66. Nos conceden un préstamo de 7.000 € al 8% de interés. Si la duración del mismo es de
6 años, calcular cuánto tendremos que pagar transcurridos 6 años y la reserva o saldo
al principio del cuarto año.
a) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital e intereses.
b) Si se amortiza el préstamo mediante reembolso único de capital pagando los intereses
cada año.
Solución: a) 11.108,12 €; 8.817,98 €; b) 7.560 €; 7.000 €.
Co n i C6 C3 C'6 C'3
7.000 6 0,08 11108,1203 8817,984 7560 7.000
67. Una entidad bancaria concede un préstamo de 100.000 € a cierta S.A. para ser
amortizado en 15 años mediante reembolso único de capital pagando los intereses cada
año a partir del tercero. Si el rédito anual concertado es el 10%, determinar las cuotas
de intereses y el capital a entregar. Solución: 12.100 €; 121.000 €.
Co n i C2 C2 · i C15 = C2
100.000 15 0,1 121.000,00 12.100,00 121.000,00
68. Una entidad bancaria concedió un préstamo de 10.000 € para ser amortizado en 7 años
mediante reembolso único de capital e intereses, el rédito anual concertado fue del 5%
para los dos primeros años y del 6% para los restantes. Transcurridos cuatro años,
de común acuerdo, deciden que se paguen los años restantes las cuotas de interés.
Determinar el capital a entregar y dichas cuotas de interés. Solución: 12.387,69 €; 743,26 €.
i = 0,08
7.000
3
15 0 1 3
100.000
C2 · i + C2
C2 · i
Carencia total
i' = 0,06 10.000
7 i' = 0,06
560.7000.708,0000.7'000.7'
984,817.808,1000.7)1(
1203,108.1108,1000.7)1(
603
33
03
66
06
CCC
iCC
iCC
000.121
100.12000.1211,1000.100)1(000.100
215
2
22
2
CC
iCiC
Co n n' i i' C4 C4 · i'
10.000 2 5 0,05 0,06 12387,69 743,2614
69. Una entidad bancaria ha otorgado un préstamo de 10.000 € para devolver en 10 años a
un tipo de interés del 4% anual por el método de amortización progresivo o francés.
Calcular la cuantía constante de las anualidades y las cuotas de amortización e interés
del cuarto año. ¿Cuales serán las del sexto año?.
Solución: 1.232,91 €; 936,91 €; 296 €; 1.013,36 €; 219,55 €.
Co n i a I1 A1 A4
10.000 10 0,04 1232,90944 400 832,909443 936,909848
A6 I4 I6
1013,361692 295,999595 219,547752
70. Para amortizar un capital de 100.000 euros en 8 años a un tipo de interés del 6% anual,
durante los dos primeros años no se entrega ninguna cantidad como contraprestación,
y en los seis restantes los términos amortizativos son constantes.
Calcular estos términos y el capital amortizado a los cuatro años.
Solución: 22.849,82 €; 33.182,94 €.
Co n n' i C2 I3 a
100.000 2 6 0,06 112.360,00 6.741,60 22.849,82
A3 A4 μ4
16108,22494 17074,7184 33.182,943
10 0 1 6
10.000
a
8 0 4 2
a
26,74306,069,387.12'
69,387.1206,105,1000.10)'1()1(
4
2222
04
iCI
iiCC
s
55,2199996,295
36169,013.1)1(909848,936)1(
909443,83240004,0000.10
90944,232.104,11
04,0000.10
)1(1
6644
2
46
3
14
1101
1010
0
AaIAaI
iAAiAA
IaAiCI
i
iCa
94,182.3372,074.17)1(
22,108.166,741.606,0360.112
82,849.2206,11
06,0360.112
11
360.11206,1000.100)1(
43434
3323
66
2
22
02
AAiAA
IaAiCI
i
iCa
iCC
71. Un préstamo de 80.000 € ha de amortizarse en 10 años, con abono de intereses anuales
al 8% los seis primeros años y al 9% los cuatro restantes. Si durante los dos primeros años
sólo se abonan las cuotas de interés y en los restantes el término amortizativo es
constante, calcular la cuantía de los términos amortizativos y el capital vivo al comienzo
de los años tercero y quinto. Solución: 14.051,31 €; 80.000 €; 64.085,27 €.
Co n n' i i' I1 = I2 a
80.000 6 4 0,08 0,09 6400 14051,31412
C2 = Co A3 A4 C4
80000 80.000 7651,31412 8263,41925 64.085,267
72. Se desea amortizar un préstamo de 500.000 € mediante 20 anualidades vencidas,
siendo el tipo de interés del 6% para los primeros 8 años, del 6,5% para los seis siguientes
y del 7% para los 6 últimos. Se pide la anualidad que amortiza el préstamo, el saldo a
principios del año 8 y el tanto efectivo del préstamo.
Solución: 44.260,88 €; 380.296,45 €; 6,19%.
