A lei de Faraday

Adriano A. Batista

Departamento de Fısica-UFCG

August 14, 2017

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

A lei de inducao de Faraday

A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt

onde

ΦB =

∫S

~B · d ~A

e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

A lei de inducao de Faraday

A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt

onde

ΦB =

∫S

~B · d ~A

e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.

O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

A lei de inducao de Faraday

A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt

onde

ΦB =

∫S

~B · d ~A

e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.

Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

A lei de inducao de Faraday

A fem induzida em um circuito no qual o fluxo magnetico varia notempo e dada por

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt

onde

ΦB =

∫S

~B · d ~A

e o fluxo magnetico atraves da superfıcie cuja borda e a curva c.O sentido da normal n de d ~A obedece a regra da mao direita emrelacao ao sentido de d~.Observacoes: O caminho c nao precisa ser num meio materialcondutivo.S pode ser uma superfıcie ”qualquer” cuja borda e a curva c.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Inducao de Faraday

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Inducao de Faraday

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Lenz

~B

~Bindd ~Bdtiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Lenz

~B

~Bindd ~Bdtiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Lenz

~B

~Bindd ~Bdtiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Lenz

~B

~Bindd ~Bdtiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Lei de Lenz

~B

~Bindd ~Bdtiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

~B

d ~Bdt

~Bindiind

E~B

d ~Bdt

~Bindiind

E

Corrente induzida sempre se opoe a mudanca de fluxo.Adriano A. Batista A lei de Faraday

Forca eletromotriz induzida

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt= BLv

Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Forca eletromotriz induzida

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt= BLv

Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Forca eletromotriz induzida

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt= BLv

Com v constante, E = Ri = BLv

=⇒ i = BLv/R.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Forca eletromotriz induzida

E(t) =

∮c

~E · d~= −dΦB

dt= BLv

Com v constante, E = Ri = BLv =⇒ i = BLv/R.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Auto-indutancia

Em geral a fem induzida em um indutor (bobina, solenoide,toroide, etc) temos

E(t) = −N dΦB(i(t))

dt= −N dΦB

di

di

dt

.= −Ldi

dt,

onde N e o numero de voltas no indutor. A auto-indutancia, ousimplesmente indutancia, e definida como

L = NdΦB

di= N

ΦB

i

Esse coeficiente depende apenas da geometria do problema eindepende da corrente eletrica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Auto-indutancia

Em geral a fem induzida em um indutor (bobina, solenoide,toroide, etc) temos

E(t) = −N dΦB(i(t))

dt= −N dΦB

di

di

dt

.= −Ldi

dt,

onde N e o numero de voltas no indutor. A auto-indutancia, ousimplesmente indutancia, e definida como

L = NdΦB

di= N

ΦB

i

Esse coeficiente depende apenas da geometria do problema eindepende da corrente eletrica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um solenoide

i

` N voltas

Ja vimos que o campo magnetico emum solenoide e dado por

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a auto-indutancia e dada por

L =NΦB

i=NBA

i=µ0N

2A

`

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um solenoide

i

` N voltas

Ja vimos que o campo magnetico emum solenoide e dado por

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a auto-indutancia e dada por

L =NΦB

i=NBA

i=µ0N

2A

`

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um toroide

Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por

~B(~r) =µ0Ni

2πsϕ

A auto-indutancia e dada por

L =NΦB

i=µ0N

2h

2π

∫ b

a

ds

s=µ0N

2h

2πlnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um toroide

Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por

~B(~r) =µ0Ni

2πsϕ

A auto-indutancia e dada por

L =NΦB

i=µ0N

2h

2π

∫ b

a

ds

s=µ0N

2h

2πlnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um toroide

Pela lei de Ampere ja vimos que ocampo magnetico no interior de umtoroide e dado por

~B(~r) =µ0Ni

2πsϕ

A auto-indutancia e dada por

L =NΦB

i=µ0N

2h

2π

∫ b

a

ds

s=µ0N

2h

2πlnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Campos eletricos induzidos

