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2.2. ............................................................37
2.3. ........................................42
2.4. ...................................45
2.5. .
.................................48
2.6. ...................................552.7. .................................61
2.8. .......................................67
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3. ............ 72
3.1. ...................................72
3.2.
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3.3. ..................................................................................77
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3.3.3. ................................................91
3.4. .......................................................................................99
3.4.1. .................................................99
3.4.2. .....................................105
3.4.3. ................................107
3.4.4. ............................................112
......................................................... 120
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31A :
21 21 31 31 22 21 32 31
23 21 33 31 2 21 3 31.
a A a A x a A a A y
a A a A z b A b A
:
11 11 21 21 31 31 11 11 12 11 22 21
32 31 12 11 13 11 23 21 33 31 13 11
1 11 2 21 3 31 1 11.
a A a A a A a A x a A a A
a A a A y a A a A a A a A z
b A b A b A b A
(1.13)
(1.6), :
11 11 21 21 31 31a A a A a A D ,
12 11 22 21 32 31 0a A a A a A
13 11 23 21 33 31 0a A a A a A ,
(1.12) 1 11 2 21 3 31 xb A b A b A D , (1.13)
11 11 12 11 13 11 1 11.xD a A x a A y a A z D b A
xD x D
11 11 12 11 13 11 1 11a A x a A y a A z b A .
11 0A -
11 12 13 1.a x a y a z b , (1.11)
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28/121
27
. ,
.
3) 0x y zD D D D
D , - :
3.1. , , .. .
3.2. , .. .
, 11 0a
21 11a a 31 11a a , , \ 0 .
D ,
22 12 23 13,a a a a 32 12 33 13,a a a a ,
.. 11 21 12 22 13 23: : : 1:a a a a a a
11 31 12 32 13 33: : : 1:a a a a a a .
11 21 31 12 22 32 13 23 33: : : : : :a a a a a a a a a .
2 1b b 3 1b b ,
11 21 12 22 13 23 1 2: : : : 1:a a a a a a b b 11 31 12 32 13 33 1 3: : : : 1:a a a a a a b b ,
11 21 31 12 22 32 13 23 33 1 2 3: : : : : : : :a a a a a a a a a b b b .
, , , ,
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
29/121
1.
28
, ..
, (1.11) .
2 1b b
3 1b b ,
, (1.11) , .
4) 0D ,x yD D zD
, xD x D , yD y D zD z D . , -
(1.11) .
(1.11)
1 2 3 0b b b , . 0, 0, 0x y z -
.
12 13
22 23
32 33
0
0 0
0
x
a a
D a a
a a
,11 13
21 23
31 33
0
0 0,
0
y
a a
D a a
a a
11 12
21 22
31 32
0
0 0,
0
z
a a
D a a
a a
0
00
D x
D yD z
,
:
1) 0D -D , , .
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30/121
29
2)
0D D , , .
3) 0D , .
1. , - :
)
6
2 5
2 2
x y z
x y z
x y z
, )
2 4 1
2 5 1
2
x y z
x y z
x y z
, )
2 4
4 2 2 5
6 3 3 10
x y z
x y z
x y z
,
)
2 4
4 2 2 8
6 3 3 12
x y z
x y z
x y z
, )
2 2 5
2 2
4 2 2 3
x y z
x y z
x y z
.
. )
1 1 1
1 1 2 3 0
1 2 1
D
,
.
xD , yD zD :
6 1 1
5 1 2 3
2 2 1
xD
,
1 6 1
1 5 2 6
1 2 1
yD
,
1 1 6
1 1 5 9
1 2 2
zD ,
:
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31/121
1.
30
1, 2, 3.y
x z
DD Dx y zD D D
, (1,2,3)M .
) 0x y zD D D D 331 2
3 02 1
A ,
. . , , .
2 4 1
2
x y z
x y z
.
, 2 1x z 1y z .
2 1, 1, :M z z z z .) 0x y zD D D D 2: 4: 6 1: 2 :3 4 :5:10 , -
, .. .
.
) 0x y zD D D D 2: 4:6 1: 2:3 4:8:12 , -
(
). 2 -, 3 . 2 4x y z ,
, 22 2
y zx .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
32/121
31
2 , , : ,2 2
y zM y z y z
.
) 0D , 21 0xD , .
2. , - :
)
3 2 0
2 5 3 0
3 4 2 0
x y z
x y z
x y z
, )
0
3 2 0
3 0
x y z
x y z
x y
, )
2 0
3 6 3 0
2 0
x y z
x y z
x y z
.
