ALGEBRA DE BOOLEALGEBRA DE BOOLE
El Álgebra de Boole es la técnica matemática usada El Álgebra de Boole es la técnica matemática usada cuando se resuelven problemas de naturaleza lógica. cuando se resuelven problemas de naturaleza lógica. Describe proposiciones cuya respuesta sólo puede ser Describe proposiciones cuya respuesta sólo puede ser del tipo del tipo ciertocierto o o falsofalso. .
1- Postulado del elemento Nulo
• Si cualquier Variable se opera con AND con un “0” el resultado siempre es “0”.
• Si cualquier Variable se opera con OR con un “1” el resultado siempre es “1”.
X * 0 = 0
X + 1 = 1
2- Postulado de Identidad
• Si cualquier Variable se opera con AND con un “1” el resultado siempre es la Variable “X”.
X * 1 = X
• Si cualquier Variable se opera con OR con un “0” el resultado siempre es la Variable “X”.
X + 0 = X
3- Postulado Potencia Idéntica• Si se opera una AND con una misma
variable X el resultado es la variable X
X * X = X
• Si se opera una OR con una misma variable X el resultado es la variable X
X + X = X
4- Postulado de los Complementos
• Si se opera una AND con una variable X y su inversa de X el resultado es “0”.
X * X = 0
• Si se opera una OR con una variable X y su inversa de X el resultado es “1”.
X+ X = 1
• Si se invierte dos veces una variable X el resultado es el valor original de la variable
XX
X
4- Postulado de los Complementos
POSTULADOSPOSTULADOS
1. X * 0 = 0
2. X + 1= 1
3. X * 1 = X
4. X + 0 = X
5. X * X = X
6. X + X = X
7. X * X´ = 0
8. X + X´ = 1
9. X´´ = X
9
Ley Conmutativa
• X * Y = Y * X
• X + Y = Y + X
LeyesLeyes
Reglas invariables del algebra de Boole
7- Ley Asociativa
• X · Y · Z = (Y · X) · Z = Y · (X · Z)
• X + Y + Z = (Y + X) + Z = Y + (X + Z)
5 - Ley Distributiva
• X(Y+Z) = XY + XZ
• X+(Y · Z) = X·Y + X·Z
11
TEOREMASTEOREMAS
Reglas que conciernen a una relación fundamental entre las variables lógicas
Teorema de Absorción X + XY = X X (X+Y) = X
XYXXYXXYXX
XYXXYX
)(
)1(
Teorema de Eliminación
A + ĀB = A + B
A ·(Ā + B) = A · B
(A + Ā)·(A + B) = A + B
1 · (A + B) = A + B
(A · Ā)+ (A · B) = A · B
0 + (A · B) = A · B
TEOREMAS DE MORGAN Teorema 1
• Al invertir la suma OR de dos Variables es equivalente a invertir cada variable por separado y operarlas mediante una AND
2
31
74LS33
== 1
23
74LS08
1 2
74LS04
3 4
74LS04
2
31
Teorema 2• Al invertir el Producto AND de dos variables
es igual a invertir cada variable por separado y operar con OR
1
23
74LS00 ==1
23
74LS323 4
74LS04
1 2
74LS04
1
23
74LS24
FORMAS CANÓNICAS
• Suma de productos (Mini términos)
cbacbacbacbaf 1
• Productos de Sumas (Maxi términos)
cabcbacbacbaf 1
Formas Canónicas de una Formas Canónicas de una funciónfunción
A B C f
0 0 0 1
0 0 1 0
0 1 0 0
0 1 1 0
1 0 0 1
1 0 1 1
1 1 0 1
1 1 1 0
CBA
CBA
CBA
CBA
CAB
CBA CBA
CBA
Mini términos
Maxi términos