บทท 5 งาน พลงงาน และก าลง
ปจจบนพลงงานเปนสงทจ าเปนมากในกจกรรมของมนษย เนองจากมนษยตองใชพลงงานในดาน
ตางๆ มากมาย เชน ใชผลตไฟฟา การคมนาคม การกอสราง เปนตน เมอความตองการพลงงานเพมมากขน แตแหลงของพลงงานตามธรรมชาตกลบมปรมาณจ ากด และยงลดนอยลงอยางตอเนอง ดงนนการศกษาเกยวกบพลงงานจงมความส าคญ เพอใหผศกษาเขาใจ และสามารถน าไปประยกตใชในชวตประจ าวนได โดยในบทนจะแนะน าใหรจกแนวคดของงานและพลงงานจลนซงเปนปรมาณสเกลารและเกยวของกบ การเคลอนทของวตถ และน าเสนอการแกปญหาทางพลศาสตรของระบบเชงกลไดโดยไมตองใชกฎของนวตนแตตองอาศยทฤษฎของงาน-พลงงาน (Work - energy theorem) นอกจากนยงสามารถน าไปประยกตกบปรากฏการณตางๆมากมายไมวาจะเปนดานแมเหลกไฟฟา ฟสกสของอะตอม หรอทางฟสกสนวเคลยร และสามารถแกปญหาทยงยากซบซอนจ านวนไมนอยไดงายๆ โดยอาศยแนวคดของทฤษฎดงกลาว 5.1 งานเนองจากแรงคงท (Work done by a constant force)
สงแรกทจะกลาวถงคอแนวคดของ “งาน (Work)” ในชวตประจ าวน งานหมายถงกจกรรมทเกดจากการใชกลามเนอ หรอแรงพยายามของสมอง ในทางฟสกสสามารถนยามความหมายของงานไดวา “งานทกระท าโดยแรงคงทจากภายนอกคอผลคณขององคประกอบของแรงในทศของการกระจดกบขนาดของการกระจด” ถาการออกแรงแลววตถไมมการขยบเขยอนเลย เรยกวาไมมงานเกดขน หรอการเคลอนทมทศทางแนวฉากกบแรงกระท าถอวาไมมงานเกดขนเชนกน เมอพจารณากลองใบหนงทวางอยบนพนลนตามภาพท 5.1 ถามแรงคงทจากภายนอก F
กระท ากบกลองดงกลาวโดยท ามม กบแนวราบ ท าใหกลอง
เคลอนทมการกระจดเทากบ sΔ ดงนนความสมพนธระหวางงาน แรงและการกระจดสามารถเขยนเปนสมการไดดงน
W = [Fcos()]s (5.1) เมอ Fcos() คอองคประกอบของแรง F
ทอยในทศเดยวกบการกระจด sΔ
F
F
θ
S
ภาพท 5.1 กลองทถกกระท าดวยแรง F
ในชวงของการกระจด sΔ ทมา (ปรบปรงจาก Serway., 2008, หนา 165)
126
จากนยามของงานจะเหนวาแรงทไมท าใหเกดงานไดแก 1) แรงไมไดอยในทศเดยวกบการกระจด 2) แรงทไมไดท าใหวตถมการกระจด ในกรณทแรงกระท ากบวตถแลวท าใหการกระจดยงเปนศนยแมวาจะมแรงกระท ากบวตถแลวก
ตาม เชนนกศกษาคนหนงถอวตถไวโดยไมไดเคลอนทไปไหน ในกรณนจะไมเกดงานแตนกศกษาจะรสกเมอยลา ทงนเพราะเกด “งานภายใน (Internal work)” ทกระท าโดยกลามเนอซงงานภายในนเกดจาก การเคลอนทของอเลกตรอนและไอออนโดยแรงไฟฟาทเกดขนภายในกลามเนอดงกลาว
มตของงานคอ [W] = [F][s] = [MLT-2] = ML2T2 งานมหนวยในระบบ SI เปน kg.m2/s2 หรอ Nm หรอเรยกวา Joule; J โดย
1 Joule = 1 Nm = 1 kg.m2/s2
เมอมแรงคงทหลายแรงมากระท าตอวตถแลวท าใหวตถเคลอนทมการกระจดเทากบ sΔ สามารถหางานทเกดจากแรงยอยแตละแรงได โดยงานสทธทเกดจากแรงดงกลาวจะเทากบผลบวกทางพชคณตของงานทเกดจากแรงยอยทงหมด นนคอ cba WWWW s.Fs.Fs.F cba
