vektor) :

• Outer product :• Sudut antara vektor x & y

d

kkk

TT yxxyyxyx1

,

21

1

d

kkk

T xxxxx

TT yxxyyx ,

yxyx..cos

• Dua vektor x & y orthogonal jika :• Dua vektor x & y orthonormal jika : dan

0yxT

1 yx0yxT

Matlab user’s guide>> a=5 % a sebagai skalara = 5>> x=[3;4;5]x = 3 4 5>> b=x‘ % matriks transposeb = 3 4 5x=[3;4;5];y=[1;2;3];

>> x'*y % inner productans = 26>> sqrt(x'*x) % panjang vektor xans = 7.0711>> norm(x) % panjang vektor xans = 7.0711>> x*y‘ % outer productans = 3 6 9 4 8 12 5 10 15

MatriksMatriks adalah suatu susunan dari banjar(array) bilangan-bilangan dalam bentuk segiempat, dengan jumlah baris sebanyak m danjumlah kolom sebanyak n dan dinotasikansebagai A = (aij) mxn ,i = 1,…,m dan j = 1,…,nserta aij adalah elemen dari matriks A padabaris ke-i kolom ke-j

ditulis sebagai berikut :

mnmjmm

inijii

nj

nj

aaaa

aaaa

aaaaaaaa

A

21

21

222221

111211

1. Matriks A dikatakan berukuran m x n (berdimensi mxn)

2. Matriks A dengan dimensi 1 x n disebut sebagi vektor baris, sedangkan yang berdimensi m x 1 disebut sebagai vektor kolom

3. Jika jumlah baris sama dengan jumlah kolom, yaitu m = n, maka matriks A dikatakan sebagai matriks bujur sangkar dengan orde n.

4. Pada matriks A jika m=n, maka elemen aii disebut sebagai elemen diagonal dari A, elemen-elemen lain merupakan elemen di luar diagonal dari A

5. Pada matriks A dengan m=n, bila aii ≠ 0 sedangkan elemen di luar diagonal dari A sama dengan nol, yaitu, aij = 0 untuk i≠ j, maka matriks A disebut sebagai matriks diagonal

6. Jika pada matriks diagonal (point 5) nilai aii = c untuk setiap i=1,..,n maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks skalar. Dengan kata lain matriks skalar adalah matriks diagonal dengan seluruh diagonalnya bernilai sama.

7. Jika pada matriks diagonal (point 5) nilai aii = 1 untuk setiap i=1,…,n maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks identitas (dinotasikan dengan In).

8. Jika pada matriks diagonal (point 5) nilai aii = 0 untuk setiap i=1,…,n maka matriks tersebut dikatakan sebagai matriks null (dinotasikan dengan Omxn).

Operasi-operasi Matriks• Penjumlahan Matriks

Jika A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn

A+B = (aij+ bij)mxn

Syarat : memiliki orde sama• Perkalian dg Skalar

Jika A = (aij)mxn dan c = skalarcA = (c x aij)mxn

• Pengurangan MatriksJika A = (aij)mxn dan B = (bij)mxn

A-B = A + (-1)B= (aij)+ (-1)(bij)mxn

= (aij- bij)mxn

• Perkalian MatriksJika A = (aij)mxn dan B = (bij)nxr

A x B = C dimana C = (cij)mxr yang unsur-unsurnya

untuk i = 1,2,3,…,m dan j = 1,2,3,…,rSyarat : A dan B dikatakan comformable untuk perkalian jika dan hanya jika jumlah kolom dari matriks A sama dengan jumlah baris dari matriks B

njinn

kjijikjikij babababac

12211

3231

2221

1211

4241

3231

2221

1211

34333231

24232221

14131211

cccccc

bbbbbbbb

aaaaaaaaaaaa

BA

• Kuadrat matriksSyarat : Jika matriks adalah matriks bujur sangkar (jumlah baris = jumlah kolom)

kkjikij bac

babababac 422432232222122122

39304251

2574

2A

A

Matriks TransposeJika A = (aij)mxn, transpose A (ditulis AT) didefinisikan sebagai matriks nxm yang kolom pertamannya merupakan baris pertama matriks A, kolom keduanya merupakan baris kedua matriks A, dst

B(bij)=AT(aji)

2313

2212

2111

232221

131211

aaaaaa

A

aaaaaa

A

T

Matriks InversJika A dan B adalah matriks bujur sangkar, dimana AB=BA=I, maka A dikatakan dapat dibalik dan B disebut invers dari A. Notasi : B=A-1

Invers dari matriks berorde 2x2 :

2221

1211aaaa

A

1121

1222

21122211

1..

