Zufallsexperimente – Grundbegriffe · 2015. 9. 8. · Gesetz der großen Zahlen Wird z.B. eine...

Q3 Mathematik LK Martin-Niemöller-Schule Stefan Krissel

Zufallsexperimente – Grundbegriffe 1

Zufallsexperimente – Grundbegriffe

Zufallsexperiment/Zufallsversuch

Ein Zufallsexperiment (aka Zufallsversuch) ist ein Experiment, dessen Ausgang mit zur Verfügung stehenden Mitteln nicht vorhergesagt werden kann. Beispiele:

Das Werfen einer Münze, eines Würfels o.ä. Das Ziehen eines Loses, einer Nummer aus einer Urne, der Lottozahlen o.ä. Sogar ein Fußballspiel oder jedes andere Spiel, dessen Ausgang nicht vorhergesagt werden kann

Ergebnis

Ein einzelner Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt Ergebnis. Beispiele: Die 3 ist ein mögliches Ergebnis beim Würfeln. Die Niete ist ein mögliches Ergebnis beim Lose-Ziehen. „2, 4, 13, 22, 34, 41; Zusatzzahl: 15; Superzahl 4“ ist ein mögliches Ergebnis bei der Ziehung der Lottozahlen. 3:1 ist das mögliche Ergebnis eines Fußballspiels.

Ergebnismenge

Will man mehrere Ergebnisse zusammenfassen, schreibt man sie als Ergebnismenge mit geschwungenen Klammern : Alle ungeraden Zahlen beim Würfeln sind 1, 3, 5. Alle Zahlen des zweiten Drittels beim Roulette sind 13, ..., 24. Alle Ergebnisse, bei denen die Eintracht gewinnt 1:0, 2:0, …, 4:1, …, 6:3, …

Ergebnisraum

Die Gesamtmenge aller möglichen Ergebnisse ist der Ergebnisraum, bezeichnet mit Omega: Ω Beim Würfeln mit einem Standard-Würfel ist der Ergebnisraum 1, 2, 3, 4, 5, 6 Beim Werfen einer Euromünze ist der Ergebnisraum Zahl, Adler

Ereignis

Ein Ereignis E ist eine Ergebnismenge, die kein, ein, mehrere oder alle Ergebnisse eines Zufallsexperiments enthalten kann. Beispiele in Bezug auf das Drehen eines Roulette-Rades:

Es kommt eine rote Zahl Die gezogene Zahl ist kleiner als 17 Es wird eine gerade Zahl gezogen

Ereignisse mit nur einem Element (also einem einzigen Ergebnis) heißen Elementarereignisse.

Das unmögliche Ereignis E = ∅ kann nicht eintreten, da es keine Ergebnisse enthält. Das sichere Ereignis E= Ω tritt auf jeden Fall ein, weil es alle möglichen Ergebnisse enthält.

Bild: Wikipedia



Gegenereignis

Zu jedem Ereignis E gibt es ein Gegenereignis = ΩE \ E , das alle möglichen Ergebnisse enthält, die E nicht enthält. Beispiele in Bezug auf das Würfeln:

Das Gegenereignis von „Es wird eine gerade Zahl gewürfelt“ ist „Es wird eine ungerade Zahl gewürfelt“. Das Gegenereignis von „Es fällt eine 4“ ist „Es fällt keine 4“, bzw. „Es fällt eine 1, 2, 3, 5 oder 6“.

Vereinigung von Ereignissen

Man kann eine Vereinigung von Ereignissen bilden. Die Vereinigung der Ereignisse 1E und 2E wird so geschrieben:

1 2E E∪

und meint eine Menge, die alle Ergebnisse beider Ereignisse enthält.

Beispiel:

1E : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: 2, 4, 6

2E : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: 1, 2, 3

In der Vereinigung sind nun alle Ergebnisse aus 1E und 2E enthalten.

1 2E E∪ : 1, 2, 3, 4, 6

Die Vereinigung eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer der Ergebnisraum: E E∪ = Ω

Schnitt von Ereignissen

Der Schnitt von zwei Ereignissen 1E und 2E meint diejenigen Ergebnisse, die in beiden Ereignissen enthalten ist. Man

schreibt ihn so:

1 2E E∩

Beispiel:

1E : Es wird eine gerade Zahl gewürfelt: 2, 4, 6

2E : Es wird eine Zahl kleiner als vier gewürfelt: 1, 2, 3

1 2E E∩ : 2

Der Schnitt eines Ereignisses mit seinem Gegenereignis ist immer das unmögliche Ereignis (leere Menge):

E E∩ = ∅ Wichtig: Die Zeichen + und – kann man bei Mengen nicht verwenden!!!