~E

~E

~E

~E

Rr

×××××

~E

~E

~E

~E

Rr

×××××××

~E

~E

~E

~E

Rr

×××××××××

~E

~E

~E

~E

Rr

×××××××××

~E

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Rr

×××××××××

~E

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Rr

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Rr

∮~E · d~r = −dΦ(t)

dt

=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)

dtπr2

=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)

dt

πr2

2πr= −dB(t)

dt

πr

2

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Campos eletricos induzidos

~E

~E

~E

~E

Rr

×××××

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~E

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Rr

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Rr

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Rr

∮~E · d~r = −dΦ(t)

dt

=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)

dtπr2

=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)

dt

πr2

2πr= −dB(t)

dt

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2

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Campos eletricos induzidos

~E

~E

~E

~E

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Rr

×××××

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Rr

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~E

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Rr

∮~E · d~r = −dΦ(t)

dt

=⇒ Eϕ(r)2πr = −dB(t)

dtπr2

=⇒ Eϕ(r) = −dB(t)

dt

πr2

2πr= −dB(t)

dt

πr

2

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

Ldi

dt+Ri = V0

O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di

dt = 0

=⇒ limt>>L/R

i(t) = i∞ =V0R

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

Ldi

dt+Ri = V0

O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di

dt = 0

=⇒ limt>>L/R

i(t) = i∞ =V0R

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

Ldi

dt+Ri = V0

O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.

Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di

dt = 0

=⇒ limt>>L/R

i(t) = i∞ =V0R

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

Ldi

dt+Ri = V0

O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di

dt = 0

=⇒ limt>>L/R

i(t) = i∞ =V0R

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

Ldi

dt+Ri = V0

O valor inicial da corrente e i(0) = 0.Assim que a chave e colocada naposicao a a corrente no indutor e nula.Depois de transcorrido um longo tempoo sistema fica estacionario =⇒ di

dt = 0

=⇒ limt>>L/R

i(t) = i∞ =V0R

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: analise grafica

i(t)

didt

V0L

V0R

V0−RiL

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

di

dt+i

τ=V0L,

onde τ = LR . Com a transformacao

i(t) = e−t/τx(t) obtemos

dx

dt= et/τ

V0L

x(t) = x(0) +V0L

∫ t

0es/τds = x(0) +

τV0L

[et/τ − 1

]i(t) = i(0)e−t/τ +

V0R

[1− e−t/τ

]

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: analise grafica

i(t)

didt

V0L

V0R

V0−RiL

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

di

dt+i

τ=V0L,

onde τ = LR .

Com a transformacao

i(t) = e−t/τx(t) obtemos

dx

dt= et/τ

V0L

x(t) = x(0) +V0L

∫ t

0es/τds = x(0) +

τV0L

[et/τ − 1

]i(t) = i(0)e−t/τ +

V0R

[1− e−t/τ

]

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: analise grafica

i(t)

didt

V0L

V0R

V0−RiL

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

di

dt+i

τ=V0L,

onde τ = LR . Com a transformacao

i(t) = e−t/τx(t) obtemos

dx

dt= et/τ

V0L

x(t) = x(0) +V0L

∫ t

0es/τds = x(0) +

τV0L

[et/τ − 1

]i(t) = i(0)e−t/τ +

V0R

[1− e−t/τ

]

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: analise grafica

i(t)

didt

V0L

V0R

V0−RiL

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

di

dt+i

τ=V0L,

onde τ = LR . Com a transformacao

i(t) = e−t/τx(t) obtemos

dx

dt= et/τ

V0L

x(t) = x(0) +V0L

∫ t

0es/τds = x(0) +

τV0L

[et/τ − 1

]

i(t) = i(0)e−t/τ +V0R

[1− e−t/τ

]

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: analise grafica

i(t)

didt

V0L

V0R

V0−RiL

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao ae:

di

dt+i

τ=V0L,

onde τ = LR . Com a transformacao

i(t) = e−t/τx(t) obtemos

dx

dt= et/τ

V0L

x(t) = x(0) +V0L

∫ t

0es/τds = x(0) +

τV0L

[et/τ − 1

]i(t) = i(0)e−t/τ +

V0R

[1− e−t/τ

]Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL em desenergizacao

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:

Ldi

dt+Ri = 0

O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0

R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0

R .

i(t) = i0e−t/τ

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL em desenergizacao

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:

