1 NDEKLER GR .............................................................................................................................. 3 DORUSAL PROGRAMLAMA ................................................................................ 5 1.1 DORUSAL PROGRAMLAMA MODELNN TANIMI ................................................. 5 1.1.1 Ama Fonksiyonu ........................................................................................... 5 1.1.2 Kstlayc artlar ........................................................................................... 5 1.1.3 Pozitiflik art ................................................................................................. 6 1.1.4 rnek Problem 1.1: Basit Kr Maksimizasyonu Problemi ............................ 6 1.1.5 DP Modelinin Matris Notasyonuyla fadesi ................................................... 8 1.2 DP MODELNN DAYANDII VARSAYIMLAR ......................................................... 9 1.2.1 Dorusallk ..................................................................................................... 9 1.2.2 Toplanabilirlik ................................................................................................ 9 1.2.3 Blnebilirlik .................................................................................................. 9 1.2.4 Belirlilik ........................................................................................................ 10 1.3 DP MODELLERNN KURULMASI ......................................................................... 10 1.3.1 rnek Problem 1.2: Basit Maliyet Minimizasyonu Problemi ....................... 11 1.3.2 rnek Problem 1.3: artl retim Problemi ................................................ 12 1.3.3 rnek Problem 1.4: Ara Ak Problemi..................................................... 13 1.3.4 rnek Problem 1.5: Fire Minimizasyonu Problemi ..................................... 15 1.3.5 rnek Problem 1.6: Ulatrma Problemi ..................................................... 17 1.3.6 Problemler .................................................................................................... 18 1.4 DP MODELLERNN ZM ............................................................................... 20 1.4.1 Konuyla lgili Baz Kavramlar ..................................................................... 20 1.4.1.1 Konveks Set ........................................................................................... 20 1.4.1.2 Uygun zm (U)............................................................................... 21 1.4.1.3 Temel Uygun zm (TU) ................................................................. 21 1.4.1.4 Optimal zm (O) ............................................................................ 21 1.4.1.5 Tipik Maksimizasyon Modeli ................................................................ 22 1.4.1.6 Tipik Minimizasyon Modeli .................................................................. 22 1.4.2 Grafik zm ................................................................................................ 22 1.4.2.1 Birden Fazla Optimal zm ................................................................ 28 1.4.2.2 zmn Bulunmamas Durumu .......................................................... 29 1.4.2.3 Grafik zm rnekleri ........................................................................ 30 1.4.2.4 Problemler ............................................................................................. 33 1.4.3 Cebirsel zm ............................................................................................ 34 1.4.4 Simpleks zm Yntemi .............................................................................. 36 1.4.4.1 Kanonik Form ........................................................................................ 36 1.4.4.2 Tipik Maksimizasyon Modelinde Primal Simpleks Yntem ................. 40 1.4.4.2.1 terasyonlarda Forml Kullanm ve Basitletirici Kurallar ........... 46 1.4.4.2.2 rnek Problem 1.7 .......................................................................... 48 2 1.4.4.3 Minimizasyon Trndeki Ama Fonksiyonunun Maksimizasyon Trnde fade Edilmesi ..................................................................................... 49 1.4.4.4 ki Aamal Genel Simpleks Yntem .................................................... 50 1.4.4.4.1 rnek Problem 1.8 .......................................................................... 55 1.4.4.4.2 rnek Problem 1.2nin Genel Simpleks Yntemle zm .......... 57 1.4.4.5 Simpleks zm Ynteminde Dejenerasyon ........................................ 59 1.4.4.6 Problemler. ............................................................................................ 60 1.4.5 DP Modelinde Dalite .................................................................................. 61 1.4.5.1 Dal Modelin Yorumu ........................................................................... 62 1.4.5.2 Primal-Dal likileri ............................................................................. 63 1.4.5.3 Dal Simpleks zm Yntemi ve Tipik Minimizasyon Modeli ......... 66 1.4.5.3.1 rnek Problem 1.9 .......................................................................... 67 1.4.5.4 Primal ve Dal zmler Arasndaki Simetrik liki ............................ 71 1.4.5.5 Glge Fiyatlar ........................................................................................ 73 1.4.5.6 Duyarllk Analizi .................................................................................. 75 1.4.5.6.1 Sa Taraf Deerlerindeki Deimeler ............................................ 76 1.4.5.6.2 Ama Fonksiyonu Katsaylarnn Geerlilik Sahas ....................... 78 1.4.5.7 Problemler ............................................................................................. 80 1.4.6 Dzeltilmi (revised) simpleks yntem.......................................................... 81 1.4.7 DP Modellerinin Bilgisayarda zm ....................................................... 89 ULATIRMA MODEL ............................................................................................. 90 2.1 GR .................................................................................................................... 90 2.2 GENEL ULATIRMA MODEL ............................................................................... 90 2.3 DENGELENM ULATIRMA MODEL VE KUZEYBATI KEMETODU ................. 92 2.3.1 Bo Hcre Rotalar ve Optimallik Testi........................................................ 94 2.3.2 Rota rnekleri .............................................................................................. 98 2.3.3 E Maliyetli Alternatif zmler .................................................................. 98 2.4 BALANGI DAITIMINDA YAKLAIM YNTEMLER ....................................... 100 2.4.1 Kestirme Yaklam Metodu ......................................................................... 100 2.4.2 Vogel Yaklam Metodu .............................................................................. 101 2.5 DENGELENMEM ULATIRMA MODEL ............................................................ 103 2.5.1 Kapasite Fazlal ve Suni Hedef Eklenmesi .............................................. 103 2.5.2 htiya Fazlal ve Suni Kaynak Eklenmesi .............................................. 105 2.6 ULATIRMA MODELNDE BOZULMA ................................................................. 107 2.7 PROBLEMLER ..................................................................................................... 108 KAYNAKLAR ........................................................................................................... 111 DZN ......................................................................................................................... 112 3 GR Gnmzde,kaynaklarnenverimliekildekullanlmas,ekonomilerinve iletmelerin bata gelen amacdr. Yneylem Aratrmas bilimi de esas olarak, optimal kaynakkullanmnsalamakzeregelitirilmikantitatifkararvermetekniklerinden olumaktadr.1940lsavayllarnn,kaynakkullanmndaortayakoyduubirtakm mecburiyetlerinbubilimdalnndomasndabyknemtadkabuledilir. Balangta,zellikleaskeriproblemlerelealndiinlkemizdekiilkuygulamalar daaskerialandaolmuveszkonusubilimdalHarekatAratrmasadyla anlmtr.YneylemAratrmas(YA),disiplinlerarasbirbilimdalolduuiin uygulama sahas ok genitir. Karar vermenin sz konusu olduu hemen her sahada YA tekniklerindenfaydalanlmaktadr.Bataendstriveiletmeolmakzereeitli mhendislikalanlarnda,ekonometrikalmalarda,planlamaveprogramlama almalarnda YA teknikleri nemli bir ara durumundadr.Yneylem Aratrmas modelleri, deterministik ve probabilistik modeller olmak zereikianagruptanoluur.Probabilistikmodellerde,ihtimalevebirtakmistatistiki dalmlara bal olarak cereyan eden olaylar iin eitli karar teknikleri gelitirilmitir. Deterministikmodellerdeise,tesadfebalolmayan,belirliverilerdenhareketle, belirlisonularaulalr.DeterministikmodellerMatematikProgramlamaadylada anlrvebunlariindeenyaygnolarakkullanlanDorusalProgramlamadr. Buradakiprogramlamakelimesibilgisayarprogramlamamanasndadeil,planlama, dzenleme anlamndadr. YA tekniklerinin etkinliinin artmas, byk lde, bilgisayar teknolojisindeki gelimeye paralellik gsterir. Gerek hayattaki byk hacimli problemlerin zmnde YAyntemlerininuygulanabilmesiancakbilgisayardesteiilemmkn olabilmektedir.KullanlanbirYAtekniininbaars,kurulanmodelingerekhayattakiolay neldetemsilettiinebaldr.Modelleolayarasndakimnasebetyeterikadar gl deilse elde edilecek sonularn fazla bir anlam olmayacaktr. Dier bir ifadeyle gerek hayattaki bir olaya ait modelin kurulmas, iin en zor ve en nemli yandr. YA bilimine, problem zme sanat denilmesinin sebebi de bu olsa gerektir. Kitaptaelealdmzmodeller,fakltemizinktisatveletmeblmlerinde okutulanYneylemAratrmasdersineaitkonularnbirksmnoluturmaktadr. BirinciBlmdeDorusalProgramlamamodeliilenmitir.Bublmdedorusal programlamamodellerininkurulmas,eitlizmteknikleri,daliteveduyarllk analizigibikonularincelenmivernekproblemlerlekonularaaklkgetirilmeye allmtr. kinci Blmde ise, dorusal programlamann bir uygulama sahas olduu halde, daha basit tekniklerle zlebilen Ulatrma Modeli ele alnmtr. 4 5 Birinci Blm DORUSAL PROGRAMLAMA 1.1 Dorusal Programlama Modelinin Tanm DorusalProgramlama(DP);dorusaleitlikveyaeitsizliksnrlaycartlar altnda,yinedorusalbiramafonksiyonunuoptimize(maksimizeveyaminimize) etmekolaraktanmlanabilir.GenelbirDPmodeliunsurdanolumaktadr.Bunlar, optimizeedilecekolanamafonksiyonu,kstlaycartlarvegerekhayatauygun olarak, deikenlerin pozitif deer olmas mecburiyetidir. 1.1.1 Ama Fonksiyonu BirDPmodelindeoptimizeedilecekolanbyklkamafonksiyonuolarak adlandrlr.Bufonksiyonufharfiylegsterelim.ffonksiyonununbalolduu deikenler,x1,x2,...,xnile,deiikliklereaitkatsaylardac1,c2,,...,cnsabitleriile gsterilirse ama fonksiyonu, ||.|

\|MinimizeveyaMaksimize f = c1 x1 + c2 x2 + . . . + cn xn(1.1) eklinde ifade edilebilir. DP modelinin amac fyi optimum (maksimum veya minimum) klan x1, x2,, ..., xn deerlerinin bulunmasdr. 1.1.2 Kstlayc artlar Dorusalbirfonksiyonunpozitifsonsuzdamaksimum,negatifsonsuzda minimumdeerinialdnbiliyoruz.DPmodellerindedorusalamafonksiyonunun optimizeedilmesiszkonusuolduunagrex1,x2, ..., xndeikenleriiinbaz kstlaycartlarortayakonulmadtakdirdemaksimizasyonveyaminimizasyon ileminin bir anlam kalmayacaktr. DP modelinde kstlayc artlar, a11 x1 + a12 x2 + . . . + aln xn (s, =, >) b1 a21 x1 + a22 x2 + . . . +a2n xn (s, =, >) b2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .(1.2) aml x1 + am2 x2 + . . . +amn xn (s, =, >) bm eklindekidorusaleitlikveyaeitsizliklerle(kkeit,bykeit)ifadeedilir. Burada a11, a12,, ..., amn ve b1, b2,, ..., bm sabit deerlerdir. 6 1.1.3 Pozitiflik art DP modelindeki deikenlerin gerek hayattaki karlklar hibir zaman negatif deerolmadiin,budeikenlereaitzmdeerlerininnegatifolmasnnbir anlamyoktur.OhaldebirDPmodelindesnrlaycartlaraekolarak,deikenlerin pozitif deerler alma mecburiyeti sz konusudur. Bu mecburiyet, pozitiflik art olarak bilinen, x1, x2,, ..., xn > 0(1.3) ifadesiyle belirtilir. DP modelinin unsuru ksaltlm notasyonla yle ifade edilebilir. Ama fonksiyonu, ==|.|

\|njj jx c fMinimize veyaMaksimize1

(1.4) Kstlayc artlar, =njj ijx a1 (s, =, >) bi (i=1, 2, ..., m)(1.5) Pozitiflik art, xj > 0 (j=1, 2, ..., n)(1.6) Buraya kadar anlatlanlar bir rnek problem zerinde gsterelim. 1.1.4 rnek Problem 1.1: Basit Kr Maksimizasyonu Problemi Birfirmarn1vern2adndaikifarklmamulretmektedir.retimde Makine1veMakine2adlarndaikifarklretimarackullanlmaktadr.Firmabirim retimbana,rn1iin5lira,rn2iin7lirakretmektedir.Bellibirzaman dilimiiinMakine1inalmakapasitesi60saat,Makine2nin80saattir.rn1in imalinde2saatMakine1kapasitesi,4saatMakine2kapasitesikullanlmaktadr. Benzerekilde,rn2ninimaliiinde3saatMakine1kapasitesi,2saatMakine2 kapasitesigerekmektedir.Buartlarerevesindefirmakrnmaksimumklmakiin nasl bir retim plan uygulamal, dier bir deyile rn 1 ve rn 2den ne miktarlarda retim yapmaldr.nceprobleminverilerinidahaderlitopluolarakbirtabloeklindeifade edelim. 7 Gerekli Kapasiteler (Saat) Makine Kapasiteleri (Saat) rn 1rn 2 Makine 12360 Makine 24280 Birim rn Bana Kr (Lira) 57 rn 1den retilecek olan miktar x1 ile, rn 2den retilecek olan miktar da x2 ile gsterelim. Problemin verilerine gre firmann rn 1den elde edecei kr, 5x1 rn 2den elde edecei kr, 7x2 her iki rnden elde edecei toplam kr, 5x1 + 7x2 olacaktr.Firmannamactoplamkrmmknolanenyksekdeerekarmak,yani maksimize etmektir. Bylece problemimizin ama fonksiyonu u ekilde ortaya km olmaktadr. Maksimize f = 5x1 + 7x2 Burada f toplam kr deerini gstermektedir. retimesnasnda,Makine1veMakine2ninkapasitelerifirmaiinkstlayc artlar oluturmaktadr. nce Makine 1i gz nne alalm. rn 1in retiminde,2x1 saat Makine 1 kapasitesi, rn 2nin retiminde ise, 3x1 saatMakine1kapasitesikullanlacaktr.KullanlantoplamkapasiteMakine1in kapasitesi olan 60 saati aamayacana gre bu kstlayc, 2x1 + 3x2 s 60 eitsizlii ile ifade edilebilir. Benzer ekilde Makine 2nin kapasitesi iin de, 4x1 + 2x2 s 80 eitsizlii yazlabilir. Bylece problemin kstlayclar ortaya km olmaktadr. Diertaraftanyaplacakretimmiktarlarnnnegatifdeerolmasmmkn deildir. Yani herhangi bir rn ya retilmeyecek veya retilen miktar pozitif bir deer 8 olacaktr. Bu durum problemin pozitiflik art olan, x1 > 0 x2 > 0 eitsizlikleriyle veya ksaca, x1, x2 > 0 eklindeifadeedilebilir.uhaldefirmannoptimumretimplanaadakiDP modelinin zmyle bulunabilecektir. Ama Fonksiyonu: Maks. f = 5x1 + 7x2 Kstlayc artlar:2x1 + 3x2 s 60 4x1 + 2x2 s 80 Pozitiflik art:x1, x2 > 0 DPmodellerininzmteknikleriniincelediimizdebuproblemetekrar dneceiz. 1.1.5 DP Modelinin Matris Notasyonuyla fadesi Dahance(1.1)ve(1.2)ve(1.3)ifadeleriylebelirttiimizgenelDPmodeli matrisnotasyonuiledegsterilebilir.Bylecehemmodelinifadeedilmesi kolaylamakta,hemdezmdeizlenecekalgoritmaveyntemlerinbelirtilmesine uygunpratikbiraraeldeedilmiolmaktadr.Dahancekullanlansembolleri aadaki matris ve vektrler eklinde dzenleyelim. Burada A, katsaylar matrisi, x, deikenler vektr, b, sa taraf vektr, O, nx1 boyutunda sfr vektr, c, ama katsaylar vektrdr. Yukardaki matris ve vektrler kullanlarak genel DP modeli, |.|