Regeln von de Morgan

Wenn 1E und 2E Ereignisse eines Zufallsexperiments sind, dann gelten die folgenden Gleichungen:

1 2 1 2

1 2 1 2

E E E E

E E E E

∪ = ∩

∩ = ∪

Mengenbilder

Zur Veranschaulichung von Ereignissen, Gegenereignissen usw. kann man Mengenbilder benutzen.

Beispiel:

Das folgende Mengenbild bezieht sich auf das Zufallsexperiment „Würfeln eines Standard-Würfels“. Dabei gilt:

1E ist das Ereignis, dass eine Zahl kleiner als vier gewürfelt wird: 1, 2, 3

2E ist das Ereignis, dass eine ungerade Zahl gewürfelt wird: 1, 3, 5

Mit dem Mengenbild kann man nun recht einfach den Schnitt und die Vereinigung, sowie die jeweiligen Gegenereignisse herausfinden:

Hier noch einmal alle hier beteiligten Ereignisse und deren Verbindungen als Ergebnismengen:

1E : 1, 2, 3 2E : 1, 3, 5

1E : 4, 5, 6 2E : 2, 4, 6

1 2E E∪ : 1, 2, 3, 5 1 2E E∩ : 1, 3

1 2 1 2E E E E∪ = ∩ : 4, 6 1 2 1 2E E E E∩ = ∪ : 2, 4, 5, 6

1111 3333 5555 4444 2222

6666

1E1 2E E∩ 2E



Aufgaben

Hinweis

Es hat sich folgende Sprechweise eingebürgert: Wann immer in der Stochastik ein Gefäß benutzt wird, in dem sich irgendwelche Kugeln o.ä. befinden, spricht man von einer Urne. Man könnte natürlich auch Eimer, Schüsseln, Töpfe, Bierseidel oder Kokosnussschalen benutzen.

1. In einer Urne liegen 50 Kugeln, die ein kreativer Mensch von 1–50 durchnummeriert hat. Willi Winzig zieht eine Kugel. Stelle die folgenden Ereignisse, bzw. deren Verbindungen als Ergebnismengen dar. Benutze bei den Schnitten und Vereinigungen zur Unterstützung ein Mengenbild.

a. 1E : Die gezogene Nummer ist durch 9 teilbar.

b. 2E : Die gezogene Nummer ist durch 12 teilbar.

c. 3E : Die gezogene Nummer ist durch 23 teilbar.

d. 1 2E E∪

e. 2 3E E∪

f. 1 2E E∩

g. 2 3E E∩

2. Es wird gewürfelt! Bestimme jeweils die Gegenereignisse. a. 1E : Die Augenzahl ist mindestens 3.

b. 2E : Die Augenzahl ist ungerade.

c. 3E : Die Augenzahl ist 5 oder 6.

d. 4E : Die Augenzahl höchstens 4.

3. Nun geht es um Skat-Karten (7, 8, 9, 10, Bube, Dame, König, As; jeweils mit Kreuz, Pik, Herz und Karo).

1E ist das Ereignis, dass Kreuz gezogen wird.

2E ist das Ereignis, dass ein König gezogen wird.

Stelle folgende Ereignis-Verknüpfungen in der Mengen-Schrreibweise dar und beschreibe sie: a. 1 2E E∪

b. 1 2E E∩

c. 1 2E E∪

d. 1 2E E∩

4. Nun wird es allgemeiner: Stelle die graue Fläche schriftlich als Verknüpfung (Vereinigung und Schnitt, sowie Kombinationen davon) der Ereignis-se 1E und 2E dar.