1aaaa

aaaaA

Matriks spesial• Symmetric :

• Skew symmetric :

TAA

653542321

A

TAA

053502320

A

Matriks spesial• Hermitian :

• Skew Hermitian :

HAA

02522345341

iiiiii

A

HAA

0887)88(5)44(

744

iiii

iiA

• Orthogonal :• Unitary :• Idempotent : ,m = integer• Nilpotent : ,k=integer tertentu• Diagonal :

• Triangular :

IAAAA TT

IAAAA HH

AA m

0kA

300020001

A

300620541

A

Aturan-aturan Ilmu Hitung Matriks

1. A+B = B+A komutatif2. A±(B±C) = (A±B) ±C assosiatif3. A(BC) = (AB)C assosiatif4. A(B±C) = AB±AC distributif5. (B±C)A = BA±CA distributif6. a(B±C) = aB±aC a = skalar7. (a±b)C = aC±bC b = skalar8. (ab)C = a(bC)9. a(BC) = (aB)C = B(aC)10. AB ≠ BA11. (AT)T = A

12. (A+B)T = AT+BT

13. (kA)T = kAT k = skalar14. (AB)T = BTAT

15. A+0 = 0+A16. A-A = 017. 0-A = -A18. A0 = 0A = 019. AI = IA = A20. (AB)-1 = B-1A-1

21. (ABC…)-1 = ...C-1B-1A-1 22. (A-1)-1 = A23. (An)-1 = (A-1)n n = 0,1,2,…24. (kA)-1 = (1/k) A-1 k ≠ 0

Matriks ElementerMatriks bujur sangkar nxn yg diperoleh dari matriks identitas In dengan melakukan operasi baris elementer tunggal.

kalikan baris ke-2 I2 dgn –3

tukarkan baris ke-2 dg bariske-4 dari I4

tambahkan 3xbaris ke-3 dari I3 pada baris ke-1

0010010010000001

3001

100010301

Teorema Matriks Elementer

Jika matriks elementer E dihasilkan dengan melakukan sebuah operasi baris tertentu pada Im dan jika A adalah matriks mxn, maka hasil kali EA adalah matriks yang dihasilkan bila operasi baris yang sama ini dilakukan pada matriks A.

penambahan 3xbaris ke-1 dr I3 kebaris ke-3

9104463123201

103010001

,044163123201

AE

EA

Aljabar Linier & Matriks

BAB II

Permutasi & InversiDeff Permutasi :Susunan bilangan-bilangan bulat dari suatu himpunan bilangan bulat menurut suatu aturan tanpa menghilangkan atau mengulangi bilangan-bilangan tersebut.{1,2,3} permutasinya : {1,2,3} {2,1,3} {3,1,2}

{1,3,2} {2,3,1} {3,2,1}3! = 6 buah permutasiDeff Inversi :Permutasi dimana angka besar mendahului angka yang lebih kecil{2,3,1,5,6,4} inversinya : {2,1} {3,1} {5,4} {6,4}4 inversi{2,4,1,3} inversinya : {2,1} {4,1} {4,3}3 inversi

• Permutasi disebut genap jika jumlah inversinya genap.Permutasi {2,3,1,5,6,4} adalah genap, memiliki 4 inversi

• Permutasi disebut ganjil jika jumlah inversinya ganjil.Permutasi {2,4,1,3} adalah ganjil, memiliki 3 inversi

Determinan

Determinan matriks bujur sangkar Anxn ditulis |A|, dirumuskan :

dimana penjumlahannya meliputi semua permutasi dari (i,j,…,r).• Tanda + jika (i,j,…,r) adalah permutasi genap.• Tanda - jika (i,j,…,r) adalah permutasi ganjil.Karena banyaknya permutasi (i,j,…,r) dari bilangan-bilangan (1,2,3,…,n) adalah n! maka dalam penjumlahan di atas terdapat n! hasil kali (suku).