ΔΔΔ
s FFF cba
Δ)( s.FW
Δ (5.2)
y
x
θsinF
θcosF
F
gmFg
N
f
ภาพท 5.2 กลองทวางบนพนฝด งานจะเกดจากแรงลพธ Fcos() - f ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 165)
127
จากภาพท 5.2 แสดงแผนภาพของแรงคงท F
ทดงใหวตถเคลอนทไปบนพนฝด พบวาน าหนกของวตถ gF
แรงปกต N
และองคประกอบของแรง F
ในแนวดงจะไมท าใหเกดงานเนองจากแรงทกระท า
อยในแนวตงฉากกบการกระจด งานทเกดจากแรงซงมทศตรงขามกบการเคลอนท เชนแรงเสยดทานจะท าใหงานมคาเปนลบ
เพราะวา = ท าให cos() = -1 จะได Wf = -fs ดงนนแรงทท าใหเกดงานคอแรงลพธ Fcos() - f จะได งานสทธเทากบ
W = [Fcos() - f]s (5.3) ตวอยางท 5.1 วตถกอนหนงเคลอนทขนตามพนเอยง 30 ภายใตการกระท าของแรงจ านวนหนง ในภาพท 5.3 แสดงใหเหนแรง 3 แรง โดยท 1F
เปนแรงในแนวระดบ และมขนาด 40 N, 2F
กระท าในแนวตงฉากกบ
พนเอยง และมขนาด 20 N สวนแรง 3F
กระท าในทศขนานกบพนเอยงและมขนาด 30 N จงหางานทแตละแรงกระท าเมอกอนวตถ (และจดทแตละแรงกระท า) เคลอนทขนพนเอยงไปได 80 cm
30
1F
2F
3F
cos30F1
30
ภาพท 5.3 ภาพประกอบตวอยางท 5.1 วธท า องคประกอบของแรง 1F
ในทศของการกระจด คอ
F1cos30๐ = (40)(0.866) = 34.6 N ดงนนงานทกระท าโดยแรง 1F
คอ (34.6)(0.80) = 28 J
เนองจากแรง 2F
ไมมองคประกอบในทศของการกระจด ดงนน 2F
ไมท างาน องคประกอบของ 3F
ในทศของการกระจดคอ 30 N
ดงนนงานทท าโดย 3F
คอ (30)(0.80) = 24 J
128
ตวอยางท 5.2 วตถ 300 g เลอนไถลไปตามผวโตะในแนวระดบ เปนระยะทาง 80 cm จงหางานทแรงเสยดทานทผวโตะกระท าตอวตถ ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนมคาเทากบ 0.20 วธท า กอนอนตองหาแรงเสยดทาน เนองจากแรงตงฉากมขนาดเทากบน าหนกของวตถ N = mgcos() = (6)(9.8)cos(30) = 50.92 N
Ff = kFN= (0.20)(0.300)(9.81) = 0.588 N งานทแรงเสยดทานท า คอ Ffscos() และเนองจากแรงเสยดทานมทศตรงขามกบการกระจด จงได
วา = 180 ดงนน งาน = Ff scos180 = (0.588)(0.80)(-1) = -0.47 J งานมคาเปนลบ เพราะแรงเสยดทานท าใหวตถเคลอนทชาลง และท าใหพลงงานจลนของวตถมคา
นอยลง ตวอยางท 5.3 จะตองท างานตานแรงโนมถวงเทาไร ในการยกวตถมวล 3.0 kg ขนสง 40 cm ในแนวดง วธท า ถาวตถถกยกขนมาดวยอตราเรวคงตว แรงยกตองมขนาดเทากบน าหนกของวตถ งานทท าโดยแรงยกน คอ งานทท าตานความโนมถวง เนองจากแรงยก คอ mg โดยท m คอ มวลของวตถ จะไดวา
งาน = (mg)(h)(cos()) = (3.0)(9.81)(0.40)(1) = 12 J โดยทวไปงานทท าตานความโนมถวงเพอยกวตถมวล m ขนสง h ในแนวดง คอ mgh