Diese Aufgaben wurden größtenteils aus dem Mathematik-Buch 13.1 übernommen, und zwar S. 12–13, Ü. 4, 6, 8, 9


1

Häufigkeiten und Wahrscheinlichkeiten Bevor wir viele lustige Wahrscheinlichkeiten ausrechnen, müssen wir uns zunächst einmal damit befassen, was eine Wahrscheinlichkeit überhaupt ist. Dazu blicken wir zunächst auf …

Absolute und relative Häufigkeiten

siehe Buch, S. 16–19

Beispiel

Angenommen, man wirft eine Euro-Münze 80mal. Dabei kommt 41mal die Zahl. Dann ist k=41 die absolute Häufigkeit des Ergebnisses „Zahl“ und k 41

n 800,5125= = die relative Häufigkeit des Ergebnisses „Zahl“.

Definitionen

Bei einem Zufallsexperiment mit n Versuchen, bei dem k-mal ein bestimmtes Ereignis eintritt, definiert man also…

=n

a (E) k als die absolute Häufigkeit des Ereignisses

=n

kh (E)

n als die relative Häufigkeit des Ereignisses

Gesetz der großen Zahlen

Wird z.B. eine Münze sehr oft geworfen, kann man davon ausgehen, dass in etwa bei der Hälfte aller Würfe „Zahl“ das Ergebnis ist. Man sagt dann, dass sich die relative Häufigkeit bei 0,5 stabilisiert.

Aufgaben

1. Erläutere schlüssig die einzelnen Ziffern des Satzes I.1 auf Seite 19 mit eigenen Worten. 2. Übungen:

Seiten 17–19 Zu erledigen bis Hinweise

10 Siehe Beispiel auf S. 16–17

12 Kein Hinweis. Das läuft auch so.

15 Bei den Beweisen darf man ganz formal nur die Definitionen und den Satz I.1 von Seite 19 benutzen! 16


2

Wahrscheinlichkeiten

Bitte auch den Text und die Definition auf Seite 20 lesen!

Wahrscheinlichkeit – eine Arbeitsdefinition

Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist der zu erwartende Stabilisierungswert für die relative Häufigkeit des Ereignisses, wenn die Anzahl der Versuchsdurchführungen n gegen Unendlich läuft. Merke: Jede Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses beträgt aufgrund der obigen Definition mindestens 0 (dann ist das Ereignis unmöglich) und höchstens 1 (dann ist das Ereignis sicher).

Laplace-Wahrscheinlichkeiten

Bitte Texte auf Seite 22 und 23 lesen! Bei einem Laplace-Experiment sind alle Ergebnisse/Elementarereignisse gleich wahrscheinlich.

Beispiele

Einmaliges Werfen eines Würfels Ziehen einer Zahl beim Roulette

Für die Wahrscheinlichkeit eines beliebigen Ereignisses E bei einem Laplace-Experiment gilt:

EAnzahl der in E enthaltenen ErgebnisseP(E)

Anzahl der im Ergebnisraum enthaltenen Ergebnisse= =

Ω

Aufgaben

Seiten 24–26 Zu erledigen bis Hinweise

19 Bei d ist wirklich „mit Sicherheit“ gemeint.

21 Bezug zur Studienfahrt! Tripel = Dreiergrüppchen

22 Tipp: Erst zeichnen!

24 Keiner.

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Bedingte Wahrscheinlichkeiten 1

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Buch S. 67–104

Grundlagen

Hier geht es darum, dass innerhalb eines mehrstufigen Zufallsexperiments die Resultate einer Stufe Einfluss auf die Wahrscheinlichkeiten in der zweiten Stufe haben kann Nehmen wir an, wir haben eine Urne mit acht Kugeln, 5 roten und 3 blauen, und ziehen zweimal ohne Zurücklegen. Dann ergibt sich der folgende Baum:

Es ist offensichtlich, dass die Wahrscheinlichkeit, im zweiten Wurf eine rote Kugel zu ziehen, davon abhängt, was im ersten Zug gezogen wurde. Das Resultat des ersten Zugs bedingt also die Chancen im zweiten Zug.

Schreibwesen/Beispiele

Man schreibt: blau

5P (rot)

7=

für die Wahrscheinlichkeit, dass rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst blau kam.

Und rot

4P (rot)

7=

für die Wahrscheinlichkeit, dass im zweiten Wurf rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst auch rot kam.

Start

rot

blau

rot

blau

rot

blau

5

8

3

8

2

7

5

7

3

7

4

7



Die Wahrscheinlichkeiten von eben kann man unmittelbar aus dem Baum ablesen. Wenn es jedoch zu umständlich ist, einen Baum zu zeichnen, kann man folgende Rechenregel anwenden:

B

P(A B)P (A)

P(B)

∩=

woraus man durch einfache Gleichungsumformung den Produktsatz/Multiplikationssatz gewinnen kann:

BP (A) P(B) P(A B)⋅ = ∩

Selbstverständlich gilt: P(B)>0.