nrji aaaA ... 21

Sifat-sifat Determinan

• Teorema 1 :Jika A matriks bujur sangkar maka |AT|=|A|• Teorema 2 :Jika [B] berasal dari [A] dg pertukaran 2 baris/kolomdari [A], maka |B|=-|A|• Teorema 3 :Determinan dari matriks dengan 2 baris/kolom yangsama bernilai nol

321654987

987654321

0

6274036814626274

963852741

987654321

• Teorema 4 :Jika [B] dari [A] dengan mengalikan baris/kolom [A]dengan bilangan real p maka |B|=p|A|

• Teorema 5 :Jika [B] dari [A] dengan menambahkan setiap unsur padabaris r dengan c kali baris s (r≠s) maka |B|=|A| • Teorema 6:Jika [F] sejajar nxn maka |A| adalah hasil kali unsur-unsurPada diagonal utama |A|=a11 a22 … ann

)0)(3)(2(141151121

)3)(2(341351321

2682351321

• Teorema 7 :Jika [G] dan [H] bujur sangkar berorde sama maka|GH|=|G|.|H|• Teorema 8 :[A] bujur sangkar mempunyai invers jika & hanya jika |A|

≠0

1296)4)(9)(6)(3)(2(

4000089000676001573038372

Ekspansi KofaktorJika [A]=(aij)nxn maka :• Minor entri aij, dinyatakan oleh Mij adalah

determinan submatriks yang tetap setelah baris ke-i & kolom ke-j dihilangkan dari [A].

minor entri a11 =M11=..minor entri a33 =M33=

333231

232221

131211

aaaaaaaaa

A

322333223332

2322 aaaaaaaa

211222112221

1211 aaaaaaaa

• Kofaktor entri aij, dinyatakan oleh cij adalahbilangan (-1)i+j. Mij

kofaktor entri a11 =c11=(-1)1+1.(M11)..kofaktor entri a33 =c33=(-1)3+3.(M33)

• Matriks Kofaktor A = [CA] =

• Adjoint A = adj (A) = [CA]T =

333231

232221

131211

ccccccccc

332313

322212

312111

ccccccccc

• Matriks Invers [A] =

• Determinan [A] = a11c11+a12c12+a13c13 (eks baris 1)

= a11c11+a21c21+a31c31 (eks kolom 1)

= a21c21+a22c22+a23c23 (eks baris 2)

dstPersamaan diatas disebut ekspansi-ekspansi kofaktor |

A|

AAadj

A)(1

Teorema Cramer

Jika [A][X]=[B] adalah sistem yang terdiri dari npersamaan linier dengan n bilangan tak diketahui dan|A|=0, maka sistem tersebut mempunyai jawab

tunggalsbb :

Dimana Aj adalah matriks yang diperoleh denganmenggantikan unsur-unsur dalam kolom ke-j dari [A]dengan unsur-unsur dalam [B]

AA

xA

Ax

AA

xAA

x nn

jj ,,,,, 2

21

1

ALJABAR LINIER&

MATRIKS

BAB III

Sistem Persamaan Linier

Definisi :• Suatu himpunan berhingga dari persamaan-

persamaan linear dalam peubah-peubah x1, x2, … , xn dinamakan sistem persamaan linear atau sistem linear

• Suatu persamaan linear dengan n peubah yaitu x1, x2, … , xn dapat dinyatakan dalam bentuk :a1 x1 + a2 x2 + … + an xn = b dimana a1, a2, … ,an dan b adalah konstanta-konstanta real

Sistem Persamaan Liniera11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1

a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2

: : :am1 x1 + an2 x2 + … + amn xn = bm

di mana a = koefisien konstanta,b = konstanta, n = banyaknya peubah dan m =

banyaknya persamaan. Dalam bentuk matriks ditulis :

mnmnmm

n

n

b

bb

x

xx

aaa

aaaaaa

2

1

2

1

21

22221

11211

• Penyelesaian persamaan linear serentak dapat dilakukan dengan cara : 1. Eliminasi : Eliminasi Gauss, Gauss Jordan. 2. Iterasi : Iterasi Jacobi, Gauss siedel. 3. Dekomposisi : Dekomposisi lower-upper (LU), Cholesky.

