Download - 04 test ipotesi

Stefano Salvadori, IFC-CNR

Test di ipotesi Statistica inferenziale

Esempio:

Si è interessati all’età media di una certa popolazione, nello specifico si vuol rispondere alla domanda: L’età media della popolazione è 30 anni?

Evidenza campionaria

10n

27x

Cosa si sa (o si assume che sia)

5.4;~ NX



Formulazione ipotesi

00 : H Ipotesi NULLA

01 : H Ipotesi ALTERNATIVA



Calcolo p-value

pveraHevidenzaP )|( 0

Se p è “piccola” allora si rifiuta l’ipotesi nulla e si dice che il test è

STATISTICAMENTE SIGNIFICATIVO



Livello di significatività di un test

Valore di probabilità sotto il quale si rifiuta l’ipotesi nulla (di solito è fissato a 0.05) Si indica con

05.0p

05.0p

Si rifiuta l’ipotesi nulla

Non si rifiuta l’ipotesi nulla

ad un livello di significatività 05.0



Come calcolare il p-value

Statistica Test =

Statistica di interesse – Valore ipotizzato

Errore Standard Statistica di interesse

Distribuzione di probabilità della Statistica Test

+




nella distribuzione di probabilità della statistica test vengono individuate due regioni: la regione di rifiuto e la regione di non rifiuto

0HSpecificata (e quindi ) e fissato il livello di significatività 1H




Il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto

p

Il valore della statistica test cade nella regione di non rifiuto

p



Esempio:

10n

27x

5.4;~ NX

30:0 H

30:1 H

1;0~0 Nn

X

Fissiamo il livello di significatività 05.0

Test Z su singolo campione



30:0 H

30:1 H 1;0~0 N

n

X

05.0



30:0 H

30:1 H 1;0~0 N

n

X

05.0

11.2105.4

30270

n

X


05.0p Il test è statisticamente significativo

Si rifiuta 0H Ovvero si rifiuta l’ipotesi che la popolazione

abbia età media 30 anni



Esempio:

10n

27x

?

30:0 H

30:1 H

910 ~ tt

ns

Xn


Test t su singolo campione 1.4s



30:0 H

30:1 H1

0 ~

nt

ns

X 05.0

31.2101.4

30270

ns

X




abbia età media 30 anni

Per un t9 la regione di non rifiuto è compresa tra i valori -2.26 e 2.26



Esempio:

Si è interessati all’età media di una certa popolazione, nello specifico si vuol rispondere alla domanda: L’età media della popolazione è minore di 30 anni?


10n

27x

? 1.4s



Esempio:

10n

27x

?

30:0 H

30:1 H

910 ~ tt

ns

Xn


1.4s

In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va da al percentile

Test t su singolo campione (a una coda)



30:0 H

30:1 H1

0 ~

nt

ns

X 05.0

31.2101.4

30270

ns

X




abbia età maggiore o uguale di 30 anni

Per un t9 la regione di rifiuto rappresentata dai valori inferiori a -1.83



Esempio:

Si è interessati all’età media di una certa popolazione, nello specifico si vuol rispondere alla domanda: L’età media della popolazione è maggiore di 30 anni?


10n

27x

? 1.4s



Esempio:

10n

27x

?

30:0 H

30:1 H

910 ~ tt

ns

Xn


Test t su singolo campione (a due code) 1.4s

In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va dal percentile a 1



30:0 H

30:1 H1

0 ~

nt

ns

X 05.0

31.2101.4

30270

ns

X


05.0p Il test non è statisticamente significativo

Non si rifiuta 0H Ovvero non si rifiuta l’ipotesi che la popolazione

abbia età minore o uguale di 30 anni

Per un t9 la regione di rifiuto rappresentata dai valori maggiori di 1.83



Esempio:

In un campione di 16 fumatori è stato rilevato un valore medio dell’indice di danno polmonare pari a 17.5

In un campione di 9 non fumatori è stato rilevato un valore medio dell’indice di danno polmonare pari a 12.4

Domanda:

Il fumo influisce sul danno polmonare?

ovvero

Le medie delle due popolazioni da cui i campioni sono stati estratti sono significativamente diverse?