\|mize veyaMiniMaksimize f = cx(1.7) Ax (s, =, >) b(1.8) x > 0(1.9) olarak ifade edilebilir. | |nm n mn m mnnc c c c Obbbbxxxxa a aa a aa a aA 2 1nx121212 12 22 211 12 11

000 =(((((

=(((((

=(((((

=(((((

=9 1.2 DP Modelinin Dayand Varsaymlar Birmatematikselmodelbellivarsaymlaraltndageerlidir.Gerekhayattaki olaylarbuvarsaymlarsaladklarsrecemodeltarafndaniyibirekildetemsil edilebilir ve modelin zmyle elde edilen sonular anlaml olabilir. DP modeli de bir takm varsaymlara dayanmaktadr. Varsaymlar yle sralanabilir. 1.2.1 Dorusallk BuvarsaymagreDPmodelindeamafonksiyonuvekstlayclardorusal fonksiyonlardr.Bylece;modeldeifadeedilenkaynakkullanm,salanankrdeeri gibibyklklerindeikenlerledoruorantlolduukabuledilmektedir.Mesela rnek Problem 1.1'deki rn 1den 10 birim retildiinde elde edilen kr 50 birim iken 20birimretildiindeeldeedilenkr100birimolmaktadr.Diertaraftanayn. problemdegenern1iin10birimlikretimde20birimMakine1kapasitesi,20 birimlik retimde 40 birim Makine 1 kapasitesi gerekmektedir. Gerekhayattabirokdurumdorusallkvarsaymnsalarkenpekokdurum dabuvarsaymsalamayabilir.Meselasatnalnanbirkaynanbellimiktarlariin belli iskontolarla temin edilebilmesi buna rnek olabilir. Dorusallk varsaymnn ihlal edildiidurumlardabazkabulveyaklamlarlamodeloluturulabileceigibi, duyarllkanaliziteknikleriylededurumdeerlendirmesiyaplabilir.Amave kstlayclarntamamenstelbiryapgstermelerihalindeiseDorusalOlmayan (Nonlinear) Programlama tekniklerinden faydalanlr. 1.2.2 Toplanabilirlik Toplanabilirlikvarsaymnagre,bellifaaliyetlerigsterenx1,x2,...,xn deikenlerine bal olarak ama fonksiyonunun ald deer, bu faaliyetlerin ayr ayr vukubulmashalindeamafonksiyonununalacadeerlerintoplamnaeittir.Bu varsayma gre faaliyetlerin birbirlerini etkilemedii kabul edilmektedir. rnek Problem 1.1de sadece rn 1 retildiinde elde edilecek kar 5x1, sadece rn 2 retildiinde elde edilecek kr 7x2 birimken her iki rnden retim yapldnda eldeedilenkr5x1+7x2birimdir.Birrnnbellimiktardaretilmesideerinin fiyatn(dolaysylabirimretimbanakr)etkilememektedir.Dierbirifadeyle retim miktarlar ne olursa olsun rn 1 ve rn 2 iin, birim retim bana srasyla 5 ve 7 birimlik kr deerleri elde edilmektedir. 1.2.3 Blnebilirlik Blnebilirlik varsaym deikenlerin srekli deerler almas kabulne dayanr. Bylece,deikenlerinalabileceideerlertamsayolabileceigibikesirlisaylarda olabilir.Buvarsaymagredeikenleringsterdiifaaliyetlerinsonsuzsayda blnebileceikabuledilmektedir.Buerevede,rnekProblem1.1dekiretim miktarlartamsaydeerlerolabileceigibikesirlideerlerdeolabilir.Gerekhayatta 10 mutlakatamsayolarakifadeedilmesigerekenfaaliyetlerbulunabilir.Butr problemlerinzmndeTamsaylProgramlama(IntegerProgramming) tekniklerinden faydalanlr. 1.2.4 Belirlilik Belirlilikvarsaym,DPmodelindebulunanbtnkatsayvesataraf deerlerinin(aij,bivecj)bilinenbelirlideerlerolduukabulnedayanr.rnek Problem1.1dekimakinekapasiteleri,kapasitekullanmlar,birimrnbanakr deerlerincedenbilinenkesinvenetdeerlerolarakkabuledilmektedir.Gerek hayattaisebudeerlergenelliklekesinvebelirliolmamaktadr.Bylehallerde duyarllk analizi teknikleri ile probleme zm getirilmee allr. 1.3 DP Modellerinin Kurulmas DPmodellerininzmiineitliyntemlergelitirilmiolmasnaramen, bumodellerinformlasyonuiinkonulmubelirlikurallaryoktur.Ancakbirtakm genel yaklamlardan sz edilebilir. Bundan dolaydr ki DP modellerinin kurulmasnda, tecrbe,mevcutmodellerinincelenmesiylekazanlanformasyonveyneylem aratrmacsnnahsikabiliyetinemlibirroloynar.Yneylemaratrmas modellerinineitliproblemlereuygulanmasnn"problemzmesanat"olarak adlandrlmaskonununbuboyutunuifadeetmektedir.uhaldebirDPmodelinin kurulmas,iin ennemliyandrveneyazkki elimizdebu konudabelirlenmi kesin kurallar mevcut deildir. Gerekhayataaitbirkararproblemiformleedilirkenncelikleamacnne olduukonusuzerindedurulur.Birokolaydabirdenfazlaama szkonusuolabilir. Bu durumda ya her bir ama iin farkl bir model kurulup daha sonra zmler arasnda bir denge aranabilir ya da amalardan birisi modelin ama fonksiyonu olarak tanmlanp dierleri modele kstlayc olarak sokulabilir. DPmodellerininkurulmasndaikinciadm,formleedilenolaydakihangi faaliyetlerinmodelindeikenlerinioluturacadr.Formleedilenolaydabirtakm faaliyetlerinmodelesokulmasnnanlamszlpeinengrlebilir.Meselarnek Problem1.1'dencbirrnnretilmesiszkonusuolsaydvebununkulland makinekapasitelerirn2ninikikatolmasnakarlkrn2ileaynbirimkr deerini salad bilinseydi bu faaliyetin modele sokulmasnn bir anlam olmayacakt. Dier taraftan, bir faaliyete bal olarak ortaya kan yan faaliyetlerin de modelde ayr deikenlerlegsterilmesinegerekyoktur.nkbutrfaaliyetlerbamlolduklar faaliyete paralel olarak gerekleeceklerdir. DP modellerinin oluturulmasnda dier bir nemli husus da verilere ne ekilde yaklalacadr. Verileri ele alrken nominal deerler yerine, eitli sebepler dolaysyla icraedilebilirdeerlergznnealnmaldr.Birmakineninkatalogundakikapasite deeri,periyodikbakm,arzavb.nedenlerlegereklemeyebilir.Biriinin.gnlk almasresieitlibeeriihtiyalarnedeniylengrlensreninaltnadebilir. 11 Modeldeyeralacakdeerlerbtnbuvebenzeridurumlaryanstmaldr.Dier taraftan, verilerin eitli birimlerden elde edilmesi halinde iyi organize edilmi bir ekip almasgerekecektir.rneinbiriletmeprobleminderetim,maliyet,finansman, pazarlama birimlerinden salkl bilgi derlemek gerekebilir. AadakikesimlerdebazklasikproblemlerinzmneynelikDP modellerinin kurulmasn rneklerle ele alacaz. 1.3.1 rnek Problem 1.2: Basit Maliyet Minimizasyonu Problemi Tektipgdamaddesiretenbirimalathanededrtfarklhammadde kullanlabilmektedir.Hammaddeleresasolarakyaveproteindenolumaktadr. retilengdamaddesinin,enaz20birimprotein,5birimyaihtivaetmesi gerekmektedir. Her bir hammaddenin fiyat ile birim bana ihtiva ettii ya ve protein miktarlaraadaverilmitir.Endkmaliyetleretimyaplmasamalanmaktadr. Bu amac salamak zere hangi hammaddelerden ne miktarlarda kullanlmaldr. Birim Hammadde BulunanHammadde Fiyat (birim lira) Protein (birim)Ya (birim) Hammadde 1 Hammadde 2 Hammadde 3 Hammadde 4 12 12 40 60 2 6 12 2 24 30 40 50 rnde Bulunmas Gereken Miktar (birim) 205 Bir birim(*) rn elde etmek iin Hammadde l'den x1 birim, Hammadde 2'den x2 birim,Hammadde3'denx3birimveHammadde4'denx4birimkullanldnkabul edelim.Amacmzkullanlanhammaddeleredenecekmeblaminimizeetmek olduuna gre modelin ama fonksiyonu, Min. f = 24x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4

eklinde ifade edilebilir. Dier taraftan birim rnn en az 20 birim protein ve 5 birim ya ihtiva etmesi gerektiine gre kullanlan hammaddelerden elde edilecek protein ve yamiktarnnbudeerlerdenbykveyaeitolmasgerekecektir.Ohaldemodelin kstlayclar, 12x1 + 12x2 + 40x3 + 60x4 > 202x1 + 6x2 + 12x3 + 2x4 > 5 (*)Bundan byle "birim" szcyle, sz konusu olaydaki byklklerin birimini kast edeceiz. Mesel arlk nazara alndnda "birim", gram, kilogram, ton vb.; sre nazara alndnda durumda, dakika, saat, gn vb.; fiyat nazara alndnda, TL, bin TL, milyon TL vb. anlamndadr. Dikkat edilmesi gereken husus bir problemdeki ayn tr byklklerin ayn birimle ifade edilmesidir. 12 eklinde ifade edilebilir. Pozitiflik art olan, x1, x2, x3, x4 > 0 ifadesiyle DP modeli tamamlanm olur. 1.3.2 rnek Problem 1.3: artl retim Problemi BirretimtesisindeAveBadlarndaikirnimaledilmektedir.Belirlibir zaman diliminde retimde uyulmas gereken artlar aadaki gibidir. I.Her rnden en az 500 birim retilecektir. II.Piyasaartlarherrndenenfazla2000birimsatlabileceini gstermektedir. III.Atlyelerin tezgah kapasiteleri. sz konusu zaman diliminde en fazla 2500 birimArnretilmesineimkanvermektedir.Ayrcailemlerinzellii dolaysyla A rn, B rnnn iki katndan fazla retilemeyecektir. IV.Atlyelerdeenaz5,enfazla10iialtrlabilecektir.Biriininsz konusuzamandilimiierisindekialmasresi200saattir.Arniin gerekliiilik,birimbana0,5adam-saat,Brniin0,4adam-saat olarak belirlenmitir, V.Arnndenbirimbana3TL.Brnndenbirimbana2TLkr edilmektedir. Yukardaki artlar erevesinde kar maksimize eden DP modelini kurunuz. x1vex2srasylaAveBrnlerindenretilecekmiktarlargstermekzere ama fonksiyonu, V artndan yararlanlarak, Maks. f = 3x1 + 2x2 eklinde ifade edilebilir. Dier koullar gz nne alarak kstlayclar belirleyelim. I artndan;x1 > 500 x2 > 500 II artndan;x1 s 2000 x2 s 2000 III artndan; x1 s 2500 x1 s 2x2dzenlenirse, x1 2x2 s 0 IV artndan; sz konusu zaman dilimi iin, Asgari i gc = (5)(200) = 1000 adam-saatAzami i gc = (10)(200) = 2000 adam-saatelde edilmektedir. Bu deerler kullanlarak, 13