Konsistensi

1. Sebuah sistem persamaan yang tidak memiliki penyelesaian dikatakan tidak konsisten. Jika ada setidak-tidaknya satu pemecahan, maka sistem persamaan tersebut dikatakan konsisten.

2. Suatu sistem persamaan linear mungkin tidak memiliki penyelesaian, atau memiliki persis satu penyelesaian, atau memiliki tak berhingga banyaknya penyelesaian. Dalam 2 dimensi dapat digambarkan sebagai berikut :

Tidak ada penyelesaian Ada satu penyelesaian

Tak hingga (banyak) penyelesaian

Eliminasi Gauss• Eliminasi bilangan unknown dengan

menggabungkan persamaan-persamaan

)()()(

3

2

1

3

2

1

3

2

1

333231

232221

131211

EEE

bbb

xxx

aaaaaaaaa

SystemgularUpperTrian

bbb

xxx

aaaaaa

3

2

1

3

2

1

33

2322

131211

"'

"00''0

ForwardElimination

Langkah-langkah eliminasi maju :1. Eliminasikan x1 dari (E2) dan (E3), asumsi a11≠0

Kurangkan (m21xE1) pada E2 dan kurangkan (m31xE1) pada E3 sehingga :

Tanda ‘ menandakan persamaan telah dimodifikasi 1x

BackSubtitution

113132121

122

32322

333

3 ,''',

""

axaxabx

axabx

abx

1131

311121

21 ;aam

aam

3333232

2323222

1313212111

'"''''bxaxabxaxabxaxaxa

2. Eliminasikan x2 dari E3 a22≠0

Kurangkan (m32xE2) pada E3 sehingga :

Tanda “ menandakan persamaan telah dimodifikasi 2xLangkah-langkah subtitusi mundur :

Sehingga dapat dirumuskan :

2232

32 ''aam

3333

2323222

1313212111

""'''bxabxaxabxaxaxa

333

3 ""abx

)1(

)1(

nnn

nn

nbbx

untuk menghitung sisanya :

i=n-1,n-2,…,1Persamaan E1 disebut pivot equation,a11 disebut koefisien pivot, dan operasi perkalian baris pertama dengan a21/a11 disebut normalisasi. Untuk kemudahan dipakai matriks diperbesar (Augmented matrix) :

)1(1

)1()1(

iii

n

ijj

iii

ii

ia

xab

x

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

aaaaaaaaa

hindari pembagian dengan nol sehingga sehingga muncul sebutan metode eliminasi gauss naif.

Teknik untuk memperbaiki teknik eliminasi gauss :1. Pivoting

Sebelum tiap baris dinormalkan, dilakukan penentuan koefisien terbesar kemudian baris-baris tersebut dipertukarkan sehingga elemen terbesar merupakan elemen pivot.

2. ScallingMeminimalkan galat pembulatan untuk kasus dimana beberapa persamaan mempunyai koefisien-koefisien yang jauh lebih besar dari lainnya.

Eliminasi Gauss Jordan• Variasi dari eliminasi gauss untuk menghitung

matriks invers. Langkah eliminasi menghasilkan matriks satuan sehingga tidak dibutuhkan subtitusi mundur.

Elimination

3

2

1

333231

232221

131211

bbb

aaaaaaaaa

*3

*2

*1

100010001

b

b

b

satuanmatriks

No back subtitution

*33

*22

*11

bx

bx

bx

Iterasi Gauss-Siedela11 x1 + a12 x2 + … + a1n xn = b1 …(1)a21 x1 + a22 x2 + … + a2n xn = b2 …(2): : :am1 x1 + an2 x2 + … + amn xn = bn …(n)Dapat ditulis kembali :

)(1

)(1

)(1

)1()1(2211

2323121222

2

1313212111

1

nnnnnnnn

n

nn

nn

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

xaxaxaba

x

Langkah-langkah Iterasi Gauss-Siedel :1. Asumsikan x2, x3, …, xn = 0, diperoleh ;

