Proprietà meccaniche dei fluidi
Solidi Liquidi Gas
Forma propria
Assumono la forma dell’ambiente che li contiene
3 3acqua 10 kg/mρ = 3
aria 1.3 kg/mρ =
Volume proprio
Riempie tutto il volume
Incompressibile Compressibile
Attrito (“viscosità”): resistenza interna allo scorrimento
Assumeremo “fluido ideale”: viscosità nulla
F Fp
S S≡ =
�
Pressione
F�
S
Forza che agisce perpendicolarmente a una superficie
dFp
dS= Grandezza scalare!
2
N[ ] = Pa
mp ≡ 5 bar 10 Pa≡
1.01325 bar=
Unità di misura: “Pascal”
5atm 1.01325 10 Pap = ×Pressione atmosferica a livello del mare:
Fluidi
Scorrimento di qualsiasi parte del fluido rispetto alle parti circostanti
Proprietà meccaniche dei fluidiFluido nei pressi della superficie terrestre
“Forza di pressione”: dF p dS=
La pressione non è direzionale: Ogni elemento infinitesimo di volume di un fluido in quiete subisce uguale pressione in ongi parte della sua superficie.
3 1sinF F θ=
2 1 cosp bh p ah θ=2 1cosF F θ=
3 1 sinp ch p ah θ=
2 1p p=cosb a θ= sinc a θ=
3 1p p=
1 2 3p p p= =
Pressione: grandezza non direzionale.Consideriamo un elemento di fluido in quiete in cui agiscano solamente forze di pressione a
b
c
h
θ
1F�
2F�
3F�
dF g dm g dVρ= =“Forza di volume”: pesodm dVρ=
gdm
Elemento infinitesimo di un fluido in quiete:
S
F
Lavoro delle forze di pressione
p S dh= p dV=Lavoro complessivo:
pressioneW pdV= ∫
Forza di pressione produce spostamento dh:dh
pressione dW F dh=
Proprietà meccaniche dei fluidi
Equilibrio idrostatico
pesodF gdm=Forza peso:
Pressione esterna
0p
dVForza di pressione: pressione dF dp dS= −
g dV g dSdhρ ρ= =
0g dSdh dpdSρ − =
Condizione di equilibrio:
peso pressione 0dF dF+ =
dpg
dhρ=Equazione dell’equilibrio
idrostatico
0
( )
0
p h h
p
dp g dhρ=∫ ∫
0( )p h p g hρ= +
dp g dhρ=
Come cresce la pressione con la profondità in un bacino d’acqua?
3 3acqua 10 kg/mρ =
50 atm 10 Pap p= ≃
5 3( ) (10 9.8 10 [m])Pap h h+ ×≃
� La pressione aumenta di ~1 atmosfera ogni 10m di profondità
410 mh ≃ 8 310 Pa 10 barp ≃ ≃
� Fondi oceanici (assumendo cost.)ρ =
Legge di StevinoSimone di Bruges
(1548-1620)
( ) ( )p h p h dh− +Differenza di pressione tra i piani dello strato dh
hh dh+
0Consideriamo un fluido ideale in quiete, densità costante
gdm
dpdS−
Proprietà meccaniche dei fluidi
Principio di ArchimedeρFluido in equilibrio, densità
� Sostituiamolo con un materialedi densità 'ρ
L’azione delle forze di pressione rimane identica
pesoF g Vρ= peso' 'F g Vρ→ =La forza peso cambia:
g Vρ=
ρ
( ' )g Vρ ρ= −Se la spinta di Archimede prevale sulla forza peso, e l’oggetto sale verso l’alto
'ρ ρ<
pressione pesoF F=
'g V g Vρ ρ= −
AF≡Peso dell’oggetto “spinta di Archimede”
Forza peso in equiliberio con spinta di Archimede:
ghiaccio acqua Sg V g Vρ ρ= ghiaccio
acqua
0.92SV
V
ρρ
= ≈
Esempio. Quale frazione del volume di un iceberg è sommersa?
ghiaccio acqua0.92ρ ρ≈
Isoliamo una porzione (generica) di fluido. Per essa vale:
peso pressione'F F−La forza risultante è:
Non c’è più equilibrio: peso pressione' 0F F− ≠Archimede
(287-212 aC)
'ρg Vρ=
Proprietà meccaniche dei fluidi
Moto di un fluidoFluido in moto in un condotto
� Variazione di velocità e pressione del fluido a seconda della sezionee della quota del condotto?
Assumiamo moto in regime stazionario:
� La velocità varia da un punto all’altro del condotto, ma non dipende dal tempo
( , , )v v x y z=� �
Linee di corrente: Traiettorie di elementi di flusso, tangenti al vettore velocità
� sono fisse in regime stazionario
S
“portata”Volume di fluido che attraversa dS in un secondo
3 [m /s]
In regime stazionario la portata si mantiene costante nel tempo
cost.S
q dq= =∫ 1cost.