Ldi

dt+Ri = 0

O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0

R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0

R .

i(t) = i0e−t/τ

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL em desenergizacao

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:

Ldi

dt+Ri = 0

O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0

R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0

R .

i(t) = i0e−t/τ

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL em desenergizacao

V0

a

R

i(t)

L

b

A equacao do movimento do circuitoRL quando a chave S esta na posicao be:

Ldi

dt+Ri = 0

O valor inicial da corrente ei(0) = i0 = V0

R . Assim que a chave ecolocada na posicao b a corrente noindutor ainda continua igual a V0

R .

i(t) = i0e−t/τ

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

0 1 2 3 4 50.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0i(t)/i∞

Corrente elétrica no circuito RL energizando

0 1 2 3 4 5t/τ

0.0

0.2

0.4

0.6

0.8

1.0

i(t)/i

0

Corrente elétrica no circuito RL desenergizando

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL: exemplo 1

V0

S

R2 LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =V0R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = R2iL(∞) =R2V0R1

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Circuito RL

V0

S

R2

R3

LR1

Qual a corrente inicial no indutor?

iL(0) = 0

Qual a corrente inicial na bateria?

ibat(0) =V0

R1 +R2

Depois de um tempo muito longo, qual a corrente no indutor?

iL(∞) =R2ibat(∞)

R2 +R3=

R2V0R1R2 +R2R3 +R3R1

Logo depois de se abrir novamente a chave S, qual e a feminduzida em L?

EL = (R2 +R3)iL(∞)

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no indutor

A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:

Ldi

dt+Ri = 0

=⇒ Lidi

dt+Ri2 =

d

dt

(Li2

2

)+Ri2 = 0

Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.

Li202

=

∫ ∞0

Ri(t)2dt

Outra forma de escrever a energia no indutor

Li202

=Φ20

2L

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no indutor

A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:

Ldi

dt+Ri = 0

=⇒ Lidi

dt+Ri2 =

d

dt

(Li2

2

)+Ri2 = 0

Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.

Li202

=

∫ ∞0

Ri(t)2dt

Outra forma de escrever a energia no indutor

Li202

=Φ20

2L

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no indutor

A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:

Ldi

dt+Ri = 0

=⇒ Lidi

dt+Ri2 =

d

dt

(Li2

2

)+Ri2 = 0

Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.

Li202

=

∫ ∞0

Ri(t)2dt

Outra forma de escrever a energia no indutor

Li202

=Φ20

2L

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no indutor

A equacao do movimento do circuito RL quando a chave S estana posicao a e:

Ldi

dt+Ri = 0

=⇒ Lidi

dt+Ri2 =

d

dt

(Li2

2

)+Ri2 = 0

Integrando essa equacao por um tempo muito longo, obtemos quea energia inicialmente acumulada no indutor e posteriormentedissipada no resistor.

Li202

=

∫ ∞0

Ri(t)2dt

Outra forma de escrever a energia no indutor

Li202

=Φ20

2L

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no campo magnetico

No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por

L =µ0N

2A

`

Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como

UL =Li2

2=µ0N

2Ai2

2`=µ20N

2i2

`2A`

2µ0

Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como

UL =B2A`

2µ0=

∫B2

2µ0d3r =

∫UBd3r

UB e a densidade de energia magnetica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no campo magnetico

No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por

L =µ0N

2A

`

Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como

UL =Li2

2=µ0N

2Ai2

2`=µ20N

2i2

`2A`

2µ0

Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como

UL =B2A`

2µ0=

∫B2

2µ0d3r =

∫UBd3r

UB e a densidade de energia magnetica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no campo magnetico

No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por

L =µ0N

2A

`

Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como

UL =Li2

2=µ0N

2Ai2

2`=µ20N

2i2

`2A`

2µ0

Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como

UL =B2A`

2µ0=

∫B2

2µ0d3r =

∫UBd3r

UB e a densidade de energia magnetica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no campo magnetico

No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por

L =µ0N

2A

`

Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como

UL =Li2

2=µ0N

2Ai2

2`=µ20N

2i2

`2A`

2µ0

Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como

UL =B2A`

2µ0=

∫B2

2µ0d3r =

∫UBd3r

UB e a densidade de energia magnetica.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Energia acumulada no campo magnetico