Co n n' n'' i i' i''
500.000 8 6 6 0,06 0,065 0,07
a C7 ie
44260,88494 500000 380296,447 0,06188268 500000,001
73. Una persona cobra durante 12 años 200 € al principio de cada uno de ellos. Los
intereses se capitalizan al 4,5%. Al finalizar el duodécimo año presta la cantidad retirada
(redondeada a euros) a un comerciante que se compromete a reembolsar el préstamo
a base de 6 anualidades constantes, que empezará a pagar un año después de constituirse
el préstamo a un tanto del 6% anual. Se pide el importe de la anualidad que permite el
10 0 6 2
a 80.000
i = 0,08
20 0 14 9
500.000
i =0,06 i'' = 0,07
27,085.6441925,263.8)1(
31412,651.708,0000.8031,051.14
000.80
31,051.14)1(000.80
432434
23
02
4
'44
AACCiAA
iCaA
CC
aiaaaa ii
06188,0)1(1
88,260.44000.500
447,296.38006,1)065,1(88,260.44
06,1065,107,0
07,1106,1
065,0
065,11
06,0
06,11
06,1065,106,1000.500
20
20
16
07,06065,067
866
868
86
07,06
8
065,0606,08
e
e
e
i ii
iaa
aaaaaCa
a
aaaaaa
e
reembolso y el importe de la deuda del comerciante después del pago de la quinta
anualidad. Solución: 657,26 €; 620,06 €.
C n i V12 n' i' a
200 12 0,045 3231,98265 6 0,06 657,2644878
C5
620,0608375
74. En un préstamo de 10.000 € que tiene que ser amortizado en 10 años abonándose
intereses del 7,5% mediante cuotas de amortización anuales constantes, se pide la
anualidad del quinto periodo y la cuota de interés del séptimo. Solución: 1.450 €; 300 €.
Co n i As = A a1 a5 I7
10.000 10 0,075 1000 1750 1450 300
75. Se concede un préstamo de 9.000 € para su amortización en 8 años, mediante el
método de cuotas de amortización anuales constantes. Si el tipo de interés es 12% anual
obtener la cuantía de la séptima anualidad, el capital amortizado en los 4 primeros años
y el capital pendiente al principio del octavo.
Solución: 1.395 €; 4.500 €; 1.125 €.
Co n i As = A μ4 C7
9.000 8 0,12 1125 4500 1125
12 0 2 1
200
200
200
6 0 2 1
a
a
a
10 0 1 5
10.000
a10
06,620)'1(26,65706,11
06,098,231.3
)'1(1
'
98,231.3045,1045,0
1045,1200)1(200
1
566
0
12
12
iaCi
iCa
is i
300075,0000.44
450.1075,0000.14750.14
750.1750075,0000.10
000.110
000.10
67
15
11101
0
iAiCI
iAaa
AIaiCI
n
CAAs
76. Se otorga un préstamo de 25.000 € para amortizarse en 5 años abonándose anualmente
solamente el interés al 9,5% y debiendo devolver el principal al final de la operación.
El deudor concierta simultáneamente una operación de constitución del capital al 8,5%
anual y entregando una cuantía constante al final de cada año. Calcular la cantidad a
desembolsar por el deudor y la cantidad acumulada en el fondo al final del tercer año.
Solución: 6.594,14 €; 13.763,80 €.
Co n i i' Co · i f Co · i + f
25.000 5 0,095 0,085 2375 4219,1438 6594,143797
F3
13763,79637
77. Una sociedad contrae un préstamo de 10.000 € con una entidad bancaria para amortizar
por el sistema americano al 6% anual con una duración de 10 años. Por otra parte forma un
8 0 1 7
9.000
a7
5
...
0 1 2
25.000 · 0,095 25.000 · 0,095
25.000 + 25.000 · 0,095
5
...
0 1 2
f
25.000
125.1
500.44
135581012,0125.12080.12
395.112,0125.16205.26
205.2125.1080.1080.112,0000.9
125.18
000.9
7
4
3813
17
11101
0
AC
A
iAIIiAII
iAaa
AIaiCI
n
CAAs
7964,763.13085,0
1085,11438,219.4
14,594.61438,219.4375.2'
1438,219.41085,1
085,0000.25
375.2095,0000.25
3
'33
0
5'5
0
i
i
s
sfF
fiCa
s
Cf
I
fondo en otro banco en el cual realizará imposiciones semestrales para conseguir el
montante que extinga la deuda a un tanto del 5% anual. Calcular la cuota de interés del
sexto año del préstamo y la cuantía constante que hay que imponer en el fondo. Plantear
además la ecuación que nos da el tanto efectivo a que resulta la doble imposición.
Solución: 600 €; 392,67 €; 6,61%.
Co n i Is = Co · i i' i'(2) f
10.000 10 0,06 600 0,05 0,02469508 392,6743137
ie ie(2)
0,0660846 0,03251374 9999,99991
78. Una entidad financiera concede un préstamo de 12.000 € a un interés anual del 12%
para ser amortizado en 10 años mediante una renta con anualidades variables en
progresión aritmética de razón 150 €, determinar las cuantías de las anualidades primera
y quinta, así como su descomposición en interés y amortización.