In unserem Beispiel würde dann z.B. gelten: blau

3 5

58 7P (rot)

3 7

8

⋅

= =

Stochastische Unabhängigkeit

Buch, S. 68–70 Eine stochastische Arbeit ist es, Ereignisse darauf zu überprüfen, ob sie überhaupt abhängig sind. Ist dies nicht der Fall, sind sie unabhängig und es gilt:

Definition Zwei Ereignisse A und B heißten stochastisch unabhängig voneinander, wenn Folgendes gilt:

BP (A) P(A)= und

AP (B) P(B)=

Praktischerweise gelten bei stochastisch unabhängigen Ereignissen die folgenden vereinfachten Rechenregeln

Multiplikationssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!)

P(A B) P(A) P(B)∩ = ⋅

Additionssatz für stochastisch unabhängige Ereignisse (und nur für diese!)

P(A B) P(A) P(B) P(A B) P(A) P(B) P(A) P(B)∪ = + − ∩ = + − ⋅

Es geht weiter mit der totalen Wahrscheinlichkeit

(W’keit, dass im zweiten Wurf rot kommt, unter der Bedingung, dass zuerst blau kam)



Die totale Wahrscheinlichkeit

Wenn man z.B. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt, egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar):

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

B BP(A) P(B) P (A) P(B) P (A)= ⋅ + ⋅

Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind.

Die Formel von Bayes

Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes:

A A

B

A A

P(A) P (B) P(A) P (B)P (A)

P(B) P(A) P (B) P(A) P (B)

⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅

Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze.

Aufgaben

Seite, Übung Zu erledigen bis Seite, Übung Zu erledigen bis

Einf

ache

Bed

.

S. 72 Ü. 8

Tota

le W

.

S. 88 Ü. 1

S. 72 Ü. 9 S. 93 Ü. 5

S. 72 Ü. 10 S. 93 Ü. 6

Abhä

ngig

keit

S. 78 Ü. 2 S. 94 Ü. 13

S. 83 Ü. 18

Baye

s

S. 96 Ü. 1

S. 85 Ü. 23 S. 98 Ü. 2

S. 87 Ü. 26 S. 101 Ü. 7

S. 87 Ü. 28 S. 102 Ü. 9



Die totale Wahrscheinlichkeit

Wenn man z.B. wissen möchte, wie groß insgesamt die Wahrscheinlichkeit dafür ist, das irgendein Ereignis eintritt, egal, unter welcher Bedingung, muss man folgenden Satz anwenden (man mache ihn sich am Baum klar):

Der Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit

B BP(A) P(B) P (A) P(B) P (A)= ⋅ + ⋅

Voraussetzung ist, dass alle vorkommenden Wahrscheinlichkeiten ungleich Null sind.

Die Formel von Bayes

Wenn man alle bisherigen Definitionen und Sätze zusammenführt, ergibt sich die Formel von Bayes:

A A

B

A A

P(A) P (B) P(A) P (B)P (A)

P(B) P(A) P (B) P(A) P (B)

⋅ ⋅= =

⋅ + ⋅

Aufgabe: Beweise die Formel von Bayes mithilfe der vorigen Definitionen und Sätze.

Aufgaben


Einf

ache

Bed

.

S. 72 Ü. 8

Tota

le W

.

S. 88 Ü. 1

S. 72 Ü. 9 S. 93 Ü. 5

S. 72 Ü. 10 S. 93 Ü. 6 Ab

häng

igke

it

S. 78 Ü. 2 S. 94 Ü. 13

S. 83 Ü. 18

Baye

s

S. 96 Ü. 1

S. 85 Ü. 23 S. 98 Ü. 2

S. 87 Ü. 26 S. 101 Ü. 7

S. 87 Ü. 28 S. 102 Ü. 9


Zufallsgrößen 1

Zufallsgrößen Buch S. 106 bis 135

Grundbegriffe

Begriffe und Definitionen Passende Beispiele

Eine Zufallsgröße oder Zufallsvariable ist eine eindeu-tige Zuordnung (Funktion) X : Ω → ℝ , die jedem Ergebnis eines Zufallsversuchs eine reelle Zahl zuordnet.