No caso em que o indutor e um solenoide vimos que a indutancia edada por

L =µ0N

2A

`

Logo a energia acumulada neste indutor pode ser escrita como

UL =Li2

2=µ0N

2Ai2

2`=µ20N

2i2

`2A`

2µ0

Sabemos tambem que o campo magnetico no solenoide e

B = µ0ni =µ0Ni

`

Logo a energia acumulada no indutor pode ser escrita como

UL =B2A`

2µ0=

∫B2

2µ0d3r =

∫UBd3r

UB e a densidade de energia magnetica.Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a=⇒ L =

L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a=⇒ L =

L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a=⇒ L =

L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a=⇒ L =

L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a

=⇒ L =L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia de um cabo coaxial

a br

O Campo magnetico no interior do cabo coaxial(a < r < b) e

~B(~r) =µ0I

2πrϕ

A Densidade de energia e

UB =B2

2µ0

A energia total acumulada e

UL =µ0I

2

8π2`

∫ b

a

1

r22πrdr =

µ0I2

4π`

∫ b

a

1

rdr

comparacao com energia acumulada num indutor

UL =LI2

2=µ0I

2

4π` ln

b

a=⇒ L =

L

`=µ02π

lnb

a

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia mutua

O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).

E1(t) = −N1dΦ1

dt= −N1

{∂Φ1

∂I1

dI1dt

+∂Φ1

∂I2

dI2dt

}= −M11

dI1dt−M12

dI2dt,

E2(t) = −N2dΦ2

dt= −N2

{∂Φ2

∂I1

dI1dt

+∂Φ2

∂I2

dI2dt

}= −M21

dI1dt−M22

dI2dt,

onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .

E1(t) = −L1dI1dt−MdI2

dt,

E2(t) = −MdI1dt− L2

dI2dt.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia mutua

O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).

E1(t) = −N1dΦ1

dt= −N1

{∂Φ1

∂I1

dI1dt

+∂Φ1

∂I2

dI2dt

}= −M11

dI1dt−M12

dI2dt,

E2(t) = −N2dΦ2

dt= −N2

{∂Φ2

∂I1

dI1dt

+∂Φ2

∂I2

dI2dt

}= −M21

dI1dt−M22

dI2dt,

onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .

E1(t) = −L1dI1dt−MdI2

dt,

E2(t) = −MdI1dt− L2

dI2dt.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia mutua

O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).

E1(t) = −N1dΦ1

dt= −N1

{∂Φ1

∂I1

dI1dt

+∂Φ1

∂I2

dI2dt

}= −M11

dI1dt−M12

dI2dt,

E2(t) = −N2dΦ2

dt= −N2

{∂Φ2

∂I1

dI1dt

+∂Φ2

∂I2

dI2dt

}= −M21

dI1dt−M22

dI2dt,

onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .

E1(t) = −L1dI1dt−MdI2

dt,

E2(t) = −MdI1dt− L2

dI2dt.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia mutua

O fluxo magnetico por espira no indutor 1 e dado por Φ1(I1, I2).O fluxo magnetico por espira no indutor 2 e dado por Φ2(I1, I2).

E1(t) = −N1dΦ1

dt= −N1

{∂Φ1

∂I1

dI1dt

+∂Φ1

∂I2

dI2dt

}= −M11

dI1dt−M12

dI2dt,

E2(t) = −N2dΦ2

dt= −N2

{∂Φ2

∂I1

dI1dt

+∂Φ2

∂I2

dI2dt

}= −M21

dI1dt−M22

dI2dt,

onde M11 = L1, M22 = L2, e M12 = M21 = M .

E1(t) = −L1dI1dt−MdI2

dt,

E2(t) = −MdI1dt− L2

dI2dt.

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Transformador

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Indutancia mutua de um transformador toroidal

Ip

Np voltas `p

Is

Ns voltas`s

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday

Resumo

Fluxo magnetico

Forca eletromotriz induzida devida a variacao do fluxo emcircuitos

Lei de Faraday

Lei de Lenz

Indutores e Indutancia

Circuitos RL

Indutancia mutua

Transformadores

Adriano A. Batista A lei de Faraday