. ) 3 0D , 0x y z .
) 0D 11
1 26 0
3 0A
, -
( ).
0
3 2 0
x y z
x y z
,
3
4x z
1
4y z .
3 1, , :
4 4M z z z z
.
) 0D 0ijA , , 1,2,3i j (
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33/121
1.
32
). 2 0x y z , 2x y z .
2 , , : ,M y z y z y z .
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34/121
33
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35/121
2.
34
2.
, . - . , , , ,
, . - , , , , , -.
.
2.1.
(), .
- -, .. ,
. :
, , ,a b c
A
B
2.1
A A , B , AB .
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36/121
35
1) AB (-
) AB AB .
2) AB A B AB .
3) AB A B B.
, , .. .
, , . .
, .
, .
1 , 0 . .
a b -
, a b .
a b -
, a b
b a .
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2.
36
a b ,.. .
a b .
OAa OBb O .
2.2
B
O
a
b
a b
a b .
, 0 . a
b
, 0, a
b
, .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
38/121
37
2.2.
)
.
ABa BCb . ACc a b
c a b . (. 2.3 ).
A
B
C
a
a b+
b
A B
D
a
b a b+
2.3
ABa ADb . ACc , C
ABCD a b c a b . -(. 2.3 ).
OAa , OBb OCc . OM O ,
a , b c , . 2.4.
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2.
38
B
C
a
ab+c
c+
O Ab
a
b
c
x
y
2.4 2.5
a b . - :
1) abba
, ,
2) cbacba
, ,
3) 0 0a a a , 0 ,
4) ( ) ( ) 0a a a a .
.
1) - . ABCD :
AC AB BC a b AC AD DC b a .
2) a b x b c y . . 2.5
x c a y , .. cbacba
.
3) ABa . 0 AB+BB=ABa a
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39
0 AA+AB=ABa a .
4) ABa . BAa ,
( ) AB+BA=AA 0a a ( ) BA+AB=BB 0a a .
)
a
b a
- b , ..
( )a b a b . A
C
a
b
a b_
2.6
)
a AB b :
1)
b a ,
2) a ,3) a 0 ,
a 0 .
b a a b a .
0 ,
0 0 0a a .
, :
1 1a a a ,
( 1) ( 1)a a a ,
0 0 0.
2
a
a
3a
2.7
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41/121
2.
40
a , 0 -
a
a
1
, .
1aa
.
a
a
0a .
0a a , 0 ,
0
| | 1a a . 0
| |a a a , 0 | |
aa
a .
a b , . :
1) aaa
, ,
2) aaa
,
,
3) ( )a b a b , .
. - .
0 . OAa ABb (. 2.8 ).
OBa b 1 1 1 1OA A B OBa b .
OAB 1 1OA B
1OA OA , 1 1A B AB 1 1OAB OA B ,
1OB OB .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
42/121
41
A A1O ab
a b+
a
b
B1
B
A
A1O a
ba b+
a
b
B1
B
2.8
AOB 1 1A OB
O, B 1B , .. OB 1OB
. 1OB OB , ..
( )a b a b . 0
OAB 1 1OA B (. 2.8 ),
1OB OB .
a b
, 0 a b .
, a b .
0a 0b ,
0 0| | | |a a a a b
( + a b -
, a b ).
0| |
bb
b :
0
| | | | | |
| | | |
b aa a b a b
b b .
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43/121
2.
42
| |
| |
a
b a b .
,
a b . b b , a b .
2.3.
ABa CDb e .
ABa CDb A'B' , A' B' A B
CDb .
A'B' pr AB pr bCD
a .
A
B
C
D
AB
abpr
a
b
2.9
:
1) pr | | | cos |b
a a , a
b ( 0 )., ABa
=ACb .
(. 2.10 ).
AB'B pr
cos| |
ba
a .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
44/121
43
, cos 0 , cos cos .
prcos
| |
ba
a .
, (. 2.10 ), cos 0 cos cos . ABB'
prcos( ) cos | cos |
| |
ba
a
.
A
C
B
Bb
ab
pr
a
AC
B
B
a
bab
pr
2.10
2
, | pr | | | | 0 | 0 | | cos
2ba AA a
.
. AB' pr b
a -
ABa
=ACb , +
(. 2.10), (. 2.10).
2) pr ( ) pr prc c ca b a b
, ABa BCb - . 2.11.