ตวอยางท 5.4 จงหางานทกระท าตอวตถชนหนง โดยแรงทรองรบในขณะทวตถนนถกเลอนต าแหนงลงมาตามแนวดงเปนระยะ h ในกระบวนการเดยวกนน งานทท าโดยแรงโนมถวงมคาเทาไร วธท า แรงทตองใชในการพยงวตถ คอ mg โดยท m คอมวลของวตถ แรงนมทศขนในขณะทการกระจดมทศลง ดงนนงานทแรงนท าคอ
Fscos = (mg)(h)(cos180) = - mgh
129
แรงโนมถวงทกระท าตอวตถมคาเทากบ mg ดวย แตแรงนมทศลงในทศเดยวกบการกระจด งานทแรงโนมถวงกระท าตอวตถจงมคาเทากบ
Fscos = (mg)(h)(cos0) = - mgh
5.2 งานจากแรงไมคงท (Work by variable force)
xF
xBxAx
Nx
ภาพท 5.4 กราฟทเปนตวแทนของการหาคางาน ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 189)
พจารณาอนภาคทมการกระจดตามแกน x ภายใตการกระท าของแรงทไมคงทดงภาพท 5.4 เมอ
การกระจดของอนภาคอยในชวง x = x A ถง x = xB ในกรณนจะไมสามารถหางานโดยอาศยสมการ (5.1) ไดถาแบงพนทใตกราฟออกเปนพนทเลกๆกลาวคอพจารณาในชวงระยะสนๆ x สามารถประมาณองคประกอบของแรง F(x) วามขนาดคงท ดงนนงานในชวงระยะทางสนๆ คอ
W = F(x) x ถาแบงพนทใตกราฟออกเปนจ านวน N สวนจะไดงานสทธเปน
N
1nnn x )F(xW Δ
ถา x มขนาดเลกมากๆและมคาเขาใกลศนย ท าใหจ านวนพนทเลกๆ เปนอนนต (N)
สามารถเขยนงานสทธไดใหมเปน
130
B
A
x
x
N
1nnn dxF(x)x)F(xW Δ
Nlim (5.4)
ตวอยางท 5.5 สปรงอนหนงมคาคงท k ถกยดปลายดานหนงไวกบท ถาเรมตนสปรงมความยาวเปน L0 จากนนดงใหมนยดออกมาเปนระยะ s ซงกราฟความสมพนธระหวางแรงและระยะยดของสปรงเปนดงภาพท 5.5 จงหางานทกระท ากบสปรงน
xF
0LxkxF
ksF
0F
00L sL0 s
ks
งาน = พนท = 2ks2
1s ks
2
1
xF
0LxkxF
ksF
0F
00L sL0 s
ks
งาน = พนท = 2ks2
1s ks
2
1
ภาพท 5.5 ภาพประกอบตวอยางท 5.5
วธท า แรงทกระท ากบสปรงคอ F(x) = k(x – L0) และสมการ (5.4) จะได
sL
L00
sL
L0
0
0
0
0
)L)d(xLk(x)dxLk(xW
])L(L)Lsk[(L2
1)Lk(x
2
1 200
200
sL
L
20
0
0
2ks2
1
ตวอยางท 5.6 วตถมวล m ตกลงสพนโลกจากระยะทางทหางจากศนยกลางของโลกเปน R0 จงหางานทแรงโนมถวงของโลกกระท ากบวตถน สมมตวาโลกอยนงๆและเปนทรงกลมทสมบรณ วธท า แรงทกระท ากบมวลเปนแรงโนมถวงมทศเขาหาศนยกลางของโลก ถามวลมความเรวตนเปนศนย และเคลอนทเปนเสนตรงตามแกน x จะมขนาดของแรงโนมถวงเทากบ
131
0R
ER
EM
m
xgF
ภาพท 5.6 ภาพประกอบตวอยางท 5.6
เครองหมายลบแสดงวาแรง gF
มทศตามแกน - x และจากสมการ (5.7) เมอ 2E
E
R
GMg สามารถ
เขยนขนาดของแรง gF
ไดใหมเปน
2
2E
gx
RmgF
จะไดงานเปน
E
0
E
0
R
R
R
R
2E2
2E x
1mgRdx
x
1mgRW
)(0E
2E R
1
R
1mgR
ถาวตถตกจากต าแหนงทไมสงจากพนโลกมากนก เมอวตถสง h = R0 - RE จะได
0
E
E0
E02E R
Rmgh
RR
)R(R.mgRW
