Bijeenkomst 2
De we%en van De Morgan
Ontkenning van een conjunc3e. Ontkenning van een disjunc3e.
¬(P ∧Q) = (¬P)∨ (¬Q)
¬(P ∨Q) = (¬P)∧ (¬Q)
§6.3 Implica7e
Aantonen dat een implica3e waar is kan op twee manieren: 1. rechtstreeks (Neem aan dat bewering A waar is en bedenk een redenering
waaruit volgt dat bewering B dan ook waar is) 2. mbv de contraposi3e.
Bewijs ipv de bewering Dat beide beweringen ‘equivalent’ zijn, toon je aan met waarheidstabellen.
We noemen de implica3e de ‘contraposi3e’ van Het is eigenlijk niets anders dan een herformulering van Een herformulering die soms makkelijker te bewijzen is dan de implica3e zelf.
A⇒ BA BW W W
W O O
O W W
O O W
A⇒ B ¬B⇒ ¬A
A⇒ BA⇒ B
¬B⇒ ¬A
§6.3 Implica7e-‐contraposi7e
Hieronder staat opnieuw de waarheidstabel van de implica3e. We gaan deze waarheidstabel uitbreiden. Daarmee tonen we aan dat geldt:
is equivalent met
A⇒ BA B0 0 1
0 1 1
1 0 0
1 1 1
1
1
0
1
¬B⇒ ¬A
¬B⇒ ¬AA⇒ B
6.3.2 e) Als 32 geen deler is van dan is 4 geen deler van
Door de contraposi3e te bewijzen, bewijzen we bewering e) Contraposi3e: Aanname (ga ervan uit): Laat nu zien dat dan geldt:
Omdat geldt Nu is Dus, omdat is even, geldt
4 | (m − 2)
4 | (m − 2) ⇒ 32 | (m2 − 4)
m2 − 4 = (m − 2)(m + 2) = 4v(m + 2) =
m2 − 4 m − 2
32 | (m2 − 4)
4 | (m − 2) (m − 2) = 4v
4v(4v + 4) = 16v(v +1)
v(v +1) 32 | (m2 − 4)
6.3.5b Sundaramgetallen zijn natuurlijke getallen van de vorm Dus 16 en 27 zijn Sundaramgetallen. Bewijs de volgende bewering: Als dan is Mbv de contraposi3e proberen te bewijzen. Dus te bewijzen: Dus neem aan: Dan geldt: Dat betekent: Dus
2n +1∈Pn ∉S
n = m + k + 2km
2n +1 = cd =
2n +1∉P⇒ n ∈S
k m n1 5 16
2 5 27
(2k +1)(2m +1)
n = m + k + 2km ∈S
2n +1 ≠ priem= 4km + 2k + 2m +1
2n = 2m + 2k + 4km
cd = oneven als c = oneven en d = oneven.
6.3.7 Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: We gebruiken de contraposi3e, dus te bewijzen: Bewijs: Kies een willekeurig natuurlijk getal n dat een kwadraat is, dus voor een zekere gehele kDan zijn er voor k de volgende mogelijkheden: Dat betekent voor n: Dus contraposi3e is waar, dus bewering is waar.
n ≡ 2(mod4) ∨ n ≡ 3(mod4) ⇒ n ≠ k2 k ∈
n = k2k ≡ 0(mod4)k ≡ 1(mod4)k ≡ 2(mod4)k ≡ 3(mod4)
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
n = k2 ⇒ n ≡ 0(mod4) ∨ n ≡ 1(mod4)
n ≡ 02(mod4) ≡ 0(mod4)n ≡ 12(mod4) ≡ 1(mod4)n ≡ 22(mod4) ≡ 0(mod4)k ≡ 32(mod4) ≡ 1(mod4)
⎧
⎨⎪⎪
⎩⎪⎪
§6.4 Bi-‐implica7e
Aantonen dat een bi-‐implica3e waar is gaat als volgt: Toon aan dat de implica3es en allebei waar zijn. Dat vraagt dus twee verschillende bewijzen! Soms is het handig om één van de twee implica3es of zelfs allebei te bewijzen met behulp van contraposi3e.
