Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Pagrindinės sąvokos.
Koši uždavinys.
Diferencialinės lygtys su atskiriamais kintamaisiais, homogeninės lygtys.
1
Diferencialinės lygties ir jos sprendinio sąvokos
Ap. Diferencialine lygtimi vadinama lygtis, siejanti nepriklausomą
kintamąjį 𝑥, ieškomąją funkciją 𝑦 ir jos išvestines 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 .
Diferencialinės lygties bendrasis pavidalas yra
𝐹 𝑥, 𝑦, 𝑦′, 𝑦′′, … , 𝑦 𝑛 = 0.
Lygtis, kurią galima išspręsti išvestinės 𝑦 𝑛 atžvilgiu, dar užrašoma ir taip:
𝑦 𝑛 = 𝑓(𝑥, 𝑦, 𝑦′, … , 𝑦 𝑛−1 )
Jeigu ieškomoji funkcija yra tik vieno kintamojo 𝑥 funkcija, tai diferencialinė lygtis vadinama paprastąja.
Dif. lygtis, siejanti nežinomą kelių kintamųjų funkciją ir jos dalines išvestines, vadinama dalinių išvestinių dif. lygtimi.
𝑥𝜕𝑧
𝜕𝑥= 𝑦
𝜕𝑧
𝜕𝑦
2
Ap. Dif. lygties eile vadinama aukščiausios eilės išvestinės, esančios toje lygtyje, eilė.
Pvz.
• 𝑦′ − 𝑥 = 0 – pirmos eilės diferencialinė lygtis
• 𝑦′′ + 𝑦′ + 𝑦 + 𝑥 = 0
• 𝑦𝐼𝑉 + 𝑦′ + 𝑥𝑒𝑥 = 0
3
Išspręsti dif. lygtį reiškia rasti nežinomą funkciją 𝑦 = 𝑦 𝑥 .
Ap. Dif. lygties sprendiniu (arba integralu) vadinama funkcija 𝑦 = 𝑦 𝑥 , tinkanti tai lygčiai.
Funkcija 𝑦 = 𝑦 𝑥 turi būti 𝑛 kartų tolydžiai diferencijuojama.
Diferencialinės lygties kiekvieno sprendinio 𝑦 = 𝑦 𝑥 grafikas 𝑥𝑂𝑦 plokštumoje yra kreivė, kuri vadinama integraline dif. lygties kreive.
Diferencialinės lygties sprendimo procesas vadinamas tos lygties integravimu.
4
5
Pirmos eilės diferencialinės lygtys. Koši uždavinys
Nagrinėkime lygtį
0',, yyxF
arba
yxfy ,'
ši lygtis turi be galo daug sprendinių. Dažnai,
diferencialinių lygčių teorijoje, reikia rasti lygties
yxfy ,' sprendinį xyy , tenkinantį sąlygą
00 yxy
(arba 0yy , kai 0xx ;
arba 00yy xx )
čia 00 , yx - realieji skaičiai.
Ši sąlyga vadinama pradine sąlyga,
o pats uždavinys – Koši uždaviniu.
6
Apibrėžimas
Pirmos eilės diferencialinės lygties yxfy ,'
bendruoju sprendiniu vadinama funkcija
Cxy , , priklausanti nuo laisvosios konstantos
C ir tenkinanti šias sąlygas:
Su bet kuria konstantos C reikšme ji tinka
diferencialinei lygčiai yxfy ,' Kad ir kokios būtų pradinės sąlygos
00 yxy , visada galima rasti tokia
parametro C reikšmę C0, su kuria funkcija
0,Cxy tenkintų tas pradines sąlygas.
Kartais diferencialinės lygties sprendinys užrašomas
taip: 0,, Cyx . Toks sprendinys vadinamas
bendruoju diferencialinės lygties integralu. 7
Atskiruoju diferencialinės lygties yxfy ,'
sprendiniu vadinamas sprendinys, kuris gaunamas iš
bendrojo sprendinio su kuria nors konstantos C
reikšme C0.
Analogiškai iš bendrojo integralo 0,, Cyx
gautas atskirasis sprendinys vadinamas atskiruoju
integralu.