Se

• I due campioni sono indipendenti • Le due popolazioni sono normali • C’è omoscedasticità

2

21

2

02121

21~

11

nn

p

t

nns

xx

Test t per due campioni indipendenti



Esempio: 161 n

5.171 x


5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

2

21

2

21

21~

11

nn

p

t

nns

xx

210 : H

211 : H

0: 210 H

0: 210 H



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

0: 210 H

0: 211 H

05.0

2.21

2916

8.4195.4116

2

11 22

21

2

22

2

112

nn

snsnsp



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

65.2

9

1

16

12.21

4.125.17

11

21

2

21

nns

xx

p

0: 210 H

0: 211 H

05.0




Si rifiuta 0H Ovvero si rifiuta l’ipotesi che le medie delle due

popolazioni siano tra loro uguali



Esempio:



Domanda:

Il fumo incrementa il danno polmonare?

ovvero

La media della popolazione dei fumatori è maggiore della media della popolazione dei non fumatori?



Se


2

21

2

02121

21~

11

nn

p

t

nns

xx

Test t per due campioni indipendenti (test a due code)



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

210 : H

211 : H

0: 210 H

0: 210 H

Fissiamo il livello di significatività 05.0In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va dal percentile a 1



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

65.2

9

1

16

12.21

4.125.17

11

21

2

21

nns

xx

p

0: 210 H

0: 211 H

05.0

Per un t23 la regione di rifiuto è rappresentata dai valori maggiori di 1.71



Si rifiuta 0H

Ovvero si rifiuta l’ipotesi che la media della popolazione dei fumatori sia minore o uguale della media della popolazione dei non fumatori



Esempio:



Domanda:

Il fumo è protettivo per il danno polmonare?

ovvero

La media della popolazione dei fumatori è minore della media della popolazione dei non fumatori?



Se


2

21

2

02121

21~

11

nn

p

t

nns

xx

Test t per due campioni indipendenti (test a due code)



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

210 : H

211 : H

0: 210 H

0: 210 H

Fissiamo il livello di significatività 05.0In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va da al percentile



Esempio: 161 n

5.171 x

5.41 s

92 n

4.122 x

8.42 s

65.2

9

1

16

12.21

4.125.17

11

21

2

21

nns

xx

p

0: 210 H

0: 211 H

05.0

Per un t23 la regione di rifiuto è rappresentata dai valori minori di -1.71



Non si rifiuta 0H

Ovvero non si rifiuta l’ipotesi che la media della popolazione dei fumatori sia maggiore o uguale della media della popolazione dei non fumatori



Esempio:

Per un campione di 9 individui sono riportati i pesi prima e dopo una dieta sperimentale

Domanda:

La dieta ha avuto effetto?

Prima Dopo

117.3 83.3

111.4 85.9

98.6 75.8

104.3 82.9

105.4 82.3

100.4 77.7

81.7 62.7

89.5 69.0

78.2 63.9



Esempio:


Dal confronto delle evidenze rilevate su due campioni indipendenti, all’analisi della differenza tra coppie di osservazioni

Prima Dopo

117.3 83.3

111.4 85.9

98.6 75.8

104.3 82.9

105.4 82.3

100.4 77.7

81.7 62.7

89.5 69.0

78.2 63.9

Test per dati APPAIATI



i=1, …, n id i-esima differenza per l’i-esima coppia di osservazioni

d differenza media campionaria

0d differenza media ipotizzata nella popolazione

n

ss d

d deviazione standard delle differenze campionarie

n numero di differenze



Se le n differenze campionarie rappresentano un campione estratto da una popolazione normale di differenze

1~0

n

d

dt

s

d

Test t per dati appaiati (test a due code)



