آموخت فكرت كه آن نام بهمكانيك
نوشته كوانتوميبالنتين
5فصل
اندازه حركت وكاربردهاي آن
اميني نسيمحاجيان شيرين
راهنما استادجاللي دكتر
مي فصل اين در آنچه خوانيم :
تكانه- 1 نمايش
يك- 2 در تكانه توزيعاتم
بلوخ- 3 قضيه
پراش- 4 تئوري
پراش- 5 آزمايش
ميدان- 6 در حركتنيرو يكنواخت
pp pp )3,2,1(
AxxA )(
عملگر ازاين مولفه سه عنوان به يكه بردارهاي انتخاب با تكانهشود مي تعريف
به پيوستارند فرم به كه مقادري براي را هنجاري راست شرايطپذيريم مي زير شكل
pppp
. است بينهايت هنجار با بردار ويژه يك كه
داخلي ضرب بررسي به ومكان تكانه بردارهاي ويژه كردن پيدا برايپردازيم مي آنها
iP
(4-1)
(4-3)
هاي رابطه بردن كار به بازير:
و kp
تكانه نمايش
kxkkpxkxi
xikekckx .)(
xdkxxkkkkk 3)(
زير صورت به آن جواب كهاست
)()2)(()(*}).(exp{)()(* 33 kkkckcxdxkkikckc
كه : اين 2نتيجه3)2()( kc
در جايگذاري داريم : * با
*
xikekx .23
2
از تابع يك مكان فضاي در است xنمايش
)(xx
داريم : بهنجارش شرط از
)()()2( 233.2
33 kxdxexdxxkk xik
xdxek xik 3.23
)()2()(
اين به تكانه فضاي در نمايش ترتيب همين بهاست صورت
فوريه تبديلاست
)(k)(x
فضای در بنابراین است قطری خود فضای در عملگر هر. است قطری
صورت اين به اثرعملگرمكان است:
k
kxdxxeQk xik
)(
)()2( 233.2
3
)(kP
)()( kKkP
p
ik
iQ
xk
اين به تكانه فضاي در مكان عملگر بنابرايناست شكل
فضاي به متعلق بنابراين نابهنجارند تكانه بردارهاي ويژهنيستند مي هيلبرت فرض اما كند نمي ايجاد مشكلي موضوع اين كه اين وجود با
از بزرگي ابعاد با مكعبي ما فضاي از . Lكنيم صورت اين به استاي دوره مرزي شرايط و كنيم مي جلوگيري نرم شدن نهايت بي
. كنيم مي اعمال باشد را اي دوره صورت به در عملگرتكانه اگربخواهيمبه از مقاديرمجاز صحيحي مضرب مرزي شرايط ازاي
بود L. خواهد
2
مجاز مقدار يك فضاي kبنابراين در هر وجود kبرايدارد.