จากผลลพธทไดน ถาเปนกรณของวตถทตกใกลๆผวโลก R0 RE จะได W mgh
132
5.3 ทฤษฎของงาน - พลงงาน (Work - Energy theorem)
yAv
xAv
Av
A
y
x0 s
Bv
yBv
xBvB
ภาพท 5.7 แสดงแนวการเคลอนทของวตถซงถกกระท าดวยแรงสทธคงทจาก A ไป B ทมา (ปรบปรงจาก Douglas, 2009, หนา 169)
พจารณาวตถอนหนงมวล m ถกกระท าดวยแรงสทธคงท F
ในระนาบ xy ท าใหวตถดงกลาว
เคลอนทจากจด A ไปยงจด B ดวยความเรงคงท ดงภาพท 5.7 ถาแรงสทธเปนแรงทขนกบต าแหนง ซงเขยนไดในภาพ jFiFF yx
ˆˆ
จะไดงานตามแนวการเคลอนทเปน
B
Ay
B
Ax dyFdxFB)W(A
จากกฎการเคลอนทขอทสองของนวตน เมอ dt
mdvF xx และ
dt
mdvF yy ซงมขนาดคงท สามารถ
เขยนความสมพนธไดใหมเปน
B
A
yB
A
x dydt
dvmdx
dt
dvmB)W(A (5.5)
เมอจดภาพอนพนธเปน
xxxx dvvdv
dt
dxdx
dt
dv
ydvvdvdt
dydy
dt
dvyy
y
133
จากภาพท 5.4 และสมการ (5.5) จะได
Bx
Ax
By
Ayyyxx
v
v
v
vdvvmdvvmB)W(A
)vvvm(v2
1 2Ay
2By
2Ax
2Bx
kAkB2A
2B EEmv
2
1mv
2
1B)W(A (5.6)
เมอ 2mv2
1 เปนพลงงานซงขนอยกบการเคลอนทของวตถเรยกวา “พลงงานจลน (Kinetic
energy)” ดงนนปรมาณของงานสทธทไดจากแรงทงหมดทกระท าบนวตถในระหวางการเคลอนทจาก A ไป B จะเทากบการเปลยนแปลงของพลงงานจลน ซงผลลพธทไดนเปนกรณทแรงสทธคงทแตกเปนจรงกบกรณทวๆไปและเรยกความสมพนธตามสมการ (5.6) วา “ทฤษฎของงาน - พลงงาน” ตวอยางท 5.7 รถยนตคนหนงมวล 1,200 kg ก าลงเคลอนลงมาตามเนนเขาเอยง 30๐ ดงในภาพท 5.8 ขณะทรถมอตราเรว 12 m/s คนขบกเหยยบหามลอ ถาจะใหรถหยดเมอเคลอนทไปได 100 m จะตองมแรงคงตว F (ในทศทางขนานกบถนน) ขนาดเทาไรกระท ากบรถคนน
ภาพท 5.8 ภาพประกอบตวอยางท 5.7 วธท า พลงงานทงหมดของรถ (Ek + Ep) ทเปลยนไป มคาเทากบงานทท าตอรถโดยแรง F ทท าใหรถหยด งานนมคา Fscos180๐ เพราะวาแรง F ตานการเคลอนท จะได
(-1) Fs )h-mg(h )v-m(v2
1if
2i
2f
โดยท
134
m = 1,200 kg vf = 0 vi = 12 m/s hf - hi = (100)sin30๐ s = 100 m แทนคาเหลานในสมการจะให F = 6.7 kN
5.4 แรงอนรกษและไมอนรกษ (Conservative and nonconservative forces)
การวเคราะหระบบเชงกลใหงายจ าเปนตองแบงแรงออกเปน แรงอนรกษ (Conservative forces) และ แรงไมอนรกษ (Nonconservative forces) ในทนจะท าความเขาใจกบแรงอนรกษกอน พจารณาภาพท 5.9 เมอมวล m ถกกระท าดวยแรงโนมถวง gF
และแรง F
ใดๆ ถาพจารณางานทท าโดยแรงโนมถวง
เพยงอยางเดยวตามแนวทาง a y b สามารถหางานไดดงน
y
by
ay
0
x
y
a
m
by
x
x
gmF
ภาพท 5.9 อนภาคมวล m เคลอนทจากจด a ไปยงจด b ทมา (ปรบปรงจาก Halliday, 2007, หนา 216)
งานจาก a ไป y เนองจากแรงโนมถวงมทศตรงขามกบการกระจด sΔ งานในสวนนคอ