2. Hasil “x1” dimasukkan ke persamaan (2) untuk mendapatkan harga x2, asumsikan x3, …, xn = 0, diperoleh ;

3. Langkah 1 dan 2 dilakukan terus sampai diperoleh nilai xn dan selesailah proses iterasi pertama. Kemudian hasil proses tersebut dimasukkan kembali pada persamaan untuk mendapatkan harga “unknown” dari x1,x2, x3, …, xn pada proses iterasi kedua, ketiga dst

4. Proses iterasi berakhir jika hasil iterasi terakhir sama

111

1 ab

x

121222

21 xaba

x

4. Dengan atau hampir sama dengan iterasi sebelumnya.

Kelemahan Iterasi Gauss-Siedel : proses akhir iterasimenjadi meragukanContoh :27x + 6y – z = 85 …(1)6x + 15 y + 2z = 72…(2)X + y + 54z = 110 …(3)

Diubah menjadi :

)110(541

)2672(151

)685(271

yxz

zxy

zyx

• Iterasi pertama1. Asumsikan y=z=0, diperoleh :

2. Hasil dari x1 dimasukkan ke persamaan 2 (asumsikan z=0), diperoleh :

3. Masukkan hasil x1 dan y1 ke dalam persamaan 3 :

15,32785

1 x

54,3))15,3(672(151

1 y

91,1)54,315,3110(541

1 z

• Iterasi kedua

• Iterasi selanjutnyaSama dengan cara sebelumnya.Iterasi berakhir pada saat iterasi ke-5, yaitu nilai x, y dan z hampir sama dg iterasi ke-4,di mana x=2,425; y=3,573; z=1,926

926,1)57,343,2110(541

57,3))91,1(2)43,2(672(151

43,2)91,1)54,3(685(271

2

2

2

z

y

x

Persamaan Linier HomogenSistem persamaan linear Homogen merupakan kasus khusus dari Sistem persamaan linear biasa A x=b untuk kasus b=0.Pada SPL homogen, matriks diperbesar [A|b ] setelah melalui eliminasi Gauss–Jordan, kolom terakhirnya akan selalu nol sehingga penyelesaian dari SPL akan selalu ada. Ada dua macam penyelesaian dalam SPL homogen ini yaitu :trivial ( tak sejati ) = solusi SPL hanya x = 0 (solusi tunggal)

Ciri : semua kolom matriks A memiliki 1 utamatak trivial ( sejati ) = solusi SPL tak hingga banyak

Ciri : tidak semua kolom matriks A memiliki 1 utama/memiliki baris 0

Contoh 1

Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa semua kolom matriks A memiliki satu utama sehingga penyelesaiannya adalah trivial yaitu:

Contoh 2

Penyelesaian dari SPL homogen diatas adalah

Pada matriks yang terakhir terlihat bahwa hanya dua kolom dari matriks A yang memiliki satu utama atau terdapat dua baris nol , ini berarti bahwa penyelesaian SPL adalah tak trivial yaitu penyelesaian banyak dengan dua parameter yaitu :

jika z = s dan w = t s,t R maka

SPL

CIRI-CIRI

SIFAT

KONSISTEN

INKONSISTEN

Semua peubah s.d. angka pertama, tidak muncul sebagai fungsi trigonometri, logaritma, eksponensial, hasil kali atau akar peubah

- Minimal ada satu pemecahan- Mempunyai tak ningga banyaknya pemecahan

- Tidak mempunyai pemecahan

SPL HOMOGEN

SOLUSI

PEMECAHAN

ATURAN CRAMER

ELIMINASI GAUSS

ELIMINASI GAUSS-JORDAN

TRIVIAL

NONTRIVIAL

Semua peubah bernilai 0 (x1,x2,x3,..,xn = 0

Ada pemecahan lain sebagai tambahan dari pemecahan trivial

Jika SPL Homogen terdiri dari peubah (bil. tak diketahui) lebih banyak drpd banyaknya persamaan, maka mempunyai tak hingga banyaknya pemecahan tak trivial