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45/121
2.
44
AB BC ACa b .
a
b :
pr A'B'c a , pr B'C'cb ,
a b :
A
A
C
a
b
B
B
c
C
ac
pr
bc
pr
a
a b+
2.11
pr ( ) pr AC A'C' A'B' B'C' pr pr .c c c ca b a b
a b .
2 1 2, , , na a a ,..
1 2 1 2pr pr pr prc n c c c na a a a a a .
3) pr prb b
a a , .
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46/121
45
2.4.
1 2, , , na a a 1 2, ,
,n
.
nn aaa 2211 -
1 2, , , na a a .
a
1 1 2 2 ,n na a a a
1 2, , , na a a , a
1 2, , , na a a .
1 2, , , na a a 1 2, , , n ,
.02211
nn aaa
1 1 2 2 0n na a a , .
1 2, , , na a a
.
, 1 2, , , na a a .
n ,,, 21 ,
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47/121
2.
46
.02211
nn
aaa
1 0.
321 2 3
1 1 1
nna a a a
.
, 1a -
2 3, , , na a a , ..
1 2 2 3 3 .n na a a a
1 2 2 3 3 0n na a a a .
1a ,
1 2, , , na a a .
- .
10
.
, a
b
, ..
0a b , .
0 .
a b b
.
a
b
.
, a
b
.
, 0 ba
, - a
b
.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
48/121
47
20
.
, a
, b
c
, ..
0
cba , , . 0 .
.a b c b c
b
c
, b
c
, ( a
)
. , a
, b
c
.
, OAa , OBb OCc . , .
. . 2.12
1 1OC OA OBc a b ,
0 0 . - .
B1
O
C
a
b
A1
B
c
2.12 ,
a
b
, , 0
ba
, .. cba
0 , .
30
.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
49/121
2.
48
2.5.
.
, .
O. O
. x- ( ), y-( ), z- ( ) . x-, y- z-
i , j k , -.
, .
K
z- x- y- - .
2.13
, x-,y-, z-.
K z- x- y-, .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
50/121
49
,
., .
: xOy, xOz yOz. Ox y , Oy z , Ox z . .
OAa . i , j k , 20 2.4. . 302.4. i , j ,
k a , 1 2 3, , 4
,
1 2 3 4
0i j k a .
4 0 ,
1 2 3 0i j k , ,
i , j k . a
i , j k :
1 2 3a a i a j a k .
.
, 1 2 3a a i a j a k
1 2 3a b i b j b k . :
1 2 3 1 2 3a i a j a k b i b j b k , ..
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
51/121
2.
50
1 1 2 2 3 3
( ) ( ) ( ) 0a b i a b j a b k .
i , j k ,
1 1 2 2 3 3 0a b a b a b , ..
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b .
OAa i ,
j k :
1 2 3a a i a j a k .
1 2,a i a j 3a k
a
i , j k ,
a
i , j k . a
i , j k .x
y
z
A
O
a i1
a j2
a k3
a
A3
A1
A2
2.14
1 2,a a 3a -
a . a , .. , . a :
1 2 3, ,a a a a .
i , j k :
1, 0, 0i , 0,1, 0j 0, 0,1k .
a , :
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
52/121
51
1 2 3| | cos , | | cos , | | cos ,a a a a a a
, OAa x-, y- z-, (..
i , j k , ).
1
OAA ,2OAA 3OAA ,
(. 2.14).,
1 2,a a
3a OAa , () (. 2.14):
2 2 2
1 2 3| |a a a a ,
OAa OAa x-,y-z-:
1 1
2 2 2
1 2 3cos ,| |
a a
a a a a
2 2
2 2 2
1 2 3
cos ,| |
a a
a a a a
3 3
2 2 2
1 2 3
cos .| |
a a
a a a a
, , :2 2 2
2 2 2 1 2 3
2cos cos cos 1.
| |
a a a
a
OAa :
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
53/121
2.
52
1 2 331 20
, ,, , cos ,cos ,cos| | | | | | | | | |
a a a aa aaa a a a a a
.
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . :
1) a b , ..
1 1 2 2 3 3, , .a b a b a b
2)
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b a b ( )
3) 1 2 3, , ,a a a a ( )
.
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b
, 0 a b , ..
1 1 2 2 3 3, ,a b a b a b .
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b
31 2
1 2 3
aa a
b b b .
1. , 2, 3, 6a . ,
a . , a ?