W(a y) = s.Fg
Δ
= mgycos(180) = - mg(yb - ya)
และงานจาก y ไป b คอ
135
W(y b) = mgxcos(90) = 0 ดงนนงานจาก a ไป b คอ
W(a b) = W(a y) + W(y b) = - mg(yb - ya)
ในท านองเดยวกน ถาคดงานทเกดจากแรงโนมถวงตามแนวทางเดน a x b จะไดผลลพธเหมอนกนจากตวอยางสามารถสรปไดวา
1) การเปลยนแปลงของพลงงานศกยมคาเทากบคาลบของงานทกระท าโดยแรงโนมถวง
Eg = -Wg (5.7)
2) งานทไดจากแรงโนมถวงจะไมขนกบเสนทางการเคลอนท แตขนกบระดบความสง 3) งานสทธเกดจากแรงโนมถวงในเสนทาง a y b และเสนทาง a x b จะม
ผลลพธเปนศนย นนคอ “แรงอนรกษ เปนแรงทท าใหเกดงานในการเคลอนทซงขนกบต าแหนงเรมตนกบต าแหนงสดทาย
ของวตถ แตไมขนกบเสนทางการเคลอนท โดยงานสทธทใชในการเคลอนทครบรอบตองเทากบศนย” ดงนนจงกลาวไดวาแรงโนมถวงเปนแรงอนรกษ สามารถเขยนเปนสมการไดดงน s.F
Δ = คาคงททเหมอนกนในทกๆเสนทาง
หรอ s.F
Δ = 0 ส าหรบทกๆเสนทางทครบรอบ
หรอเขยนในภาพของอนทเกรทไดเปน
b
as.dF
= คาคงทในทกๆเสนทาง
หรอ s.dF
= 0 สวนแรงไมอนรกษ เชน แรงเสยดทาน จะมสมบตตรงขามกบแรงอนรกษ
136
5.5 พลงงานศกยใน 1 มต (Potential energy in one dimension)
h
aF
m
gmFg
ภาพท 5.10 พลงงานศกยทสะสมอยในกลองขนอยกบความสง h ทมา (ปรบปรงจาก Serway, 2008, หนา 177)
เราไดทราบแลววาพลงงานจลนเปนพลงงานทเกยวของกบการเคลอนทของวตถ ในหวขอนจะไดแนะน าความคดเกยวกบพลงงานในอกภาพแบบหนงคอ พลงงานศกย (Potential energy) ซงเปนพลงงานทเกยวของกบ ต าแหนง (Position) ของวตถ จากภาพท 5.6 เมอยกกลองมวล m ไปวางไวบนทสง h อยางชาๆท าใหขณะเวลาใดๆ ความเรวของกลองมคานอยมากและมผลใหพลงงานจลนของกลองมคาเขาใกลศนย นนคอกลองมความเรงเปนศนยดวย ดงนนขนาดของแรงทยกกลอง aF
จะเทากบแรงโนมถวงหรอน าหนกของกลอง gmFF ga
ถาการกระจดของกลองเปน j hs ˆ
แลวงานทใชในการยกกลอง Wa คอ
mghhFs.FW gaa
และงานทกระท าโดยแรงโนมถวงคอ aggg WmghhFs.FW
เมอเครองหมายลบแสดงวา aF
มทศทางตรงขามกบการกระจด s มหลายกรณทนาสนใจทเกยวของกบพลงงานศกยซงเคลอนทในแนวเสนตรง สมมตวามแรง (y)Fn
ท าใหวตถเคลอนทตามแนวแกน y โดยมระยะกระจดจาก A ไป B เปน y ถาแรงกระท านมทศอยในแนวเดยวกบการเคลอนททแลว งาน Wn ทเกดขนคอ
137
y(y)F)ycos( (y)Fy(y).FW nnnnn ΔθΔΔΔ
และจากความสมพนธระหวางงานกบพลงงานศกยตามสมการ (5.10) จะได y (y)FW(y)E nnn ΔΔΔ (5.8) ถาก าหนดใหชวงเวลา y มคานอยๆ แลวอนทเกรทจาก A ถง B จะได
B
A
y
ynnn (y)dyF(A)E(B)E (5.9)
ถาแรง (y)Fn
เปนแรงอนรกษแลว En(B) - En(A) จะขนกบ yB และ yA เทานน ส าหรบกรณทวไปสามารถ
เขยนสมการ (5.9) ใหมได
y
yn0nn
0
(y)dyF)(yE(y)E (5.10)