0,5x1 + 0,4x2 > 10000,5x1 + 0,4x2 s 2000 eitsizlikleri yazlabilir. Iartylaifadeedilenx1>500,x2 >500eitsizlikleriaynzamandapozitiflik artndaihtivaetmektedir.Budurumdaayrcax1,x2>0eklindekipozitiflikart yazlmayabilir. Modeli toparlayalm. Maks. f = 3x1 + 2x2 x1 > 500x2 > 500x1 s 2000x2 s 2000x1 s 2500x1 2x2 s 0 0,5x1 + 0,4x2 > 1000 0,5x1 + 0,4x2 s 2000 1.3.3 rnek Problem 1.4: Ara Ak Problemi Trafik aknn youn olduu iki nokta arasnda eitli gzergahlar ve kavaklar bulunmaktadr.Kavaklararasndakiyollardanbirimzamaniindegeebilecekazami arasaysbilinmektedir.Buikinoktaarasndabirimzamaniindebellibiryndeen fazla ka aracn seyredebilecei sorusuna cevap aranmaktadr. Problemeaitverilerekildezetlenmitir.1ve8numaralkavaklarbalang vebitinoktalarngstermektedir.Dierkarelerbuikinoktaarasndabulunan kavaklar, oklar, kavaklar arasndaki yollar ve trafiin ak ynn, oklar zerindeki rakamlar yolun birim zaman iindeki maksimum ara kapasitesini gstermektedir. 1 357 84 2 6 200 200 150 300 200 250 250 150 350 300 1 357 84 2 6 200 200 150 300 200 250 100 250 150 350 300 Biti Noktas Balang Noktas 14 Probleme ait DP modelini kurmadan nce deikenleri u ekilde tanmlayalm.xij : Birim zaman iinde iinci kavaktan j'inci kavaa hareket eden ara saysn gsteriyorolsun.Budurumdaproblemimiziini=1,2,...,7;j=2,3,...,8olabilecektir. xO : Birim zaman iinde 1 kavandan 8 kavana seyreden ara says. Modelimizin amac 1 noktasndan 8 noktasna seyreden ara saysn maksimize etmek olduuna gre, ama fonksiyonu, Maks. f = x0 olacaktr. imdi kstlayclar ifade etmee alalm. Kavaklar arasnda seyreden ara saylarseyredilenyolunkapasitesiniaamayacanagreueitsizliklerihemen yazabiliriz.x12s 300 x45 s 100 x13 s 200 x56 s 150 x24 s 200 x57 s 250 x26 s 250 x68 s 350 x34 s 150 x78 s 300 x35 s 200 Diertaraftan,1noktasndan2ve3numaralkavaklarabirimsreiindex0 adet ara ulaabilecektir. Bu durum, x0 = x12 + x13 x0 x12 x13 = 0eklindeifadeedilebilir.Benzerekilde,bitinoktasna6ve7numaralkavaklardan gelen ara says da gene x0 adet olacaktr. Yani, x68 + x78 = x0 x0 + x68 + x78 = 0 dr.Dierkavaklariin,kavaagelenarasaysnnkavaktanayrlanarasaysna eit olduu gz nne alnarak 2 numaral kavak iin, x12 = x24 + x26 x12 x24 x26 = 0 3 numaral kavak iin, x13 = x34 + x35 x13 x34 x35 = 0 4 numaral kavak iin, x34 + x24 = x45 x34 + x24 x45 = 0 5 numaral kavak iin, x35 + x45 = x56 + x57 x35 + x45 x56 x57 = 0 6 numaral kavak iin, x26 + x56 = x68 x26 + x56 x68 = 0 7 numaral kavak iin, x57 = x78 x57 x78 = 0 15 yazlabilir. Pozitiflik art da, x0, xij >0 )`==8 27 , 1..., , j... , i olarak ifade edilebilir. Kurduumuz modeli toparlayalm.Maks. f = x0 x12s 300x13 s 200x24 s 200x26 s 250x34 s 150x35 s 200 x45 s 100 x56s 150 x57 s 250 x68 s 350x78 s 300 x0 x12 x13 = 0 x12 x24 x26 = 0 x13 x34 x35 = 0 x34 + x24 x45 = 0 x35 + x45 x56 x57 = 0 x26 + x56 x68 = 0 x57 x78 = 0 x0 + x68 + x78 = 0 x0, xij >0 )`==8 27 , 1,..., j,... i 1.3.4 rnek Problem 1.5: Fire Minimizasyonu Problemi Standartolarakimaledilenkatbobinlerindenbelligeniliktekidahadar bobinlereldeetmekzerekesmeilemiuygulanacaktr.Kesimesnasndameydana gelecekolankaybnendkseviyedetutulmasamalanmaktadr.Standartolarak retilenbobinler120cmve180cmgeniliindedir. Eldeedilmekistenenbobinler 50 cm, 60 cm ve 80 cm geniliinde olacaktr. htiya duyulan bobin saylar srasyla 150, 200ve250adettir.Herstandartbobin,istenilenlleregrefarklekillerde kesilebilecektir.Bunlaraalternatiflerdiyelim.120ve180cmgeniliindekistandart bobinleriinmuhtemelalternatifleriveheralternatifiinmeydanagelecekkaybbir tablo olarak dzenleyelim. 16 KesilecekBobin Genilii 120 cmlik Bobin iin Alternatifler 180 cmlik Bobin in Alternatifler htiya Duyulan Bobin Says (adet) 12341234567 50 cm 60 cm 80 cm 2 0 0 1 1 0 0 2 0 0 0 1 3 0 0 2 1 0 2 0 1 1 2 0 0 3 0 0 1 1 0 0 2 150 200 250 Fire (cm)2010040302001004020 Tablodandagrlebileceigibi,120cmlikstandartbobiniin1numaral alternatife gre yaplacak kesme ileminde 2 adet 50 cmlik bobin elde edilmekte ve 20 cmlikksmfireolarakkmaktadr.Dieralternatiflerdebenzerekilde deerlendirilebilir. Deikenlerin tanm u ekilde yaplabilir. xij : iinci bobinin jinci alternatifine gre kesilen bobin says i = 1, 2 j = 1, 2, 3, 4 (i=1 durumu iin) j = 1, 2, ..., 7 (i=2 durumu iin) (Tabloya dikkat edilirse 120 cmlik bobin iin drt alternatif, 180 cmlik bobin iin yedi alternatif vardr). zk: htiya duyulandan fazla olarak kesilmek zorunda kalnan bobin says. k= 1, 2, 3 Yani, z1 : 50 cmlik bobinlerden, z2 : 60 cmlik bobinlerden, z3 : 80 cmlik bobinlerden ihtiya fazlas olarak kesilmesi zorunlu olan bobin saysn gstermektedir. Bunlar da fire olarak kabul edilmektedir. Kuracamz modelin amac, meydana gelecek fireyi minimize etmekti. O halde amafonksiyonu,heralternatiftekifirelerveihtiyafazlasolarakeldeedilen bobinlerdendolaymeydanagelenfirelertoplamnnminimizeedilmesieklinde dzenlenebilir. Yani, Min. f = 20x11 + 10x12 + 40x14 + 30x21 + 20x22 + 10x24 + 40x26 + 20x27

+ 50z1 + 60z2 + 80z3 tr.Kstlayclarise,retilenbobinlerle,zorunluolarakfazladanretilenbobinlerin farknn,ihtiyaduyulanbobinsaysnaeitlenmesiyleeldeedilecektir.Bylece kstlayc artlar, 17 2x11 + x12 + 3x21 + 2x22+ 2x23 + x24 z1 = 150 x12 + 2x13 + x22 + 2x24 + 3x25 + x26 z2 = 200 x14 + x23 + x26 + 2x27 z3 = 250 eklinde ifade edilebilir. Son olarak pozitiflik art da, xij > 0(i =1, 2; j = 1, 2, 3, 4 [i=1 iin]; j =1, 2, ..., 7 [i=2 iin]) zk > 0(k =1, 2, 3) ifadeleriyle belirtilerek model tamamlanm olur. 1.3.5 rnek Problem 1.6: Ulatrma Problemi Birfirmaretmekteolduutektipmallkenineitliyerlerindebulunan depolarndantketimmerkezlerineulatrmaktadr.Herbirdepodantketim merkezlerineyaplanbirimtamamaliyetlerifarkldr.Firma,tketimmerkezlerinin taleplerinikarlarkentamamaliyetleriniminimizeetmekistemektedir.Firmann deposuolduuvebudepolardanfarkltketimmerkezinintalebininkarland bilinmektedir. Depo kapasiteleri, talepler ve birim tamamaliyetleri aadaki tabloda zetlenmitir. TketimMerkezi Depo Birim Tama Maliyeti (TL/kg) Depo Kapasitesi (kg) ABC I II III 25 32 18 20 15 42 30 22 16 45000 55000 75000 Talep (kg)350006000080000 TablodangrlebileceigibiIdeposundanAmerkezineyaplacaktamann birim maliyeti 25 TL/kg, B merkezine yaplacak tamann birim maliyeti 20 TL/kg, C merkezine yaplacak tamann birim maliyeti 30 TL/kgdir. Ayrca I deposundan temin edilebilecekmalmiktar45000kg,Amerkezinintalebi35000kgdr.Dierdepove merkezleriindebenzerdeerlertablodagrlmektedir.rneimiziindepo kapasiteleritoplamtaleplertoplamnaeittir.Tketimmerkezlerinintaleplerini karlarkentoplamtamamaliyetiniminimizeetmekzerehangidepodanhangi merkeze datm yaplmas gerektii sorusuna cevap aranmaktadr. iincidepodanjincimerkezeyaplacakolantamamiktarnxijdeikeniile gsterelim.depo,merkezszkonusuolduunagrei=1,2,3vej=1,2,3 olacaktr. Bu durumda mesel x12 deikeni I deposundan B merkezine yaplacak tama miktarngstermektedir.Herbirdepodanherbirmerkezetamayaplabilir. Ohalde modelimizin ama fonksiyonu, 18 Min. f = 25x11 + 20x12 + 30x13 + 32x21 + 15x22 + 22x23 + 18x31 + 42x32 + 16x33