3)2(L
را ها آن زير صورت به مكعب اين بردارهاي ويژه دادن نشان باكنيم مي جدا قبل قسمت از
Lk
kkLLkk ,
xik
LeLkx .2
3
شرايط از پس كرديم بهنجار را ها بردار ويژه صورت اين بهكنند مي ارضا را هنجاري راست
مرزمطابقت بدون فضاي با بايد روش اين نتيجه حد در . شود . نمي تبديل به حد اين در رابطه كه صورتي در كند
L85 45
چون پذیری مشاهده داشتی چشم مقدار دارد اهمیت ما برای چه آنحالت روی
است
)( pf
. بنابراین است حرکت اندازه فضای در احتمال چگالیاست صورت این به اول روش نتیجه
pdppff 32)(
2p
pdppfpppf 3)(
2k
L
2)()( kpfpf
) اندازه ) فضای در احتمال ای جعبه روش دومین در( . است در گسسته مقادیر ازای به در kحرکت مجاز مقادیر
) مرزی شرایط
مجاز مقادیر برای . kمجموع برای است شبکه هر ) Lدر در بزرگدر مجاز ( kفضای حجم شود kمقادیر می متراکم
رابطه Lدر مقايسه بزرگ که :4-5با 8-5 هاي دهد می نشان
یک در تفاوت با است روش اولین پاسخ مشابه روش دومین نتیجه پسضریب
pdL
kdL
3
33
3
22
k
232)
2( kL
kL
32
L
اتم یک در تکانه توزیع
تئوری حالت ,طبق برای حرکت اندازه احتمال به توزیعاست زیر شکل
حالت ترین ویک ,ساده الکترون یک با هیدروژن اتماست پروتون
می انجام باال انرژی با الکترون از ای باریکه با هیدروژن اتم یونشگیرد
23.32
)()2( xdxep xik
0ep
که : کند می ایجاب تکانه پایستگی معادله
تکانه هستندو برخورد از قبل پروتون و الکترون تکانه واز پس هسته . نهایی است یونیزاسیون
می اتفاق سرعت به اتمی الکترون و انرژی پر الکترون برخوردمی زده پس هسته بر تاثیر بدون الکترون که بطوری افتد
بنابراین . : شود
و طول که شوند می تنظیم صورتی به آشکارسازهافرودی تکانه به نسبت یکسانی زاویه هردو و شود مساوی . بردار سه چون باشند داشته
. نیستند صفحه هم لزوما و وو صفحه و و صفحه میان زاویه شکل طبق بنابراین
است مساوي
NbaNe PPPPPP 0
ePNPNP
NN pp
aPbP0p0p
aPbP
0pbP0paP
2
21 eeetotal pppP
آید : می دست به زیر شکل به اتمی الکترون تکانه اندازه
تغییر مختلف مقادیر ازای به ثابت زاویه برای آزمایش این در . معادله در ترم اگر کند و می و بردار سه نداشت وجود
مقدار اکنون ولی گرفتند می قرار صفحه یک با درون متناسباست.
پراکندگی مقطع سطح با پراکندگی پدیده چنین رخداد احتمالالکترون ) ( –الکترون برخورد برای اتمی الکترون و فرودی
دارای اتمی الکترون اینکه احتمال در نهایت ودر است متناسب. گردد می ضرب باشد حرکت اندازه
از است عبارت رویدادی چنین برای شده مشاهده آشکارسازی آهنگ
و ها الکترون انرژی از تابعی الکترون برای پراکندگی برخورد مقطعپراکندگی بنابراین . زاویه می است اختصاص خود به ثابتی مقدار
دهد.
21
22
0 )2
sin(sin2cos2
aae pppp
aPbP0p
ep
ep
eeep
ee
ba PP
اتمی الکترون تکانه توزیع با متناسب مقداری تنها آشکارسازی آهنگرا وتجربه تئوری میان صریح مقایسه یک امکان این که دارد
. این به آزمایش این مورد در شده ارائه نکات سایر سازد می ممکناست . صورت
اینکه اولو . : شده پراکنده الکترون تفکیک امکان پس یکسانند ها الکترون تمامی
زده پس انتخاب الکترون با که است ممکن توجیه , غیراست آسان مسئله این
دوم گرفت .اینکه : نظر در صورت دو به توان می را اتم با الکترون برخورد
الکترون برخورد شامل نقش –یکی که پروتون یک بهمراه الکترونکند می بازی ناظررا
الکترون برخورد دیگری کم –و انرژی ناظربا الکترون درآن که پروتوندارد شدن زده پس به میل
2eP
ba
ba PP . نا برخوردهای عمل این با شد معین انتخاب دلیل اکنون. ) - ایم ) کرده حذف پروتون برخوردالکترون را خواسته
) جرم ) به ذره شرودینگربرای معادله مانا ساکن حالت Mپاسخکروی متقارن پتانسیل است : در زیر صورت به
(C و بهنجارش ( ضریب
رابطه مربع 5- 10برطبق با متناسب حرکت اندازه احتمال توزیع. است فوریه تبدیل
هیدروژن اتم پایه حالت انرژی از بایستی فرودی الکترون انرژیباشد ( ) نزند بیشتر لطمه احتمال مقدار به که آنجا تا اما
زیرا:
2
2
0 Mea
r
erW
2
)(
0)( a
r
cer
4220
2)1( KaCpe
6/13
422)( Kpe
خواهیم تجربه و تئوری سازگاری به یت نها دررسید.