- AX=B- Koefisien [A] merupakan matriks bujur sangkar

- Menggunakan augmented matriks- Matriks akhir : bentuk eselon baris (mempunyai nol di bawah tiap 1 utama)- Ada subtitusi balik

- Menggunakan augmented matriks- Matriks akhir : bentuk eselon baris tereduksi (mempunyai nol di bawah dan di atas tiap 1 utama)

ITERASIGAUSS-SIEDEL

- Proses iterasi berakhir jk hasil akhir sama/hampir sama dg iterasi sebelumnya- Kelemahan: proses akhir iterasi meragukan

DEFINISI Himpunan berhingga dr persamaan2 linier dlm peubah x1,x2,x3,..,xn

DEFINISI Semua suku konstanta bernilai 0

GARIS & BIDANG DI R-3

BAB IV

Q adalah bidang melalui titik Po (xo, yo, zo) & tegak lurus vektor n = (a,b,c). Bidang Q terdiri dari titik-titik P (x, y, z)maka vektor ortogonal ke n :

(1)di mana

(2)

Persamaan (1) dapat ditulis kembali menjadi: (3)disebut bentuk normal titik dari persamaan bidang yang melewati titik Po (xo, yo, zo) dgn normal n = (a,b,c).

Dengan mengalikan dan mengumpulkan suku-sukunya maka persamaan (3) akan berbentuk:

ax+by+cz+d=0 (4)

0. 0 PPn

),,( 0000 zzyyxxPP

0)()()( 000 zzcyybxxa

PP0

disebut bentuk umum persamaan bidang di R-3 dengan n=(a,b,c) sebagai normal, dimana a, b, c, d = konstanta dan a, b, c tidak semuanya nol.

Seperti halnya pemecahan sistem persamaan linierax+by=k1

cx+dy=k2Adalah titik perpotongan garis ax+by=k1 dan cx+dy=k2 di bidang xy, maka demikian juga pemecahan sistem

ax+by+cz=k1dx+ey+fz=k2gx+hy+iz=k3

Adalah titik perpotongan garis ax+by+cz=k1, dx+ey+fz=k2 dan gx+hy+iz=k3 di bidang xyz.

Beberapa kemungkinan geometrik dari berbagai solusi pemecahan:

Solusi pemecahan Kemungkinan

GeometrikTidak ada pemecahan

(3 bidang sejajar)

Tidak ada pemecahan

(2 bidang sejajar)

Solusi pemecahan Kemungkinan Geometrik

Tidak ada pemecahan (3 bidang tanpa titik potong bersama)

Tak terhingga banyaknya pemecahan(3 bidang berimpit)

Tak terhingga banyaknya pemecahan(3 bidang berpotongan dalam sebuah garis)Satu pemecahan(3 bidang berpotongan di sebuah titik)

Contoh Soal 1 :Carilah persamaan bidang yang melewati titik (3, -1, 7) dan tegak lurus ke vektor n = (4, 2, -5)4(x-3)+2(y+1)-5(z-7)=04x+2y-5z+25=0

Contoh Soal 2 :Carilah persamaan bidang yang melewati titik P1 (1, 2, -1), P2 (2, 3, 1) dan P3 (3, -1, 2)Pers. Umum : ax+by+cz+d=0Pers. bidang melalui titik P1 : a+2b-c=0Pers. bidang melalui titik P2 : 2a+3b+c=0Pers. bidang melalui titik P3 : 3a-b+2c=0

Dari ketiga pers. bidang yang melalui titik P1, P2 dan P3 di atas, gunakan metode eliminasi Gauss/Gauss-Jordan untuk mendapatkan pemecahannya, yaitu diperoleh nilai-nilai :

dengan memisalkan t = -16, maka diperoleh :9x+y-5z-16=0

Setiap nilai t yang diberikan akan diperoleh kelipatan persamaan di atas, jd sembarang nilai t≠0 sama baiknya

Pemecahan alternatif contoh soal 2 : sejajar bidang, sehingga cross product keduanya merupakan normal bidang karena tegak lurus baik terhadap maupun terhadap :

maka bentuk normal titik persamaan bidang yg melalui P1, P2 dan P3 :