. a
:
22 2| | 2 3 6 49 7a .
a :
31 22 3 6cos , cos , cos .| | 7 | | 7 | | 7
aa a
a a a
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
54/121
53
02 3 6
, ,| | 7 7 7
aa a
a , 02 3 6
, ,7 7 7
a
, a .
2. m
2 3a i j b mi j .
. a b a b . :
2 3 ( )i j mi j , ..
(2 ) (3 ) 0m i j .
i j , :
2 0
3 0
m
.
2
3m 3 .
3. :
) 2 3a i j , 2b i j , c i j ,
) 3 2a i k , 5b i j k , 2 3 2c i j k .
.) a , b c , .. a b c , .
a b c :
2 3 ( 2 ) ( )i j i j i j , ..
( 2) (2 3) 0i j .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
55/121
2.
54
i j ,
2 0
2 3 0
.
1
3
7
3 .
) a , b c , .
, .. 0a b c . :
( 3 2 ) (5 3 ) (2 2 ) 0i j k .
i , j k , :
3 2 0
5 3 0
2 2 0
.
:
3 1 2
0 5 3 25 0
2 1 2
D
,
0 .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
56/121
55
2.6.
a
b
, ,
ba
, ba
a . .
a
b
a b , a b .,
a b = | || | cosa b .
a
b
, - ,
a
b
:
cos .| | | |
a b
a b
a
, b
c
, :
1) | | | || pr | | || pr |a ba b a b b a ,
2) 2| |a a a ,
3) 0 0 0a a ,
4) abba
, - ,
5) a b c a b a c ,
a b c a c b c ,
- ,
6) a b a b a b .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
57/121
2.
56
1, 2, 3, 4 6.
a b .
1) 1 2.3. pr | | | cos |b
a a
pr | | | cos |ab b .
| | | || || cos | | || pr | | || pr |a ba b a b a b b a
2) 2| || | cos0 | |a a a a a .
3) | 0 | 0 ,
0 0 0a a .
4) | || | cos | || | cosa b a b b a b a .
6) a b a b . 0 , a b
, :
| || | cos | || | cos | | cosa b a b a b a b a b . 0 , a
a , a b . :
| || | cos | || | cos
| || | cos | | cos ( , )
.
a b a b a b
a b a b a b
a b
0 0 0 0 0a b a b a b . 4
a b b a b a a b ,
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58/121
57
a b a b . a
b
. | | | || pr | | || pr |a ba b a b b a :
| | | || pr | , | pr |
| || | ab
a b a ba b
ab
,
0 2
| | | |pr | pr | ,
| | | | | |b b
a b b a ba a b b
b b b
0 2
| | | |pr | pr | .
| | | | | |a a
a b a a bb b a a
a a a
a
b
0 ba
.
, a
b
. 2
,
| || | cos 02
a b a b
.
, a
b
0 ba
.
cos 0 , 0 , 2
.
2| |a a a
i , j k :
1i i j j k k ,
0, 0, 0i j j i i k k i j k k j .
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59/121
2.
58
cos cos 1 ,
| | | | cos | | | | cos | | | |a b a b a b a b .
| | | |a b a b , .. | | | | | | | |a b a b a b .
:
a
b
| | | |a b a b .
--. , .
a
b
| | | | .a b a b
, 2| |a a a --
22 2
22 2
| | 2 | |
| | 2 | | | | | | | | | | .
a b a b a b a a b b
a a b b a b
-
. , -
.
a
b
:
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . :
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
60/121
59
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2
2 3 3 1 3 2 3 3
1 1 2 2 3 3
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
.
a b a i a j a k b i b j b k
a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j
a b j k a b k i a b k j a b k k
a b a b a b
,
1 1 2 2 3 3.a b a b a b a b (2.1)
1.
2 3a p q 2b p q , 2p , 3q , p q / 3 .
a b .
.2 2
(2 3 ) (2 ) 4 2 6 3a b p q p q p p q q p q
2 24 4 3 4 4 4 cos 3 9
3
116 4 2 3 27 1.2
p p q q p q
a b
cos .| | | |
a b
a b
a b :
2 2 2
2 2
(2 3 ) (2 3 ) 4 6 6 9
4 12 9 4 4 12 cos 9 93
1 16 12 2 3 81 133.
2
a a a p q p q p p q q p q
p p q q p q
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2.
60
2 2 2
2 2
(2 ) (2 ) 4 2 2
4 4 4 4 4 cos 93
1 16 4 2 3 9 13.