เมอ y0 เปนต าแหนงอางองใดๆ และฟงกชน En(y) เปนพลงงานศกยทต าแหนง y ซงสมพทธกบ
คาทต าแหนงอางอง y0 จากภาพท 5.6 ถาก าหนดใหพนเปนต าแหนงอางอง และ y เปนความสงของโตะ สมการ (5.10) จะเขยนไดใหมเปน
)]ymg(y[(y)dyF)E(yE(y) 0
y
yn0
0
)yy(mg 0 )E(yE(y) 0 (5.11) ตวอยางท 5.8 วตถมวล 2.0 kg ตกลงมาจากทสง 400 cm จงค านวณหา
ก) แรงโนมถวงท างานตอวตถนเทาไร ข) วตถสญเสยพลงงานศกยไปเทาไร
วธท า แรงโนมถวงดงวตถดวยแรงขนาด mg และการกระจดมขนาด 4.0 m ในทศของแรง งานทท าโดยแรงโนมถวงจงมคา
(mg)(4.00) = (2.0)(9.81)(4.00) = 78 J
138
Ep ของวตถทเปลยนไป คอ mghf – mghi โดยท hi และ hf เปนความสงของวตถตอนแรก และตอนสดทายเหนอระดบอางอง ดงนนจะได Ep ทเปลยนไป = mghf – mghi = mg(hf – hi) = (2.0)(9.81)(-4.0) = -78 J
5.6 การอนรกษพลงงาน (Conservation of energy)
หลกการอนรกษพลงงานกลาวไววา “พลงงานทไมมการสญหายหรอสรางขนมาใหมได แตพลงงานสามารถเปลยนจากภาพหนงไปเปนอกภาพหนงได” นนคอผลรวมของพลงงานทงหมดตอนเรมตนจะตองมคาเทากบผลรวมของพลงงานทงหมดในตอนสดทาย
2211 pkpk EEEE (5.12)
ตวอยางท 5.9 พจารณากลองมวล m เคลอนทจากสภาวะหยดนงลงมาตามพนเอยงทไมมความฝดดงภาพท 5.11 จงอธบายการเคลอนทของกลองใบนโดยใชหลกการอนรกษพลงงาน
x
y
m
α
h
N
gmFg
ภาพท 5.11 ภาพประกอบตวอยางท 5.9
วธท า จากสมการ 5.12
2211 pkpk EEEE
ghmv2
1ghmv
2
1 20
20 mm
ghmv2
1gh 20 mm
ghghmv2
10
2 mm
139
)hh(gmv2
10
2 m
h)2g(hv 0
5.7 ก าลง (Power)
โดยทวไปการเปรยบเทยบสมรรถภาพของเครองยนต หรอความสามารถในการท างานของคนเราหรอเครองจกรจะไมสามารถพจารณาไดโดยตรงจากงานทท าได แตพจารณาไดจากงานทท าไดในหนงหนวยเวลา ซงเรยกทวๆไปวา “ก าลง (Power)” ถามแรงภายนอกกระท ากบวตถในชวงเวลา t และท าใหเกดงาน W สามารถหาก าลงเฉลยในชวงเวลาดงกลาวได
t
WPav
Δ (5.13)
จากหวขอทผานมาพบวางานไดจากการเปลยนแปลงพลงงานของวตถ จงสามารถนยามก าลงไดวา
“ก าลง คอ อตราการเปลยนแปลงของการสงผานพลงงาน (Time rate of energy transfer)” โดยก าลงในขณะเวลาใดๆคออตราการท างานในชวงทสนมากๆ เมอ t 0 จะได
dt
dW
t
WlimP
0t
ΔΔ (5.14)
เมอ s.dFdW
จากสมการ (5.14) สามารถเขยนใหมได
v.Fdt
sd.F
dt
dWP
(5.15)
ในระบบ SI ก าลงมหนวยเปน J/s หรอ watt; W ซงตงใหเปนเกยรตกบ เจมส วตต (James
Watt) โดย 1 W = 1 J/s = 1 kg.m2/s2 ส าหรบทางดานวศวกรรมมกนยมใชหนวยของก าลงเปน “แรงมา (Horse Power; hp)” เมอ 1 hp = 550 ft.lb/s = 746 W ตวอยางท 5.10 โฆษณาชนหนงกลาวอางวา รถยนตมวล 1,200 kg คนหนง สามารถเรงเครองจากหยดนงใหมอตราเรว 25 m/s ไดภายในเวลา 8.0 s จงหาก าลงเฉลยทเครองยนตจะตองจายเพอใหไดความเรงน โดยไมตองค านงถงการสญเสยเนองจากแรงเสยดทาน วธท า งานทท าในการเรงรถยนตหาไดจากความสมพนธ