9(x-1)+(y-2)-5(z+1)=09x+y-5z-16=0

Garis di R-3I adalah garis di R-3 melalui titik Po (xo, yo, zo) dan sejajar vektor taknol v = (a, b, c). Garis I terdiri dari titik-titik P (x, y, z), sehingga (5) t = skalar

Persamaan (5) dapat ditulis kembali menjadi : (6)Dari persamaan (6) diperoleh :x=xo+ta (7)y=yo+tb dimana -∞‹t ‹+ ∞ (8) z=zo+tc (9)Persamaan (7) s.d. (9) disebut persamaan parametik.

vtPP 0

),,( 0000 zzyyxxPP

),,(),,( 0000 tctbtazzyyxxPP

Contoh Soal 3 :Cari persamaan parametik garis yang melalui titik-titik P1 (2, 4, -1) dan P2 (5, 0, 7), dimanakah garis tersebut memotong bidang xy?

Vektor = (3,-4, 8) sejajar garis dan P1 (2, 4, -1) terletakpada garis, maka persamaan parametiknya :x=2+3ty=4-4tz=-1+8t dimana -∞‹t ‹+ ∞ Garis memotong bidang xy jika z=-1+8t=0 dan t = 1/8. Dengan memasukkan nilai t ke dalam persamaan parametik diperoleh titik perpotongan :(x, y, z) = (19/8, 7/2, 0)

21PP

Contoh Soal 4 :Carilah persamaan parametik untuk perpotongan bidang-bidang 3x+2y-4z-6=0 dan x-3y-2z-4=0.Garis perpotongan kedua bidang tersebut terdiri dari titik-titik (x,y,z) yang memenuhi sistem :

3x+2y-4z-6=0 x-3y-2z-4=0

Dengan menggunakan metode eliminasi gauss/gauss jordan diperoleh pemecahan sistem di atas :

Maka persamaan parametik : dimana -∞‹t ‹+ ∞

tztytx ,112

1116,

1116

1126

tx1116

1126

ty112

116

tz

Mencari dua bidang yang perpotongannya garis yang diberikan

Persamaan parametik (7) s.d. (9) dapat ditulis ulang mjd:

Dengan mengeliminasi parameter t diperoleh : merupakan pers.parametik

untuk garis perpotongan dua bidang. Maka garis tersebut dapat dipandang sebagai perpotogan bidang-bidang dan atau sebagai

perpotongan dari : dan dst

byy

axx oo

czz

byy oo

czz

axx oo

czz

byy oo

tczzt

byyt

axx ooo

,,

czz

byy

axx ooo

Contoh Soal 5 :Carilah dua bidang yang perpotongan adalah garis :x=3+2ty=-4+7tz=1+3t -∞‹t ‹+ ∞Persamaan parametik untuk garis perpotongan dua bidang :

Maka garis tersebut merupakan perpotongan bidang-bidang : dan

Ekivalen dengan 7x-2y-29=0 dan 3y-7z+19=0

31

74

23

zyx

74

23

yx

31

74

zy

Mencari jarak antara dua bidang sejajar

Mencari jarak antara bidang-bidang sejajar dilakukan dengan melalui perhitungan jarak antara satu bidang dengan sembarang titik misal Po (xo, yo, zo) pada bidang yang lain tersebut (dengan pers. umum bidangnya ax+by+cz+d=0), yaitu :

222 cba

dczbyaxD ooo

Contoh Soal 6 :Bidang x+2y-2z=3 dan 2x+4y-4z=7 adalah sejajar karena bidang tersebut normal (1, 2,-2) dan (2, 4, -4) merupakan sejajar. Carilah jarak antara bidang-bidang tersebut !Pilih sembarang titik pada salah satu bidang dengan memasukkan y=z=0 ke dalam salah satu pers. bidang.Misal ke dalam x+2y-2z=3 masukkan y=z=0, diperoleh x=3 sehingga titik yang diperoleh Po (3, 0, 0), maka jarak antara bidang x+2y-2z=3 dan 2x+4y-4z=7 diperoleh dengan menghitung jarak Po (3, 0, 0) ke bidang 2x+4y-4z=7, yaitu :

61

)4()4()2(

7)0)(4()0)(4()3)(2(222

D