eklindeifadeedilebilir.Diertaraftantketimmerkezitaleplerininkarlanabilmesi iinherbirtketimmerkezinegnderilentoplammalmiktarnn,enazomerkezin talebine eit olmas gerekecei aktr. Bunu salamak zere, x11 + x21 + x31 > 35000 x12 + x22 + x32 > 60000 x13 + x23 + x33 > 80000 kstlayclar,birdepodansevkedilentoplammalmiktarnn,depokapasitesini aamayacan gsteren, x11 + x12 +x13 s 45000 x21 + x22 + x23 s 55000 x31 + x32 + x33 s 75000 kstlayclar yazlabilir. Son olarak pozitiflik art olan xij > 0(i, j=1, 2, 3) ifadesi de yazlarak kurulmak istenen DP modeli tamamlanm olur. Ulatrmamodellerininzmndekullanlandahabasittekniklerde gelitirilmitir. Bu tekniklerden kinci Blmde sz edeceiz. 1.3.6 Problemler I.eitligdamaddelerininihtivaettii protein, ya,karbonhidratdeerleri ve bugdamaddelerininbirimfiyatlaraadaverilmitir.Birinsanngnlkolarak almasgerekenprotein,yavekarbonhidratdeerlerininaltsnrdaayntabloda grlmektedir.Buverilererevesinde,hangigdalardankabirimtercihedilirse gnlkbeslenmemaliyetininendkseviyedeolacanbelirleyenDPmodelini kurunuz. Gda Tipi Birim Gda BulunanBirim Gdann Maliyeti YaProteinKarbonhidrat A B C D 3 5 2 4 12 4 15 7 4 5 9 7 12 9 15 13 Alnmas GerekenGnlk Deer 208050 19 II.Birhavayolufirmaskargonaklindekullanduaklardanherbirseferde eldeettiigelirienyksekseviyeyekarmakistemektedir. Uaklardaesasolarakiki blm vardr. Blmler iki tip yk iin kullanlmaktadr. A tipi yk, krlp dklebilen eyalardanolumaktave350,000TL/kgbirimfiyatylatanmaktadr.Btipiykise kabaeyadanolumaktave150,000TL/kgbirimfiyatylatanmaktadr.Her biruak iin uyulmas gereken artlar aadadr. 1.A tipi ykn konulabildii blmn kapasitesi 12 tondur. 2.B tipi ykn konulabildii blmn kapasitesi 23 tondur. 3.Dengeli bir uu iin uan A blmne konulan yk, B blmne konulan ykn te ikisinden en ok 1 ton fazla olabilir. 4.Uan toplam yk tama kapasitesi 30 tondur. Buartlarerevesinde,maksimumtamagelirinieldeetmekiin,biruan ne ekilde yklenmesi gerektiini bulan DP modelini formle ediniz. III. Bir firma, pazarlad maln satn artrmak iin farkl reklam aracndan yararlanmakistemektedir.Buaralargazete,radyovetelevizyondur.Reklam aralarnn,belligelirseviyelerindekitketicigrubunubirbirlerindenbamsz olaraketkilediikabuledilmektedir.Reklamaralarnnbirimmaliyetlerivebirim reklamfaaliyetininherbir tketici grubunda etkiledii insan says aada verilmitir. eitlisebeplerdendolay,yaplabilecekgazetereklamenfazla15birim,radyo reklamenfazla18birim,televizyonreklamdaenaz4birimolacaktr.Reklam harcamasiinayrlanbte50milyarTLdir.Buverilererevesinde,etkilenen tketici saysn maksimize eden DP modelini kurunuz. Tketici Grubu Reklam Arac Birim Reklam Arcnda Etkilenen Tketici Says (Kii) Birim Reklam Arac Maliyeti (Milyon TL) Grup 1Grup 2Grup 3 Gazete Radyo Televizyon 1500 2000 7500 1000 2200 10000 500 2200 12000 500 1000 5000 IV.Birahssermayepiyasasndaeitlialternatiflereyatrmyapmak istemektedir. Her alternatifin belli bir gelir oran, riski ve yatrm sresi vardr. Toplam riskin %3 amamas, ortalama yatrm sresinin de en fazla 4 yl olmas artlarn gz nnealarak,maksimumgelirieldeetmekzere,buahsnelindekiparayhangi alternatiflere ne oranlarda tevzi etmesi gerektiini bulan DP modelini kurunuz. Alternatiflere ait veriler aadaki tabloda yer almaktadr. 20 Yatrm Alternatifi Yllk Gelir (%) Risk (%) Yatrm Sresi (Yl) 1 2 3 4 25 30 38 45 1 2 3 4 2 3 5 6 (YolGsterme:Heralternatifeyatrlanoranlar,srasylax1,x2,x3,x4 deikenleriyle gsterip, bunlarn toplamnn 1 olmas gerektiini dnnz.) 1.4 DP Modellerinin zm DPmodellerininzmiineitliyntemlergelitirilmitir.Bunlardan anlalmasenkolayolangrafikzmtekniidir.indeyaadmzuzayn boyutluolmasndandolay,neyazkkigrafikzmteknii, deikensays aan modellerdekullanlamaz.Hattaboyutlugrafiklerinizimindekibirtakmglkler nedeniilepratikolarak,ancak,ikideikenli(dzlemsel)modellergrafikyntemle zlebilirler.Dierbirzmmetodu,fazlakullanlolmamaklabirlikte,cebirsel zmyntemidir.BugnDPmodellerininzmndekullanlanenyaygnyntem simpleks(*)zmtekniidir.Bilgisayarlariinhazrlananprogramlardaise ekseriyetle,simpleksynteminbiruzantsolandzeltilmi(revised)simpleks algoritmas takip edilmektedir. 1.4.1 Konuyla lgili Baz Kavramlar DPmodellerininzmyntemlerinegemedennce,dahasonrasklkla kullanacamz baz kavramlar zerinde ksaca duralm. 1.4.1.1 Konveks Set Sbirnoktakmesinigstermekzere,bukmeiindebulunanbtnP1,P2 noktaiftlerinibirletiren doruparalarSkmesi iinde kalyorsa,sz konusukme bir konveks settir. Bir DP modelindeki herhangi bir kstlayc artn belirdii iki yarm uzaydanherbirininkonvekssetolduuveyarmuzaylarnarakesitinindegenebir konvekssetoluturduugsterilebilir(**).BuradanbirDPmodelininuygunzm alannnbirkonvekssetolduusonucukarlabilir.ekil1.1dekonveksvekonveks olmayan setlere ait rnekler grlmektedir. (*) Simpleks kelimesi, ngilizce simplex (=basit) szcnn dilimize yerlemi ekli olarak dnlebilir. Konu ile ilgili tm yaynlarda sz konusu yntem bu isimle anlmaktadr. (**) Gottfried, s. 149. 21 Konveks Setler Konveks Olmayan Setler ekil 1.1: Konveks ve Konveks Olmayan Setler 1.4.1.2 Uygun zm (U) BirDPmodelindekstlaycartlarvepozitiflikartnsalayandeiken deerlerindenoluanseteuygunzm(U)diyeceiz.Budeerlerdaimasnrlayc artlar ve deikenlerin ifade edildii eksenler tarafndan evrelenen konveks okyzl setiniindekalacaktr.Yanibtnuygunzmlerbirkonvekssetoluturmaktadr. rnekolarakikideikenlibirDPmodelindeuygunzmlerkonveksbiralan, boyutlubirDPmodelindeisekonveksbirhacim(okyzl)oluturmaktadr.Grafik zm teknii incelerken konu daha da aklk kazanacaktr. 1.4.1.3 Temel Uygun zm (TU) Deikensaysn,kstlaycsaysm(n>m)olanbirDPmodelinn-madet deikenin deerinin sfr, m adet deikenin sfr veya pozitif olduu uygun zmlere temeluygunzm(TU)diyeceiz.Szkonusumadetdeikentemeldeiken (TD),geriyekalann-madetdeikenisetemelolmayandeiken(TOD)olarak adlandrlr. Gsterilebilir ki, bir DP modelinin uygun bir zm varsa en az bir temel uygunzmdevardr(*).Temeluygunzmler uygun zmkonvekssetininke noktalarn oluturur. 1.4.1.4 Optimal zm (O) BirDPmodelindeamafonksiyonunuoptimize(maksimizeveyaminimize) edenzmdeerlerineoptimalzm(O)adverilmektedir.Amafonksiyonunun maksimum(veyaminimum)deerisonlubirdeeriseenazbiroptimalzmn, TUlardanbirisiolduugsterilebilir(**).Amafonksiyonunundeeribirdenfazla TUdaoptimumdeerinialyorsabuTUlaramukabilgenelkenoktalarnn konvekskombinezonlardaamafonksiyonunuoptimizeeder.Grafikzmteknii incelenirken konu daha da aklk kazanacaktr. (*) Alwan, s. 338. (**) Gottfried, s. 151. P2 P1 P2 P1 P2 P1 P2 P1S S S S 22 1.4.1.5 Tipik Maksimizasyon Modeli BirDPmodelindeamafonksiyonumaksimizasyontrndevebtn kstlayclardakkeit(s)eklindeisebutrmodelleretipikmaksimizasyon modeli diyeceiz. u halde tipik maksimizasyon modeli, matris ifadesiyle, Maksimize f = cx Ax s b x > 0 eklinde yazlabilir. 1.4.1.6 Tipik Minimizasyon Modeli BirDPmodelindeamafonksiyonuminimizasyontrndevebtn kstlayclar da byk-eit (>) eklinde ise bu tr modellere tipik minimizasyon modeli diyeceiz. Tipik minimizasyon modeli, matris notasyonuyla, Minimize f = cx A x > b x >0 eklinde ifade edilebilir. 1.4.2 Grafik zm rnekProblem1.1dekikrmaksimizasyonunuamalayanDPmodelini aaya tekrar yazalm. Ama:Maks. f = 5x1 + 7x2 Kstlayclar:2x1 + 3x2 s 60(1) 4x1 + 2x2 s 80(2) Pozitiflik:x1 > 0(3) x2 > 0(4) Hatrlanacakolursa,bumodeldex1vex2deikenleri,retilecekrn1ve rn2miktarlarngsteriyordu.Modelinamacmaksimumkrverenretim deerlerinin bulunmas idi. x1vex2deikenlerinikartezyendzleminikiekseniolarakelealalm.x1 deerleriniyatayeksende,x2deerlerinidedeyeksendegsterelim.ncepozitiflik artndan dolay, x1 ve x2 deerlerinin, bu dzlemin hangi blgesinde yer alabileceine bakalm.ekil1.2dengrlebileceigibipozitiflikartn(3ve4eitsizlikleri) salayan blge kartezyen dzlemin sa st eyreidir. O halde zm deerlerimizin bu blgede yer almas gerekecektir. 23 ekil 1.2: Kartezyen Dzlemde Pozitiflik artn Salayan Blge imdikstlayclarngrafikteneekildeifadeedildiinigrelim(*).nce(1) eitsizliini ele alalm. Bu eitsizliin grafikte gsterdii yar dzlemi bulabilmek iin,2x1 + 3x2 = 60 dorusunu izmemiz gerekecektir. Dorunun eksenleri kestii iki noktay bulalm. x1 = 0,3x2 = 60x2 = 60 / 3 = 20 x2 = 0,2x1 = 60x1 = 60 / 2 = 30 (0,20)ve(30,0)noktalarekil1.2deiaretlenipbirletirilecekolursaekil 1.3eldeedilecektir.Pozitiflikartlarvebirincikstlaycnnberabercesaland (*) Hatrlatma: Bilindii gibi dzlemdeki bir eitsizlik, ayn eitsizliin eitlik olarak ifade ettii dorunun belirledii iki yar dzlemden birini gsterir. Eitsizlik, byk-eit veya kk-eit eklinde ise sz konusu doru da eitsizliin gsterdii yar dzleme dahildir. Eitsizlik, byk ya da kk eklinde ise sz konusu doru, eitsizliin gsterdii yar dzleme dahil deildir. rnek: y > x eitsizliinin gsterdii yar dzlem aadaki ekilde verilmitir. y = x dorusu yar dzlemi y y > x x O ekildeki y = x dorusu da sz konusu yar dzleme dahildir. Eitsizlik y > x eklinde olsa idi, y = x dorusu yar dzleme dahil olmayacakt. x2 4 3 O x1 Pozitiflik artn Salayan Blge 24 blge OCD taral alandr(*). Benzer ekilde (2) eitsizliini de grafikte ifade etmek iin, 4x1 + 2x2 = 80 dorusunu izmek gerekecektir. Bu dorunun x1 ve x2 eksenlerini kestii noktalar, x1=0,2x2 = 80x2 = 80 / 2 = 40 x2=0,4x1 = 80x1 = 80 / 4 = 20 olarakhesaplanabilir.(0,40)ve(20,0)noktalarekil1.3deiaretlenip birletirilecek olursa ekil 1.4 elde edilecektir. ekil 1.3: Birinci Kstlaycnn Grafie Yerletirilmesi (*) Orijine ait (0, 0) deerlerini kullanarak (1) eitsizliinin, CD dorusunun taral yann gsterdiini tahkik ediniz.. 2.2 O 2.1 O 102030 40 50x1 10 20 30 40 x2 3 4 D 2x1+3x2=60 C 1 O 25 ekil 1.4: kinci Kstlaycnn Grafie Yerletirilmesi BudurumdapozitiflikartnvekstlayclarsalayanblgeOABCkonveks alandr.DierbirifadeyleOABC,uygunzmalandr.OABCiindebulunanher noktakstlayclarvepozitiflikartnsalamaktadr.Uygunzmalanngsteren konvekssetinkenoktalarnn,temeluygunzmlerekarlkgeldiinidahance belirtmitik. u halde rnek problemimiz iin TUlar O, A, B ve C keleridir. Temel uygunzmlerdenenazbirisininoptimalzmolduunudagenedahance belirtmitik. O halde, optimal zm bulunmasnda u iki yoldan birisi kullanlabilir. 1.Yol:Uygunzmalannnherkenoktasnakarlkgelenx1vex2 deerleribulunarakamafonksiyonundayerinekonurvebulunanamafonksiyonu deerlerikarlatrlarakenbykdeerseilir.rneimiziinbudeerleryle bulunacaktr. Ke Noktasx1x2f = 5x1 + 7x2 O000 A200100 B (Optimal)1510145 C020140 2.3 O 1020 30 40 50 x1 10 20 30 40 x2 3 4 D 2x1+3x2=60 C 2 A B E 4x1+2x2=80 1 O 26 Grlyorki,amafonksiyonunumaksimizeedenkenoktasBdir(*).Bu durumdafmaks =145 olmaktadr. u haldernek problemimizdekrmaksimizeetmek iin rn 1den 15 birim, rn 2den 10 birim retilmelidir. Uygunzmalanndakikesaysnnfazlaolduudurumlardabuyolla hesaplama yorucu olabilir. Optimal keyi veren daha kestirme bir yntem ikinci yolda anlatlmtr. 2. Yol: Ama fonksiyonuna f=K gibi sabit bir deer verelim. Bylece,5x1 + 7x2 = Kolacaktr. Buradan x2 deikeni ekilirse,7x2 = 5x1 + K x2 = (-5x1 + K) / 7elde edilir. K / 7 = K1

diyelim.Bu durumda, x2 = (-5 / 7) x1 + K1 yazlabilir.GrlyorkiamafonksiyonununeimiKveK1sabitlerindenbamsz olarak daima ( -5 / 7) olmaktadr. Demekoluyorki,amafonksiyonunundeiikdeerleriiineldeedilecek dorular hep birbirine paralel kalacaktr. Deeri azaldka ama dorusu orijine doru; arttka,orijindenuzaklaacakekildekayacaktr.Ohaldekaymaesnasndaama dorusuuygunzmalannensonhangikedeterkederseokeoptimalzm kesiolacaktr.rnekproblemimiziinamafonksiyonunaeitlideerlerverilerek ekil 1.4e yerletirilirse ekil 1.5 elde edilmi olur. (*) B noktasnn koordinatlarn bulmak iin, 4x1 + 2x2 = 80 2x1 + 3x2 = 60 denklem sisteminin zlmesi gerekecektir. nk B noktas her iki dorunun ortak noktasdr, yani iki eitlii de salar. Eer izim lekli ve hassas bir ekilde yaplyorsa B noktasndan x1 ve x2 eksenlerine dik inilerek de koordinatlar bulunabilir. ki durumda da x1=15, x2= 10 olarak elde edilir. 27