Esempio: Prima Dopo di di2

117.3 83.3 34.0 1156

111.4 85.9 25.5 650.25

98.6 75.8 22.8 519.84

104.3 82.9 21.4 457.96

105.4 82.3 23.1 533.61

100.4 77.7 22.7 515.29

81.7 62.7 19.0 361

89.5 69.0 20.5 420.25

78.2 63.9 14.3 204.49

9n

6.229

3.203

9

3.1434

n

dd

i

3.28

72

3.20369.48189

11

2222

2

nn

ddn

n

dds

iii

d




117.3 83.3 34.0 1156

111.4 85.9 25.5 650.25

98.6 75.8 22.8 519.84

104.3 82.9 21.4 457.96

105.4 82.3 23.1 533.61

100.4 77.7 22.7 515.29

81.7 62.7 19.0 361

89.5 69.0 20.5 420.25

78.2 63.9 14.3 204.49

0:0 dH

0:1 dH 1~0

n

d

dt

s

d





117.3 83.3 34.0 1156

111.4 85.9 25.5 650.25

98.6 75.8 22.8 519.84

104.3 82.9 21.4 457.96

105.4 82.3 23.1 533.61

100.4 77.7 22.7 515.29

81.7 62.7 19.0 361

89.5 69.0 20.5 420.25

78.2 63.9 14.3 204.49

0:0 dH

0:1 dH

74.1293.28

6.220

d

d

s

d

05.06.22d

3.282 ds




Si rifiuta 0H Ovvero si rifiuta l’ipotesi che la media delle differenze

sia zero ovvero che la dieta non abbia effetto



Esempio:


Domanda:

La dieta ha avuto effetto nella riduzione del peso?

Prima Dopo

117.3 83.3

111.4 85.9

98.6 75.8

104.3 82.9

105.4 82.3

100.4 77.7

81.7 62.7

89.5 69.0

78.2 63.9




1~0

n

d

dt

s

d

Test t per dati appaiati (test a una coda)



Esempio:

9n

6.229

3.203

9

)3.14(34

n

dd

i

3.28

72

3.20369.48189

11

2222

2

nn

ddn

n

dds

iii

d

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49



Esempio:

0:0 dH

0:1 dH 1~0

n

d

dt

s

d

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49

Fissiamo il livello di significatività 05.0In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va da al percentile



Esempio:

0:0 dH

0:1 dH

74.1293.28

6.220

d

d

s

d

05.06.22d

3.282 ds

Per un t8 la regione di rifiuto è rappresentata dai valori minori di -1.86



Si rifiuta 0H

Ovvero si rifiuta l’ipotesi che la media delle differenze sia maggiore o uguale a zero ovvero che la dieta abbia incrementato o lasciato invariato il peso

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49



Esempio:


Domanda:

La dieta ha avuto effetto nell’incremento del peso?

Prima Dopo

117.3 83.3

111.4 85.9

98.6 75.8

104.3 82.9

105.4 82.3

100.4 77.7

81.7 62.7

89.5 69.0

78.2 63.9




1~0

n

d

dt

s

d

Test t per dati appaiati (test a una coda)



Esempio:

9n

6.229

3.203

9

)3.14(34

n

dd

i

3.28

72

3.20369.48189

11

2222

2

nn

ddn

n

dds

iii

d

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49



Esempio:

0:0 dH

0:1 dH 1~0

n

d

dt

s

d

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49

Fissiamo il livello di significatività 05.0In questo caso, nella distribuzione, la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va dal percentile a 1



Esempio:

0:0 dH

0:1 dH

74.1293.28

6.220

d

d

s

d

05.06.22d

3.282 ds

Per un t8 la regione di rifiuto è rappresentata dai valori maggiori di 1.86



Non si rifiuta 0H

Ovvero non si rifiuta l’ipotesi che la media delle differenze sia minore o uguale a zero ovvero che la dieta abbia ridotto o lasciato invariato il peso

Prima Dopo di di2

117.3 83.3 -34.0 1156

111.4 85.9 -25.5 650.25

98.6 75.8 -22.8 519.84

104.3 82.9 -21.4 457.96

105.4 82.3 -23.1 533.61

100.4 77.7 -22.7 515.29

81.7 62.7 -19.0 361

89.5 69.0 -20.5 420.25

78.2 63.9 -14.3 204.49



Esempio:

In un ospedale, per 90 giorni, è stato rilevato il numero di ricoveri di pronto soccorso. È plausibile pensare che i ricoveri di pronto soccorso seguano una distribuzione di Poisson con λ=3?

