A lei de Faraday
Adriano A. Batista
Departamento de Fısica-UFCG
August 14, 2017
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
A lei de inducao de Faraday
A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt
onde
ΦB =
∫S
~B · d ~A
e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
A lei de inducao de Faraday
A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt
onde
ΦB =
∫S
~B · d ~A
e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.
O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
A lei de inducao de Faraday
A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt
onde
ΦB =
∫S
~B · d ~A
e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.
Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
A lei de inducao de Faraday
A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt
onde
ΦB =
∫S
~B · d ~A
e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Lei de Lenz
~B
~Bindd ~Bdtiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Lei de Lenz
~B
~Bindd ~Bdtiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Lei de Lenz
~B
~Bindd ~Bdtiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Lei de Lenz
~B
~Bindd ~Bdtiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Lei de Lenz
~B
~Bindd ~Bdtiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
~B
d ~Bdt
~Bindiind
E~B
d ~Bdt
~Bindiind
E
Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.Adriano A. Batista A lei de Faraday
Forca eletromotriz induzida
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt= BLv
Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Forca eletromotriz induzida
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt= BLv
Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Forca eletromotriz induzida
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt= BLv
Com v constante, E = Ri = BLv
=⇒ i = BLv/R.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Forca eletromotriz induzida
E(t) =
∮c
~E · d~= −dΦB
dt= BLv
Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Auto-indutancia
Em geral a fem induzida em um indutor (bobina, solenoide,toroide, etc) temos
E(t) = −N dΦB(i(t))
dt= −N dΦB
di
di
dt
.= −Ldi
dt,
onde N e o numero de voltas no indutor. A auto-indutancia, ousimplesmente indutancia, e definida como
L = NdΦB
di= N
ΦB
i
Esse coeficiente depende apenas da geometria do problema eindepende da corrente eletrica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Auto-indutancia
Em geral a fem induzida em um indutor (bobina, solenoide,toroide, etc) temos
E(t) = −N dΦB(i(t))
dt= −N dΦB
di
di
dt
.= −Ldi
dt,
onde N e o numero de voltas no indutor. A auto-indutancia, ousimplesmente indutancia, e definida como
L = NdΦB
di= N
ΦB
i
Esse coeficiente depende apenas da geometria do problema eindepende da corrente eletrica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um solenoide
i
` N voltas
Ja vimos que o campo magnetico emum solenoide e dado por
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a auto-indutancia e dada por
L =NΦB
i=NBA
i=µ0N
2A
`
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um solenoide
i
` N voltas
Ja vimos que o campo magnetico emum solenoide e dado por
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a auto-indutancia e dada por
L =NΦB
i=NBA
i=µ0N
2A
`
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um toroide
Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por
~B(~r) =µ0Ni
2πsϕ
A auto-indutancia e dada por
L =NΦB
i=µ0N
2h
2π
∫ b
a
ds
s=µ0N
2h
2πlnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um toroide
Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por
~B(~r) =µ0Ni
2πsϕ
A auto-indutancia e dada por
L =NΦB
i=µ0N
2h
2π
∫ b
a
ds
s=µ0N
2h
2πlnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um toroide
Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por
~B(~r) =µ0Ni
2πsϕ
A auto-indutancia e dada por
L =NΦB
i=µ0N
2h
2π
∫ b
a
ds
s=µ0N
2h
2πlnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Campos eletricos induzidos
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
~E
~E
~E
~E
Rr
∮~E · d~r = −dΦ(t)
dt
=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)
dtπr2
=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)
dt
πr2
2πr= −dB(t)
dt
πr
2
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Campos eletricos induzidos
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
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~E
~E
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Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
~E
~E
~E
~E
Rr
∮~E · d~r = −dΦ(t)
dt
=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)
dtπr2
=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)
dt
πr2
2πr= −dB(t)
dt
πr
2
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Campos eletricos induzidos
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
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~E
~E
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~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××××
~E
~E
~E
~E
Rr
×××××
~E
~E
~E
~E
Rr
~E
~E
~E
~E
Rr
∮~E · d~r = −dΦ(t)
dt
=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)
dtπr2
=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)
dt
πr2
2πr= −dB(t)
dt
πr
2
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
Ldi
dt+Ri = V0
O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di
dt = 0
=⇒ limt>>L/R
i(t) = i∞ =V0R
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
Ldi
dt+Ri = V0
O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di
dt = 0
=⇒ limt>>L/R
i(t) = i∞ =V0R
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
Ldi
dt+Ri = V0
O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.
Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di
dt = 0
=⇒ limt>>L/R
i(t) = i∞ =V0R
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
Ldi
dt+Ri = V0
O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di
dt = 0
=⇒ limt>>L/R
i(t) = i∞ =V0R
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
Ldi
dt+Ri = V0
O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di
dt = 0
=⇒ limt>>L/R
i(t) = i∞ =V0R
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: analise grafica
i(t)
didt
V0L
V0R
V0−RiL
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
di
dt+i
τ=V0L,
onde τ = LR . Com a transformacao
i(t) = e−t/τx(t) obtemos
dx
dt= et/τ
V0L
x(t) = x(0) +V0L
∫ t
0es/τds = x(0) +
τV0L
[et/τ − 1
]i(t) = i(0)e−t/τ +
V0R
[1− e−t/τ
]
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: analise grafica
i(t)
didt
V0L
V0R
V0−RiL
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
di
dt+i
τ=V0L,
onde τ = LR .
Com a transformacao
i(t) = e−t/τx(t) obtemos
dx
dt= et/τ
V0L
x(t) = x(0) +V0L
∫ t
0es/τds = x(0) +
τV0L
[et/τ − 1
]i(t) = i(0)e−t/τ +
V0R
[1− e−t/τ
]
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: analise grafica
i(t)
didt
V0L
V0R
V0−RiL
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
di
dt+i
τ=V0L,
onde τ = LR . Com a transformacao
i(t) = e−t/τx(t) obtemos
dx
dt= et/τ
V0L
x(t) = x(0) +V0L
∫ t
0es/τds = x(0) +
τV0L
[et/τ − 1
]i(t) = i(0)e−t/τ +
V0R
[1− e−t/τ
]
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: analise grafica
i(t)
didt
V0L
V0R
V0−RiL
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
di
dt+i
τ=V0L,
onde τ = LR . Com a transformacao
i(t) = e−t/τx(t) obtemos
dx
dt= et/τ
V0L
x(t) = x(0) +V0L
∫ t
0es/τds = x(0) +
τV0L
[et/τ − 1
]
i(t) = i(0)e−t/τ +V0R
[1− e−t/τ
]
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: analise grafica
i(t)
didt
V0L
V0R
V0−RiL
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:
di
dt+i
τ=V0L,
onde τ = LR . Com a transformacao
i(t) = e−t/τx(t) obtemos
dx
dt= et/τ
V0L
x(t) = x(0) +V0L
∫ t
0es/τds = x(0) +
τV0L
[et/τ − 1
]i(t) = i(0)e−t/τ +
V0R
[1− e−t/τ
]Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL em desenergizacao
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:
Ldi
dt+Ri = 0
O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0
R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0
R .
i(t) = i0e−t/τ
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL em desenergizacao
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:
Ldi
dt+Ri = 0
O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0
R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0
R .
i(t) = i0e−t/τ
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL em desenergizacao
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:
Ldi
dt+Ri = 0
O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0
R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0
R .
i(t) = i0e−t/τ
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL em desenergizacao
V0
a
R
i(t)
L
b
A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:
Ldi
dt+Ri = 0
O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0
R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0
R .
i(t) = i0e−t/τ
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
0 1 2 3 4 50.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0i(t)/i∞
Corrente elétrica no circuito RL energizando
0 1 2 3 4 5t/τ
0.0
0.2
0.4
0.6
0.8
1.0
i(t)/i
0
Corrente elétrica no circuito RL desenergizando
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL: exemplo 1
V0
S
R2 LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =V0R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = R2iL(∞) =R2V0R1
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Circuito RL
V0
S
R2
R3
LR1
Qual a corrente inicial no indutor?
iL(0) = 0
Qual a corrente inicial na bateria?
ibat(0) =V0
R1 +R2
Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?
iL(∞) =R2ibat(∞)
R2 +R3=
R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1
Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?
EL = (R2 +R3)iL(∞)
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no indutor
A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:
Ldi
dt+Ri = 0
=⇒ Lidi
dt+Ri2 =
d
dt
(Li2
2
)+Ri2 = 0
Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.
Li202
=
∫ ∞0
Ri(t)2dt
Outra forma de escrever a energia no indutor
Li202
=Φ20
2L
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no indutor
A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:
Ldi
dt+Ri = 0
=⇒ Lidi
dt+Ri2 =
d
dt
(Li2
2
)+Ri2 = 0
Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.
Li202
=
∫ ∞0
Ri(t)2dt
Outra forma de escrever a energia no indutor
Li202
=Φ20
2L
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no indutor
A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:
Ldi
dt+Ri = 0
=⇒ Lidi
dt+Ri2 =
d
dt
(Li2
2
)+Ri2 = 0
Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.
Li202
=
∫ ∞0
Ri(t)2dt
Outra forma de escrever a energia no indutor
Li202
=Φ20
2L
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no indutor
A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:
Ldi
dt+Ri = 0
=⇒ Lidi
dt+Ri2 =
d
dt
(Li2
2
)+Ri2 = 0
Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.
