04/10/07 MATHÉMATIQUES FINANCIÈRES I Dixième cours.

04/10/07 MATHMATIQUES FINANCIRES I Dixime cours

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de priode

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux dintrt et les paiements

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl

04/10/07 Rappel du dernier cours Rente perptuelle de dbut de priode Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur actuelle, le taux dintrt et les paiements Calcul du nombre de paiements dune annuit tant donn la valeur accumule, le taux dintrt et les paiements Dernier paiement gonfl Dernier paiement rduit

04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente perptuelle de dbut de priode

04/10/07 Rappel du dernier cours: Valeur actuelle dune rente perptuelle de dbut de priode Nous avons aussi la formule

04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur actuelle dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel nous ajoutons la valeur actuelle dun paiement fait t = n + k de

04/10/07 Rappel du dernier cours est gale la valeur accumule t = n + k dune annuit de n paiements de 1$ en fin de priode auquel nous ajoutons un paiement fait t = n + k de

04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont donns, peut tre rsolue. Nous obtenons

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme dentres et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme dentres et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours dans laquelle P, R et i sont donns, peut tre rsolue. Nous obtenons

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement gonfl, nous devons trouver X comme dans le diagramme dentres et sorties suivant:

04/10/07 Rappel du dernier cours Pour la situation du dernier paiement rduit, nous devons trouver Y comme dans le diagramme dentres et sorties suivant:

04/10/07 Nous allons maintenant considrer la question de dterminer le taux dintrt si nous connaissons les paiements, le nombre de paiements et soit la valeur actuelle, soit la valeur accumule. Nous avons dj vu pour ce type de problme la mthode de bissection. Nous allons maintenant considrer la mthode de Newton-Raphson.

04/10/07 Comme nous avons vu au cinquime cours (mthode de bissection), cette question de dterminer le taux dintrt revient dterminer les zros dune fonction f connue, cest--dire les x tels que f(x) = 0.

04/10/07 Dans cette mthode, nous dbutons avec une premire valeur x 0 et nous construisons rcursivement une suite: x 1, x 2, , x s, . Si tout va bien cette suite convergera vers un zro de f.

04/10/07 Gomtriquement la suite est obtenue de la faon suivante:

04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est la suivante. Pour s = 0, 1, 2, , nous avons

04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3 - 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la mthode nous permet de converger vers cette valeur.

04/10/07 Exemple 1: Dterminons un zro de la fonction f(x) = x 3 - 8. Nous connaissons dj la rponse. Ce sera 2. Tentons de voir si la mthode nous permet de converger vers cette valeur. La drive de f(x) est

04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive est la suivante

04/10/07 Exemple 1: (suite) Dans cet exemple, la rgle rcursive est la suivante Nous pouvons simplifier ceci et nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) Si nous dbutons avec la valeur x 0 = 3, nous obtenons

04/10/07 Exemple 1: (suite) sxsxs 03 12.296296296 22.036587402 32.000653358 42.000000213 52.000000000

04/10/07 Remarque 1: La mthode de Newton-Raphson ne fonctionne pas toujours. Par exemple, considrons la fonction f(x) = x 3 - 5x. La rgle rcursive est

04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x 0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de suite

04/10/07 Remarque 1: (suite) Si nous commenons avec la valeur x 0 = 1, nous obtenons x 1 = -1, x 2 = 1, x 3 = -1, et ainsi de suite Cette suite ne converge pas!

04/10/07 Remarque 1: (suite) Graphiquement nous obtenons

04/10/07 Exemple 2: Nous allons maintenant illustrer la mthode de Newton-Raphson pour rsoudre lexemple 4 du 5 e cours, cest--dire le premier exemple utilis pour illustrer la mthode de bissection.