2
b b b p q p q p p q q p q
p p q q p q
,1
cos .| | | | 13 133
a b
a b
2.
0,5, 4a 3, 6,6b . ,
a b .
. :
0 ( 3) 5 ( 6) ( 4) 6 54a b .
41a 9b , 54 6
cos .| | | | 9 41 41
a b
a b
a b :
0 2
| | | |pr | pr |
| | | | | |b b
a b b a ba a b b
b b b
254 2
3, 6,6 3, 6,6 2, 4,4 .9 3
.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
62/121
61
3. .
B
C
a
b
c
2.15
ABC - CB , CA ,a b AB c a b .
2
22.
c c c a b a b
a a a b b a b b a b
a
b , 0a b b a .
2.7.
( , , )a b c ( a
, b
c ) , a
,
b
, - c (. 2.16 ). (. 2.16 ).
a
b
c
a
b
c
2.16
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2.
62
a
b
c :1) | | | || | sinc a b ,
a b ;
2) a
b
;
3) ( , , )a b c .
a
b
ba
.
a
b
:
sin | || | sin | |a
P ah ab a b a b ,
-
a
b
.
a
bba
x
y
z
ab
b
a
x| |
2.17
a
b
1
| |2
P a b .
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63
a
b
0
ba .
, a
b
. a
b
, 0 , sin 0 .
| | | || | sin 0a b a b ,
0
ba .
, 0
ba . | | | || | sin 0a b a b , sin 0 , 0 , .. a
b
.
a
, b
c
, :
1) abba
, ,
2) ,a b c a b a c
,a b c a c b c - - ,
3) 0 0 0a a ,
4) 0
aa ,
5)
a b a b a b ,
1, 3, 4 5.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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2.
64
1) -
1c a b
2c b a ,
1( , , )a b c
2( , , )b a c
(. 2.18).
, 1 2c c .
a
b
b
a
b
a
x
x
2.18
3) | 0 | | 0 | 0a a , 0 0 0a a .
4) ,
a , 0
aa .
5) a b . 0 . 0
0 . 0 , a b
,
0| || | sina b a b n ,
0n a b
0( , , )a b n
. a a
, 0n
a b
0( , , )a b n . ,
0 0| || | sin | || | sina b a b n a b n a b .
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65
a b a b . 0
0( , , )a b n .
1
a b b a b a a b ,
a b a b .
a
b
,
2
, sin 1 .
| | | | | | .a b a b
i , j k
0i i j j k k ,
( ) , ( ) , ( )i j j i k j k k j i k i i k j .
a
b
:
a
b
2 2
2| | | | | | .a b a b a b
, a
b
, 222 2
| | | | | | sin ,a b a b a b a b
2 22 2cos .a b a b
,
2 22 22 22 2 2| | sin cos | | | | .a b a b a b a b a b
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2.
66
a
b
:
1 2 3, ,a a a a 1 2 3, ,b b b b . , - :
1 2 3 1 2 3
1 1 1 2 1 3 2 1 2 2
2 3 3 1 3 2 3 3
2 3 3 2 1 3 3 1
( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
a b a i a j a k b i b j b k
a b i i a b i j a b i k a b j i a b j j
a b j k a b k i a b k j a b k k
a b a b i a b a b
1 2 2 1
2 3 1 3 1 2
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
( )
.
j a b a b k
i j ka a a a a a
i j k a a ab b b b b b
b b b
,
1 2 3 2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1
1 2 3
, , .
i j k
a b a a a a b a b a b a b a b a b
b b b
(2.2)
.
3,2,4a 0,3, 1b .
. 3 2 4 14 3 9
0 3 1
i j k
c a b i j k
-
a b . - a b :
01
14,3,9286
cc
c 0
114,3,9
286c .
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67
2.8.
a , b c -
a b c ,
, ,a b c . ,
, ,a b c a b c
B a b a
b
. . 2.19 ABCDA1B1C1D1
a
, b
c
pr | | cosa b
H c c
,
a b c .
A
A1
D1
C1
B1
B
CD
a
b
c
b
a
x
2.19
a
, b
c
V B H ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c .
( , , )a b c
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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2.
68
(. 2.19), a b c
, cos 0 cos cos . ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c . , ( , , )a b c ,
a b c , cos 0
cos cos . ,
cos , ,V B H a b c a b c a b c .