بلوخ قضيه
تناوبي هاي سيستم براي ساكن هاي حالت بررسي به قضيه اينپردازد مي جامد حالت فيزيك در ها كريستال مانند
صورت اين به كريستال يك براي انتقال بردار: شود مي تعريف
332211 anananRn
نيز هاميلتوني خواهيم مي ماند مي ثابت انتقال اين تحت شبكهبه را يكاني عملگر همخواني اين براي كند حفظ را خود ناوردايي
: كنيم مي تعريف زير صورت
HRHURU nn )()( 1
nRU
EH
).exp()( nn RikRc
)()( nn RcRU نتيجه حقيقي kدراست.
بايد بنابراين است يكاني عملگر: باشيم داشته
1nRC
اي دوره پتانسيل با سيستمي هر براي نتايج ايناست صادق
با همچنين و يكديگر با يكاني هاي عملگر مي Hاين جابجا: داريم. پس شوند
به كند مي صدق دوم مقداري ويژه معادله در آنچه: است زير شكل
شكل به مكان فضاي در ذره يك تابع ويژه: است زير
xx
nn RxxRUx : كنيم مي تعريف
مشترك توابع به Hويژه زير شكل به و: آيند مي دست
nRU
)().exp()( xRikRx nn K است بلوخ .بردار
بسط تخت امواج سري يك صورت به را بلوخ موج تابع: دهيم مي
k
xkiekax .)()(
معادله هاي پاسخ كه كرد اثبات را مهم قضيه اين بلوخاي خاص شكل به بايد اي دوره پتانسيل يك براي شرودينگر
باشد rikkk erUr .
1.exp nRkki
شبكه دوره تخت موجبلور=
مشترك توابع ويژه در بسط جايگزيني باداريم:
k
xkiRikxki
k
Rki ekaeeeka nn .... )()(
شرط در كه دارد سازگاري صورتي در رابطه ايننمايد . صدق
بردار هايي كه اين شرط را ارضا مي كنند عبارتند mGkkاز:
وارون شبكه برداراست.
mG
يك گرفت نظر در براي توان مي كه اي شبكه ترين سادهضلع به مربعي آن ياخته كه است ساده . aشبكه شبكه است
. است ضلع به مربعي شبكه يك نيز آن وارون
nR
a
2
بازنويسي زير شكل به را بسط در جايگزين رابطهكنيم : مي
xGki
Gm
m
m
eGkax ).()()(
تكانه توابع ويژه روي بسط تخت امواج روي بسط كه آنجا ازاست . گسسته باال رابطه براي تكانه توزيع است
پراش پراكندگي تئوري
در كوانتوم كاربردهاي و پراش تئوري بررسي قسمت اين در ما هدف. است قسمت اين
دوره آرايه وسيله به پراش پراكندگي اي:
دنبال متفاوت روش دو از را مسئله اينكنيم : مي
چگالي چگونگياحتمال
احتمال توزيعتكانه
a -چگالي چگونگي احتمال
شرايط گرفتن نظر در با شرودينگر معادله حل روش اوليناست فرودي باريكه براي مرزي
xExxWxM
)()()(2
22
در تعيين هدفآشكارسازهاست. 2x
. بنابراين گردد مي آسان نور فيزيك هاي باروش تنها معادله حلرياضي هاي روش كاربرد به فيزيكي تعابير گرفتن نظر در بدون
