7/29/2019 2. Peubah Acak
1/31
Peubah Acak dan
Distribusinya
06/02/2013MA2082 Biostatistika 1
7/29/2019 2. Peubah Acak
2/31
Ciri-ciri Eksperimen AcakO Dapat dilakukan berulang-ulang
O Dapat diestimasi
O
Bisa diukurO Hasilnya tidak bisa ditebak
06/02/2013MA2082 Biostatistika 2
7/29/2019 2. Peubah Acak
3/31
Ruang Sampel dan Kejadian
ORuang sampel, S
Event (kejadian)
S= { , , ... , }
E = { , }
Populasi
SampelRuang Sampel Diskrit
Ruang Sampel Kontinu
06/02/2013MA2082 Biostatistika 3
7/29/2019 2. Peubah Acak
4/31
Pemetaan (Fungsi)
A B
A B
1. Fungsi titik
2. Fungsi himpunan
06/02/2013MA2082 Biostatistika 4
7/29/2019 2. Peubah Acak
5/31
Peubah Acak
O Peubah acak, merupakan suatu pemetaan dari ruangsampel ke bilangan riil .
:X S R
x
Ruang Sampel S Himpunan Bil.Riil
X
06/02/2013MA2082 Biostatistika 5
7/29/2019 2. Peubah Acak
6/31
Contoh
O Percobaan pelemparan sebuah dadu
S= { , , ... , }
X= { 1 , 2 , , 6 }
06/02/2013MA2082 Biostatistika 6
7/29/2019 2. Peubah Acak
7/31
Keuntungan Peubah AcakO Merepresentasikan suatu masalah ke
dalam titik real.
O Dapat dipetakan.O Lebih mudah dalam penulisan.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 7
7/29/2019 2. Peubah Acak
8/31
Jenis Peubah Acak
Peubah Acak Diskrit
: ( )
i
s X s x E S
himpunan terhitung , berhingga
atau tak berhingga, dan
1 2, ,...x x
Peubah Acak Kontinu
Domain dari peubah acaknya adalah
bilangan riil.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 8
7/29/2019 2. Peubah Acak
9/31
Contoh TipePeubah AcakX
Diskrit
X= 1, jika mempunyai 1 komputer
= 2, jika mempunyai 2 komputer
= 3, jika mempunyai 3 komputer
Mempunyaikomputer
Jarak dari
rumah
ke kampus
X menyatakan jarak dari rumahke kampus dalam km Kontinu
06/02/2013MA2082 Biostatistika 9
Contoh Peubah Acak
7/29/2019 2. Peubah Acak
10/31
Fungsi peluang
DiskritP(X= x),
disebut juga sebagai
fungsi massa peluang (f.m.p).
Kontinuf(x),
disebut juga sebagai
fungsi kepadatan peluang (f.k.p).
06/02/2013MA2082 Biostatistika 10
7/29/2019 2. Peubah Acak
11/31
X: S R
Diskrit Kontinu
1x
P X x
t x
F x P X x
f t
1. P(X=x) 0
2.
3. P(X=x)= f(x)
4.
1. f(x) 0,xR
2.
3. P(a
7/29/2019 2. Peubah Acak
12/31
Grafik Fungsi Peluang
0
0.05
0.1
0.15
0.2
0.25
0.3
0.35
0.4
0.45
1 2 3 4
P(X=x)
x
f(x)
x
Luas di bawah grafik = 1
Diskrit Kontinu
06/02/2013MA2082 Biostatistika 12
7/29/2019 2. Peubah Acak
13/31
Fungsi Distribusi
O Fungsi distribusi Fdari peubah acakX
O Sifat-sifat :
1. 0F(x) 1
2. Ffungsi yang monoton tidak turun,
3.
4.
5. Fkontinu dari kanan.
lim ( ) 1x
F x
lim ( ) 0x
F x
lim ( ) ( )x a
F x F a
06/02/2013MA2082 Biostatistika 13
7/29/2019 2. Peubah Acak
14/31
Contoh 1Dipelajari keadaan mood dari sepasang mahasiswa
(laki-laki dan perempuan). Jika mood tersebut diamatiberdasarkan paras masing-masing mahasiswa dandimisalkan hanya ada dua kategori (mood baik & tidak).