( , , )a b c ( , , )b c a , . 2.19 -
a
, b
c
-
b
, c
a
. ,
a b c b c a .
b c a a b c ,
, ,a b c a b c a b c .
ABCDA1, ABDA1
a
, b
c
1
, , ,3 3
BHV a b c
1, , .
6 6
BHV a b c
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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69
a
, b
, c
d , :1) , , , , , ,a b c b c a c a b
, , , , , , ,a c b b a c c b a
2) , , , , , ,a b c d a b c a b d ,
3) , , , , , , , ,a b c a b c a b c a b c ,
4) a
, b
c
, 0,, cba
.
, ,a b c a b c a b c -:
1) , , , , ,
, , , , ,
a b c a b c b c a b c a
a b c a b c c a b c a b
, , , , ,
, , , , ,
, , , , .
a b c a b c a c b a c b
a b c a b c b c a c b a c b a
a b c a b c b a c b a c
2) , , ( )
( ) ( ) , , , , .
a b c d a b c d a b c b d
a b c a b d a b c a b d
3) , , , ,a b c a b c a b c a b c a b c ,
, , , ,a b c a b c a b c a b c a b c ,
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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2.
70
, , , ,a b c a b c a b c a b c .4) a
b
.
a b ,
, , 0 0.a b c a b c b b c c
a
, b
c
0,, cba
.
, a
, b
c
. , , ,
.a b c :
, , , , , , , , 0.a b c b c b c b b c c b c , 0,, cba
.
, , | | cos ,
| | | | cos , sin , ,
a b c a b c a b c a b c
a b c a b c a b
:
1. , .
2. sin , 0a b , .. , 0a b ,a b , a
b
,
a
, b
c
.
3. cos , 0a b c , ,2
a b c
, ..
ba
c
. ba
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71
a
b
, c
a
b
.
a
, b
c :
1 2 3, ,a a a a , 1 2 3, ,b b b b 1 2 3, ,c c c c . (2.1) (2.2),
a
, b
c :
2 3 3 2 3 1 1 3 1 2 2 1 1 2 3
2 3 3 2 1 3 1 1 3 2 1 2 2 1 3
, , , , , ,
( ) ( ) ( )
a b c a b c a b a b a b a b a b a b c c c
a b a b c a b a b c a b a b c
1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3 1 2 3
2 3 1 3 1 2
1 2 3
.
a a aa a a a a a
c c c b b bb b b b b b
c c c
,
1 2 3
1 2 3
1 2 3
, , .
a a a
a b c b b bc c c
(2.3)
. m ,
ln( 2), 2,6a m , , 2,5b m 0, 1,3c ?
.
0,, cba
,
ln( 2) 2 6
2 5 0
0 1 3
m
m
.
3m .
. , .
a , b c a
b c , .. ( )a b c .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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3.
72
3.
3.1.
A
OAa A - A . ,a b c
OA , ,a a b c - A A( , , )a b c . , a A , b , c A .
A( , , )a b c - , A ( , 0,0)x a , A (0, ,0)y b
A (0,0, )z c
yOz, xOz xOy . OA A A A A AAx xy y z xz yz. -
.
x
y
z
A( )a,b,c
A (0 0)y ,b,
A (0 0 )z , ,c
A ( 0 0)x a, ,
O
A ( 0)xy a,b,
A (0 )yz ,b,c
A ( 0 )xz a, ,c
3.1
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
74/121
73
A( , , )a b c , 0a , 0b , 0c .
+ + + I
+ + II + III+ + IV
+ + V + VI VII+ VIII
. 1M (1,2,3) , 2M ( 1, 2,3) , 3M ( 1, 2,3) , 4M (1, 2,3) ,
5M (1,2, 3) , 6M ( 1,2, 3) , 7M ( 1, 2, 3) 8M (1, 2, 3) , , , , , , .
A , . -, A 0a ,
Oy z. , A 0b , Ox z, 0c , Ox y .
A , . ,
0a b z-, 0a c y -, 0b c , x -.
A , O . A , .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
75/121
3.
74
3.2.
1 1 1A( , , )x y z 2 2 2B( , , )x y z
.
AB=OB OA ,
OA OB -- A B , . , - AB :
x
y
z
A( , , )x y z1 1 1
O
B( , , )x y z2 2 2
3.2
2 1 2 1 2 1AB=OB OA , , .x x y y z z
A B, A, Bd , :
2 1 2 1 2 1
2 2 2
2 1 2 1 2 1
A, B AB , ,
.
d x x y y z z
x x y y z z
.
