ALGEBRA DE BOOLEArquitectura y Organizacin de Computadores Programador Universitario FACET - UNT

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 1

Boole, George (1815-1864), lgico y matemtico britnico, elabor el lgebra que lleva su nombre. En gran medida autodidacta, Boole fue nombrado profesor de matemticas en el Queen's College de Cork en Irlanda (hoy el University College) en 1849. En 1854, escribi Investigacin sobre las leyes del pensamiento, en donde describe un sistema algebraico que ms tarde se conoci como el lgebra de Boole. En l, las proposiciones lgicas se indican por smbolos y pueden relacionarse mediante operadores matemticos abstractos que corresponden a las leyes de la lgica. El lgebra de Boole es fundamental en el estudio de las matemticas puras y en el diseo de las modernas computadoras.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 2

lgebra de Boole: Rama de las matemticas con propiedades y reglas similares, aunque diferentes, al lgebra ordinaria. Es til para la lgica y la teora de conjuntos, pues se ocupa de proposiciones y sus valores de verdad, en vez de variables, y sus valores numricos. Formalmente, el lgebra de Boole es un sistema matemtico compuesto por un conjunto de elementos, llamado normalmente B, junto a dos operaciones binarias, que se pueden escribir con los smbolos + (OR) y x (AND). Estas operaciones estn definidas en el conjunto B y satisfacen los siguientes axiomas:Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 3

AXIOMASPROPIEDAD Las operaciones + y x son conmutativas. EXPLICACIN Y/O EJEMPLO L+M=M+L LxM=MxL

Las operaciones + y x son conmutativas respecto L x (M + N) = (L x M) + (L x N) de la otra. L + (M x N) = (L + M) x (L + N) En el conjunto B existe un elemento neutro para cada una de las operaciones + y x. Por lo tanto es posible expresar. En el conjunto B existe un elemento absorbente para cada una de las operaciones + y x. Por lo tanto es posible expresar. A cada elemento L del conjunto B le corresponde otro elemento llamado complementario de L, que normalmente se representa con el smbolo L.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

0+L=L 1xL=L 0xL=0 1+L=1 L + L = 1 L x L = 0

Diapositiva N 4

Principio de DualidadDada la simetra de los axiomas con respecto a las dos operaciones y sus respectivos elementos neutros, se puede demostrar el llamado principio de dualidad, que afirma que cualquier proposicin algebraica verdadera deducible a partir de los axiomas del lgebra de Boole, es tambin verdadera si se intercambian las operaciones AND y OR y los elementos neutros 1 y 0 en la proposicin. Dos de los muchos teoremas que se pueden deducir a partir de los axiomas del lgebra de Boole y que son de gran importancia son las leyes de De Morgan, que se enuncian:

(x + y ) = x y

( x y) = x + yAo 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 5

ProposicionesLos elementos que forman el conjunto B de un lgebra de Boole pueden ser objetos abstractos o elementos concretos como nmeros, proposiciones, conjuntos o redes elctricas. En el desarrollo original de Boole, los elementos de su lgebra eran una coleccin de proposiciones, o simplemente oraciones gramaticales con la propiedad de ser verdaderas o falsas pero no las dos a la vez. Las operaciones eran, esencialmente, la conjuncin y la disyuncin, que se escriben con los smbolos ^ y v respectivamente. Si L y M representan dos proposiciones, entonces la expresin L v M (leda L o M") es verdadera si y slo si o L o M o ambas son verdaderas. La proposicin L ^ M (leda L y M") es verdadera si y slo si ambas son verdaderas. En esta lgebra de Boole, el complementario de un elemento o proposicin es simplemente la negacin de la proposicin.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 6

Tablas de VerdadTodo se explica mucho mejor si en lugar de usar palabras se lo expresa usando las llamadas tablas de verdad. En ellas sobre la izquierda se colocan las variables de entrada y todas sus combinaciones de posibles, y sobre la derecha los resultados que para cada una de las combinaciones corresponde. Para la representacin de los valores de las variables se pueden utilizar los trminos: Verdadero - Falso S - No 1-0 En el estudio circuital se opta por la ltima de las alternativas, puesto que como ya se explic, es muy fcil manejar una analoga elctrica.

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 7

Funciones BsicasA continuacin se muestran las tablas de verdad de las tres funciones bsicas del lgebra de Boole:OR A 0 0 1 1 B 0 1 0 1 S 0 1 1 1 A 0 0 1 1 AND B 0 1 0 1 S 0 0 0 1 A 0 1 NOT S 1 0

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 8

Funcin OPara entender la funcin se puede usar un circuito elctrico:ORA

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 1 1 1

B

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 9

Funcin YPara entender la funcin se puede usar un circuito elctrico:ANDA B

A 0 0 1 1

B 0 1 0 1

S 0 0 0 1

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 10

Funcin NOPara entender la funcin se puede usar un circuito elctrico:

NOT A 0 1 S 1 0A

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.Ao 2003 Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa Diapositiva N 11

Funcin NO-O (NOR)Combinando la compuerta OR con la NOT se obtiene la compuerta NOR

OR A 0 B 0 1 0 1 S 0 1 1 1

NOR S 1 0 0 0

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.

0 1 1

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 12

Funcin NO-Y (NAND)Combinando la compuerta AND con la NOT se obtiene la compuerta NAND

AND A 0 B 0 1 0 1 S 0 0 0 1

NAND S 1 1 1 0

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.

0 1 1

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 13

Funcin O EXCLUSIVA (XOR)Mediante una combinacin ms compleja de compuertas, se puede llegar a una compuerta que tiene mucha importancia en el desarrollo de circuitos lgicos, la compuerta O exclusiva o XOR.XOR A B 0 1 0 1 S 0 1 1 0 0 0 1 1

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 14

Funcin NO-O EXCLUSIVA (XNOR)De modo similar a las compuertas OR y AND con sus correspondientes salidas negadas NOR y NAND, la compuerta XOR, con su salida negada se convierte en la compuerta XNOR.XNOR A B 0 1 0 1 S 1 0 0 1 0 0 1 1

Para representar esta funcin se usa la compuerta lgica indicada.Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 15

Familias de Circuitos Lgicos De acuerdo a la tecnologa de fabricacin existen distintas familias de circuitos lgicos: Resistor Transistor Logic Diode Transistor Logic Direct Coupled Transistor Logic Transistor Transistor Logic Emiter Coupled LogicProf.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

RTL DTL DCTL TTL ECLDiapositiva N 16

Ao 2003

Compuerta NOR en Lgica DCTL (Direct Coupled Transistor Logic)

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 17

Compuerta NAND en Lgica DCTL (Direct Coupled Transistor Logic)

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 18

Compuerta NAND en Lgica DTL (Diode Transistor Logic)

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 19

Compuerta NAND en Lgica TTL (Transistor Transistor Logic)

Ao 2003

Prof.: Ing. Julio A. Escalante Figueroa

Diapositiva N 20