Solución: 1.586,11€; 1.440€; 146,11€; 2.186,11 €; 1.239,30 €;946,81 €.
HECHO EN PROBLEMAS DE CLASE nº 8.
79. Cierta entidad ha concedido un préstamo de cuantía 50.000 euros, duración 10 años,
abono de intereses al 14% y la amortización se realiza mediante la entrega de términos
anuales variables en progresión aritmética de razón d = 500. Determínese la tercera
anualidad y el capital pendiente al principio del quinto año. ¿Es posible la amortización de
este préstamo en las mismas condiciones anteriores pero con d = 3.000 y con d = 2.000?.
Solución: 8.861,16 €; 42.472,30 ; Ninguno de los dos casos.
Co n i d a1 a3
50.000 10 0,14 500 7861,16064 50000 8861,160644
C4 a'1 d' d'' a''1
42472,30447 -761,421349 3.000 2.000 50000 2687,61145 50000
C0 · i + C0
0 1 2
10.000
10
f
0 1/2 2/2
10.000
20/2
f f
10 0 1 4
50.000
a10= a1 + 9 d C4
0660846,0674314,392600000.10
674314,3921))2('1(
)2('
60006,0000.10
)2(2010
20
0
)2('20
0
0
eii
i
s
iaa
i
iC
s
Cf
iCI
ee
El caso de d' = 3.000 no es posible pues exige un a'1 negativo.
El cado de d'' = 2.000 si es posible con a''1 = 2.687,61.
80. Una sociedad contrae un préstamo de 1.000.000 € con una entidad bancaria para
amortizar en 6 años al 5% anual mediante anualidades que aumentarán el 50% de la
anterior. Determínese la primera anualidad, el capital pendiente al principio del tercer
año y las cuotas de amortización del cuarto y último año.
Solución: 60.001,12 €; 949.497,14 €; 159.405,31 €; 433.936,69 €.
Co n i q a1 I1
1.000.000 6 0,05 1,5 60001,122 1000000 50000
A1 A2 C2 A3 A4 A5 A6
10001,122 40501,7391 949.497,139 87527,6676 159405,313 268627,472 433936,6859
81. En una entidad financiera se solicita un préstamo de 17.500 € amortizable en 10 años
mediante anualidades constantes a un tanto de interés anticipado del 10%. Se pide
la anualidad, la cuota de amortización del cuarto año y la cuota de intereses
correspondientes al sexto vencimiento. Solución: 2.686,84 €; 1.427,80 €; 924 €.
NO ENTRA EL MÉTODO ALEMÁN DE INTERESES ANTICIPADOS
82. Una entidad bancaria concede un préstamo de 15.000 € para ser amortizado en 6 años
a un tipo de interés del 11% mediante una renta anual constante. Transcurridos tres años
se decide de común acuerdo cambiar las condiciones del préstamo pasando a ser estas del
9% de interés anticipado y con cuotas de amortización constantes. Se pide la anualidad
6 0 1 3
50.000
a1 · 1,55 a1 · 1,5 a1 · 1,52
30,472.4214,0
65006500
14,0
500
16,861.8216,861.7
14,0
1050010500
14,0
500000.50
14,0654
131
14,01011
aaC
daaa
aai
ndand
i
da in
686,936.433)1()1(
472,627.268)1()1(
313,405.159)1()1(
6676,527.87)1()1(
139,497.949
7391,501.40)1()1(
122,001.10000.5005,0000.000.1
12,001.605,105,1
05,15,11
1
)1(1000.000.1
4
156
3
145
2
134
123
2102
112
11101
1
66
11
qqaiAA
qqaiAA
qqaiAA
qqaiAA
AACC
qaiAA
IaAiCI
aaqi
iqa
nn
con que se inicia el préstamo, cuotas de amortización a partir del cambio de condiciones
y pago efectuado en ese momento. Solución: 3.545,65 €; 2.888,18 €; 4.325,46 €.
NO ENTRA EL MÉTODO ALEMÁN DE INTERESES ANTICIPADOS
83. Un préstamo de 10.000 € se amortiza en 5 años con anualidades: a1 = a2 = a; a3 = 1,5a;
a4 = 2a; a5 = 3a y tipos de interés: i1 = 0,08; i2 = 0,085; i3 = 0,09; i4 = 0,1 y i5 = 0,11.
Se pide el valor de las anualidades primera y última, ¿qué capital tendremos
amortizado a los tres años?. Solución: 1.587,09 €; 4.761,26 €; 3.214,91 €.
Co n a 1,5 a 2 a 3 a i1
10.000 5 1587,08785 2380,63178 3174,1757 4761,26355 0,08
i2 i3 i4 i5 C3 μ3
0,085 0,09 0,1 0,11 10000 6785,09302 3.214,907
84. En un préstamo de 18.000 €, duración de la operación 8 años y abono de intereses
anticipados, los intereses concertados son i1 = i2 = 0,08; i3 = 0,09; i4 = i5 = i6 = 0,10; i7 = 0,105;
i8 = 0,11 y las cuotas de amortización siguen la ley Ak = k · m con k = 1, 2, …, 8.