Misalkan peubah acaknya (T) adalah banyaknya
mahasiswa yang bermood baik. Tentukan :a. Ruang sampel.
b. Fungsi massa peluang dari peubah acak T.
c. Fungsi distribusi peubah acak T dan gambarkan.Maka
Jawaba. Ruang sampel : S = {,, , }, dengan = baik, = tidak.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 14
7/29/2019 2. Peubah Acak
15/31
Ilustrasi Contoh
P(T= t)Ruang Sampel
2
01
T
06/02/2013MA2082 Biostatistika 15
T = # mahasiswa yang bermood baik = { 0, 1, 2 }
7/29/2019 2. Peubah Acak
16/31
a. Fungsi massa peluang P(T=t) adalah:
Grafik f.m.p dari T :
1/ 2, 1
( ) 1/ 4, 0,2
0, yang lain
t
P T t t
t
06/02/2013MA2082 Biostatistika 16
0 1 2
1/4
1/2
7/29/2019 2. Peubah Acak
17/31
b. Untuk menentukan F(t)perlu dihitung F(t)untuksemuanilai riil.
Ambil t < 0 sebarang, maka F(t) = P(T< t) = 0Ambil t = 0, maka F(0) = P(T 0)
= P(T < 0) + P(T = 0)
= 0 + P(T = 0) =
Ambil 0< t
7/29/2019 2. Peubah Acak
18/31
Jika dituliskan sebagai fungsi keseluruhan maka fungsi
distribusiF(t) dapat dinyatakan sebagai berikut :
SelanjutnyaF(t) dapat digambarkan sebagai grafik di bawah ini:
0, 0
1/ 4, 0 1( )
3/ 4, 1 2
1, 2
t
tF t
t
t
0
1
F(t)
1t
206/02/2013MA2082 Biostatistika 18
7/29/2019 2. Peubah Acak
19/31
Contoh 2
Misalkan kesalahan dalam pengukuran volume isi botolcoca cola antara -1/2 ml s/d 1/2 ml. Dianggap setiappengisian oleh mesin tidak akan kurang dan tidak akanlebih dari ml. JikaYadalah peubah acak volume isicoca cola yang kurang atau lebih.
Tentukan :
a. Peluang mesin melakukan kesalahan pada pengisian
botol kurang dari ml dan lebih dari 1/5 ml.
b. Peluang mesin melakukan kesalahan dalam pengisian
botol lebih dari 0,2 ml.
c.F(y) dan gambarkan.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 19
7/29/2019 2. Peubah Acak
20/31
Jawab
Diketahui Ymenyatakan volume kesalahan mesinmengisi botol coca cola (ml).
1 12 4
1/ 2 1/5
1/ 21
2
1 1 1 1
4 5 5 4
0 1 0 1
7 10 0
10 4
28 10 18
40 40
P Y P Y P Y
dy dy dy dy
1 11,
( ) 2 2
0, yang lain
yf y
y
a.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 20
7/29/2019 2. Peubah Acak
21/31
b.
1152
12
0,2 1 0,2
11
5
1 0 1
7 3
1 0 10 10
P Y P Y
P Y
dy dy
1
2
12
( )
0 1
1
2
y
y
F y f y dy
dy dy
y
c.
F(y)
- y
1
Fungsi distribusi :
06/02/2013MA2082 Biostatistika 21
7/29/2019 2. Peubah Acak
22/31
Ekspektasi
O Ekspektasi dari Xadalah nilai harapan dari X.
O Definisi Ekspektasi :
( ), jika peubah acak diskrit[ ]
( ) , jika peubah acak kontinu
semua xxP X x XE X
xf x dx X
06/02/2013MA2082 Biostatistika 22
7/29/2019 2. Peubah Acak
23/31
O ekspektasig(x) didefinisikan sebagai:
OJikag(x) = Xp, maka E[Xp] disebut momen ke-p,tetapi jikag(x) = (X-a)p disebut momen ke-p disekitar a.