. پردازيم مي باال در اپتيكي
معادله شرودينگر
. است ذرات فرودي باريكه تكانه
2
kp
آشكارساز تا منبع از پرتو در براي شده طي راه اختالف اگرايجاد باشد شده پراكنده فرودي موج طول از صحيحي مضرب
. كنند مي تداخلدر از توجهي قابل مقادير وجود آن نتيجه
آشكارسازهاست . na )sin(sin 12
- اي ذره موجي دوگانه خاصيت توسط آمده دست به نتيجه. شود مي تفسير
b- احتمال توريعتكانه:
باشد داشته را حركت اندازه ذره يك اينكه احتمالكند حركت راستاي در ذره كه اين با است kمعادل
kp
قضيه ياد به تكانه فضاي يك بهمراه اي دوره آرايش نوعي باافتيم مي بعدي دو حالت در بلوخ
جهات در اي دوره معادله y و xسيستم حل است. دهد مي را بلوخ موج تابع بعدي دو شرودينگرشكل
),()( ).( zqbexn
nxgqi
qn
باال معادله از خطي تركيب شرودينگر معادله كلي پاسخ اماشده توليد آن در مرزي شرايط در صدق منظور به كه است
است.براي – 1 فرودي موج با z>0تابع تخت امواج شامل
. است
xike .0zk
xykq 2 . است– با بلوخ تابع شكل به موج تابع
كريستال– 3 باالي آزاد فضاي و w=0براي استداريم :
kk M
kE
2
22
k
xkixik ekrex )()( .
(z>0) 0zk
k برابر شود پراكنده جهت در ذره يك اينكه احتمالبا است
2kr
ikxiqxgqi eeeg n 0
xgqixki neeg 0
: داريم بنابراين
nxy gkk )(
معين انرژي پايستگي شرط و مقدار توسط مولفه. گردد مي
zkxyk
k بنابراين گردند مي گسسته اي مجموعه به منحصر مقاديردهد مي رخ گسسته جهات از اي مجموعه در تنها پراكندگي
زيرا: nxy gkk
در zمولفه شبكه زيرا نيست كوانتيدگي شرايط تابع تكانه.zجهت است نبوده اي دوره
روش با مقايسه براياول:
بعد در ها اتم از اي دوره هاي مي yآرايه نظر دربنابراين گيريم
a
ngn
2
a
nkk yy
2
قرار اول روش نتيجه در اگردهيم:
na
k
2
)sin(sin 12
و بودن اي دوره وابستگي براي متعارف مثال سه گسستگي :
تناوب- 1 دوره با فضايي aتناوبa
npp
2
تناوب- 2 دوره با زماني TwnتناوبT
nEE
2
دوره- 3 با گردشي تناوبتناوب
2
n
nJJ
2
2
عكس با كوانتوم تناسب اند مشترك ها مثال تمامي در آنچهتناوب Xاست Xدوره
2
شكافي دو پراش
شكاف دو كه اي پرده از مشابه ذرات از گروهي عبوردارد.
يكنواختي فضايي توزيع باشد باز ها شكاف از يكي فقط اگر. دارد بستگي شكاف عرض به آن پهناي كه داشت خواهيم
ايجادخواهد تداخلي الگوي يك ذرات فضايي توزيع بازباشند اگردوشكاف اماكرد.
گيري اندازه قابل ها مينيمم و ماكزيمم وضعيت كهاست.