1. A(1, 1, 3) B(3, 5, 1) .
. 2 2 2
A, B 3 1 5 1 1 3 56 2 14.d
1 1 1A( , , )x y z 2 2 2B( , , )x y z . -
S( , , )x y z AB ( 1 0 ),
.. AS SB , :
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
76/121
75
1 2 1 2 1 2
S , , .1 1 1
x x y y z z
, - 1 1 1A( , , )x y z ,
2 2 2B( , , )x y z S( , , )x y z
1 1 1 1OA , ,r x y z , 2 2 2 2OB , ,r x y z OS , ,r x y z ,
. AS SB 1 2( )r r r r ,
r :1 2
1
r rr
.
x,yz S.
0 , AS SB , S A B .
, 0 1 , AS SB
, S AB ., 1 , .. S -
AB, :
1 2 1 2 1 2S , , .2 2 2
x x y y z z
2. S AB 1.
. S :
1 3 1 5 3 1S , , ,
2 2 2
S 2, 2,1 .
3. 1M (2,6,7) .
2M M(1,5,4)
1 2M M 3:2.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
77/121
3.
76
. 2M ( , , )x y z . 3
2 , :
3 3 32 6 7
2 2 21 , 5 , 43 3 3
1 1 12 2 2
x y z
,
1 13
, , 2
3 3
x y z . 21 13
M , ,2
3 3
.
4.
T T TT( , , )x y z 1 1 1A( , , )x y z , 2 2 2B( , , )x y z
3 3 3C( , , )x y z .
A
B
B1
C1
A1T
3.3
T
1
AA ,1
BB 1
CC -
ABC. 1A ,
1B 1C -
BC , AC AB -,
2 3 2 3 2 31A , ,
2 2 2
x x y y z z
, 1 3 1 3 1 31B , ,2 2 2
x x y y z z
1 2 1 2 1 21C , ,
2 2 2
x x y y z z
.
T T TT( , , )x y z
2:1 1AT :TA 2:1 . , 2 ,
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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77
2 3 2 3 2 31 1 1
T T T
2 2 22 2 2, ,1 2 1 2 1 2
x x y y z z
x y zx y z
, ..
1 2 3 1 2 3 1 2 3T , ,3 3 3
x x x y y y z z z
.
3.3. 3.3.1.
. . , ,
. , , ...
)
, ,n A B C ( 0). - , ,r x y z
n
D , .. r n D .
r
.
, | | | | pr | |nr n n r D pr| |
n
Dr
n .
r
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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3.
78
n
| |
D
n
, .
, , ,r x y z - - P( , , )x y z ,
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(3.1)
P
O
n
r
r
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3.4
.
(3.1)
0 DCzByAx (3.2) .
(3.2) , ,A B C D :
1) 0D , -
0| |
D
n , 0Ax By Cz
.
2) 0C ,
, , 0n A B 0, 0,1k 0.
, , 0n A B 0, 0,1k , .. z--, 0Ax By D - z-, .. xOy.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
80/121
79
, 0A , 0By Cz D x-, yOz, 0B , 0Ax Cz D y-, xOz.
3) 0DC , 1) 2) 0Ax By z-. , z-.
, 0DB , 0Ax Cz y -, 0DA ,
0By Cz x -.
4) 0 CB , 2) 0Ax D y - z-. -
x -, .. yOz.
, 0 CA , 0By D -
xOz, 0BA , 0Cz D xOy .
5) 0 DCB , 0x yOz. , 0 DCA , 0y xOz, 0 DBA , 0z xOy .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
81/121
3.
80
)
0 0 0 0P ( , , )x y z , ,n A B C
. P( , , )x y z .
, ,r x y z 0 0 0 0, ,r x y z -
P( , , )x y z 0 0 0 0P ( , , )x y z , .
0 0 0 0 0P P , ,r r x x y y z z n
, 0P P 0n , ..
0( ) 0n r r . (3.3)
(3.3) -
, ,n A B C
0 0 0 0P ( , , )x y z -
-
0 0 0 0, ,r x y z . 3.5
PP0
O
n
r
0r
0 0 0, , , , 0A B C x x y y z z .
, , ,n A B C
0 0 0 0P ( , , )x y z :
0000 zzCyyBxxA . (3.4)
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
82/121
81
)
0p
0 cos , cos , cosn
O 0, 0, 0
( , 0n
x-,y-z-, ).