ekil 1.5: Ama fonksiyonunun Grafie Yerletirilmesi ve Optimal zm Ama fonksiyonu deeri olarak nce f1 = 70 alalm. Bu durumda, 5x1+7x2=70dorusunun eksenleri kestii noktalar,x1 = 0 , 7x2 = 70 x2 = 70 / 7 = 10 x2 = 0 , 5x1 = 70 x1 = 70 / 5 = 14 olarak hesaplanabilir. izilen doru ekil 1.5de grlmektedir. (Ama dorular kesik izgilerlegsterilmitir.)f1dorusunaaitGHdoruparasuygunzmalan iindedirvebudoruparaszerindebulunanhernoktannkarlkgeldiiretim plan 70 birimlik kr salayacaktr. Ama fonksiyonun deerini bir miktar artralm. f2 = 105 olsun. Bu durumda, 5x1 + 7x2 = 105 dorusunun eksenleri kestii noktalar, x1 = 0 , 7x2 = 105 x2 =105 / 7 = 15 x2 = 0 , 5x1 = 105 x1 = 105 / 5 = 21 olarakeldeedilir.Eldeedilennoktalardangeenf2dorusudaekil1.5de f1=70 10 20304050 x1 10 20 30 40 x2 D C A B E G H f2=105 fmaks O 28 gsterilmitir.Grlyorkiamafonksiyonundeeriarttka,ilgilifdorusu,eimi deimemek kaydyla orijinden uzaklaacak ekilde kaymaktadr. Ama fonksiyonunun maksimumdeerini bulmakistediimizegre,bu doruyummknmertebe orijinden teyedorukaydrmakistememiztabiidir.Kaydrmaileminienfazla,uygunzm alannterketmenoktasnakadaryapabileceimizegre,rnekproblemimiziinbu noktaBnoktasolacaktr.yleyseoptimalzm,Bkesidir.Bkesinin koordinatlar, 4x1 +2x2 = 802x1 + 3x2 =60 sistemi zlerek elde edilebilir. Bu durumda, x1 =3 22 43 602 80 = (240 120) / 8 = 15 x2 =3 22 460 280 4 = (240 160) / 8 = 10olarak elde edilir. Ama fonksiyonunun deeri de, fmaks =5(15) + 7(10) = 145 olarakbulunur.Ohalde,145birimlikmaksimumkreldeetmekiinrn1den15, rn2den 10 birim retmek gerekmektedir. 1.4.2.1 Birden Fazla Optimal zmYukardaelealdmzrnekProblem1.1in grafikzmndeama dorusu zmalannensonBkesindeterkettiiiintekbiroptimalzmvardr.Dier taraftan, eer ama fonksiyonumuzun eimi kstlayclar gsteren dorulardan birinin eimineeitolsaydbudefazmalantekbirnoktadadeilbirdoruparas boyuncaterkedilecekti.Dolaysylabudoruparaszerindekibtnnoktalarbize optimal zm verecekti. rnek problem 1.1in ama fonksiyonunu, Maks. f = 2x1 + x2 olarakdeitirelim.Budurumdaamafonksiyonununeitlideerleriiinizilecek dorularneimiikincikstlaycygsterenEAdoruparasnneimineeit olacaktr.ekil1.6dangrlebileceigibi,amadorusuorijindenteyedoru kaydrlrken uygun zm alann en son BA doru paras boyunca terk edecektir. O halde zm alannn B ve A kelerinin her ikisi de optimal zmdr. Dier taraftan BAdoruparaszerindebulunansonsuzsaydakinoktadayineoptimalzm deerleriniverecektir.AmafonksiyonununB(15,10)veA(20,0)kelerindeki 29 deerleri;fB =2(15) + 1(10) = 40 fA=2(20) + 1( 0)= 40 olarak hesaplanarak her iki zm deerinin fmaks = 40 deerine eit olduu grlr. ekil 1.6: Birden Fazla Optimal zm 1.4.2.2 zmn Bulunmamas Durumu BirDPmodelindekstlaycartlaroekildeolabilirkiherhangibiruygun zmalanbulunmaz.Bylehallerdeprobleminzmyoktur.rnekolarak aadaki modeli ele alalm. Maksimize f = 2x1 +x2 x1 2x2 > 2 x1 x2 s 0 x1, x2 > 0 ekil1.7debuproblemeaitkstlayclarvepozitiflikartnberaberce salayanbiralannbulunmadgrlmektedir.Taralalanlardanbirisisadecebirinci kstlaycy, dieri de sadece ikinci kstlaycy salamaktadr ve bu iki alann arakesiti f1=20 1020304050 x1 10 20 30 40 x2 D C A B E f2=30 fmaks=40 O 30 mevcut deildir. Uygun zm alannn bulunmamasndan dolay, ama fonksiyonunun eitli deerlerine ait dorularn izilip kaydrlmasnn da bir anlam olmayacaktr. ekil 1.7: zmn Bulunmamas 1.4.2.3 Grafik zm rnekleri Grafikzmtekniinernekolmakzerencebirtipikminimizasyon modelini, daha sonra da rnek Problem 1.3de kurduumuz modeli ele alacaz. rnek 1: Aadaki tipik minimizasyon modelini grafik yoldan zelim. Minimize f = 2x1 + 3x2 2x1 +x2 > 6 x1 + x2 > 5 3x1 + 7x2 > 21 x1, x2 > 0 1 2 34 1 2 3 4 x2 x1-2x2=2 x1-x2=0 5 x1 -1 f1 f2 31 ekil 1.8: rnek 1in Grafik zm Buproblemiin,amafonksiyonuvekstlayclarndurumuekil1.8de grlmektedir.BuradabirincikstlaycABdoruparasnnsatarafn,ikinci kstlayc CD doru parasnn sa tarafn, nckstlayc EF doru parasnn st tarafngstermektedir(*).Bylecekstlayclarvepozitiflikartnsalayanblge x2AGHFx1yarakalandr.Bualansadecebirtaraftansnrlandrlmtr.Ama fonksiyonununf1=18deeriiinizilendoruorijinedorukaydrlrsauygunzm alannensonHnoktasndaterkettiigrlmektedir.Ohaldeoptimalzmkesi Hdr. Bu keye ait koordinatlar, x1 + x2 = 5 3x1 + 7x2 = 21 dorusal denklem sisteminin zlmesiyle, x1 = 3,5 x2 = 1,5 ve fmin = 2(3,5) + 3(1,5) = 11,5 olarak bulunur. (*) lgili dorular inceleyerek eitsizlikleri tahkik ediniz. fmin 1 2 3 4 1 2 3 4 x2 Uygun zm Alan 5 C O 5 6 6 7 8 9 10 G E H B D F A f2=15 f1=18 x1 32 Dikkat edilecek olursa, bu rnekte ama fonksiyonu maksimize edilecek olsayd sonlubirzmdeeribulunamayacakt.Uygunzmalannnbirtaraftan snrlandrlmamolmas,amadorusununsonsuzakadarkaydrlabilmesine, dolaysyla sonlu bir zm deeri elde edilememesine neden olacaktr. rnek 2: rnek Problem 1.3de formle ettiimiz DP modelini grafik yntemle zelim. Maksimize f = 3x1 + 2x2 x1 > 500(1) x2 > 500(2) x1 s 2000(3) x2 s 2000(4) x1 s 2500(5) x1 2x2 s 0(6) 0,5x1 + 0,4x2 > 1000(7) 0,5x1 + 0,4x2 s 2000(8) x1 , x2 > 0 Kstlayclarveamafonksiyonununf1=6000deeriniizerekekil1.9u eldeedelim.TmkstlayclarsalayanuygunzmalannnABCDEtaralalan olduugrlmektedir.Amadorusu,artanyndekaydrlarakuygunzmalann terkettiinoktabulunacakolursaoptimalzmkesininDolduugrlr.D noktasnn koordinatlar, x1 = 2000 x2 = 2000 olarak okunabilir. Bu durumda ama fonksiyonunun deeri, fmaks = 3(2000) + 2(2000) = 10000 olacaktr.Dikkatedilecekolursamodelinzmnde(3)numaralkstlaycayn zamanda(5)numaralkstlaycy,(1)ve(2)numaralkstlayclardaaynzamanda pozitiflikartn ihtivaetmektedir.Dolaysyla buproblem iin (5) numaral kstlayc ve x1, x2 > 0 eitsizlikleri yazlmasa da zm deimeyecektir. Diertaraftan,amafonksiyonuminimizeedilecekolsaydoptimalzm kesiA olacakt. 33 ekil 1.9: rnek 2nin Grafik zm 1.4.2.4 Problemler I. Aadaki DP modelini grafik yntemle znz. Maksimize f = 7,5x1 + 10x2 x1 + 3x2 s 12 2x1 + x2 s 8 x1 - x2 s 3 x2 s 7 x1, x2 > 0 x1 1000 x2 D 2000 2400 3000 4000 5000 10002000300040005000 C B A E fmaks 6 4 2 8 7 5 3 1 2.3.1 O f1 = 6000 O 34 II.AadakiDPmodelinigrafikyntemleznz.Birdenfazlakede optimalzmeldeedebilmekiinamafonksiyonukatsaylarnnnaslolmas gerektiini tartnz. Maksimize f = 5x1 + 2x2 x1 + x2 s 6 x1 s 5 x2 s 4 x1, x2 > 0 III. Aadaki DP modelini grafik yntemle znz. Minimize f = 40x1 + 10 x2 30x1 + 20 x2 > 1200 70x1 + 40 x2 s 5600 x2 s 45 -x1 + x2 > 10 -2x1 + x2 > 0 x1, x2 > 0 IV.III.problemdeverilen modeli,ama fonksiyonunu maksimizasyon trnde kabul ederek yeniden znz. 1.4.3 Cebirsel zm DPmodellerindedeikensaysnntenfazlaolduudurumlardagrafik zmnmmknolamayacandahancebelirtmitik.Bylehallerde kullanlabilecekyollardanbirisicebirselzmmetodudur.Esasenbuyntem, kstlayclarn genellikle eitsizlik eklinde olmasndan dolay fazla kullanl deildir. Dorusaldenklemsistemlerininbilinenzmyntemlerindenyararlanabilmekiin eitsizliklerineitlikhalinedntrlmesigerekir.Bunusalamakiineitsizliklere bo deikenler ekleme veya karma yoluna gidilir. rnek Problem 1.1i tekrar gz nne alalm. Maksimize f = 5x1 + 7x2 2x1 + 3x2 s 60 4x1 + 2x2 s 80 x1, x2 > 0 Modelimizin kstlayclar kk-eit eklindedir. Bu eitsizlikleri eitlik haline dntrmekzerex3vex4bodeikenlerini(x3,x4>0olmakzere)kstlayclarn sol tarafna ekleyelim. Bylece kstlayclar, 2x1 + 3x2 +x3 = 60 4x1 + 2x2 + x4 = 80 eklini alacaktr. x3 ve x4 deikenleri problemimiz iin, srasyla Makine 1 ve Makine 35 2ninbokapasiteleriolarakdnlebilir.Kstlayclar,denklemsays2(m=2)ve bilinmeyen says 4 (n = 4) olan bir dorusal denklem sistemine dnm oldu. Byle birsisteminsonsuzsaydazmvardr.Birdorusaldenklemsisteminintekbir zm olabilmesi iin m=n ve katsaylar matrisinin ranknn da mye eit olmas, yani sistemdekidenklemlerinlineerbamszolmasgerekir.Demekoluyorki deikenlerdenherhangiikisinisfraeitleyerekelimineetmeksuretiylegeriyekalan ikideikenveikidenklemiintekbirzmbulunabilir.Sfraeitlenecek deikenlerin seiminde, (n adet deiken m adet denklem durumunda), m! (n-m) !n! adetfarklseeneinelealnmasmmkndr.Herdurumiinsisteminzm bulunur.Bulunanzmlerarasndapozitiflikartnsalayanlarseilir.Seilen zmlerarasndanamafonksiyonunuoptimizeedendeerlerbulunarakproblemin zm tamamlanm olur. Ele aldmz rnekte n = 4 olduuna gre, sfra eitlenecek olan deikenleri, 62! (4-2) !4 !=farklekildeseebiliriz.Bualtfarklsistemeaitzmdeerleriaadakigibi olacaktr. Durumx1x2x3x4 Ama Fonksiyonunun Deeri (f) ekil 1.5teki Grafik zm Karl 1 2 3 4 5 6 (Optimal) 0 0 0 30 20 15 0 20 40 0 0 10 60 0 -60 0 20 0 80 40 0 -40 0 0 0 140 - - 100 145 O C (uygun deil) (uygun deil) A B 3ve4numaraldurumlarpozitiflikartnsalamadiinuygunolmayan zmlerdir.1,2,5,6durumlarnaaitzmlerisegrafikzmdeki(ekil1.5) konvekszmsetininkenoktalarnakarlkgelmektedir.Amafonksiyonunu maksimize eden 6 numaral durum problemin optimal zmdr ve grafik zmdeki B kesine karlk gelmektedir. Diertaraftan,optimalzmdex3vex4bodeikenlerinindeerleribu problem iin sfr olmutur. Yani Makine 1 ve Makine 2nin tm kapasiteleri retimde kullanlacaktr. Atl kapasite sz konusu deildir. 36 1.4.4 Simpleks zm Yntemi Simplekszmmetodu,cebirselzmtekniiningelitirilmieklidir. Cebirselyntemde,btnzmlerintektekortayakonulmasyorucuveskcbir almagerektirir.Simpleksyntemdeisematematikselilemlerdahaazdr.Sadece temeluygunzmlerleilgilenilir.Simpleksyntem,birbalangtemeluygun zmndenhareketleheradmdayenibirTUageerekbellisaydakiiterasyon sonunda optimal zme ular. Konunundahaiyikavranabilmesiveynteminesasnanfuzedilebilmesiiin nce, dorusal denklem sitemlerinin kanonik forma sokulmasn ele alacaz. 1.4.4.1 Kanonik Form Genelbirdorusaldenklemsisteminde,deikensaysn,denklemsaysm olmakzeren>molmashalindebusisteminsonsuzsaydazmolduunu biliyoruz.DPmodellerindedaiman>mdurumuylailgilenildiiiinbundanbylen > m kabul edeceiz. Bir dorusal denklem sisteminin her bir denkleminde,deikenlerden sadece bir tanesi+1katsaysylabulunurvebudeikendierdenklemlerdebulunmazsasz konusu sistem kanonik formdadr denilir. Eer bu deerler birinci deikenden minci deikene kadar srayla, birinci denklemden minci denkleme kadar +1 katsaysyla yer alr,dierdenklemlerdeyeralmazlarsaszkonususistemsralkanonikformdadr denilir. rnek olarak; 2x1 + x2 + 0,5x3 = 3 3x1 + 2x3 + x4 = 5 sistemi sral olmayan kanonik formdadr. nk x2 deikeni sadece birinci denklemde +1katsaysylavex4deikenidesadeceikincidenklemde+1katsaysyla bulunmaktadr.Kanonikformdakibirsisteminzmlerindenbirisipeinolarak bellidir. rneimiz iin bu zm, x1 = 0 x2 = 3 x3 = 0 x4 = 5 zmdr.Buradax2vex4temeldeikenler,x1vex3detemelolmayan deikenler olarak adlandrlr. Dier taraftan, x1 + 2x3 + x4 = 7 x2 + x3 + 2x4 = 5 sistemi ise sral kanonik formda bir sistemdir. Burada da x1 ve x2 temel deikenler, x3 vex4detemelolmayandeikenlerdir.Sisteminpeinolarakbilinenzm aadadr. x3 = 0 x1 = 7 x4 = 0 x2 = 5 Sistemdebamldenklembulunmamashalinde,birdorusaldenklem sisteminikanonikformdaifadeetmekmmkndr.Bununiinukurallardan 37 faydalanlr. Kural1:Birdorusaldenklemsistemindeki herhangi bir denklemin yerine bu denklemin k kat (k 0) konulursa elde edilen sistem ilk sisteme denktir. Kural 2: Bir dorusal denklem sistemindeki herhangi bir denkleminyerine, bu denklemilesistemdekibakabirdenkleminkkatnntoplamkonulursaeldeedilen sistem yine ilk sisteme denktir. Kurallarnuygulannarnekolarakaadakidorusaldenklemsisteminiele alp sral kanonik forma sokalm. 2x1 + 3x2 - x3 + 5x5 = 2 -2x1 + x2 - 3x3 x4 = 6 x1 + 2x2 - x4 + 4x5 = 3 Amacmz,x1deikenininsadecebirincidenklemde+1katsaysyla bulunmasn,dierdenklemlerdebulunmamasn,x2deikeninsadeceikinci denklemde+1katsaysylabulunmasnvenihayetx3deikeninsadecenc denklemde+1katsaysylabulunmasn,dierlerindebulunmamasn(yanisfr katsaysylabulunmasn)teminetmektir.lemleridaharahattakipedebilmekiin sistemeaitkatsaylarvesatarafdeerleriniTablo1.1inbirincialttablosuna yerletirelim. Tablo 1.1: rnek Sistemin Kanonik Forma Dntrlmesi Alt Tablo Denklem No Sa Tarafx1x2x3x4x5 1 1 2 3 2 6 3 2 -2 1 3 1 2 -1 -3 0 0 -1 -1 5 0 4 2 1 2 3 1 8 2 1 0 0 3/2 4 1/2 -1/2 -4 1/2 0 -1 -1 5/2 5 3/2 3 1 2 3 -2 2 1 1 0 0 0 1 0 1 -1 1 3/8 -1/4 -7/8 5/8 5/4 7/8 4 1 2 3 -3 3 1 1 0 0 0 1 0 0 0 1 5/4 -9/8 -7/8 -1/4 17/8 7/8 lkadmolarakx1deikeninin,sadecebirincidenklemde+1katsaysyla bulunmasn,dierdenklemlerdebulunmamasnsalayacaz.Yanix1stunundaki katsaylar Alt Tablo 2de,38 001 haline dntrmek istiyoruz. Bu durum iin,x1 stununa anahtar stun, 1 yaplmak istenilenkatsayyadaanahtarsaydiyeceiz.Tablo1.1deheradmiinanahtar saylardikdrtgeniine,anahtarstunundierelemanlar(sfryaplmakistenilen katsaylar) daire veya elips iine alnmtr. Alt Tablo 1den Alt Tablo 2nin elde edilii, yukarda verilen kurallara dayanlarak yle yaplmtr. Alt Tablo 1in 1 numaral denklemi (1.1 denklemi) 1/2 ile arplarak veya 2ye blnerek(anahtarsaynntersiilearplarakveyaanahtarsayyablnerek)2.1 denklemi elde edilir. 1.1 denklemine ait 5 0 1 3 2 2 katsaylar 1/2 ile arplrsa, 5/2 0 1/2 3/2 1 1 eldeedilirkibunlarda2.1denklemininkatsaylarolarakAltTablo2ye yerletirilmitir. Bylece x1 deikeninin katsays +1 yaplm olmaktadr. 2.1 denklemi 2 ile arplp 1.2 denklemi ile toplanrsa 2.2 denklemi elde edilir. 2.1 denkleminin katsaylar olan , 5/2 0 1/2 3/2 1 1 deerleri 2 ile arplrsa, 5 0 1 3 2 2 elde edilir. Bunlar 1.2 denklemine ait, 0 1 3 1 2 6 katsaylar ile ayn srada toplanrsa, 5 1 4 4 0 8 katsaylareldeedilir.Bunlarda2.2denklemininkatsaylarolarakAltTablo2ye yerletirilmitir. Benzerekilde,yine2.1denklemi1ile (sfryaplmak istenen katsaynn ters iaretlisiile)arplp1.3denklemiiletoplanrsa2.3denklemieldeedilir. 2.1denklemine ait, 5/2 0 1/2 3/2 1 1 katsaylar 1 ile arplrsa 5/2 0 1/2 3/2 1 1 39 deerleri elde edilir. Bunlar 1.3 denklemine ait, 4 1 0 2 1 3 katsaylar ile toplandnda, 3/2 1/2 1/2 0 2 1 deerlerieldeedilir.AltTablo2ninncsatrnaaitkatsaylarbylecebulunmu olmaktadr. Buraya kadar anlatlan ilemlerle birinci adm tamamlanm olmaktadr. Benzeri ilemlerx2vex3deikenleriiindeyaplacaktr.AltTablo2denAltTablo3e geerken amacmz x2 deikenine ait katsaylar, 010 halinedntrmek,yanix2deikenininsadeceikincidenklemde+1katsaysyla bulunmasn,dierlerindebulunmamasnsalamaktr.Bununiinbirinciadmdaki benzer ilemler u ekilde zetlenebilir. 2.2denklemi1/4ile(anahtarsaynntersiile)arplarak3.2denklemielde edilir. 3.2denklemi3/2ilearplp2.1denklemineeklenerek3.1denklemielde edilir. 3.2denklemi1/2ilearplp2.3denklemineeklenerek3.3denklemielde edilir. ByleceAltTablo3eldeedilmiolmaktadr.Sralkanonikformun tamamlanabilmesiiinyukardakiikiadmabenzerekilde,x3deikeninindesadece nc denklemde +1 katsaysyla bulunmas, yani x3 stununa ait katsaylarn, 100 halinedntrlmesisalanmaldr.Bununiin,ilkikiadmdakinebenzerilemler yle sralanabilir. 3.3 denklemi aynen alnarak 4.3 denklemi elde edilir.4.3 denklemi 1 ile arplp 3.1 denklemine eklenerek 4.1 denklemi elde edilir. 4.3 denklemi 3.2 denklemine eklenerek 4.2 denklemi elde edilir. Bylecebalangdorusaldenklemsistemininkanonikformadntrlmesi tamamlanmolmaktadr.DikkatedilecekolursaAltTablo4tekix1,x2vex3 deikenlerineaitkatsaylarbirbirimmatrisoluturmaktadr.Eldeedilmiolanyeni 40 sistemin peinen bilinen zm, x4 = 0x1 = -3 x5 = 0x2 = 3 x3 =1 dir. Burada x1, x2 ve x3 temel deikenler, x4 ve x5 ise temel olmayan deikenlerdir. Demek oluyor ki, )`= += += ++ ++ ++ +m n mn2 n 2n1 n 1n2 m2 1 m12 22 1 212 12 1 11b x ab x ab x ax a x ax a x ax a x a (1.10) olarak ifade edilen genel bir dorusal denklem sistemi eitli satr ilemleriyle(*), )`= + + + += + + + += + + + ++ + + ++ + + ++ + + +m n mn 2 m 2 m,m 1 m 1 m,m m2 n 2n 2 m 2 2,m 1 m 1 2,m 21 n 1n 2 m 2 1,m 1 m 1 1,m 1e x d x d x d xe x d x d x d xe x d x d x d x