متوالي ازنقاط شده ساخته تداخلي الگوي بتوان كه كنيد فرضرسيده هاي . الكترون هاي الكترون نسبت ديد لحظه همان در را
بين الكترون يك فقط لحظه هر در كه طوري به است كم ورودي. باشد داشته وجود وآشكارساز چشمه
- الكترون كنش هم بر حسب بر توان مي را پراش طرح. كرد توصيف الكترون
داد نشان موج بسته يك با توان نمي را اينكه الكترون دليل بهتداخلي فرانژهاي پهناي از تر ظريف خيلي الكترون يك مكان
است.مي پراشيده ذرات از آماري توزيع يك فقط تداخل الگوي
باشد.را كوانتوم نظريه روي كالسيكي ازاحتماالت نقض يك موضوع اين البته
. است كرده ايجادشكاف فقط درمكان 1اگر ذره يك آشكارسازي احتمال باشد به xباز
ترتيب همين به و است شكاف صورت فقط باشد 2اگر بازدر سازي آشكار . xاحتمال شكاف دو هر اگر است صورت به
در آشكارسازي احتمال باشند . به xباز است صورت
xp1
xp2
xp12
شكاف از يا است مجبور شكاف 1 الكترون از يا كند .2عبور
: داريم احتماالت جمع قانون از بنابراين
xx pp21
xp12
وهيچ شدند گيري اندازه همگي احتمال سه حاصل اما تساويبنابراين. قانون نشد كه گيريم مي احتمال نتيجه تئوري جمع
. شود نمي رعايت كوانتومي درمكانيك
شكاف) - موج شكاف 1تابع و 2باز بسته( =
1C
به است مربوط اول شكل كرد استفاده جاي به از نبايدتغيير آزمايش آخر تا و باشد معلوم ابتدا از وضيعت كه حالتي
. است . تغيير حال در وضعيت اينجا كه حالي در نكند
xp cxp
مي نظر در را مجزا شرايط سهگيريم
شكاف) - موج شكاف 2تابع و 1بازشكاف) - بسته( = موج شكاف 1تابع و 2بازباز( =
2C
3Cمي مشاهده آزمايش در
كه : كنيم)()()( 321 CXPCXPCXP
آزمايش : و پراش پراكندگي
هاي ) شبكه معموال اي دوره ازساختارهاي پراش پراكندگيذرات براي كريستالي( از است بسياري شده مشاهده
گوناگون ذرات براي پراش پراكندگي گوناگون كشف ذرات براي پراش پراكندگي كشف
اشعه هاي اشعه فوتون هاي xx 1912 1912M.von laueM.von laueفوتون
ها ها الكترون 192192C.Davisson and C.Davisson and 77 الكترونL.H.GermerL.H.Germer
هيدروژن هاي هيدروژن اتم هاي 19301930 اتمO .SernO .Sern
هيدروژن هاي هيدروژن مولكول هاي 19301930O.SernO.Sern مولكول
ها ها نوترون D.P.Mitchell and D.P.Mitchell and 19361936نوترون
P.N.PowersP.N.Powers
از تجربي صورت به شد مرتبط ذره يك به موثر موج به 25-5طولبا دست آيد است pمي مرتبط ذره
دوبروي فرمول وسيله است به پالنك ثابت p كه
h
به را جهاني ثابت گيري اندازه راه يك پراش آزمايشات بنابراينآورد مي وجود
زير رابطه با فوتونها براي شود را مي مشخص
تابش فركانس سطح ,پرتو دو بين انتقال يك طول در . است انرژي
h12 EEh
كميت مستقيم گيري اندازه با پارامتر گيري اندازه ممكن هرچند هامي ,است مستقيم غير گيري اندازه يك تركيب از تر صحيح مقادير اما
. آيد دست به تواند
h
و نسبت اختالف كه است شده داده نشان جا اين ازكسري واحد است ازمقدار مرتبه .از
hhn
h
hn
810
است سازگار هيدروژن مولكولهاي و هليم اتم براي كه نتايج زيرانيست . ساده ذرات مخصوص پراش پديده
( سرعت با درمقايسه كند مي حركت سرعت با جرم به ذره يك ) دهد مي نشان است كوچك پراش نور آزمايش يك در موج طول
. است
iMiV
iii VM
h
طول اين با باشد انتشار حال در فضا در حقيقي فيزيكي موج يك اگركه داريم با انتظار كه ذره چند از تركيب در يك موج طول چندين
موجها ) ( طول همه و است پراش , ارتباط الگوي در. . افتد نمي اتفاق اين اما شوند مي ii ظاهر
i VM
h
)(
iiVM
h يك در كل حركت اندازه با مرتبط موج طول يك فقطشده مشاهده مركب .است سيستم
كوانتيزه تكانه انتقال است قرار پراش پراكندگي درباشد.