Calcular el valor de las cuotas de amortización primera y última así como la cuota de
interés que se paga al final del tercer año. Solución: 500 €; 4.000 €; 1.500 €.
NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS
85. De un préstamo de 10.000 € amortizable en 10 años por el sistema francés al 4% anual,
determinar el valor, usufructo y nuda propiedad al principio del año 8. Tanto de valoración
de mercado 5% anual. Solución: 3.357,52 €; 255,67 €; 3.101,85 €.
Co n i i' a V7 C7
10.000 10 0,04 0,05 1232,90944 3357,51821 3421,435941
U7 N7
255,6709161 3101,8473
5 0 1 4
10.000
0,11
1,5 a
0,085 0,1
10 0 1 7
10.000
a
907,214.3093,785.611,11,131,12
26,761.4308785,587.1
11,11,109,1085,108,131,109,1085,108,12
09,1085,108,15,1085,108,108,1000.10
303
111
3
111111111
111111
CCaaC
aa
aa
aaa
51821,357.390944,232.104,11
04,0000.10
)1(1'3710
0
in
aaVi
iCa
86. Consideremos un préstamo de 50.000 € a amortizar en 8 años al 12% anual. Calcúlese el
valor financiero, usufructo y nuda propiedad transcurridos 4 años con rédito de valoración
de mercado del 11% anual, si se amortiza por los sistemas americano y uniforme.
Solución: Americano: 51.551,22 €; 18.614,67 €; 32.936,55 €.
Uniforme: 25.509,97 €; 6.119,69 €; 19.390,29 €.
Co n i i' Co · i V41 N41
50.000 8 0,12 0,11 6000 51551,2228 32936,54871
U41 As = A N42 C42 U42 V42
18614,67414 6250 19390,2856 25000 6119,68848 25509,974
87. Se otorgó un préstamo de 20.000 € para ser amortizado en 12 años a un tipo de interés
del 12% anual. Si en este momento, principio del sexto año del préstamo, el tipo de
interés del mercado es del 11% anual, determinar el valor del préstamo, del usufructo y
de la nuda propiedad, si se amortiza mediante términos variables en progresión
aritmética de diferencia 100 € ó geométrica de razón 1,08.
Solución: Aritmética: 16.815,01 €; 6.547,09 €; 10.267,92 €.
Geométrica: 19.335,98 €; 7.920,55 €; 11.415,43 euros.
Co n i d q i'
20.000 12 0,12 100 1,08 0,11
8 0 1 7
50.000
C0 · i + C0
8 0 1 7
50.000
a8
a1
85,101.3
67,255)51821,357.343594,421.3(04,005,0
04,0)(
'
:
43594,421.3
777
777
37
UVN
VCii
iU
MakehamdeFórmula
aaC i
97,509.25)2856,390.19000.25(11,0
12,0)(
'
:
2856,390.1911,0
11,11250.6
000.254250.68
000.50
22,551.515487,936.3211,1000.50)'1(
67,614.1811,0
11,11000.6000.612,0000.50
2
4
2
4
2
4
4
'4
2
4
2
4
0
1
4
1
4
1
4
44
0
1
4
4
'40
1
40
NCi
iU
AcharddeFórmula
aAN
ACn
CAA
NUViCN
aiCUiC
i
s
i
a1 a'1 a6 a'6 C'5
2.809,771 20.000 2.262,133 20.000 3.309,771 3.323,816 18675,93647
V5 C5 U5 N5 V'5 U'5 N'5
16.815,006 16.269,415 6.547,087 10.267,919 19.335,983 7.920,552 11.415,430
88. Un préstamo alemán fue concedido hace 3 años con las siguientes características:
capital prestado 10.000 €, duración de la operación 10 años y tanto anual anticipado del 6%.