Beim Würfeln wird jeder Augenzahl eine bestimmte Ge-winnsumme zugeordnet, z.B.:

→ −6 3 €, → −5 3 €, →4 0 €,

→3 1,50 €, →2 1,50 €, →1 1,50€,

iX x=

ist ein Ereignis, das alle Ergebnisse enthält, bei dem X den Wert ix annimmt.

X 1,50= €

wären alle Ergebnisse, bei denen der Spieler 1,50 Euro gewinnt.

Möchte man die Wahrscheinlichkeitsverteilung der Zufallsgröße X herausfinden, so muss man jedem mögli-chen Wert ix , den X ja annehmen kann, eine Wahr-

scheinlichkeit iP(X x )= zuordnen.

Beim unserem Würfel-Beispiel sähe die Wahrscheinlich-keitsverteilung so aus:

2 1P(X 3 Euro)

6 3

1P(X 0 Euro)

6

3 1P(X 1,50 Euro)

6 2

= − = =

= =

= = =

Der Erwartungswert

Wenn man ein Spiel spielt, interessiert den Spieler natürlich, welchen Gewinn/Verlust er zu erwarten hat, wenn er das Spiel recht lange spielt. Diesen Erwartungswert kürzt man E(X) oder dem griechischen Buchstaben µ (Mü) ab.

Nehmen wir an, es gäbe m verschiedene Ergebnisse, die die Zufallsgröße annehmen kann, dann ist der Erwartungs-wert:

1 1 2 2 3 3 m 1 m 1 m m

m

i ii 1

E(X) x P(X x ) x P(X x ) x P(X x ) ... x P(X x ) x P(X x )

x P(X x )

− −

=

µ = = ⋅ = + ⋅ = + ⋅ = + + ⋅ = + ⋅ =

= ⋅ =∑

Beispiel In dem Beispiel aus der obigen Tabelle wäre der Erwartungswert

1 1 1E(X) ( 3) 0 1,5 1 0 0,75 0,25

3 6 2µ = = − ⋅ + ⋅ + ⋅ = − + + = −

Der Spieler hat also langfristig mit einem Verlust von 25 Cent pro Spiel zu rechnen.


Zufallsgrößen 2

Varianz und Standardabweichung

Man möchte beim Spielen natürlich nicht nur wissen, wie groß der Erwartungswert ist, sondern auch, wie weit die tatsächlich zu erwartenden Gewinne/Verluste von diesem abweichen. Bei einem Spiel mit dem Erwartungswert Null kann es ja der Fall sein, dass man einmal einen Euro gewinnt und ein andermal einen Euro verliert, es kann aber auch sein, dass man einmal eine Million Euro gewinnt und ein andermal den gleichen Betrag verliert. Deshalb gibt es Maßzah-len, die Aufschluss darüber geben sollen, wie weit die tatsächlichen Ergebnisse etwa um den Erwartungswert streuen. Dabei muss man wissen, dass es sich hierbei nicht um Zahlen handelt, aus denen man präzise Rückschlüsse über tat-sächliche Ergebnisse ziehen kann, sondern dass auch sie nur eine Orientierung bieten.

Definition/Berechnung der Varianz

Man muss wissen, dass die Berechnungsgrundlage für die Varianz zwar nicht willkürlich ist, aber doch ein ganzes Stück auf Erfahrung und praktischen Erfordernissen beruht. Sie kann nicht aus irgendetwas hergeleitet werden, sie wird defi-niert als:

2 2 21 1 2 2 n n

n2

i ii 1

V(X) (x ) P(X x ) (x ) P(X x ) ... (x ) P(X x )

(x ) P(X x )=

= − µ ⋅ = + − µ ⋅ = + + − µ ⋅ =

= − µ ⋅ =∑

Definition/Berechnung der Standardabweichung

Die Standardabweichung wird definiert als die Quadratwurzel aus der Varianz:

(X) V(X)σ =

Die Standardabweichung ist so etwas wie der Erwartungswert der Abweichung vom Erwartungswert, tatsächliche Ergebnisse werden also im Mittel um die Standardabweichung vom Erwartungswert abweichen.

Wenn ihr irgendwann einmal Psychologie studiert, werdet ihr diese beiden Größen zu schätzen wissen.