Numero

ricoveri

Giorni con

numero di

ricoveri

0 5

1 14

2 15

3 23

4 16

5 9

6 3

7 3

8 1

9 1

10 0

Totale 90


Definizioni

Bontà di adattamento: confronto tra una distribuzione campionaria e una distribuzione teorica che si assume possa descrivere la popolazione dalla quale proviene il campione

Frequenze attese: numero di unità del campione che ci aspetteremmo di osservare per i diversi valori (modalità) della variabile di interesse se una qualche ipotesi nulla sulla variabile di interesse fosse vera

Statistica inferenziale

Frequenze osservate: numero di unità del campione che assume i diversi valori (modalità) della variabile di interesse



i=1, …, k iO Frequenza osservata per il “gruppo” i-esimo

i=1, …, k iE Frequenza attesa per il “gruppo” i-esimo

2

1

2

~ rk

k

i i

ii

E

EO

Test chi-quadrato per la bontà di adattamento

r Numero di vincoli imposti per il confronto tra le frequenze



i

ii

E

EO2

Numero

ricoveri

Giorni con

numero di

ricoveri

Frequenze

relative

attese

Frequenze

attese

0 5 0.050 4.48 0.060

1 14 0.149 13.44 0.023

2 15 0.224 20.16 1.322

3 23 0.224 20.16 0.399

4 16 0.168 15.12 0.051

5 9 0.101 9.07 0.001

6 3 0.050 4.54 0.521

7 3 0.022 1.94 0.573

8 1 0.008 0.73

9 1 2 0.003 0.24 1.05 0.872

10 0 0.001 0.07

Totale 90 90.0 3.822



Esempio:

:0H

:1H

La distribuzione teorica è quella ipotizzata

La distribuzione teorica non è quella ipotizzata


2

8

1

2

~

k

i i

ii

E

EO



0 5 10 15 20 25

0.0

00

.02

0.0

40

.06

0.0

80

.10

Chi-Squared Distribution: df = 8

2

De

nsity


Nella distribuzione la regione di rifiuto è quella individuata dall’intervallo che va dal percentile a

2

rk1

Il percentile che separa le due regioni è detto anche valore critico

1




Il valore della statistica test cade nella regione di rifiuto ovvero il valore della statistica test è maggiore o uguale del valore critico

p

Il valore della statistica test cade nella regione di non rifiuto ovvero il valore della statistica test è minore del valore critico

p



Esempio:

05.0

Per un il valore critico è 15.507

Il valore della statistica test è minore del valore critico


Non si rifiuta 0H Ovvero non si rifiuta l’ipotesi che la distribuzione

teorica sia quella ipotizzata (Poisson con λ=3)

:0H

:1H

La distribuzione teorica è quella ipotizzata

La distribuzione teorica non è quella ipotizzata

Numero

ricoveri

Giorni con

numero di

ricoveri

Frequenze

relative

attese

Frequenze

attese

0 5 0.050 4.48 0.060

1 14 0.149 13.44 0.023

2 15 0.224 20.16 1.322

3 23 0.224 20.16 0.399

4 16 0.168 15.12 0.051

5 9 0.101 9.07 0.001

6 3 0.050 4.54 0.521

7 3 0.022 1.94 0.573

8 1 0.008 0.73

9 1 2 0.003 0.24 1.05 0.872

10 0 0.001 0.07

Totale 90 90.0 3.822

i

ii

E

EO2

822.3

9

1

2

i i

ii

E

EO2

8



Esempio:

C’è associazione tra HIV ed HPV?