Si en este momento el acreedor vende el préstamo a un tanto del 5% anual. Determinar el
valor financiero, usufructo y nuda propiedad distinguiendo si los intereses del cuarto año
se han o no devengado. Considerar anualidades constantes y cuotas de amortización
constantes. Solución:
Anualidades constantes: 7.524,79 €; 1.302,35 €; 6.222,44 €; (si)
7.981,92 €; 1.759,48 €; 6.222,44 €; (no)
Cuotas: 6.895,54 €; 1.109,17 €; 5.786,37 €; (si)
7.315,54 €; 1.529,17 €; 5.786,37 €; (no)
NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS
89. Un individuo desea obtener un préstamo de nominal 120.000 €, a amortizar con
términos amortizativos constantes y trimestrales durante 20 años. Para ello acude a una
entidad financiera que le propone bien el sistema francés con un interés del 9% nominal
anual bien el sistema alemán con un interés del 8,75% nominal anticipado (ambos
pagaderos trimestralmente). Se pide respecto a ambos préstamos:
12 0 1 5
9.000
a5
43,415.1155,920.7983,335.19'''
55,920.7)983,335.199365,675.18(12,011,0
12,0)''(
''
983,335.1908,111,1
11,108,11816,323.3
'1
)'1(1''
9365,675.1808,112,1
12,108,11''816,323.3''
133,262.2'08,112,1
12,108,11'
1
)1(1'000.20
919,267.10087,547.6006,815.16
087,547.6)006,815.16415,269.16(12,011,0
12,0)(
'
006,815.1611,0
7100)7100
11,0
100(
')
'(
415,269.1612,0
7100)7100
12,0
100(77,309.35
77,809.212,0
12100)12100
12,0
100()(000.20
555
555
7777
65
77
65
5
16
1
1212
11
555
555
11,076'65
12,076516
112,01211
UVN
VCii
iU
qi
iqaV
aCqaa
aaqi
iqa
UVN
VCii
iU
aai
ndand
i
daV
aaCdaa
aaai
ndand
i
da
nn
in
in
a) Descomposición en cuota de amortización e interés del decimotercer término
amortizativo.
b) Valor financiero, usufructo y la nuda propiedad al final del tercer año, con un interés de
mercado del 8% anual.
Solución:Francés: a) 3.247,65 €; 715,26 €; 2.532,39 €; b) 121.993,47 €; 69.128,04 €; 52.865,44 €.
Alemán: a) 3.164,29 €; 718,95 €; 2.445,34 €; b) 118.862,27 €; 65.967,92 €; 52.894,36 €.
NO ENTRAN PRÉSTAMOS CON INTERESES ANTICIPADOS
90. Una sociedad contrata un préstamo de 100.000 € a devolver en 5 años, a un tanto de
interés anual del 8%. Las anualidades serán de una cantidad a la primera, 3a la segunda, 2a
la tercera, 5a la cuarta, y 4a la quinta. Calcular la tercera anualidad y su descomposición en
cuota de interés y amortización.
Si el tanto de interés de mercado al finalizar el segundo año es del 10 % anual, calcular el
usufructo y la nuda propiedad.
Solución: 17.416,92 = 6.488,76 + 10.928,16 €; 12.477,57 €; 65.512,53 €.
Co n i i' a 3 a 2 a
100.000 5 0,08 0,1 8.708,458 26.125,375 17.416,916
5 a 4 a C2 I3 A3 V2
43.542,291 34.833,833 100000 81.109,490 6.488,759 10.928,157 77.990,099
U2 N2
12.477,566 65.512,533
91. El señor López entrega un capital de 5.000 € para recibir 8 años después su equivalente,
pactando la operación un tipo de interés del 8% anual. Si el deudor pretendiese cancelar
la operación al principio del quinto año y el tanto del prestamista es del 10 % anual. ¿Qué
cantidad exigirá éste como mínimo para rescindir?.
Si el deudor entregase en el punto anterior 4.000 €, ¿cuál sería el nuevo saldo pendiente y
cuál sería la cantidad que tendría que entregar al final de los 8 años?.
Solución: 6.321,05 €; 2.497,82 €; 3.398,25 €.
HECHO EN PROBLEMAS DE CLASE PROBLEMA 1.
92. Un préstamo de 10.000 €, debe amortizarse con sus intereses acumulados al 6% anual a
los 15 años. A los 5 años el deudor hizo una entrega parcial, momento en que el tanto de
5 0 1 4
100.000
4 a 5 a
533,512.65566,477.12099,990.77
566,477.12)099,990.7749,109.81(08,01,0
08,0)(
'
099,990.77)'1(4)'1(5)'1(2
49,109.81)1(4)1(5)1(2
916,416.172458,708.8
)1(4)1(5)1(2)1(3)1(000.100
222
222
321
2
321
2
3
54321
UVN
VCii
iU
iaiaiaV
iaiaiaC
aaa
iaiaiaiaia
interés era del 4'5% anual y a los 15 años canceló su deuda entregando 20.000 €, ¿cuál fue
la cantidad entregada en el año 5?. Solución: 2.553,55 €.
Co n i i' C15 V5 X5
10.000 15 0,06 0,045 23965,5819 15432,1016 2553,547981
C'5 C'15
12878,55364 20000
93. Un préstamo de 2.000 € contratado al 6% anual durante 8 años se cancela de la
siguiente forma: Un primer pago de 900 € 3 años antes del vencimiento y un segundo pago
al vencimiento final. Hallar el importe del segundo pago. ¿Y si al efectuar el primer pago
el tanto del mercado es del 4% anual?. Solución: 2.115,78 €; 2.175,32 €.