Die Ungleichung von Tschebyschew

siehe Buch, Seite 125ff Mithilfe der Ungleichung von Tschebyschew kann man abschätzen, wie wahrscheinlich eine bestimmte Abweichung vom Erwartungswert ist.

22

2P(|X | c)

c c

σ σ − µ ≥ ≤ =

Es geht hier um die Wahrscheinlichkeit, dass die Zufallsgröße X einen Wert annimmt, der mindestens um c von dem Erwartungswert µ abweicht.

Äquivalent dazu ist die Ungleichung

22

2P(|X | c) 1 1

c c

σ σ − µ < ≥ − = −


Zufallsgrößen 3

Kombinationen von Zufallsgrößen

siehe Buch, S. 129ff Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten.

Unabhängige Zufallsgrößen

Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.B. kann es bei X um Ergebnisse eines Wür-fels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache.

Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen 1 nx ,...,x und 1 my ,...,y , dann heißen X und Y unabhän-

gig, wenn für alle möglichen Paare i j(x ,y ) folgendes gilt:

i j i jP(X x ,Y y ) P(X x ) P(Y y )= = = = ⋅ =

Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 130.

Erwartungswert und Rechenregeln

Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden – vorausgesetzt, die Zufalls-größen X und Y sind unabhängig voneinander.

E(X Y) E(X) E(Y)+ = + E(X Y) E(X) E(Y)⋅ = ⋅

Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 133 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die Begründungen.

Aufgaben


W-V

ert. S. 108, A. 2

Varia

nz

S. 124, A. 5

S. 109, A. 5 S. 124, A. 6

Erw

artu

ngsw

ert

S. 111, A. 1

Tsch

ebys

chew

S. 127, A. 1

S. 113, A. 3 S. 127, A. 2

S. 113, A. 5 S. 127, A. 3

S. 114, A. 8 S. 128, A. 6

S. 116, A. 19

Kom

bina

tione

n

S. 130, A. 1

Spie

lstr

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S. 120, A. 1 S. 134, A. 3

S. 121, A. 3 S. 134, A. 5

Varia

nz

S. 123, A. 1 S. 134, A. 7

S. 124, A. 2 S. 135, A. 11

S. 124, A. 3 S. 135, A. 12


Zufallsgrößen 3

Kombinationen von Zufallsgrößen

siehe Buch, S. 129ff Bisher haben wir innerhalb eines Zusammenhangs nur mit einer Zufallsgröße gearbeitet. Doch man kann Zufallsgrößen auch kombinieren! Gerechnet wird dabei ähnlich wie mit Wahrscheinlichkeiten.

Unabhängige Zufallsgrößen

Hierbei geht es um Zufallsgrößen, die keinen Einfluss aufeinander haben, z.B. kann es bei X um Ergebnisse eines Wür-fels und bei Y um die eines Glücksrades gehen. Mit solchen Größen befassen wir uns in der Hauptsache.

Seien X und Y Zufallsgrößen mit den Wertemengen 1 nx ,...,x und 1 my ,...,y , dann heißen X und Y unabhän-

gig, wenn für alle möglichen Paare i j(x ,y ) folgendes gilt:

i j i jP(X x ,Y y ) P(X x ) P(Y y )= = = = ⋅ =

Hierbei wird die bekannte Pfadregel für Wahrscheinlichkeitsbäume ausgenutzt. Siehe Beispiel auf Seite 130.

Erwartungswert und Rechenregeln

Für Summen und Produkte von Zufallsgrößen lassen sich einfach Erwartungswerte bilden – vorausgesetzt, die Zufalls-größen X und Y sind unabhängig voneinander.

E(X Y) E(X) E(Y)+ = + E(X Y) E(X) E(Y)⋅ = ⋅

Die Rechenregeln zu Erwartungswert und Varianz bitte ich auf S, 133 nachzulesen, man beachte unbedingt auch die Begründungen.