(1.11) eklindesralkanonikformadntrlebilir.(1.11)sistemi(1.10)sisteminedenktir. (1.11) sisteminin temel uygun zm olarak adlandrlan, x1 = e1, x2 = e2, ..., xm = em xm+1 = 0, xm+2 = 0, ..., xn = 0 eklindekizmpeinolarakbilinmektedir.Budurumdax1,x2,...,xmdeikenleri temel deikenler, xm+1, xm+2, ..., xn deikenleri temel olmayan deikenlerdir. 1.4.4.2 Tipik Maksimizasyon Modelinde Primal Simpleks Yntem Simpleksyntemprensipolarak,kanonikformasokulmuolanbirDP modelindepeinenbelliolantemeluygunzmdenhareketleherdefasndayenibir temeluygunzmegeilerek admadmoptimumzmeyaklamametodudur. Her admda(iterasyonda)kanonikformuntemelvetemelolmayandeikenleriarasnda, ama fonksiyonunu optimize edecek ynde deiiklikler yaplr. Yani temelde bulunan bir deiken temelden karlrken temel olmayan bir deiken temele alnr. Simpleks yntemi nce tipik maksimizasyon problemi iin ele alacaz ve buna (*)Meselailkadmdax1deikenininsadeceilkdenklemde+1katsaysylabulunmas,dier denklemlerdenelimineedilmesiisteniyorsa,nce(1.10)sistemindekibirincidenklem1/a11 katsaysyla arplarak x1 deikeninin birinci denklemde +1 katsaysyla bulunmas temin edilir. Daha sonra, elde edilen bu ilk denklem a21 ile arplp ikinci denkleme, -a31 ile arplp nc denkleme, ...,nihayetamlilearplpmincidenklemeilaveedilirse,x1deikeniilkdenklemindndakidier denklemlerdenelimineedilmiolacaktr.Benzeriilemlerx2,x3,...,xmiindeuygulanrsa(1.10) sistemi (1.11) sistemine dnm olur. 41 primal simpleks yntem diyeceiz. SimpleksmetodunuygulanabilmesiiinDPmodelindekiamadenklemive kstlaycartlardanoluansisteminkanonikformasokulmuolmasgerekmektedir. Tipikmaksimizasyonmodelindebunusalamakiinbodeikenlerdenyararlanlr. Bylecehemeitsizliklereitlikhalinedntrlmhemdeszkonususistem kanonik forma sokulmu olur. Tipik maksimizasyon modelinin, matris notasyonuyla,Maksimize f = cx Ax s b x > 0 olarakifadeedildiinibiliyoruz.Amafonksiyonundakicxterimi eitliinsol tarafna alnarak -cx + f = 0(1.12) eklinde ifade edilebilir. Kstlayc artlara ise, y = (((((

m21yyy olmakzeremadetbodeikenilaveedilerekeitsizliklereitlikhaline dntrlebilir. Bu durumda kstlayc artlar, Ax + y = b(1.13) eklinialacaktr.(1.12)ve(1.13)denmeydanagelensistemakolarakyleifade edilebilir. -c1x1 - c2x2 -...- cnxn+ f = 0 a11x1 + a12x2 +...+ a1nxn + y1= b1 a21x1 + a22x2 +...+ a2nxn+ y2 = b2 am1x1 + am2x2 +...+ amnxn+ ym = bm Grlyorkifdebirdeikenkabuledilmekzeresistemkanonikformdadr. Temel deikenler, f, y1, y2, ..., ym, temel olmayan deikenler x1, x2, ..., xn dir. Sistemin pein olarak bilinen zm, x1= 0, x2 = 0, ..., xn= 0f = 0, y1 = b1, y2 = b2, ..., ym = bm