8
Apibrėžimas
Lygties sprendinys xy , kurio negalima gauti
iš bendrojo sprendinio nė su viena konstanta C
reikšme vadinamas ypatinguoju tos lygties
sprendiniu.
9
Teorema (apie Koši sprendinio egzistavimą ir vienatį)
Tarkime, kad funkcija yxf , apibrėžta, tolydi ir
turi tolydžią išvestinę y
f
tam tikroje plokštumos
xOy srityje D, kuriai priklauso taškas 00 , yx .
Tuomet yra taško 0x aplinka 0xV , kurioje
egzistuoja vienintelis diferencialinės lygties
yxfy ,' sprendinys xy , tenkinantis
duotąsias pradines sąlygas 00 yxy .
10
Pvz.
xy 2'
11
Diferencialinės lygtys su atskiriamaisiais kintamaisiais
Apibrėžimas
čia yNxMyNxM 2211 ;;; - tolydžios tam
tikruose intervaluose funkcijos.
Pirmosios eilės diferencialinė lygtis
02211 dyyNxMdxyNxM (1)
Vadinama lygtimi su atskiriamaisiais kintamaisiais;
Tarkime, kad 02 xM ir 01 yN tuose
intervaluose.
Padalinkime (1) lygties abi lygybės puses iš
yNxM 12 gauname
12
01
2
2
1 dyyN
yNdx
xM
xM. (2)
Šią lygtį vadiname lygtimi su atskiriamaisiais
kintamaisiais.
Perkelkime antrąjį (2) lygybės narį į kitą lygybės
puse:
dyyN
yNdx
xM
xM
1
2
2
1
Kadangi tai dviejų diferencialų lygybė, tai jų
neapibrėžtiniai integralai skiriasi tik konstanta:
CdyyN
yNdx
xM
xM
1
2
2
1
13
Pvz.
y
xyy
21'
; xyxyy 2' 2 ; 0ln
' y
y
y, kai
12 y
14
Homogeninės diferencialinės lygtys
Apibrėžimas
Funkcija yxf , vadinama kintamųjų x ir y m – ojo
matavimo homogenine funkcija, jei
yxfttytxf m ,, , Rt
Pvz. 2
6223 2
,y
xxyyxyxf yra 4 – ojo
matavimo homogeninė funkcija, nes
yxftyt
xtxtyttyxttytxf ,
2, 4
22
66222233
15
Apibrėžimas
Diferencialinė lygtis
0,, dyyxQdxyxP (1)
kurios yxP , ir yxQ , yra to paties matavimo
homogeninės funkcijos, vadinama pirmosios eilės
homogenine diferencialine lygtimi.
Padalinę abi (1) lygybės puses iš 0, yxQ
gauname yxQ
yxP
dx
dy
,
,
Kadangi funkcijos yxP , ir yxQ , yra to paties
matavimo homogeninės funkcijos tai jų santykis
yxQ
yxP
,
, bus nulinio matavimo homogeninė
funkcija.
16
Pažymėkime yxQ
yxPyxg
,
,,
Gauname
yxgy ,' ,
čia yxg , yra nulinio matavimo homogeninė
funkcija.
yxgyxgttytxg ,,, 0 .
Parinkime keitinį x
t1
, kai 0x . Tada funkcija
yxg , atrodys taip:
x
ygyxg ,1,
17
Bei
x
ygy ,1'
Ši diferencialinė lygtis sprendžiama naudojant
keitinį ux
y arba uxy .
Iš čia gauname uxuy ''
Tada pati diferencialinė lygtis bus: uguxu ,1' arba
uugxu ,1'
Ši lygtis yra lygtis su atskiriamaisiais kintamaisiais:
uugxdx
du ,1
Galutinai gauname, tardami, kad 0,1 uug :
x
dx
uug
du
,1
Suintegravę abi lygybės puses turėsime sprendinį
x
dx
uug
du
,1
18
Pvz.:
• 𝑦2 + 𝑥2𝑦′ = 𝑥𝑦𝑦′
• 𝑥𝑦′ = 𝑦 1 + ln𝑦
𝑥; 𝑦 1 = 𝑒−
1
2
19
Top Related