140
งานทท า = Ek ทเปลยน = )v-m(v2
1 2i
2f
เวลาทใชส าหรบงานน คอ 8.0 s ดงนน
ก าลง = kW 47 s 8.0
)(1,200)(252
1
เวลา
งาน2
เมอเปลยนหนวยจากวตตเปนก าลงมา จะได
ก าลง = (47 103) hp 63 W746
hp 1
141
สรป
1. งาน W เปนผลคณสเกลารของการกระจด S
แรง F
และทศทางของแรง คอ cosFSSFW
2. พลงงานจลน
2k mv2
1E
3. พลงงานศกยโนมถวง mghEp
4. ความสมพนธระหวางงาน และพลงงานจลนตามทฤษฎบทงาน-พลงงาน คอ k1k2k EEEW 5. พลงงานรวมมคาคงตว 2p2k1p1k EEEE คาคงตว
6. ก าลงนยามวาเปนอตราสวนของงานตอชวงเวลา
cosFvt
WP
142
แบบฝกหด
1. ชายคนหนงออกก าลงกายโดยการนอนหงายยกน าหนก ถาลกเหลกหนก 600 N และเมอเขายกขนไปจนสดแขนจะยกไดสง 0.6 m จงหางานเมอ ก) เมอยกลกเหลกขน ข) เมอยกลกเหลกลง
ตอบ ก) 360 J ข) -360 J
2. จากภาพท 5.12 พนเอยงท ามม 30๐ กบพนราบ ก) จะตองออกแรงขนาดเทาไรจงจะผลกกลองมวล 6 kg ดวยความเรวคงท จากต าแหนง A ขนไปไวท
ต าแหนง B บนพนเอยงฝด ถาสมประสทธของความเสยดทานจลนระหวางกลองกบพนเอยงเปน 0.50
ข) ถาระยะระหวาง A กบ B เทากบ 1.2 m จงหางานสทธ
F
S
A
B
hm
θ
yx
0
F
θ
θ
N
gmFg
f
ภาพท 5.12 ภาพแบบฝกหดขอท 2 ตอบ ก) 54.86 N ข) 0 J
3. สปรงในอดมคตอนหนงไมมความยาวเรมตน มคาคงทเทากบ 50 N/m ปลายขางหนงยดไวกบผนง สวน
ปลายอกขางหนงมมวลอนหนงยดตดอย สมมตวาระบบนวางอยบนพนลน และเรมตนมวลถกดงมาอยทต าแหนงหางจากผนง x = 50 cm เมอปลอยสปรงสามารถหดกลบท าใหมวลเคลอนทมาอยทต าแหนงหางจากผนงเปน x = 5 cm จงหางานทสปรงกระท ากบมวลน
y
x
gmFg
N
sF
AxBx
m
143
ภาพท 5.13 ภาพแบบฝกหดขอท 3 ตอบ 6.19 J
4. วตถมวล m ไถลลงมาตามพนเอยงทเปนเนนดงภาพท 5.14 ถาไมมแรงเสยดทานระหวางวตถกบพน
ก าหนดให hA = 7 m, hB = 4 m, hC = 7.2 m, hD = -1 m และวตถมความเรวตนทจด A เทากบ 3 m/s จงหาอตราเรวของวตถทจด xB, xC และ xD
Ax Bx CxDx
y
x0
A
B
C
D
Dh
Ah Bh Ch
m
gmFg
N
m
sd
dy
ภาพท 5.14 ภาพแบบฝกหดขอท 4 ตอบ vB = 8.23 m/s vC = 2.25 m/s vD = 12.88 m/s
5. ลฟตตวหนงมมวล 1,000 kg สามารถบรรทกของไดสงสด 800 kg ถาตองการใหลฟตตวนเคลอนทดวย
อตราเรวคงท 3 m/s จะตองใชมอเตอรทมก าลงต าสดเทาไร ตอบ 5.292 104 W หรอ 70.94 hp
6. จะตองท างานตานแรงโนมถวงเทาไรในการยกวตถมวล 3.0 kg ขนสง 40 cm ในแนวดง ตอบ 12 J
7. จงค านวณงานทท าตานความโนมถวงโดยเครองสบทจายน ามนเชอเพลง 600 ลตรเขาสถงซงอยสง