O Umumnya diambil a = = E[X] atau rataanX(momen ke satu)
( ) ( ), jika peubah acak diskrit
[ ( )]
( ) ( ) , jika peubah acak kontinu
semua x
g x P X x X
E g x
g x f x dx X
06/02/2013MA2082 Biostatistika 23
7/29/2019 2. Peubah Acak
24/31
Sifat Ekspektasi
O Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, makaE(Y) = E(aX+b) = aE(X)+b
O Bila Xsuatu peubah acak dang suatu
fungsi bernilai riil, maka:
2
2
( ( ) ) ( ), jika peubah acak diskrit
( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu
semua x
g x P X x X
g x f x dx X
Var(g(x)) =
=
2[( ( ) ) ]E g x
06/02/2013MA2082 Biostatistika 24
7/29/2019 2. Peubah Acak
25/31
Variansi
oJika diambilg(x) = (X-)2, maka E[(X-)2 ]disebut variansi variabel acak X.
o Definisi Variansi dari X :2
2 2
2 2
2 2
2 2
2 2
( ) [( ) ]
[ 2 ]
[ ] [2 ] [ ]
[ ] 2 [ ]
[ ]
[ ] ( [ ])
Var X E X
E X X
E X E X E
E X E X
E X
E X E X
06/02/2013MA2082 Biostatistika 25
7/29/2019 2. Peubah Acak
26/31
Sifat Variansi
O Bila Y = aX + b, a dan b tetapan, makaVar(Y) = a2Var(X)
O Bila Xsuatu peubah acak dang suatu
fungsi bernilai riil, maka:
2
2
( ( ) ) ( ), jika peubah acak diskrit
( ( ) ) ( ) , jika peubah acak kontinu
semua x
g x P X x X
g x f x dx X
Var(g(x)) =
=
2[( ( ) ) ]E g x
06/02/2013MA2082 Biostatistika 26
7/29/2019 2. Peubah Acak
27/31
Contoh 3
MisalXadalah kesalahan dalam pengukuran untuksuatu diameter baut (dalam mm). Jika ditetapkanfungsi peluang sbb:
Tentukan:
a. Rataan dan variansi dari kesalahan
pengukuran di atas.b. Jika dibangun Y = 4X + 3, tentukan rataan
dan variansi dari Y ini.
2
, 1 2
( ) 30, yang lain
xx
f xx
06/02/2013MA2082 Biostatistika 27
7/29/2019 2. Peubah Acak
28/31
Jawab
2 2
1
24
1
E3
1
3 4
1 516 1
12 4
xX x dx
x
2 2
22 22
1
25
1
Var E E
5
3 4
1 25
3 5 16
1 32 1 25 11 25
3 5 5 16 5 16176 125 51
80 80
0,6375
X X X
xx dx
x
a. Rataan dariX b. Variansi dariX
06/02/2013MA2082 Biostatistika 28
7/29/2019 2. Peubah Acak
29/31
E E 4 3
4E 3
54 3 5 3 8
4
Y X
X
2
Var Var 4 3
4 Var +Var 3
16(0,6375) 0
10,2
Y X
X
b.
06/02/2013MA2082 Biostatistika 29
7/29/2019 2. Peubah Acak
30/31
Latihan
1. Pada ujian psikotes, seorang mahasiswamengerjakan 100 soal pilihan ganda dengan asal
menebak, jika peluang menjawab benar adalah
. Tentukan rata-rata banyaknya soal yang dapat
dijawab dengan benar?
Jelaskan alasannya.
1. Jika
maka nilai F(2,5) = ......
1/ 3 , 1,2,3( )
0 , yang lain
xP X x
x
06/02/2013MA2082 Biostatistika 30
7/29/2019 2. Peubah Acak
31/31
3. Suatu uang logam diberi beban yang lebih
berat sehingga kemungkinan muncul muka duakali lebih besar dari pada belakang. Bila uang
tersebut dilantunkan tiga kali.
a. Tentukan distribusi peluangnya.
b. Carilah distribusi kumulatif peubah acakXyang menyatakan banyaknya muka yang
muncul dan gambarkan grafiknya
c. Tentukan P(1 X< 3) dan P(X> 2)
06/02/2013MA2082 Biostatistika 31
Top Related