Aufgaben


W-V

ert. S. 108, A. 2

Varia

nz

S. 124, A. 5

S. 109, A. 5 S. 124, A. 6

Erw

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ert

S. 111, A. 1

Tsch

ebys

chew

S. 127, A. 1

S. 113, A. 3 S. 127, A. 2

S. 113, A. 5 S. 127, A. 3

S. 114, A. 8 S. 128, A. 6

S. 116, A. 19

Kom

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S. 130, A. 1

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S. 120, A. 1 S. 134, A. 3

S. 121, A. 3 S. 134, A. 5

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S. 123, A. 1 S. 134, A. 7

S. 124, A. 2 S. 135, A. 11

S. 124, A. 3 S. 135, A. 12


Binomialverteilung 1

Binomialverteilung Buch S. 138–164

Bernoulli-Ketten & Binomialverteilung – Grundlagen

Definitionen

Ein Bernoulli-Experiment ist dadurch gekennzeichnet, dass es nur zwei zu unterscheidende Ausgänge hat.

Wenn man ein solches Experiment n-mal wiederholt und dabei die Trefferwahrscheinlichkeit p immer

gleich bleibt, hat man eine Bernoulli-Kette der Länge n.

In einer Bernoulli-Kette können ja maximal n Treffer vorkommen. Wenn die Zufallsgröße X die Anzahl der

Treffer ist, wird die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X als Binomialverteilung bezeichnet.

Die Formel von Bernoulli

Für eine Bernoulli-Kette legt man zunächst fest:

n = Länge der Kette, also Anzahl der Versuche

p = Trefferwahrscheinlichkeit

k = Anzahl der Treffer

Dann kann man die Wahrscheinlichkeit für k Treffer in dieser Kette mit der Bernoulli-Formel berechnen:

k n kn

P(X k) B(n; p; k) p (1 p)k

− = = = ⋅ ⋅ −

Erwartungswert und Varianz

Aufgrund der Regelmäßigkeit der Binomialverteilung sind Erwartungswert und Varianz sehr einfach zu berechnen. Her-

leitung: Siehe S. 153.

E(X) n pµ = = ⋅ V(X) n p (1 p)= ⋅ ⋅ −

Kumulierte Binomialverteilung

Häufig interessiert es nicht so sehr, wie groß die Wahrscheinlichkeit für genau k Treffer ist, sondern wie hoch die

Wahrscheinlichkeit z.B. für höchstens k Treffer ist. Dann muss man die kumulierte Binomialverteilung benutzen:

k k

i n i

i 0 i 0

nP(X k) F(n; p; k) B(n; p; i) p (1 p)

i

−

= =

≤ = = = ⋅ ⋅ −

∑ ∑


Binomialverteilung 2

Aufgaben

Seitenbereich Aufgaben Zu erledigen bis Hinweise

138–149

Grundlagen-

aufgaben

1 Zwei Ausgänge, gleichbleibendes p!

2 „Mindestens“, „genau“ usw. sind relevante Wörter!

3 Bei c braucht man mal wieder eine Variable.

5 Otto = Sheldon.

8 Von Alfred Tetzlaff gab es früher eine Fernsehsendung.

17 Zu spät. Die NASA hat sie ins Museum gestellt.

150–153

Darstellung, Erwar-

tungswert, Varianz,

Standardabweichung

1 GeoGebra benutzen und ausdrucken gilt nicht.

2 Geht schnell.

3 Ebenso.

4 Ein Extremalproblem?

154–164

Dies und das

1 Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit einer Verspätung?

3 Gewissermaßen P(X=E(X))

5 Auf das „nicht“ achten und umformulieren!

9

17

18

20

Ein paar Bildchen aus der reichhaltigen Office-Clipart-Galerie:

Der Klugscheißerspruch zum Abschluss:

Es heißt Binomial…, nicht Binominal….


Beurteilende Statistik 1

Beurteilende Statistik Buch S. 160 bis 184

Die σσσσ–Umgebung der Erwartungswertes bei Bernoulli-Ketten

Es ist für einen Versuchsdurchführenden bisweilen interessant zu wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass sich

die Ergebnisse seines Versuches innerhalb einer bestimmten Umgebung um den Erwartungswert befinden. Auf Basis

mannigfaltiger empirischer Erfahrungen hat sich herausgestellt, dass die folgenden Werte für Bernoulli-Ketten gute

Orientierungen bieten und nahe an der Realität liegen.

Unter der (Laplace-)Bedingung, dass

n p (1 p) 3σ = ⋅ ⋅ − > erfüllt ist, gilt:

Die Werte von X (Anzahl Treffer) fallen zu etwa…

68% ins Intervall

95,5% ins Intervall

99,7% ins Intervall

[ ; ]

[ 2 ; 2 ]

[ 3 ; 3 ]

µ − σ µ + σ

µ − σ µ + σ

µ − σ µ + σ

Bitte unbedingt Beispiele auf S. 168f lesen und begreifen!