A B
A⇒ B B⇒ A
W W W
W O O
O W O
O O W
A⇔ B
6.4.5 Toon aan dat voor alle gehele getallen k en m geldt: k en m zijn even k + m en km zijn even Bewijs:
Logisch.
Te bewijzen: k + m = even km = even k = even m = even We gebruiken: k + m = 2v km = 2u
Dan krijg je: k = 2v – m en dus km = (2v – m)m = 2vm – m2 = 2u Dus m2 = 2vm – 2u = 2(vm – u) = 2s Dus m2 = even maar dan m = even.
⇔
⇒
∧
⇐
⇒ ∧
∧
6.4.3 a)
b)
(a + b)2 = a2 + b2 ⇔ a = 0 ∨ b = 0
(a + b)2 = 2a2 + 2b2 ⇔ a = b
§7.2 Omgekeerde bewijzen
Toon aan dat voor alle posi3eve reële getallen a en b geldt dat: Strategie omgekeerde bewijzen: • Neem aan (hoewel je nog niet zeker bent) dat de bewering die je moet
bewijzen WAAR is. • Herschrijf de bewering tot een uitdrukking waarvan je wel zeker weet dat
deze juist is. • Controleer of het mogelijk is de beredenering om te draaien zodat je
uitgaande van de uitdrukking waarvan je zeker bent, uitkomt bij de te bewijzen bewering. (LET OP: niet vanzelfsprekend!)
2ab(a + b)
≤ ab
7.2.1
Toon aan dat voor alle posi3eve reële getallen a en b geldt dat:
En dat is zeker juist! De stappen terug zijn toegestaan dus is de bewering waar! Omgekeerd noteren!
2ab(a + b)
≤ ab
2ab(a + b)
≤ ab ⇒
2abab
≤ (a + b) ⇒
2 ab ≤ (a + b) ⇒4ab ≤ (a + b)2 ⇒4ab ≤ a2 + 2ab + b2 ⇒
0 ≤ a2 − 2ab + b2 ⇒0 ≤ (a − b)2
7.2.5
7.2.5 Toon aan dat voor alle posi3eve reële getallen a en b geldt dat
En dat is zeker juist! Dus, na controle omgekeerde route, conclusie dat de bewering inderdaad waar is. Om het bewijs volledig en netjes te maken: Schrijf het van onder naar boven opnieuw op!
(a + b)( 1a +1b ) > 2
(a + b)( 1a +1b ) > 2⇒
1+ ab +
ba +1 > 2⇒
2 + ab +
ba > 2
§7.3 Bewijzen uit het ongerijmde Toon aan: Strategie bewijzen uit het ongerijmde: • Je wilt laten zien dat een bewering A waar is. • Doe alsof de bewering A niet waar is. Dus: Neem aan dat de ontkenning waar is • Laat zien dat deze aanname leidt tot een tegenstrijdigheid, iets wat duidelijk
onwaar is. • Omdat die tegenstrijdigheid een rechtstreeks gevolg is van de aanname,
moet je concluderen dat de ontkenning niet waar is. • De oorspronkelijke bewering is dus wel waar.
5 − 3 ≠ 3 − 2
7.3.8
Toon aan dat Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel van wèl, dus neem aan Dan geldt, Dit is duidelijk niet waar. Dus een tegenspraak volgend uit de aanname. Waaruit we concluderen dat de veronderstelling (=ontkenning) niet waar is. Conclusie: De oorspronkelijke bewering is waar.
5 − 3 ≠ 3 − 2
5 + 2 = 2 3 ⇒
5 − 3 = 3 − 2
5 + 2 10 + 2 = 12 ⇒ 2 10 = 5 ⇒ 40 = 25
Top Related