dir.Simpleksyntemfyidaimatemeldetutmakzere,mmknmertebeyibo deikenlerini temelden karmak, bunun yerine xj tabii deiikliklerini temele sokmak ister. Bu ileme fnin optimum deeri elde edilinceye kadar devam edilecektir. Temele giren ve temeli terk eden deikenlerin seiminde u kurallar uygulanr. 42 Kural 1: Temele girecek deiken olarak, f satrndaki negatif deerli katsaylardan mutlak deeri en byk olana karlk gelen deiken seilir. Bu deikene ait stuna anahtar stun denir. Bylece fnin deerinde mmkn olan en byk art salanm olacaktr. f satrnda seilecek negatif deerli katsay kalmadnda optimal (maksimum) zm bulunmu olur. Kural 2: Temeli terk edecek deikenin seiminde u yol izlenir. nce sa taraf deerleri (temel deiken deerleri) temele girecek deiken katsaylarna (yani anahtar stunelemanlarna)srasylablnerekbirtakmorandeerlerieldeedilir.Sfrve negatif deerli oranlar bir tarafa braklarak, elde edilen oran deerleri iinde en kk olanakarlkgelentemeldeiken,temeldenkarlmakzereseilir.Budeikenin ait olduu satra anahtar satr, anahtar satr ile anahtar stunun kesime noktasndaki katsayyaanahtarsaydenir.Anahtarelemanlar,dahasonrabahsedeceimiz formlle hesaplama ynteminde kullanacaz. PrimalsimpleksynteminuygulanmasnarnekolmakzerernekProblem 1.1i yeniden ele alalm. Maksimize f = 5x1 + 7x2 2x1 + 3x2 s 60 4x1 +2x2 s 80 x1, x2 > 0 Ama fonksiyonunu (1.12) eitliine uygun olarak, -5x1 - 7x2 + f = 0 eklinde ifade edelim. Kstlayc artlara, Makine 1 ve Makine 2nin bo kapasitelerini gsteren y1 ve y2 (y1, y2 > 0) bo deikenlerini ekleyerek eitlik haline evirelim. 2x1 + 3x2 + y1 = 60 4x1 + 2x2 + y2 = 80 Bylece elde ettiimiz denklem, be bilinmeyenli dorusal denklem sistemi kanonik formdadr. Balang temel uygun zm, x1 = 0f = 0 x2 = 0y1 = 60 y2 = 80 dir. Bu balang zmne gre rn 1 ve rn 2den henz retilmemektedir. (x1=0, x2=0) Bunun sonucu olarak elde edilen kr da sfrdr (f=0). Dier taraftan Makine 1 ve Makine2nintmkapasitesibobeklemektedir.Yanikullanlmayankapasiteleri gsteren y1 ve y2 bo deikenlerinin deeri srasyla 60 ve 80 birimdir. 43 Tablo 1.2: rnek Problem 1.1in Primal Simpleks Yntemle zm Alt Tablo Temel Deiken Temel Deikenin Deeri Oranx1x2fy1y2 Grafik zmdekiKarl 1 f y1 y2 0 60 80 - 20 40 -5 2 4 -7 3 2 1 0 0 0 1 0 0 0 1 O Kesi 2 f x2 y2 140 20 40 - 30 15 -1/3 2/3 8/3 0 1 0 1 0 0 7/3 1/3 -2/3 0 0 1 C Kesi 3 f x2 x1 145 10 15 0 0 1 0 1 0 1 0 0 9/4 1/2 -1/4 1/8 -1/4 3/8 B Kesi KanonikformdakibalangsisteminiTablo1.2ninbirincialttablosuna yerletirerek(*) simpleks kurallarn uygulamaya balayalm. Tablo1.2ninbirincialttablosundakisistemin,retimyapmamadurumunu gsterdiinibiliyoruz.Budurumdaykenrnlerdenbirininretiminebalamak isteseydik, 5 birim kr getiren rn 1 yerine 7 birim kr getiren rn 2yi seerdik. te simpleksmetodunbirincikuralbudurumungrmektedir.Alttablomuzunfsatrnda enfazlakrgetirenrnnkatsaysmutlakdeerienbykolannegatif saydr.Bu durumda Kural 1e gre seilecek olan katsay 7dir. O halde, ama fonksiyonunda en byk art salamak zere temele girmesi gereken deiken x2 olacaktr. Bu deikene ait stun, anahtar stundur. Simpleksynteminikincikuraltemeliterkedecekolandeikeni belirlemektedir.Kural2yegrebununiinTemelDeikeninDeeri(TDD)stunu anahtarstunablnerekbirtakmorandeerlerieldeedilecek,oranlariindenegatif vesfrolanlar birtarafa brakldktan sonrakalandeerlerdenenkkolanakarlk gelentemeldeikentemeldenkarlacaktr.AltTablo1dekiorandeerleriarasnda en kk olan 20 olduuna gre temeli terk edecek olan deiken y1 olur. Nedenenkkorandeerininseilmesigerektiiniyleizahedebiliriz. Birincikuralagrern2denbirmiktarretmeye(yanix2yi temelesokmaya) karar vermitik. Bu retimi en fazla ne kadar yapabileceimizi belirleyen etken Makine 1 ve Makine2ninkapasiteleridir.rn2ninherbirimiiin3birimMakine1kapasitesi gerektiine gre Makine 1in tm kapasitesini rn 2 iin kullanacak olursak, en fazla, 60/3 = 20 (*) f daima temelde kalacana gre tabloda ayr bir stun olarak gsterilmeyebilirdi. Temel deikenler altnda oluan birim matrisi daha rahat takip edebilmek iin fyi de ayr bir stun olarak gstermeyi tercih ettik. 44 birim retim yapabiliriz. Dier taraftan yine rn 2nin her birimi iin 2 birim Makine 2kapasitesigerektiinegre,Makine2nintmkapasitesinirn2iinkullanacak olursak, en fazla, 80/2 = 40birimretimyapabiliriz.Tabiatylabuikideerdenkkolanylasnrlkalmak zorundayz.Dierbirdeyilebykdeerolan40birimisemiolsaydkburetimi yapmak iin elimizdeki mevcut Makine 1 kapasitesi yeterli olmayacakt. Problemin zmne devam edelim. x2 deikeninin y1 deikeni yerine temele almak istiyoruz. yleyse x2 stununu, ikinci alt tabloda, 010 eklinedntrmemizgerekecektir.Bunusalamakzereaadakiilemadmlar uygulanr.y1 satrna ait, 0 1 0 3 2 60katsaylar1/3ilearplrveya3eblnrse(anahtarsaynntersiilearplrveya anahtar sayya blnrse) 2.x2 satrn (ikinci alt tablonun x2 satrn) oluturan, 0 1/3 0 1 2/3 20katsaylar elde edilerek Alt Tablo 2ye yerletirilir. Eldeedilen2.x2satr7ile(sfryaplmakistenenkatsaynntersiaretlisiile) arplarak bulunan, 0 7/3 7 14/3 140katsaylar, 1.f satrna ait olan, 0 0 1 7 5 0 katsaylaryla toplanarak, 2.f satrn oluturan, 0 7/3 1 0 1/3 140 deerleri elde edilir ve bunlar Alt Tablo 2nin f satrna yerletirilir. Yine 2.x2 satr bu defa 2 ile (sfr yaplmak istenen katsaynn ters iaretlisi ile) arplarak elde edilen, 0 2/3 0 2 4/3 40 katsaylar, 1.y2 satrna ait olan, 1 0 0 2 4 80katsaylaryla toplanarak, 2.y2 satrn oluturan, 1 2/3 0 0 8/3 40 deerleri elde edilir ve bunlar Alt tablo 2nin y2 satrna yerletirilir. 45 Bylecebirinciiterasyontamamlanmolmaktadr.Eldeedilenyenikanonik formun bilinen zmne gre,x1 = 0f = 140 y1 = 0x2 = 20 y2 = 40 dr.Buzmegrern2den20birimretilmektevebunakarlk140birimkr elde edilmektedir. Makine 1in tm kapasitesi kullanlm (y1 = 0), Makine 2nin ise 40 birimlikkapasitesi(y2=40)henzbobeklemektedir.rn1denretim yaplmamaktadr (x1 = 0). AltTablo2ninfsatrndanegatifdeerlikatsaybulunduunagrehenz optimalzmeldeedilmideildir.Yaplacakyeniiterasyondatemelegirecek deiken,-1/3katsaysnnaitolduux1deikenidir.Temeliterkedecekolan deiken, 20 / (2 / 3) = 30 ve 40 / (8 / 3) = 15 oran deerleri iinde en k olan 15in ait olduu y2 deikenidir. O halde x1 temele girerken y2 temelden kacaktr. Bu durumda x1 stununa ait katsaylarn, 100 olmasnsalamakzereyenibiriterasyonyaplacakveAltTablo3eldeedilecektir. Bunun salamak zere u ilem admlar uygulanr. 2.y2 satr 3/8 ile arplarak (veya 8/3e blnerek) 3.x1 satr elde edilir. 3.x1 satr 1/3 ile arplp 2.f satr ile toplanarak 3.f satr elde edilir. 3.x1 satr 2/3 ile arplp 2.x2 satr ile toplanarak 3.x2 satr elde edilir. ncalttablonunfsatrndanegatifkatsaykalmamtr.Ohaldebulunan yeni zm, optimaldir. Buna gre, y1 = 0fmaks = 145 y2 = 0x1 = 15 x2 = 10 eldeedilmiolur.Yani145birimlikmaksimumkreldeetmekiinrn1den15, rn 2den 10 birim retmek gerekmektedir Her bir alt tablonun grafik zmdeki karlklarn grmek iin rnek Problem 1in kstlayclarn ve uygun zm alann ekil 1.10da yeniden ele alalm. 46 ekil 1.10: Tablo 1.2 Alt Tablolarnn Grafik Karl Alt Tablo (AT) 1de x1 ve x2 temel olmayan deikenlerdir. Dolaysylax1 = 0, x2 = 0dr. O halde AT 1, grafik zmdeki O kesine karlk gelmektedir. AltTablo2dex2temeldeikeninindeeri20dir.x1deikeniisetemelde deildir; dolaysyla deeri sfrdr. O halde AT 2, grafik zmdeki C kesine karlk gelmektedir. AltTablo3dex1vex2deikenlerininherikisidetemeldedirvedeerleri x1=15, x2=10dur. O halde AT 3, grafik zmdeki B kesine karlk gelmektedir. Demekoluyorki,simpleksyntem,admadmkonvekszmsetininardk kelerini izleyerek optimal zm kesine ulamaktadr. 1.4.4.2.1 terasyonlarda Forml Kullanm ve Basitletirici Kurallar Simplekskurallaruygulanarakanahtarsatr,anahtarstunveanahtarsay bulunduktan sonra bir sonraki alt tabloya geite aadaki kurallardan faydalanlabilir. 1.Anahtarsatrveyastundakisfrdeerlikatsaylarbirsonrakialttabloya aynen aktarlr. 2. Anahtar satr, anahtar sayya blnerek bir sonraki tabloya aktarlr. 3.Dierkatsayvetemeldeikendeerlerininbirsonrakialttablodaalaca deerler, A*= A - DBC 2.3.1.1 O 10 20 30 x1 10 20 30 40 x2 A B C O 47 -1/3 7/3 8/3 -2/3 formlylehesaplanabilir.BuradaA*,Akatsaysnnbirsonrakialttablodaalaca deer,D,anahtarsay,BveCdeAnnyatayvedikeyhizalarndakianahtar satrve anahtar stun elemanlardr. A, B, C ve Dyi ematik olarak u ekilde gsterebiliriz. Formlkullanmnarnekolmakzere,Tablo1.2ninikincialttablosundaki 7/3 katsaysnn nc alt tabloda alaca deeri hesaplayalm. Bu durumda A = 7/3, B = -2/3, C = -1/3 ve D = 8/3 olmaktadr. O halde, A* = A - 498/31/3) 2/3)( (37DBC= =elde edilir. Benzer ekilde yine AT 2deki ama fonksiyonu deeri olan 140 yerine bir sonraki alt tabloda hangi deerin geleceini bulalm. Bu rnek iin A = 140, B = 40, C = -1/3 ve D = 8/3 olmaktadr. O halda, A* = A -1458/31/3) (40)(140DBC= =bulunur. AC B l > k genelDPmodelinielealalm.Grlyorkibumodeldekadetkk-eitlik,(1-k) adet eitlik ve (m-l) adet de byk-eitlik vardr. Primal simpleks yntemde kk eitliklerieitlik halineevirirkenyibodeikenlerindenfaydalanmtk.Buradadak adetkkeitlikiinaynyolu izleyeceiz.Geriyeiki trkstlaycmz kalmaktadr. Eitlikeklindekikstlayclarkanonikformasokmakzerezisunideikenlerini eitliinsoltarafnaekliyoruz.zisunideikenlerininbodeikenlerebenzerbir manasyoktur.Amasadecekstlayclar kanonik formasokupbir balangzm eldeetmektir.zmebalanncazideikenleribiranncetemeldenkarlmak istenecektir. Bu suni deikenler temelden atlamazsa modelin zm yoktur. nc grupkstlayclarbyk-eitlikeklindedir.Bunlareitlikhalineevirmekiin, eitsizliklerinsoltarafndanyibodeikenlerinikaryoruz.ncgrup kstlayclardakiyideikenlerininkatsaylar1olduuiinbugruphenzkanonik formasokulamamtr.Kanonikformueldeetmekzerebugrubadaayrcazisuni deikenlerini ekliyoruz. kincivencgrupkstlayclaraeklenenzideikenlerinibirannce temeldenkarmakistiyoruz.Eersunideikenlertemeldenkarlamazsamodelin zmyoktur.Bunusalamakzerezideikenlerinintoplamnminimize(veya toplamntersiaretlisinimaksimize)etmemizgerekecektir.Amafonksiyonumuz 51 (m -l) x1 maksimizasyontrndeolduuiin,zilertoplamnntersiaretlisiniaynama fonksiyonunaekleyerekmaksimizeedeceiz.zisunideikenlerinintemeldenbiran nceatlabilmesiiin,sunideikenkatsaylarnn,tabiideikenkatsaylarnagre okbykseilmesigerekecektir.SunideikenkatsaysolarakMilegsterilenve tabiideikenkatsaylarnagreokbykolanbirdeerseiyoruz(konuylailgili yaynlardaki Big M metodu bu esasa dayanr). Bylece suni deikenlerin bir an nce temeldenkarlmassalanmolacaktr.Bylecemodelimizinyenigrnm aadaki gibi olacaktr. Maksimizef = c1x1 + c2x2 + + cnxn - Mzk+1 - - Mzm a11x1 + a12x2 + . + a1nxn + y1s b1

1. grup kst.ak1x1 + ak2x2 + . + aknxnb + yks bk

ak+1,1x1 + ak+1,2x2 + . + ak+1,nxn +zk+1= bk+1 2. grup kst. (1.14) al1x1 + al2x2 + . + alnxn+zl= bl al+1,1x1 + al+1,2x2 + . + al+1,nxn - y1+1 + zl+1 > bl+1 3. grup kst.am1x1 + am2x2 + . + amnxn - ym+ zm > bm

x1, x2,, xn , y1,, yk zk+1,, zl , yl+1,, ym , zl+1,, zm>0 m > l > k Yazmakolayleldeetmekiinyukardakisistemimatrisnotasyonuile gsterelim. Bunun iin aadaki matris ve vektrleri tanmlyoruz. x = 21 nx1nxxx(((((

===32eec | || || |l) 1x(mk) 1x(l1xn n1 1 11 1 1c c c2 1 y1 = 21kx1kyyy(((((

y3 = 1 ) (21x l mmllyyy++(((((

z2 = 1 ) (21x k llkkzzz++((((

z3 = 1 ) (21x l mmllzzz++(((((

52 b1=121kxkbbb(((((

b2 = 1 ) (21x k llkkbbb++(((((

b3 = l)x1(mk21bbb(((((

A1 =kxnkn k2 k12n 22 211n 12 11a a aa a aa a a(((((

A2 =) ( xn k lln l2 l12,n k 2,2 k 2,1 k1,n k 1,2 k 1,1 ka a aa a aa a a+ + ++ + +(((((

A3 = l)xn (mmn m2 m12,n l 2,2 l 2,1 l1,n l 1,2 l 1,1 la a aa a aa a a+ + ++ + +(((((