Bezeichnungen

Signifikante Abweichungen So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Doppelte der Standardabweichung (also 2σ ) vom Erwartungs-

wert abweichen.

Hochsignifikante Abweichungen So bezeichnet man Abweichungen, die um mehr als das Dreifache der Standardabweichung (also 3σ ) vom Erwar-

tungswert abweichen.

Die n

σσσσ–Umgebung der Trefferwahrscheinlichkeit

Gilt auch nur für Bernoulli-Ketten.

Genauso, wie man oben die Wahrscheinlichkeit dafür angeben konnte, dass sich die Trefferzahl in einem bestimmten

Intervall, eben einer Sigma-Umgebung um den Erwartungswert, befindet, kann man jetzt auch eine Wahrscheinlichkeit

dafür angeben, dass sich eine bestimmte relative Häufigkeit innerhalb einer bestimmten Sigma-Umgebung um die Tref-

ferwahrscheinlichkeit herum befindet.

Unter der (Laplace-)Bedingung, dass

n p (1 p) 3σ = ⋅ ⋅ − > erfüllt ist, gilt:

Die Werte von X

n (relative Trefferhäufigkeit) fallen zu etwa…

68% ins Intervall

95,5% ins Intervall

99,7% ins Intervall

[p ;p ]n n

2 2[p ;p ]

n n

3 3[p ;p ]

n n

σ σ− +

σ σ− +

σ σ− +

Man kann sich schnell davon überzeugen, dass für diese Werte einfach die Werte aus der Tabelle ganz oben durch n

geteilt wurden.


Beurteilende Statistik 2

Bernoulli-Gesetz der großen Zahlen

Je größer bei einer Stichprobe n ist, desto kleiner werden bei gleichem p die Sigma-Umgebungen,

z.B. 3 3

[p ;p ]n n

σ σ− + , in denen sich die relative Häufigkeit

X

n um die Trefferwahrscheinlichkeit p befindet. Wie

auf den Seiten 174f genauer ausgeführt, ergibt sich dadurch der Grenzwert n

XlimP p 1

n→∞

− < ε =

Diese Gleichung sagt nichts anderes, als dass die sich relative Häufigkeit bei sehr großem n der Wahrscheinlichkeit

annähert. Das Gesetz ist der Grund, dass man z.B. aussagekräftige Umfrageresultate bei größeren Stichproben erhält.

Tschebyschew’sche Ungleichung für Bernoulli-Ketten

Sie ergibt sich, indem man die gewöhnliche Tschebyschew-Gleichung durch n teilt. Es gilt entsprechend: c

nε =

2

X 1P p

n 4n

− ≥ ε ≤

ε

Konfidenzintervalle

Begriff: Von lat. confidentia = Vertrauen. Manchmal ergibt sich die verdrießliche Situation, dass man gar nicht weiß,

wie wahrscheinlich irgendetwas ist, z.B. wenn es um Einschaltquoten im Fernsehen geht. Niemand kann die tatsächli-

chen Zuschaueranteile einer Sendung messen, aber man kann auf Basis einer ausreichend großen Stichprobe Aussagen

darüber machen, wie viele Menschen eine Sendung wahrscheinlich verfolgt haben.

Man geht zusammengefasst so vor:

Zunächst wählt man eine möglichst große Stichprobe und befragt die Menschen, ob sie z.B. das Fußballspiel

am Dienstag gesehen haben. Es ergibt sich eine relative Häufigkeit X

n.

Nun weiß man, dass mit einer 99,7%-igen Wahrscheinlichkeit die ermittelte relative Häufigkeit X

n sich in einer

3

n

σ-Umgebung befinden um die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit p befinden muss. Also kann man um-

gekehrt auch sagen, dass sich die tatsächliche Trefferwahrscheinlichkeit in einer 3

n

σ-Umgebung um die rela-

tive Häufigkeit befinden muss.

Das sich ergebende Intervall um die relative Häufigkeit herum ist das Konfidenzintervall.

Aufgaben (verpflichtend)


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Zufallsexperimente – Grundbegriffe · 2015. 9. 8. · Gesetz der großen Zahlen Wird z.B. eine...

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