04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode
Page 3
04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements
Page 4
04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements
Page 5
04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl
Page 6
04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de
priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la
valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre
de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux
dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl Dernier paiement
rduit
Page 7
04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode
Page 8
04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode
Page 9
04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente
perptuelle de dbut de priode Nous avons aussi la formule
Page 10
04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur actuelle
dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel nous
ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait t = n + k de
Page 11
04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur accumule t
= n + k dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel
nous ajoutons un paiement fait t = n + k de
Page 12
04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont
donns, peut tre rsolue. Nous obtenons
Page 13
04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
Page 14
04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
Page 15
04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont
donns, peut tre rsolue. Nous obtenons
Page 16
04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
Page 17
04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier
paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme
dentres et sorties suivant:
Page 18
04/10/07 Nous allons maintenant considrer la question de
dterminer le taux dintrt si nous connaissons les paiements, le
nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur
accumule. Nous avons dj vu pour ce type de problme la mthode de
bissection. Nous allons maintenant considrer la mthode de
Newton-Raphson.
Page 19
04/10/07 Comme nous avons vu au cinquime cours (mthode de
bissection), cette question de dterminer le taux dintrt revient
dterminer les zros dune fonction f connue, cest--dire les x tels
que f(x) = 0.
Page 20
04/10/07 Dans cette mthode, nous dbutons avec une premire
valeur x 0 et nous construisons rcursivement une suite: x 1, x 2, ,
x s, . Si tout va bien cette suite convergera vers un zro de
f.
Page 21
04/10/07 Gomtriquement la suite est obtenue de la faon
suivante:
Page 22
04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est la
suivante. Pour s = 0, 1, 2, , nous avons
Page 23
04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3
- 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si
la mthode nous permet de converger vers cette valeur.
Page 24
04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3
- 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si
la mthode nous permet de converger vers cette valeur. La drive de
f(x) est
Page 25
04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive
est la suivante
Page 26
04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive
est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons
Page 27
04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
Page 28
04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
Page 29
04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0
= 3, nous obtenons
04/10/07 Remarque 1: La mthode de Newton-Raphson ne fonctionne
pas toujours. Par exemple, considrons la fonction f(x) = x 3 - 5x.
La rgle rcursive est
Page 32
04/10/07 Remarque 1: La mthode de Newton-Raphson ne fonctionne
pas toujours. Par exemple, considrons la fonction f(x) = x 3 - 5x.
La rgle rcursive est
Page 33
04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x
0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de
suite
Page 34
04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x
0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de suite
Cette suite ne converge pas!
Page 35
04/10/07 Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons
Page 36
04/10/07 Exemple 2: Nous allons maintenant illustrer la mthode
de Newton-Raphson pour rsoudre lexemple 4 du 5 e cours, cest--dire
le premier exemple utilis pour illustrer la mthode de
bissection.
Page 37
04/10/07 Exemple 2: (suite) Dterminons le taux dintrt dun prt
dont le flux financier est reprsent par le diagramme dentres et
sorties suivant:
Page 38
04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date
de comparaison t = 9 est
Page 39
04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date
de comparaison t = 9 est Donc nous cherchons dterminer un zro de la
fonction
Page 40
04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de
Newton- Raphson est
Page 41
04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de
Newton- Raphson est Si comme point de dpart pour la mthode, nous
prenions x 0 = 6%, alors nous obtenons par la mthode
04/10/07 Considrons maintenant la question de dterminer le taux
dintrt dune transaction alors que nous connaissons la valeur
actuelle dune annuit simple constante de fin de priode, le nombre
de paiements et le montant des paiements de cette annuit.
Page 44
04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous
connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i.
Page 45
04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous
connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i. Ceci est quivalent
rsoudre lquation:
Page 46
04/10/07 Nous cherchons dterminer un zro de la fonction
Page 47
04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est
alors
Page 48
04/10/07 Pour complter la mthode de Newton- Raphson, il nous
faut une valeur initiale i 0 prs de la valeur recherche i. Une
bonne approximation est obtenue en considrant comme valeur
initiale
Page 49
04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur
sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer
le taux nominal dintrt i (4) de ce prt.
Page 50
04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur
sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer
le taux nominal dintrt i (4) de ce prt. Nous avons ainsi que L =
225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux dintrt
par trimestre.
Page 51
04/10/07 Exemple 3: (suite) La valeur initiale que nous pouvons
utiliser pour la mthode de Newton-Raphson est alors
Page 52
04/10/07 Exemple 3: (suite) La rgle rcursive pour la mthode de
Newton- Raphson est alors
Page 53
04/10/07 Exemple 3: (suite) En utilisant cette rgle et cette
valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintrt par
trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une
approximation du taux nominal recherch. Nous avons prsent ces
valeurs dans le tableau suivant.
Page 54
04/10/07 Exemple 3: (suite) s xsxs 4x s (Taux nominal)
01.6260163%6.5040652% 11.481978318%5.927913272%
21.484619406%5.9338477624% 31.484620352%5.93681408%
41.484620497%5.938481988% 51.484620377%5.938481508%
61.484620430%5.93848172% 71.484620287%5.938481148%
Page 55
04/10/07 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur
initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothses
simplificatrices pour obtenir cette premire approximation.
Page 56
04/10/07 Premire hypothse: Nous pouvons remplacer les n
paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars.
Idalement pour obtenir une situation quivalente celle des n
paiements, nous ferions ce paiement lchance moyenne. Faute de
connatre le taux dintrt i, nous allons utiliser lchance moyenne
approche.
Page 57
04/10/07 Deuxime hypothse: Nous allons supposer que lintrt est
simple plutt que compos.
Page 58
04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: Lchance
moyenne approche est car
Page 59
04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous pouvons considrer notre transaction comme une entre au montant
de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t
= (n + 1)/2.
Page 60
04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous notons par j: lapproximation lors que nous considrons le flux
prcdent et que nous supposons que lintrt est simple. Nous obtenons
alors lquation:
Page 61
04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite)
Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0
Page 62
04/10/07 Justification de lapproximation: Il est aussi possible
dobtenir une justification plus mathmatique, justification qui fait
appel la srie binomiale. Ceci est prsent dans le recueil de notes
de cours.