. نتايج بنابراين است وابسته شبكه دوره به كوانتوم سايزبراي شده . مشاهده است پذيرش قابل ذرات از اي مجموعه
كالسيكي پراكندگي ,مثال يك كه است توري وسيله به نور پراشاست ماده از اي پديده . دوره اين وسيله ,وارون به ماده پراش
است شده داده نشان ديراك اثر با كه است .نور
ميدان ايستاده تخت موج يك وسيله به خنثي سديم هاي اتمالكتريكي . قطبش خاطر به ها اتم است شده منحرف ليزر . مربع با كنش برهم انرژي دارند كنش برهم ميدان با شان
. رو اين از است متناسب الكتريكي وجود تناوبميدان فضاييمربع )كه دارد شود( شدت مي ليزر موج طول نصف .دامنه
پيشرفت و رشد حال در رشته يك اتمي سنج تداخل اكنون همهاست. الكترون تداخل اتمي معادل كه آزمايشاتي اخيرا است
. است گرفته انجام
در فرودي عبوري Aباريكه باريكه پراشيده ACبه باريكه ABو . شود مي تقسيم
پذير امكان كريستالي تك سنج تداخل با نوترونها تداخل آزمايشاتحدود. در سيليكان كريستال زيرازيك شكل با كريستال اين است
10. است شده مترساخته سانتي
و در آشكارساز دو با باريكه دو هاي دامنه تداخل. شود مي مشاهده
1D2D
عبوري هاي بخش درمجموع هاي CDدامنه بخش اضافه به است BDپراشيده
رئوس از يك هر در عبور و بازتاب ضرائب كه كنيم مي و AفرضBوC و D . هستند يكسان
بحث مورد متمايز انتشار راستاي دو فقطاست.
دهد مي شرح را كلي پراش قله زيريك شكل
مي مشخص خطي واحد عملگرهاي با وانتشار تحولشود.
اين به ورودي و خروجي موج هاي دامنه بين ارتباطاست : شكل
2
1
2
1
a
aU
a
a
us
rtU عبور ضرائب uو tعناصر
عناصر ضرائب sو rو بازتابند
هاي درايه بين رابطه واحد Uچند دليل به كه دارد وجود. است آن بودن
122 rt 1
22 us
1 rstu مطلق قدر داراي بايد واحد ماتريس باشد. 1 دترمينان
داريم : رابطه 1از UU
**
**1
ur
st
ts
ru
rstu
: به رسيم مي آخر دورابطه tuاز
rs
ازنامساوي استفاده بامثلثي:
1 rstu
ABiAB re در Bفراواني
ACiAC te در cفراواني
ها دامنه مجموع آيد مي پيش آشكارساز سوي به كه اي دامنهمسيرهاي از
است و
1ABDD
1ACDD
)()(1
ACDABDCDACBDAB iiA
iiiiAD tuerseruretersere
آيد مي پيش سوي به كه اي دامنه ترتيب همين به
)()(2
ACDABDCDACBDAB iiA
iiiAD eetrssretetsere
قبلي روابط بنابرداريم:
1 rstu
كه است سازگار نامساوي با صورتي در موضوع فاز rs-و tuاينباشند داشته يكساني مختلط
tu
rs و حقيقيمنفي
BDABABD
CDACACD
روبه روابط از آن در كهكرديم استفاده رو
مسيردارد دو با مرتبط فازهاي روي نابرابر اثر يك كه اختاللي هر . بود خواهد موثر آشكارسازها به رسيده هاي باريكه شدت روي
است منفي فاز جمله ,چون دو بين تداخل اثر كه فهميم مي.36-5در برعكس و است ويرانگر
گرانشي : كوانتومي تداخل
مي چرخانده فرودي پرتو با موازي افقي محور حول سنج تداخلمسيرهاي در گرانشي درپتانسيل تفاوت باعث و BDو ACشود