Positivo

sintomatico

Positivo

asintomaticoNegativo Totale

Positivo 23 4 10 37

Negativo 10 14 35 59

Totale 33 18 45 96

HPV

HIV

I livelli di una variabile si distribuiscono in maniera diversa nei livelli dell’altra variabile?

ovvero


Statistica inferenziale

Livelli del criterio di classificazione A

1 2 3 … c Totale 1 n11 n12 n13 … n1c n1.

2 n21 n22 n23 … n2c n2.

. . . . … . .

. . . . … . .

. . . . … . . r nr1 nr2 nr3 … nrc nr.

Totale n.1 n.2 n.3 … n.c n

Tabella di contingenza

Livelli del criterio di classificazione B

Definizioni



Se i due criteri di classificazione (variabili) sono indipendenti allora la probabilità che una delle n unità appartenga alla generica cella i,j è data da

n

n

n

n ji ..

Se i due criteri di classificazione (variabili) sono indipendenti allora la frequenza attesa nella generica cella i,j è data da

n

nnn

n

n

n

n jiji ....

Livelli del criterio di classificazione A

1 2 3 … c Totale

1 n11 n12 n13 … n1c n1.

2 n21 n22 n23 … n2c n2.

. . . . … . .

. . . . … . .

. . . . … . .r nr1 nr2 nr3 … nrc nr.

Totale n.1 n.2 n.3 … n.c n

Livelli del criterio di classificazione B



i=1, …, r j=1, …, c jiO , Frequenza osservata nella generica cella i,j

jiE ,

2

11

1 ,

2

,,

1

~

cr

c

j ji

jijir

i E

EO

Test chi-quadrato per l’indipendenza

r Numero di righe della tabella di contingenza

i=1, …, r j=1, …, c

Frequenza attesa nella generica cella i,j

c Numero di colonne della tabella di contingenza



Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 12.7 6.9 17.3 37

Negativo 20.3 11.1 27.7 59

Totale 33 18 45 96

HIV

HPV

Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 23 4 10 37


Totale 33 18 45 96

HPV

HIVFrequenze osservate

Frequenze attese



Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 12.7 6.9 17.3 37

Negativo 20.3 11.1 27.7 59

Totale 33 18 45 96

HIV

HPV

Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 23 4 10 37


Totale 33 18 45 96

HPV

HIV

Frequenze osservate Frequenze attese

Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 8.3 1.2 3.1

Negativo 5.2 0.8 2.0

Totale 20.6

HPV

ji

jiji

E

EO

,

2

,,



Esempio:

:0H

:1H

Le due variabili sono indipendenti (non c’è associazione)

Le due variabili non sono indipendenti (c’è associazione)


2

2

2

1312

3

1 ,

2

,,2

1

~

j ji

jiji

i E

EO



Esempio:

:0H

:1H

Non c’è associazione

C’è associazione

05.0

6.20

3

1 ,

2

,,2

1

j ji

jiji

i E

EO

Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 12.7 6.9 17.3 37

Negativo 20.3 11.1 27.7 59

Totale 33 18 45 96

HIV

HPV

Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 23 4 10 37


Totale 33 18 45 96

HPV

HIV


Positivo

sintomatico

Positivo


Positivo 8.3 1.2 3.1

Negativo 5.2 0.8 2.0

Totale 20.6

HPV

ji

jiji

E

EO

,

2

,,

Per un il valore critico è 5.991

Il valore della statistica test è maggiore del valore critico


Si rifiuta 0H

2

2

Ovvero si rifiuta l’ipotesi di assenza di associazione (indipendenza)



Esempio:

C’è associazione tra Facoltà e conoscenza delle malattie?


ovvero

Buona Scarsa Totale

Medicina 3 4 7

Altra 1 15 16

Totale 4 19 23

Conoscenza malattie

Facoltà




ji

jiji

E

EO

,

2

,,

Buona Scarsa Totale

Medicina 3 4 7

Altra 1 15 16

Totale 4 19 23

Conoscenza malattie

Facoltà

Buona Scarsa Totale

Medicina 1.2 5.8 7

Altra 2.8 13.2 16

Totale 4 19 23

Conoscenza malattie

Facoltà

Buona Scarsa Totale

Medicina 2.6 0.5

Altra 1.1 0.2

Totale 4.5

Conoscenza malattie

Facoltà

05.0

Valore critico = 3.841

2

1

05.0p



Esempio:

