Ab2 bijeenkomst4 2015
-
Upload
2college-tilburg-flot -
Category
Education
-
view
225 -
download
0
Transcript of Ab2 bijeenkomst4 2015
Bijeenkomst 4
§7.3 Bewijzen uit het ongerijmde Strategie bewijzen uit het ongerijmde: • Je wilt laten zien dat een bewering A waar is. • Neem aan dat de ontkenning waar is • Laat zien dat deze aanname leidt tot een tegenstrijdigheid, iets wat duidelijk
onwaar is. • Omdat die tegenstrijdigheid een rechtstreeks gevolg is van de aanname,
moet je concluderen dat de ontkenning niet waar is. • De oorspronkelijke bewering is dus wel waar.
7.3.7
Toon aan dat er geen reële getallen x bestaan waarvoor geldt: Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat er wèl een reële x bestaat waarvoor geldt: Dan geldt, na kruislings vermenigvuldigen: Dit kan nooit omdat en Het product van deze beide factoren is dus maximaal 6 Dus een tegenspraak. Waaruit we concluderen dat de veronderstelling niet juist is. Dus is de oorspronkelijke bewering waar.
1+ sin(x) = 122 + sin(x)
1+ sin(x) = 122 + sin(x)
(1+ sin(x))(2 + sin(x)) = 12
0 ≤ 1+ sin(x) ≤ 2 1 ≤ 2 + sin(x) ≤ 3
7.3.5
Toon aan dat er geen gehele getallen m en n bestaan waarvoor geldt Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat die getallen wèl bestaan, dus neem aan dat er gehele getallen m en n zijn zo dat Dan geldt: Je krijgt dan vier stelsels van twee vergelijkingen. Hieronder bekijken we één van die stelsels. Optellen van de vergelijkingen geeL: Dat is in tegenspraak met onze veronderstelling. Immers gezegd dat m is geheel. Dus veronderstelling onjuist, oLewel oorspronkelijke bewering is waar.
m2 − n2 = 2 ⇒ (m − n)(m + n) = 2 ⇒
m2 − n2 = 2
m2 − n2 = 2 (m − n) (m + n)−1 −21 2−2 −12 1
m − n = −1m + n = −2
⎧⎨⎩
2m = −3 ⇒ m = −32 m ∉
7.3.5 Opmerking.
Toon aan dat er geen gehele getallen m en n bestaan waarvoor geldt Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat die getallen wèl bestaan, dus neem aan dat er gehele getallen m en n zijn zo dat Dan geldt: Hier gaat het fout! Je zegt maar dat geldt enkel als oLewel als Dat is juist wat je wilt bewijzen: je bent eigenlijk niets opgeschoten.
m2 − n2 = 2 ⇒ m2 = 2 + n2 ⇒
m2 − n2 = 2
m2 − n2 = 2
m = 2 + n2 ⇒ m ∉
k2 − n2 ≠ 2
m = 2 + n2 ∉
2 + n2 ≠ k2
7.3.9
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen k en m geldt: Bewijs uit het ongerijmde. Veronderstel dat de bewering niet waar is, dus neem aan dat er natuurlijke getallen k en m zijn zo dat Dan geldt:
Volgens de aanname geldt Wanneer je beiden ongelijkheden combineert krijg je: Daaruit volgt: en dat kan natuurlijk niet! Dus veronderstelling kan niet juist zijn. Dan is de ontkenning van de veronderstelling (= de oorspronkelijke bewering) waar.
k + m < 10 ⇒ k < 10 − m
km ≤ 25 ∨ k + m ≥ 10
km > 25 ∧ k + m < 10
⇒ km < (10 − m)m ⇒ km < 10m − m2
km > 25
25 < 10m − m2
m2 −10m + 25 < 0 ⇒ (m − 5)2 < 0
De Toren van Hanoi
§7.4 Bewijzen met volledige inducDe
Stel je wilt bewijzen dat een bewering geldt voor elk natuurlijk getal (tot oneindig) Voorbeeld: Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: is deelbaar door 30 Met volledige inducUe bedoelen we een manier van redeneren. Het is een techniek welke we gebruiken om de waarheid van een stelling voor alle elementen van een verzameling te bewijzen.
6n + 24
Bewijs door volledige inducUe is een tweestappenproces: 1. Bewijs dat de bewering waar is voor het eerste geval. 2. Laat zien dat de bewering, als deze waar is voor een willekeurig geval, ook
waar is voor het volgende geval.
of 1. Belangrijk is dat de eerste dominosteen valt 2. Wanneer je zeker weet dat als de ke steen
omvalt dan ook de (k + 1)e steen omgaat, ben je klaar!
7.4.1b
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt: is deelbaar door 30
We zullen deze bewering aangeven met B(n) Bewijs met volledige inducUe. (kan ook m.b.v. modulo-‐rekenen.): 1. Toon aan: dat B(1) waar is 2. Laat zien: dat 1.
Bewering is dus waar voor het eerste geval. B(1) is waar.