, ,r x y z
P( , , )x y z . M
M 0 cos , cos , cosr pn p p p ( Mr
0n ).
- M Mr ,
- (3.3)
M M 0r r r ,
.. 0 0 0pn r pn .
P( , , )x y z
O
MMrr
Mr
r
n
0
3.6
:
00 pnr
. (3.5)
(3.5) .
0coscoscos pzyx , (3.6)
- .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
83/121
3.
82
:
0 DCzByAx . (3.7)
, , ,n A B C -
2 2 2 2 2 2 2 2 2
, ,
| | | | | |
, , ,
n A B C
n n n nA B C
A B C A B C A B C
0222
CBA
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(3.6) (3.8) -:
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83
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7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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107/121
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108/121
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109/121
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7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
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7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
112/121
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P 0, ,5 5
p .
5
7 / 5 9
2 / 5
x t
p y t
z t
, , p , ..p .
)
1 3
1 2
x t
p y t
z t
, 2t , p , .. p .
t A( 2,5, 3) .
:
{2,1, 1} {1, 3,2} 3sin
| | | | 6 14 2 21
n p
n p
.
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
113/121
3.
112
3.4.4.
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
.
p q , ,p p pp l m n
, ,q q qq l m n , . P P PP , ,x y z p, Q Q QQ , ,x y z q. :
1) p q .
p
, q
PQ , e . ,p q :
, , PQ 0p q , :
Q P Q P Q P
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p p p
q q q
l m n
l m n
x x y y z z
p q
P P PP , ,x y z
Q Q QQ , ,x y z - n p q .
P
Q
p
q
3.17
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
114/121
113
,
( ), - ( ) ( ).
1.1. p q A ,
.. , , PQ 0p q p
q
, ..
p p p
q q q
l m n
l m n . A
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1t , q
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1
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2
t . ,
,
1t p ,
2
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1.2. p q , ..
, , PQ 0p q p
q
-
, .. p p p
q q q
l m n
l m n , p q
(p q ), (p q ).
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115/121
3.
114
p p p
q q q
l m n
l m n , , , PQ 0p q .
p p p
q q q
l m n
l m n
, . , .
2) p q
. .
, , , PQ 0p q p q -.
p
q
3.18
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
, .
p q p q ,
2 2 2 2 2 2cos
| | | |
p q p q p q
p p p q q q
l l m m n np q
p q l m n l m n
.
: .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
116/121
115
, 2
p q . p q
(.. , , PQ 0p q ) (.. 0 qp
). 0 qp
0 qpqpqp nnmmll .
P P P
p p p
x x y y z zp
l m n
Q Q Q
q q q
x x y y z zq
l m n
.
, .
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q) op, ..
P
Q
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p
3.19
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| |
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p
PQ
| |
qd
q
.
p q . - d
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
117/121
3.
116
, p,
q.
3.20
p
q
P
Q
p
q
- p
, q
PQ . - -
, , PQV p q . , V B d ,
d , .. , B . B p q .
, p q
, , PQp qd
p q
.
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1
1
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3
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2
3
1
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)21
1
1
zyxp
,
2
1
11
1
zyxq ,
)13
2
4
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,2
2
9
7
2
zyxq .
7/26/2019 474 Elementi Od Va i Ag Konecna 2014 Komplet
118/121
117
,
.
. ) P(1,2,1) Q(2,3,4) p q
, 1, 1,3p 1,2,3q
,
1 1 3
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p q .
p
q
, , . ,
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1
1
1
1
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3 1
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2
2
2
2 3
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,
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1 2
1 2
2 2 3
3 1 3 4
t t
t t
t t
.
11
3t 2
2
3t ,
4 5
A , ,23 3
.
:
1, 1,3 1,2,3 8cos
| | | | 11 14 154
p q
p q
.
) 1,1,2p q .
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3.
118
1
1
1
1
2
x t
p y t
z t
2
2
2
1
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q y t
z t
,
1 2
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1 2
1
1
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t t
t t
t t
,
, .. -.
PQ
| |
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p
,
P(0,1,0) Q(1,0,1) p q .
PQ 3,1, 2p ,
14 7
36
d .
) P(9,2,0) Q(0, 7,2) p q ,
4, 3,1p 2,9,2q ,
9 9 2
(PQ, , ) 4 3 1 285 0,
2 9 2
p q
.
, , PQ 285 57
35 7
p qd
p q
.
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