20 m เหนอระดบทน ามนเขาเครองสบ น ามนหนงลกบาศกเซนตเมตรมมวล 0.82 g หนงลตรมปรมาตรเทากบ 1000 cm3
ตอบ 96 kJ
8. บนไดหนงยาว 3.0 m และหนก 200 N มจดศนยถวงอยทระยะ 120 cm จากเชงบนได ทปลายดานบนมน าหนก 50 N ตดอย จงค านวณงานทจ าเปนในการยกบนไดจากต าแหนงทวางในแนวนอนบนพนใหตงขนตรงในแนวดง
144
ตอบ 0.39 kJ
9. จากภาพท 5.15 ลกบอลลกหนงผกตดอยกบปลายของเชอกทมความยาว 180 cm ลกบอลนแกวงไปมาเปนนาฬกาลกตม ในขณะทลกบอลผานจดต าสด อตราเรวของลกบอลมคา 400 cm/s จงหา ก) ลกบอลจะขนไปสงจากจดนเทาไรกอนทจะหยด ข) ณ ต าแหนงน เชอกท ามมเทาไรกบแนวดง
ภาพท 5.15 ภาพแบบฝกหดขอท 9 ตอบ ก) 0.816 m ข) 56.9๐
10. กอนวตถมวล 500 g ถกยงขนไปตามพนเอยง ดวยอตราเรวตน 200 cm/s วตถนจะขนไปบนพนเอยง
ไดไกลเทาไร ถาสมประสทธของความเสยดทานระหวางวตถกบพนเอยงมคา 0.150 ตอบ 0.365 m
11. รถไฟขบวนหนงมมวล 60,000 kg ถกลากขนทางลาด 1.0 % (ทก ๆ ความยาว 100 m ตามแนวระดบ
ทางสงขน 1.0 m) ดวยแรงดงขนาด 3.0 kN และมแรงเสยดทาน 4.0 kN ตานการเคลอนท ถาอตราเรวของรถไฟมขนาดเทากบ 12 m/s รถไฟเคลอนทไปไดระยะทางตามแนวนอน s เทาไร กอนทอตราเรวของรถไฟจะลดลงเปน 9.0 m/s
ตอบ 0.28 km
12. จากภาพท 5.16 แสดงใหเหนลกปดลกหนงลนไถลไปบนเสนลวด ถาแรงเสยดทานมคานอยมาก และลกปดมอตราเรว 200 cm/s ท A จงหาค านวณหา ก) อตราเรวของลกปดทจด B ข) อตราเรวของลกปดทจด C
145
ภาพท 5.16 ภาพแบบฝกหดขอท 12 ตอบ ก) vf = 4.4 m/s ข) vf = 3.1 m/s เอกสารอางอง
พงษศกด ชนนาบญ และ วระชย ลมพรชยเจรญ. (2549). ฟสกส มหาวทยาลย เลม 1 (พมพครงท 1). กรงเทพฯ: วทยพฒน.
สมพงษ ใจด. (2548). ฟสกส มหาวทยาลย 1 (พมพครงท 6). กรงเทพฯ: ส านกพมพแหงจฬาลงกรณมหาวทยาลย.
146
สมาคมวทยาศาสตรแหงประเทศไทยในพระบรมชปถมภ. (2543). ฟสกส เลม 1 (พมพครงท 2 ฉบบปรบปรงแกไข). กรงเทพฯ.
Douglas, C. G. (2009). Physics for Sciectists & Engineers with Modern Physics (4th ed.). United States of America. Pearson Education, Inc.
Halliday, D. , Resnick, R. , & Walker, J. (1997). Fundamental of physics (5th ed.). New York: John Wiley & Sons. . (2001). Fundamental of physics (6th ed.). New York: John Willey & Sons. . (2007). Fundamental of physics (8th ed.). New York: John Willey & Sons. Serway, R. A. (1996). Physics for scientists & engineers with modern physics (4th ed.). Philadelphia: Saunders College. . (2008). Physics for scientists & engineers with modern physics (7th ed.). Philadelphia: Saunders College.
Top Related