Co n i i' a5 C5 a8
2.000 8 0,06 0,04 900 1776,45116 2115,781749
V5 C8 C'5 C'8
2833,850269 3187,69615 1933,85027 2175,31855
94. Hace 7 años se concedió un préstamo de 8.000 € al 8% anual para ser reembolsado
mediante pago único de capital e intereses en 10 años. Calcular la cantidad mensual que
se ha depositado en un fondo durante 4 años al 7% anual si con el capital constituido se
logra hoy cancelar totalmente el préstamo a un tanto de interés de mercado del 6% anual.
Solución: 263,82 €.
10.000 C'5 = V5 - X5
5
C15
2.000
5 8
a8
8.000 V7
10 7
55,553.2
045,1)1016,432.15(045,1)()'1(''000.20
1016,432.15)'1(
5819,965.2306,1000.10)1(
5
10
5
10
55
10
515
10
155
1515
015
X
XXViCC
iCV
iCC
31855,175.2)'1(''
85027,933.1900'
85027,833.204,106,1000.2)'1(
78,115.2)1(
45116,776.190006,1000.2900)1(
3
58
55
383
85
3
58
55
05
iCC
VC
iCV
iCa
iCC
Co n i i' i'' C10 V7
8.000 10 0,08 0,06 0,07 17271,4 14501,40047
a n'' m i''(12)
263,8162142 4 12 0,00565415 14501,4005
95. Inmediatamente después de pagados los intereses del cuarto año el deudor quiere
cancelar un préstamo de 10.000 €, amortizable al 6% anual en 10 años con pago anual de
intereses. ¿Qué cantidad debe entregar si en dicho momento el tanto de interés es el 4%
anual?. ¿Qué saldo quedará si hace una entrega de 4.000 €?.
Solución: 11.048,43 €; 7.048,43 €.
Co n i i' X4 Co · i V4
10.000 10 0,06 0,04 4.000 600 11.048,4274
C'4 = V4 - X4
7.048,4274
96. Una deuda de 3.500 € se amortiza en 10 años, método francés, a un tipo de interés del
11,5% anual. Al principio del sexto año de la operación, el dinero en el mercado se presta
a un tipo de interés del 13% anual. Calcular la reserva al principio del sexto año y la
cantidad a abonar para cancelar la operación (en el supuesto de ser aceptado el tanto de
mercado por ambas partes). ¿Cuál sería la nueva anualidad si se cancelase parcialmente
la operación entregando 1.000 €?. ¿Cuál sería el saldo pendiente en este caso?.
Solución: 2.214,82 €; 2.134,33 €; 322,51 €; 1.134,33 €.
Co n i i' a C5 V5
3.500 10 0,115 0,13 606,820236 2.214,8197 2.134,3271
X5 C'5 a'
1.000 1.134,3271 322,505692
10
...
0 2 4
10.000 · i 10.000 · i 10.000 + 10.000 · i
10
...
0 2 5
a a a
10
...
0 2 5
a
C'5
C5
82,26305,40,501.14
4005,501.14)'1(
4,271.1708,1000.8)1(
)12(''48
3
107
1010
010
aaa
iCV
iCC
i
43,048.7'
43,048.11)'1(000.10600
60006,0000.10
444
6
'64
0
XVC
iaV
iC
i
82,214.2115,0
115,1182,606
82,606115,11
115,0500.3
)1(1
5
55
10
0
i
n
aaC
i
iCa
97. Una entidad bancaria concede un préstamo de 15.000 € para ser amortizado en 8 años a
un tipo de interés del 11% anual mediante una renta anual constante. Transcurridos 3 años
el tipo de interés que aplica la entidad en los préstamos que concede es el 12% anual,
determinar la cantidad que tendría que abonar el prestatario para rescindir la operación al
nuevo tipo de interés si además la entidad exige una compensación adicional del 1% del
saldo. ¿Qué anualidades habría que pagar en lo sucesivo si se cancelara parcialmente la
operación abonando 4.000 € y no existiera en este caso penalización? . ¿Cuál sería el saldo
pendiente en este caso?. Solución: 10.614,99 €; 1.805,18 €; 6.507,26 €.
Co n i a i' s Comisión
15.000 8 0,11 2.914,8158 0,12 3 0,01
V3 C3 V3 + 0,01 C3 X3 C'3 a'
10.507,2587 10.772,8591 10.614,9873 4.000 6.507,2587 1.805,1769
98. Determinar los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un préstamo simple de
10.000 € a devolver dentro de 5 años con unos intereses del 12% anual si en la operación
inciden las siguientes características:
* Gastos a cargo del deudor en el origen y final de la operación del 3% del capital prestado.
* Gastos iniciales a cargo del acreedor del 0,5% del capital prestado.
* Impuestos sobre los rendimientos a un tipo del 16%
Solución: 13,06%; 10,29%.
Hecho en Tantosefectivos.pdf
99. Obtener las ecuaciones de los tantos efectivos del deudor y del acreedor en un
préstamo de 25.000 € a amortizar en 4 años a un tipo de interés del 12,5% anual mediante
anualidades constantes considerando:
* Gastos iniciales y finales a cargo del deudor del 2,4% del capital prestado.