6n + 24
B(k) ⇒ B(k +1)
B(1) = 61 + 24 = 30 = 1× 30
7.4.1b
2. Neem nu aan dat de bewering waar is voor een zekere, natuurlijke k.
(= inducUeveronderstelling of inducUehypothese)
Dus neem aan dat B(k) waar is, dus ga er van uit dat deelbaar is door 30.
Toon aan dat waar is, dus dat is deelbaar door 30.
Bekijk en manipuleer dusdanig dat je B(k) herkent en kunt gebruiken.
B(k) is deelbaar door 30, dus B(k + 1) deelbaar door 30. Met volledige inducUe is nu bewezen dat voor ieder natuurlijk getal n geldt dat deelbaar is door 30.
6 ⋅6k + 24 = 6(6k + 24) − 5 ⋅24
6k+1 + 24
6k + 24
B(k +1)
B(k +1) = 6k+1 + 24
= 6B(k) − 4 ⋅ 30
6n + 24
B(k +1) = 6k+1 + 24 =
7.4.1a
Toon aan dat voor alle natuurlijke getallen n geldt dat Eerste geval bekijken: is juist. Dus de eerste dominosteen valt. Tweede stap: Kies een willekeurig natuurlijk getal k en toon aan Dus neem aan dat B(k) waar is, oLewel Toon aan dat hieruit volgt B(k + 1) = waar. Werk op klad B(k + 1) uit zodat duidelijk wordt waar je ‘naartoe wilt werken’
Gebruik bij het redeneren dat B(k) waar is.
12 + 22 + 32 + ........+ n2 = 16 n(n +1)(2n +1)
B(1) = 12 = 1 = 16 ⋅1(1+1)(2 ⋅1+1)
B(k) ⇒ B(k +1)12 + 22 + 32 + ........+ k2 = 1
6 k(k +1)(2k +1)
7.4.1a
Toon aan dat B(k + 1) = waar. En dus, volgens het principe van volledige inducUe, is de bewering voor elk natuurlijk getal waar.
= 16 k(k +1)(2k +1) + (k +1)
2
B(k +1) = 12 + 22 + 32 + ........+ k2 + (k +1)2 = B(k) + (k +1)2
= (k +1)[ 16 k(2k +1) + (k +1)]
= 16 (k +1)[k(2k +1) + 6(k +1)]
= 16 (k +1)[2k
2 + 7k + 6]
= 16 (k +1)[(k + 2)(2k + 3)]
= 16 (k +1)((k +1)+1)(2(k +1)+1)
7.4.2
Bedenk zelf een gesloten formule voor en toon aan dat die formule juist is voor alle natuurlijke getallen. Wanneer je naar de elementen kijkt, krijg je het vermoeden dat geldt:
11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ ............+ 1n(n +1)
S(1) = 11 ⋅2
= 12
S(2) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
= 23
S(3) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
= 34
S(n) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1n(n +1)
=n
(n +1)
7.4.2
Dus aan te tonen dat voor alle natuurlijke getallen n geldt dat 1. Bewering bekijken voor het eerste natuurlijke getal.
is juist. 2. Kies een willekeurig natuurlijk getal k en toon aan
S(k) = waar, dus Nu S(k + 1) onderzoeken. Gebruik de inducUehypothese!
Uit 1. en 2. volgt dat de bewering geldt voor alle natuurlijke getallen.
S(k) ⇒ S(k +1)
S(n) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1n(n +1)
=n
(n +1)
S(1) = 11 ⋅2
= 12 =
1(1+1)
S(k) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1k(k +1)
=k
(k +1)
S(k +1) = 11 ⋅2
+12 ⋅ 3
+13 ⋅ 4
+ .......+ 1k(k +1)
+1
(k +1)(k + 2)= S(k) + 1
(k +1)(k + 2)k
(k +1)+
1(k +1)(k + 2)
=k(k + 2) +1(k +1)(k + 2)
=k2 + 2k +1(k +1)(k + 2)
=(k +1)2
(k +1)(k + 2)=(k +1)(k + 2)
7.4.3
Toon aan dat het volgende geldt: Het aantal deelverzamelingen van is gelijk aan 1. Bewering bekijken voor het eerste geval.
heeL twee deelverzamelingen nl. Dus is de bewering hiervoor juist.
2. Bekijk de implicaUe
heeL deelverzamelingen. Toon aan dat deelverzamelingen heeL.
1,2,3,4,.....n{ }
B(1) : 1{ }
2n
∅ , 1{ }
B(k) ⇒ B(k +1)
1,2,3,4.....,k{ }1,2,3,4.....,k,k +1{ }
2k
2k+1
7.4.3
Bekijk een aantal verzamelingen en bestudeer de relaUes tussen de aantalen deelverzamelingen. Je ziet dat het aantal deelverzamelingen steeds wordt vermenigvuldigd met twee. Dus heeL deelverzamelingen betekent heeL Bewering is dus waar!
1{ } ∅ , 1{ }
1,2,3,4.....,k{ } 1,2,3,4.....,k,k +1{ }2k
2 ⋅2k = 2k+1
1,2{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }
1,2,3{ } ∅ , 1{ } , 2{ } , 1,2{ }3{ } , 1, 3{ }, 2, 3{ }, 1,2, 3{ }