Li202
=
∫ ∞0
Ri(t)2dt
Outra forma de escrever a energia no indutor
Li202
=Φ20
2L
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no campo magnetico
No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por
L =µ0N
2A
`
Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como
UL =Li2
2=µ0N
2Ai2
2`=µ20N
2i2
`2A`
2µ0
Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como
UL =B2A`
2µ0=
∫B2
2µ0d3r =
∫UBd3r
UB e a densidade de energia magnetica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no campo magnetico
No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por
L =µ0N
2A
`
Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como
UL =Li2
2=µ0N
2Ai2
2`=µ20N
2i2
`2A`
2µ0
Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como
UL =B2A`
2µ0=
∫B2
2µ0d3r =
∫UBd3r
UB e a densidade de energia magnetica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no campo magnetico
No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por
L =µ0N
2A
`
Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como
UL =Li2
2=µ0N
2Ai2
2`=µ20N
2i2
`2A`
2µ0
Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como
UL =B2A`
2µ0=
∫B2
2µ0d3r =
∫UBd3r
UB e a densidade de energia magnetica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no campo magnetico
No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por
L =µ0N
2A
`
Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como
UL =Li2
2=µ0N
2Ai2
2`=µ20N
2i2
`2A`
2µ0
Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como
UL =B2A`
2µ0=
∫B2
2µ0d3r =
∫UBd3r
UB e a densidade de energia magnetica.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Energia acumulada no campo magnetico
No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por
L =µ0N
2A
`
Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como
UL =Li2
2=µ0N
2Ai2
2`=µ20N
2i2
`2A`
2µ0
Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e
B = µ0ni =µ0Ni
`
Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como
UL =B2A`
2µ0=
∫B2
2µ0d3r =
∫UBd3r
UB e a densidade de energia magnetica.Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a=⇒ L =
L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a=⇒ L =
L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a=⇒ L =
L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a=⇒ L =
L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a
=⇒ L =L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia de um cabo coaxial
a br
O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e
~B(~r) =µ0I
2πrϕ
A Densidade de energia e
UB =B2
2µ0
A energia total acumulada e
UL =µ0I
2
8π2`
∫ b
a
1
r22πrdr =
µ0I2
4π`
∫ b
a
1
rdr
comparacao com energia acumulada num indutor
UL =LI2
2=µ0I
2
4π` ln
b
a=⇒ L =
L
`=µ02π
lnb
a
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia mutua
O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).
E1(t) = −N1dΦ1
dt= −N1
{∂Φ1
∂I1
dI1dt
+∂Φ1
∂I2
dI2dt
}= −M11
dI1dt−M12
dI2dt,
E2(t) = −N2dΦ2
dt= −N2
{∂Φ2
∂I1
dI1dt
+∂Φ2
∂I2
dI2dt
}= −M21
dI1dt−M22
dI2dt,
onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .
E1(t) = −L1dI1dt−MdI2
dt,
E2(t) = −MdI1dt− L2
dI2dt.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia mutua
O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).
E1(t) = −N1dΦ1
dt= −N1
{∂Φ1
∂I1
dI1dt
+∂Φ1
∂I2
dI2dt
}= −M11
dI1dt−M12
dI2dt,
E2(t) = −N2dΦ2
dt= −N2
{∂Φ2
∂I1
dI1dt
+∂Φ2
∂I2
dI2dt
}= −M21
dI1dt−M22
dI2dt,
onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .
E1(t) = −L1dI1dt−MdI2
dt,
E2(t) = −MdI1dt− L2
dI2dt.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia mutua
O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).
E1(t) = −N1dΦ1
dt= −N1
{∂Φ1
∂I1
dI1dt
+∂Φ1
∂I2
dI2dt
}= −M11
dI1dt−M12
dI2dt,
E2(t) = −N2dΦ2
dt= −N2
{∂Φ2
∂I1
dI1dt
+∂Φ2
∂I2
dI2dt
}= −M21
dI1dt−M22
dI2dt,
onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .
E1(t) = −L1dI1dt−MdI2
dt,
E2(t) = −MdI1dt− L2
dI2dt.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia mutua
O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).
E1(t) = −N1dΦ1
dt= −N1
{∂Φ1
∂I1
dI1dt
+∂Φ1
∂I2
dI2dt
}= −M11
dI1dt−M12
dI2dt,
E2(t) = −N2dΦ2
dt= −N2
{∂Φ2
∂I1
dI1dt
+∂Φ2
∂I2
dI2dt
}= −M21
dI1dt−M22
dI2dt,
onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .
E1(t) = −L1dI1dt−MdI2
dt,
E2(t) = −MdI1dt− L2
dI2dt.
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Indutancia mutua de um transformador toroidal
Ip
Np voltas `p
Is
Ns voltas`s
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday
Resumo
Fluxo magnetico
Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos
Lei de Faraday
Lei de Lenz
Indutores e Indutancia
Circuitos RL
Indutancia mutua
Transformadores
Adriano A. Batista A lei de Faraday