C’è associazione tra Facoltà e conoscenza delle malattie?


ovvero

Buona Scarsa Totale

Medicina 3 4 7

Altra 2 15 17

Totale 5 19 24

Conoscenza malattie

Facoltà




ji

jiji

E

EO

,

2

,, 05.0


2

1

05.0p

Buona Scarsa Totale

Medicina 3 4 7

Altra 2 15 17

Totale 5 19 24

Conoscenza malattie

Facoltà

Buona Scarsa Totale

Medicina 1.5 5.5 7

Altra 3.5 13.5 17

Totale 5 19 24

Conoscenza malattie

Facoltà

Buona Scarsa Totale

Medicina 1.6 0.4

Altra 0.7 0.2

Totale 2.9

Conoscenza malattie

Facoltà

Stefano Salvadori PhD, IFC-CNR

Caso delle frequenze attese piccole

• in tabelle di contingenza con più di 1 gdl una frequenza attesa minima di 1 è accettabile se non più del 20% delle celle hanno frequenze attese non inferiori a 5. • in tabelle di contingenza 2x2 (1 gdl) il test non dovrebbe essere usato se n<20 • in tabelle di contingenza 2x2 il test non dovrebbe essere usato se 20<n<40 e c’è almeno una frequenza attesa inferiore a 5 • se n≥40 una sola frequenza attesa con numerosità non più piccola di 1 può essere tollerata

W.G. Cochran “Some methods for strengthening the common tests”, Biometrics, 15(1959), 440-468

2

2




2

11

1 ,

2

,,

1

~5.0

cr

c

j ji

jijir

i E

EO

Correzione di Yates (per la continuità)

Possibile svantaggio: Maggiore conservatività del test e quindi minor potenza




ji

jiji

E

EO

,

2

,, 5.0

Buona Scarsa Totale

Medicina 3 4 7

Altra 1 15 16

Totale 4 19 23

Conoscenza malattie

Facoltà

Buona Scarsa Totale

Medicina 1.2 5.8 7

Altra 2.8 13.2 16

Totale 4 19 23

Conoscenza malattie

Facoltà

05.0


2

1

05.0p

Buona Scarsa Totale

Medicina 1.4 0.3

Altra 0.6 0.1

Totale 2.4

Conoscenza malattie

Facoltà



Test

Rifiuto H0

Non rifiuto H0

Realtà

H0 Vera H0 Falsa



Test

Realtà

Rifiuto H0

Non rifiuto H0

H0 Vera H0 Falsa

Errore I tipo

Probabilità di rifiutare quando è vera 0H



Test

Realtà

Rifiuto H0

Non rifiuto H0

H0 Vera H0 Falsa

Errore I tipo

Probabilità NON di rifiutare quando è falsa 0H

Errore II tipo



Test

Realtà

Rifiuto H0

Non rifiuto H0

H0 Vera H0 Falsa

Errore I tipo

1 POTENZA del test = Probabilità di rifiutare quando è falsa 0H

Errore II tipo



n

xZ

0

Poniamo: 830 871 8 50n 05.0

Media della distribuzione di Z per H0

050

8

838300

n


54.350

8

838701

n



1.96

057.0

n

xZ

0

3.54

050.0

0 1

2.57

167.0

3.54

010.0

0 1



n

xZ

0



n

xZ

0

Poniamo:


050

8

838300

n


830 851 8 50n 05.0

77.150

8

838501

n

1.96

575.0

1.77

050.0

0 1



n

xZ

0



n

xZ

0

Poniamo:


050

8

838300

n


830 851 7 50n 05.0

02.250

7

838501

n

1.96

476.0

2.02

050.0

0 1



n

xZ

0