* Impuestos anuales sobre los intereses, a cargo del acreedor a un tipo del 15%
...
0 2 3
a' V3
C3
V3 + 0,01 C3
51,32213,11
13,033,134.1
)'1(1
'''
33,134.1'
33,134.213,0
13,1182,606
55
5
555
5
'55
i
iCa
XVC
aaV i
1769,805.1''2587,507.6
2587,507.6'
9873,614.1001,0
8591,772.10
2587,507.10
8158,914.211,11
11,0000.15
'5
333
33
53
'53
8
aaa
XVC
CV
aaC
aaV
a
i
i
i
* Gastos de administración anuales constantes de 1.500 € a cargo del deudor.
Solución: 14,46%; 10,62%.
Hecho en Tantosefectivos.pdf
100. Un préstamo de 10.000 € al 7% anual se amortiza en 10 años con anualidades
constantes percibiéndose la primera a los tres años de concertada la operación. Si el
prestatario tiene unos gastos iniciales de 50 € y el sistema impositivo le detrae al
prestamista el 1% de las anualidades, determinar las ecuaciones que nos dan los tantos
efectivos del prestamista y del prestatario. Solución: 6,83%; 7,09%.
Co n i C2 G.iniciales Impuestos a
10.000 10 0,07 11.449 50 0,01 1.917,3384
ia id
0,068253041 10000,0006 0,07087325 9950
101. El señor X solicita un préstamo de 40.000 € para devolverlo en 7 años a un tanto de
interés anual efectivo del 16,64%, mediante semestralidades postpagables constantes
de cuantía a los cuatro primeros años y semestralidades constantes de cuantía 2a para los
tres años restantes. Transcurridos 3 años, el Sr. X recibe la devolución de la declaración de
la renta que asciende a 5.000 € y decide utilizar esta cantidad para efectuar una
cancelación parcial anticipada una vez que se ha pagado la sexta semestralidad.
Se pide:
a) Descomponer el décimo término amortizativo en amortización e intereses.
b) El valor financiero, la nuda propiedad y el usufructo al final del segundo año,
suponiendo que ya se ha pagado la cuarta semestralidad y que el tanto de mercado es del
12,36% anual efectivo.
c) El valor de la última nueva semestralidad si éstas siguen la misma ley y el tanto de
mercado es del 12,36% anual. Solución: a) 7.447,52 = 5.068,65 + 2.378,86 €;
b) 41.911,16 €; 24.826,07 €; 17.085,09 €; c)6.502,89 €.
Co n m i i(2) a 2 a
40.000 7 2 0,1664 0,08 3.723,7585 7.447,5171
C9 I10 A10 i' i'(2) V4
40.000 29.735,7763 2.378,8621 5.068,6550 0,1236 0,06 41.911,1575
...
0 3 4
a 10.000
...
0 2/2 8/2
2 a 40.000
07087,0)1()1(1
99,0)1(950.950000.10
06825,0)1()1(1
99,0)1()01,0(000.10
449.1107,1000.10)1(
2
8
2
8
2
8
2
8
22
02
dd
d
ddi
aa
a
a
ai
iii
iaiaa
iii
iaiaaa
iCC
d
a
C4 U4 N4 V6 X6 C'6 a'
37.639,8853 17.085,0888 24.826,0687 39.420,4340 5.000 34.420,4340 3.251,4453
2 a'
6.502,8906 34.420,4340
102. El Sr. X desea comprar un piso para lo que entrega una entrada de 10.000 €, cinco
pagos trimestrales, abonándose el primero de 1.000 € a la entrega de la entrada y
aumentando cada uno sobre el anterior en 250 €, y una hipoteca a la entrega de las llaves,
que se efectuará coincidiendo con el vencimiento de la última letra, por un total de
100.000 €. A los cinco años de contratar la hipoteca, siendo el tanto de mercado del 9%
(anual vencido), el banco le propone cancelar la hipoteca a cambio del 30% de sus ingresos
(que entregará al banco al final de cada mes) durante los próximos 5 años. Se pide:
a) Precio al contado del piso valorando todos los desembolsos al 10% anual vencido.
b) Importe de los pagos mensuales de la hipoteca si se contrata al 12% de interés nominal
vencido por 10 años.
c) Descomposición del valor financiero los cinco años en usufructo y nuda propiedad.
d) ¿Aceptará la proposición si los ingresos anuales para el primer año son de 48.000 € y
espera subidas anuales acumulativas del 5%?.
Solución:
a) 108.007,31 €; b) 1.434,72 €; c) 69.685,62=18.577,86+51.107,76 €; d) V=63.874,24 €. Si.
Entrada 1ª trimestra d Hipoteca i i(4) PVC
10.000 1.000 250 100.000 0,1 0,02411369 108.007,3060
0 3/4 4/4
100.000 10.000
...