04/10/07 Exemple 2: (suite) Dterminons le taux dintrt dun prt dont le flux financier est reprsent par le diagramme dentres et sorties suivant:

04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est

04/10/07 Exemple 2: (suite) Lquation de valeur avec comme date de comparaison t = 9 est Donc nous cherchons dterminer un zro de la fonction

04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de Newton- Raphson est

04/10/07 Exemple 2: (suite) La rgle rcursive de la mthode de Newton- Raphson est Si comme point de dpart pour la mthode, nous prenions x 0 = 6%, alors nous obtenons par la mthode

04/10/07 Exemple 2 (suite): sxsxs 06% 15.232920189% 25.205343113% 35.205308625% 45.205308647% 55.205308669% 65.205308587%

04/10/07 Considrons maintenant la question de dterminer le taux dintrt dune transaction alors que nous connaissons la valeur actuelle dune annuit simple constante de fin de priode, le nombre de paiements et le montant des paiements de cette annuit.

04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i.

04/10/07 Nous voulons rsoudre lquation alors que nous connaissons L, R et n. Nous voulons dterminer i. Ceci est quivalent rsoudre lquation:

04/10/07 Nous cherchons dterminer un zro de la fonction

04/10/07 La rgle rcursive de la mthode de Newton-Raphson est alors

04/10/07 Pour complter la mthode de Newton- Raphson, il nous faut une valeur initiale i 0 prs de la valeur recherche i. Une bonne approximation est obtenue en considrant comme valeur initiale

04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer le taux nominal dintrt i (4) de ce prt.

04/10/07 Exemple 3: Dans un prt de 225 000$, lemprunteur sengage verser 7500$ tous les trimestres pendant 10 ans. Dterminer le taux nominal dintrt i (4) de ce prt. Nous avons ainsi que L = 225 000, R = 7500, n = 10 x 4 = 40 et notons par i, le taux dintrt par trimestre.

04/10/07 Exemple 3: (suite) La valeur initiale que nous pouvons utiliser pour la mthode de Newton-Raphson est alors

04/10/07 Exemple 3: (suite) La rgle rcursive pour la mthode de Newton- Raphson est alors

04/10/07 Exemple 3: (suite) En utilisant cette rgle et cette valeur initiale, nous pouvons approximer le taux dintrt par trimestre et en multipliant par 4 ces taux obtenir une approximation du taux nominal recherch. Nous avons prsent ces valeurs dans le tableau suivant.

04/10/07 Exemple 3: (suite) s xsxs 4x s (Taux nominal) 01.6260163%6.5040652% 11.481978318%5.927913272% 21.484619406%5.9338477624% 31.484620352%5.93681408% 41.484620497%5.938481988% 51.484620377%5.938481508% 61.484620430%5.93848172% 71.484620287%5.938481148%

04/10/07 Nous allons maintenant justifier notre choix de valeur initiale i 0. Nous allons ainsi faire deux hypothses simplificatrices pour obtenir cette premire approximation.

04/10/07 Premire hypothse: Nous pouvons remplacer les n paiements de R dollars par un seul paiement de nR dollars. Idalement pour obtenir une situation quivalente celle des n paiements, nous ferions ce paiement lchance moyenne. Faute de connatre le taux dintrt i, nous allons utiliser lchance moyenne approche.

04/10/07 Deuxime hypothse: Nous allons supposer que lintrt est simple plutt que compos.

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: Lchance moyenne approche est car

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous pouvons considrer notre transaction comme une entre au montant de L dollars au temps t = 0 et une sortie de nR dollars au temps t = (n + 1)/2.

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous notons par j: lapproximation lors que nous considrons le flux prcdent et que nous supposons que lintrt est simple. Nous obtenons alors lquation:

04/10/07 Justification heuristique de lapproximation: (suite) Nous obtenons ainsi facilement que Ceci est notre choix de i 0

04/10/07 Justification de lapproximation: Il est aussi possible dobtenir une justification plus mathmatique, justification qui fait appel la srie binomiale. Ceci est prsent dans le recueil de notes de cours.

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