S
q S vdS S vS
= = =
∫
Tubo di flusso: Insieme di tutte le linee di corrente in una sezione S
Media delle velocità nei vari punti della sezione
Legge di proporzionalità inversa tra velocità e sezione Leonardo da Vinci
(1452-1519)
dq vdS=
Portata:Consideriamo il tubo di flusso per una sezione infinitesima dS:
dS
v
Proprietà meccaniche dei fluidi
Moto di un fluido: teorema di Bernoulli
Fluido ideale (no attriti), densità costante, regime stazionario
1S
2S
Considero volume di fluido compreso tra S1 e S2
1 1 1dV S dh=Fluido incomprimibile, i volumi si conservano:
2 2 2dV S dh==
� Relazione tra velocità e pressione del fluido in un condotto generico
Lo scorrimento equivale a spostare il fluido dal volume dV1 al volume dV2
Lavoro della forza peso: peso 2 1( )PdW dE gdm z z= − = − −
1z
2z
Lavoro della pressione: pressione 1 1 1 2 2 2dW p S dh p S dh= − 1 2( )p p dV= −
Variazione energia cinetica: 2 22 1
1 1
2 2KdE dmv dmv= −
2 1( )g dV z zρ= − −
2 1 1 2( ) ( )g dV z z p p dVρ− − + − = 2 22 1
1 1
2 2dVv dVvρ ρ−
Usiamo la relazione: peso pressione KdW dW dW dE= + =
1'S
2'S
1dh
2dh
� si sposta e va a riempire il tratto S’1 e S’2
Proprietà meccaniche dei fluidi
Moto di un fluido: teorema di Bernoulli2 2
2 1 1 2 2 1
1 1( ) ( )
2 2g dV z z p p dV dVv dVvρ ρ ρ− − + − = −
2 21 1 1 2 2 2
1 1
2 2g z p v g z p vρ ρ ρ ρ+ + = + +
21costante
2p v g zρ ρ+ + =
Poichè gli stati 1 e 2 sono generici, vale in generale che:
Daniel Bernoulli(1700-1782)
Teorema di Bernoulli
In un fluido ideale in regime stazionario la somma di pressione, densità di energia cinetica e densità energia potenziale si conserva.
0p g h pρ− =
21costante
2p vρ+ =
0( )p h p g hρ= +Ritroviamo la Legge di Stevino
Pressione e velocità cambiano solo se cambia la sezione.Sezioni più strette: aumenta la velocità, diminuisce la pressione(Viceversa in sezioni più larghe)
� Se il fluido è statico: 0v =costantep g zρ+ =
0p
z h= −p
0z =
� Se il condotto è orizzontale: 1 1z z=
In regime stazionario, se la sezione è costante, la velocità è costante: costantev S =
costantep g zρ+ =Il teorema di Bernoulli si riduce a:
1 1 0 2 2p g h p p g hρ ρ+ = = +Nei tre tratti del condotto abbiamo:
La pressione decresce con la quota secondo la legge di Stevino
Quota costante. Dal teorema di Bernoulli:2 2
1 1 2 2
1 1
2 2p v p vρ ρ+ = +
1 1 2 2v S v S=Per la portata:2
2 221 22
1
Sv v
S=
22 22
1 2 2 221
1 1
2 2
Sp v p v
Sρ ρ+ = +
Teorema di Bernoulli: applicazioni
1S 2S
2p1p
22 2
1 2 2 21
2( ) 1S
p p vS
ρ − = −
22 1 2 12 2 2
1 2
2( )p p Sv
S Sρ−=
−Misurando p1 e p2
ricavo la velocità
0p
1p2p
� Variazione della pressione?Flusso in un tubo a sezione costante
z
0
1h2h
1 0 1p p g hρ= − 2 0 2p p g hρ= −
� Misura della velocità di un fluido in un condottoTubo di Venturi
Teorema di Bernoulli: applicazioni
� Velocità con cui il fluido esce dal foro?
Recipiente con un piccolo foro (a << A), profondità -h
Poiché a << A, sulla superficie libera A, possiamo assumere ilregime statico
20 0
1
2p g h p vρ ρ+ = +
22gh v= 2v gh=
La velocità di deflusso:
� Non dipende né dalla densità del fluido, né dalla pressioneesterna
� E’ pari a quella che avrebbe se scendesse in caduta libera
0Av ≈0Ap p= Az h= av v=0ap p= 0az =
0p
0z =
z h=A
a
Pressioneesterna:
Teorema di Torricelli
Evangelista Torricelli(1608-1647)
2 21 1
2 2A a
p v g z p v g zρ ρ ρ ρ + + = + +
Consideriamo il flusso attraverso le sezioni A e a, e applichiamo il Teorema di Bernoulli:
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