0 1/12 2/12
a 100.000
89,502.6'24453,251.3''2'434,420.34
434,420.34000.5'434,420.392
0687,826.240888,085.17)()2()2('
)2(
8853,639.372
1575,911.412
655,068.52
86,378.2)2(7763,735.292
5171,447.727585,713.32000.40
06,011236,11)'1()2('1236,0'
08,011664,11)1()2(1664,0
)2('6)2('2
66)2('6)2('26
444444
)2(6)2(44
)2('6)2('44
1010
910)2(59
)2(6)2(8
2
1
2
1
2
1
2
1
aaaaaa
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UVNVCii
iU
aaaaC
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aaaaaa
iii
iii
ii
ii
ii
ii
i
ii
j(12) i(12) n m a i' i'(12)
0,12 0,01 10 12 1.434,7095 0,09 0,007207323
V60 C60 U60 N60 C q V5
69.685,6153 64.497,4200 18.577,8590 51.107,7563 48.000 1,05 63.874,2398
103. El Sr. López pide al "Banco A" un préstamo hipotecario de 100.000 € para amortizarlo en
10 años mediante mensualidades postpagables constantes; el tanto nominal capitalizable
mensualmente aplicado es del 10%. Transcurridos tres años se pueden conseguir en el
mercado préstamos hipotecarios al 8% anual efectivo anual, por lo que el Sr. López piensa
en liquidar su antigua hipoteca y constituir un nuevo préstamo a amortizar en los siete
años restantes también mediante mensualidades constantes. El "Banco A" estipula
contractualmente para la cancelación anticipada la entrega del saldo incrementado en un
1%. El nuevo préstamo origina unos gastos iniciales del 3% de la cantidad adelantada que
se abonarán al contado. Se pide:
a) Mensualidad del primer préstamo.
b) Suma que ha de entregarse para que el banco acepte la cancelación y cuantía de la
nueva mensualidad.
c) ¿Es conveniente la operación (tener en cuenta que el interés del mercado ha variado)?.
Solución: a) 1.321,51 €; b) 80.399,23 €; 1.241,97 €; c) V1 =85.548,32 €; V2 = 82.811,21 €; si
Co n m j(12) i(12) i' i'(12)
100.000 10 12 0,1 0,00833333 0,08 0,00643403
...
0 1/12 2/12
a 100.000
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a C36 1,01 C36 a' V1 V2
1.321,5074 79.603,1998 80.399,2318 1.241,9667 85.548,3270 82.811,2087
104. El Sr. X compra un piso pagando 30.000 € de entrada, seis pagos cuatrimestrales
efectuando el primero cuatro meses después de la entrada, siendo éste de 1.000 € y
aumentado cada uno de los demás en 250 € sobre el anterior, una aportación extra de
10.000 €, 9 meses después de la entrada y un pago final de 140.000 € a efectuar junto con
el último pago cuatrimestral.
Para hacer frente a los seis pagos cuatrimestrales firma letras, para hacer frente a la
aportación extra elabora un plan de ahorro trimestral en un banco que capitaliza al 12 % de
interés anual simple y el pago de 140.000 € lo realiza mediante la firma de una hipoteca
con el banco A, de pagos trimestrales vencidos con una duración de 15 años y tanto
nominal del 12 % (capitalizable trimestralmente).
A los 3 años de firmada la hipoteca con el banco A, recibe una oferta de la caja de ahorros
B, de una hipoteca de pagos mensuales vencidos, 12 años de duración y tanto de interés
del 9 % nominal (capitalizable mensualmente), que utilizará para cancelar la hipoteca
firmada con el banco A que cobra para cancelar el saldo junto con una comisión del 1%.
a) Calcular el valor del piso valorando a tanto anual compuesto del 10%.
b) Calcular la cantidad que obtendrá la inmobiliaria al descontar las letras en un banco a
tanto de descuento del 12 % anual simple, la cuota del plan de ahorro (prepagable y
constante) y el término amortizativo de la hipoteca firmada con el banco A.
c) Calcular la cantidad que el banco A exigirá para cancelar la hipoteca y el término
amortizativo de la hipoteca propuesta por la caja de ahorro B.
d) ¿Aceptará la propuesta de la caja de ahorros B si valora ambas opciones a un tanto de
interés del 10% anual?.
Solución: a) 163.624,93 €; b) 8.210 €; 3.144,65 €; 5.058,61 €; c) 129.092,67 €; 1.469,11 €;
d) 142.938,89 €; B) Si.
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Entrada C d Extra Hipoteca i i(3)
30.000 1.000 250 10.000 140.000 0,1 0,032280115
PVC d' E i' simple C' j''(4)
163.624,9276 0,12 8.210 0,12 3.144,6541 10.000 0,12
i''(4) a C12 1,01 C12 j'''(12) i'''(12) a'
0,03 5.058,6142 127.814,522 129.092,667 0,09 0,0075 1.469,1142
t t(4) V1 t(12) V2
0,1 0,02411369 142.938,885 0,00797414 125.531,916
916,531.125'
885,938.142
00797414,01)1()12(02411369,01)1()4(1,0
1142,469.1))12('''1(1
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6142,058.5))4(''1(1
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