. شود مي ايجاد تداخل الگوي در فاز تغيير رو اين از و شود مي
و جنبشي انرژي مجموع بودن ثابت از مسير دو بين فاز تغيير. شود مي محاسبه گرانشي پتانسيل انرژي
EMgzM
k
2
22
داده نشان فرمول با و كند مي تغيير راه طول در فاز . شود مي
kds
ME
gzMMEk
2
2 2
كوچك كل انرژي با مقايسه در پتانسيل انرژي كه آنجا از: كه داريم است
تغييرات كه است مسير دو بين فاز اختالفبه است zمربوط
kdsACDABD
zds
: كرديم استفاده زير رابطه از تساوي دومين در
ME2
2
تصوير فقط بسته مسير يك حول انتگرال اكنون . است مسير با شده محصور مساحت از عمودي
2
sin
2
sin 22 gAM
ME
gAMACDABD
نيرو يكنواخت ميدان در حركت
آن بررسي باشد ناوردا فضا تبديل تحت فيزيكي سيستم اگريك. است حركت اندازه فضاي از آسانتر تكانه فضاي در
بعد : مثال يك در را آزاد ذره حركت
جزئي ديفرانسيلي معادله يك حل نيازمند مسئله اين مكان فضاي در. است دوم مرتبه
معادله بعدي يك شرح بردارحالت حركت اندازه 5-5درفضاي است.
),()0( 2/1 tkk
t
tkitk
M
k
),(
),(2
22
: شرودينگر معادله
)0,(),( 22
ketk Mkit
صورت اين به آن جواب
است:
dkoketx Mkitikx ),()2(),( )2/(2/1 2
. رود مي مكان فضاي به فوريه تبديل يك وبا
2مثال :
2
44/12 )2()0,( a
x
eax
رو روبه صورت به آن فوريه تبديل كه است:
22412
)2()0,( kaea
k
از حالت تابع زماني وابستگي به *وآيد مي دست
*
dkkM
tiaikx
atx
224
1
3
2
2exp)
2(),(
2
2
421
241
212,
x
eMa
tiatx
نما در متغير تغيير داريم: با
222
21
Ma
tia
همگن نيروي ميدان در ذره يك بررسي به اكنونپردازيم مي
خواهد ثابت نيرو بر عمود راستاي در حركت اندازه هاي مولفهمسئله. بنابراين و داريم را نيرو راستاي در كردن حركت فقط بود
است بعدي يك طوراساسي .بهاست : رو روبه صورت به - =Wپتانسيل
Fx
EEE EFxM
PH
2
2
هاميلتوني اما است ناوردا تبديل تحت نيرو چه اگرنيست ناوردا
axx
ناوردا تبديل دو مجموع تحت شرودينگر معادلهaxxاست: FaEE
انرژي تابع ويژه يك كردن حساب به فقطداريم نياز kE
k
kiFk
M
k
2
22
در صورتي در است اول درجه ديفرانسيلي ي معادله يك ايندرجه ي معادله يك كه مكان آيد 2نمايش مي دست به
MFk
F
EkiAk
6exp
23 است زير صورت به آن حل
dkkMF
kF
ExixE
3
2
6exp
فوريه تبديل يك با وداريم:
چون است حقيقي xE kk
داده شرح زير رابطه با متفاوت هاي انرژي براي تابع ويژه بنابراينشود : مي axx EFaE
براي بررسي به است كافي ترتيب E=0بدين بپردازيم
xE
بررسي درحد را آن مجانبي رفتار توان مي اماكرد.
يك و Ariy functionتابع . است ندارد اي ساده حل x0
x
23
241
0
2
3
2exp x
MFxx
x
]}4
2
3
2cos{[2)( 2
32
1
24
1
0
xMF
xx
x
: از تشكر با
دكتر آقاي جنابگرامي جاللي دوستان و