Yukardaki tanmlardan sonra (1.14) sistemi aadaki gibi ifade edilebilir. Maksimize f = cx M(e2z2 + e3z3) A1x + y1= b1 A2x + z2= b2 (1.15) A3x - y3+ z3= b3 x, y1, y3, z2, z3 > O

imdi,Mkatsaylarntablolardasrekliolaraktekrarlamamakiinylebir yola ba vuralm. Ama fonksiyonunu, fc = cx fm = M(e2z2 + e3z3) olmak zere ikiye blelim. Bu durumda, f = fc + fm olacaktr. Bundan sonra fc ve fmi, maksimize edilecek iki ayr ama fonksiyonu olarak dneceiz.Metodunilkmerhalesindefmfonksiyonunuamaolarakelealpbtn sunideikenleri(zideikenlerini)temeldenkarmayaalacaz.Bunu baarabilirsekynteminikinciaamasnageeceiz.kincimerhaledeama fonksiyonumuz fc olacaktr. Mademki nce fm fonksiyonunu optimize edeceiz, o halde artk M katsaylarn dabirtarafabrakabiliriz.nkokbykMkatsaylarnsememizinsebebisuni deikenleribirannce temeldenkarmakt. ncefmfonksiyonunu optimizeetmekle 53 buamacmzgerekletirmiolacaz.Ohaldepozitiflikartlarnbirtarafabrakr, yukardakisebeplerdendolayMkatsaylarnterkedervedahanceyaptmzgibi amafonksiyonlarnyenidendzenlersek(1.15)sisteminiaadakigibiifade edebiliriz. -cx + fc= 0 e2z2 +e3z3 + fm = 0 A1x + y1= b1 (1.16) A2x+ z2= b A3x - y3 + z3= b3 Eldeettiimiz(1.16)siteminiTablo1.4nilkalttablosunayerletirelim. TablodakiIlergereklibyklktekibirimmatrisleri,Olardayinegerekli byklkteki sfr matrisleri gstermektedir. Bu alt tabloya kurulu tablosu diyeceiz. Kurulutablosunabaklacakolursae2vee3satrvektrlerindendolaytemel deikenlereaitstunlar(fc,fm,y1,z2,z3stunlar)birbirimmatrisoluturmamtr. Yani sistemimiz henz kanonik formda deildir. Kanonik formu elde edebilmek iin e2 ve e3 yerine ayn boyutlardaki sfr vektrler getirilmelidir. Bunu salamak zere iki Tablo 1.4: Genel Simpleks Yntemde Kurulu ve Balang Tablolar Alt Tablo Temel Deiken TemelDeikenin Deeri x y3fcfmy1 z2z3 Kurulu Tablosu fc fm y1 z2 z3 0 0 b1 b2 b3 -c O A1 A2 A3 O O O O -I 1 0 O O O 0 1 O O O O O I O O O e2 O I O O e3 O O I Ara Tablo fc fm y1 z2 z3 0 -e2b2 b1 b2 b3 -c -e2A2 A1 A2 A3 O O O O -I 1 0 O O O 0 1 O O O O O I O O O O O I O O e3 O O I Balang Tablosu fc fm y1 z2 z3 0 -e2b2-e3b3 b1 b2 b3 -c -e2A2 -e3A3 A1 A2 A3 O e3 O O -I 1 0 O O O 0 1 O O O O O I O O O O O I O O O O O I grupiterasyonyaplr.BirincigrupiterasyondansonraTablo1.4dekiaratabloelde edilir.Bununiinz2satre2ilearplpfmsatrnaeklenmitir(*).Bylecez2 (*) Vektrlerle gsterilen deikenlerin aslnda bir grup deikeni ifade ettiini ve yaplan ilemlerin matris ilemleri olduunu unutmaynz. 54 stunundaki(**) e2 vektr yerine ayn byklkte sfr vektr yerletirilmi olmaktadr. Ara tablodaki e3 vektrnn yerine de benzer ekilde bir sfr vektr yerletirmek iin bu defa z3 satr e3 ile arplp yine fm satrna eklenir. Bylece balang tablosu elde edilmiolmaktadr.Tablo1.4dendegrlebileceigibibalangtablosukanonik formdadr. Bunoktadansonraizlenecekyol,ncefmsatrnamasatrolarakelealp primalsimpleksyntemdeanlatlankurallarerevesindez2vez3deikenlerini temeldenkarmaktr.Busalandktansonrafmsatrvez2,z3stunlartablodan karlr.Dahasonrafcsatramaolarakkabuledilipoptimumzmbulununcaya kadar iterasyona devam edilir.Burayakadaranlattmzikiaamalgenelsimpleksynteminuygulanmasn maddeler halinde zetleyelim. 1. Ama fonksiyonu minimizasyon trnde ise (-1) ile arparak maksimizasyon trne eviriniz. 2. Kk-eitlik eklindeki kstlayclara yi bo deikenlerini ekleyerek eitlik haline eviriniz. 3. Eitlik eklindeki kstlayclara zi suni deikenlerini ekleyerek kanonik forma sokunuz. 4. Byk-eitlik eklindeki kstlayclardan, nce yi bo deikenlerini kararak eitlik haline, daha sonra zi suni deikenlerini ekleyiniz. 5. Ama fonksiyonunu,f = fc+ fm eklinde ikiye ayrarak,.-cx + fc= 0 e2z2 + e3z3 + fm = 0 eitliklerini oluturunuz. 6. Sistemin katsaylarn kurulu tablosuna yerletiriniz. 7. Kurulu tablosundaki e2 ve e3 katsaylar yerine sfr elde edecek ekilde gerekli iterasyonlar yapnz. Bylece balang tablosunu elde etmi olacaksnz. Balang tablosu kanonik formdadr. 8. Balang tablosundan itibaren, nce fm satrn ama olarak kabul edip btn zi suni deikenlerini temelden karmak zere gerekli iterasyonlar yapnz. terasyonlarda, daha nce anlatlan primal simpleks kurallarn kullannz. Btn suni deikenler temelden karlamyorsaDP modelinin zm yoktur. Herhangi bir suni deiken temelde fakat deeri sfrsa, tabii bir deikenle yer deitirmesini salayacak ekilde iterasyon yaparak suni deikeni temelden karp tabii deikeni temele alnz. Dier temel deikenlerin deeri deimeyecektir. (**) iareti transpozeyi gstermektedir. 55 9. Btn suni deikenler temelden karldktan sonra fm satrn ve suni deikenlere ait stunlar tablodan karnz. 10. fc satrn ama satr olarak ele alp iterasyonlara devam ediniz. Optimal zm bulunduunda (fc)maks=fmaks olacaktr. 11. Balangta ama fonksiyonu minimizasyon trnde idiyse, bulduunuz ama deerini (-1) ile arparak balang ama fonksiyonunun optimal deerini elde ediniz. Buraya kadar anlatlanlar rnekler zerinde gstermeye alalm. 1.4.4.4.1 rnek Problem 1.8 Aada verilen genel DP modelini znz. Minimize f= 2x1 + x2

2x1 + 3x2 s 6 x1 - x2 = 0 x1 + 4x2 > 4 x1, x2 > 0 ncemodelinamafonksiyonunumaksimizasyontrneevirelim.f*=-f olmak zere fmin = -f*maks olduunu biliyoruz. O halde f fonksiyonu (-1) ile arplrsa, Maksimize f* = -2x1 x2 amafonksiyonueldeedilir.Kstlayclara,gereklibovesunideikenlereklenip, ama fonksiyon da, f* = fc + fm fc = -2x1 x2 fm = -z1 z2 olmak zere yeniden dzenlenir ve tm terimler eitliklerin sol tarafna alnrsa, 2x1 + x2 + fc = 0 z1 + z2+ fm = 0 2x1 + 3x2+ y1 = 6 x1 - x2+ z1 = 0 x1 + 4x2 y2 + z2 = 4 sistemi elde edilir. Sisteme ait katsaylar ve sa taraf deerleri Tablo 1.5in Kurulu alt tablosunu oluturmaktadr. Kurulu tablosunun fm satrndaki z1 ve z2ye ait katsaylar 1 olduu iin(*) sistemimiz kanonik formda deildir. Kanonik formu elde etmek zere iki iterasyonyapmamzgerekmektedir.Birinciiterasyonda,z1satr(-1)ilearplpfm satrnaeklenmi,byleceAraTabloadndakialttabloeldeedilmitir.AraTabloya uygulananikinciiterasyondaisez2 satr(-1)ilearplp,yinefmsatrnaeklenmitir. Bylece kanonik formdaki balang alt tablosu elde edilmitir. (*) Bu rnek iin, e2 = [1] e3 = [1] olmu olur. 56 Tablo 1.5: rnek Problem 1.8in zm ATTDTDDOranx1x2y2fcfm y1 z1z2 Kurulu (1) fc fm y1 z1 z2 0 0 6 0 4 2 0 2 1 1 1 0 3 -1 4 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 Ara Tablo (2) fc fm y1 z1 z2 0 0 6 0 4 2 -1 2 1 1 1 1 3 -1 4 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 1 0 0 1 Balang (3) fc fm y1 z1 z2 0 -4 6 0 4 - - 2 - 1 2 -2 2 1 1 1 -3 3 -1 4 0 1 0 0 -1 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (4) fc fm y1 z1 x2 -1 -1 3 1 1 - - 2,4 0,8 4 1,75 -1,25 1,25 1,25 0,25 0 0 0 0 1 0,25 0,25 0,75 -0,25 -0,25 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 (5) fc fm y1 x1 x2 -2,4 0 2 0,8 0,8 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0,6 0 1 -0,2 -0,2 1 0 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 0 Balangalttablosundanitibaren,ncefmsatramasatrolarakelealnm vesimplekskurallaruygulanmtr.Tablo1.5inbalangalttablosundanda grlebileceigibi,yaplanilkiterasyondax2deikenitemelegirmekte,z2deikeni temeli terk etmektedir. Bu admda yaplmas gereken satr ilemleri yle sralanabilir. 3.z2 satr (4)e blnerek 4.x2 satr elde edilmitir. 4.x2 satr (-1) ile arplp 3.fc satrna eklenerek 4.fc satr elde edilmitir. 4.x2 satr (3) ile arplp 3.fm satrna eklenerek 4.fm satr elde edilmitir. 4.x2 satr (-3) ile arplp 3.y1 satrna eklenerek 4.y1 satr elde edilmitir. 4.x2 satr (1) ile arplp 3.z1 satrna eklenerek 4.z1 satr elde edilmitir. Bylece drdnc alt tablo elde edilmi olmaktadr. z2 deikeninin daha sonra, tekrartemelegirmesiszkonusuolmadiinz2stunuhesaplanmamtr.Bu tablodakifmsatrndatekbirnegatifkatsaybulunmaktadr.Ohaldebukatsaynnait 57 olduux1deikeni temele girerken,enkkorandeerine sahipz1deikeni temeli terk edecektir. Bu admda yaplan satr ilemleri unlardr. 4.z1 satr (1,25)e blnerek 5.x1 satr elde edilmitir. 5.x1 satr ( 1,75) ile arplp 4.fc satrna eklenerek 5.fc satr elde edilmitir. 5.x1 satr (1,25) ile arplp 4.fm satrna eklenerek 5.fm satr elde edilmitir. 5.x1 satr (-1,25) ile arplp 4.y1 satrna eklenerek 5.y1 satr elde edilmitir. 5.x1 satr (-0,25) ile arplp 4.x2 satrna eklenerek 5.x2 satr elde edilmitir. Bylecebtnsunideikenlertemeldenkarlarakzmnbirinciaamas tamamlanm olmaktadr. Bu noktada fm satr ile z1ve z2 stunlar tablodan karlarak, fc satr ama olmak zere zmn ikinci aamasna geilecektir. Tablo 1.5in beinci alttablosundandagrlebileceigibifcsatrndanegatifkatsayldeiken bulunmad iin ikinci aamaya gemeye lzum kalmamtr. O halde beinci alt tablo optimal zm vermektedir. Problemin zm, f*maks = (fc)maks = -2,4 dolaysyla, fmin = -f*maks = -(-2,4) = 2,4 x1 = 0,8 x2 = 0,8 olarak bulunmu olmaktadr. 1.4.4.4.2 rnek Problem 1.2nin Genel Simpleks Yntemle zm rnek Problem 1.2de kurduumuz modeli tekrar ele alalm. Minimize f = 24x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4 12x1 + 12x2 + 40x3 + 60x4> 20 2x1 + 6x2 + 12x3 + 2x4 > 5 x1, x2, x3, x4 >0 nce ama fonksiyonunu maksimizasyon trne evirelim. f* = -f olmak zere, Maksimize f* = -24x1 30x2 40x3 50x4 yazabiliriz.Diertaraftan,y1,y2bodeikenlerinikstlayclardankarr,z1,z2suni deikenlerini kstlayclara ekler ve ama fonksiyonunu, f*= fc + fm eklinde ikiye blerek yeniden dzenlersek, 24x1 + 30x2 + 40x3 + 50x4+ fc = 0 z1 + z2 + fm = 0 12x1 + 12x2 + 40x3 + 60x4 - y1 + z1 = 20 2x1 + 6x2 + 12x3 + 2x4 - y2 + z2 = 5 sisteminieldeederiz.Busistem,Tablo1.6nnkurulualttablosunayerletirilmitir. 58 Kurulualttablosukanonikformdadeildir.Gerekliiterasyonlaryaplarakkanonik formdakibalangalttablosueldeedilmitir.Birinciaamadafmsatramaolarak kabuledilmivesimplekskurallaruygulanaraksunideikenlertemelden karlmtr.Bylecebeincialttabloyagelinmiolmaktadr.Bunoktadaikinci aamayageilecek,yanifmsatrvez1,z2stunlartablodankarlpfcsatroptimize edilecektir.fcsatrndanegatifkatsaybulunmadnagreoptimumzmbulunmu ve ikinci aamaya gemeye gerek kalmamtr. zm deerleri, f*maks = (fc)maks = -19,37 fmin =-fmaks = -(-19,37) = 19,37 x1 = 0 x2 = 0 x3 = 0,41 x4 = 0,06 olarak bulunmu olur. terasyonlardaki satr ilemlerinin takibi renciye braklmtr. Bu kesimde ele aldmz rnek, bir tipik minimizasyon modeli idi. Daha sonra inceleyeceimizdalsimpleksyntemilebutrmodellerinokdahakolay zlebileceini greceiz. Tablo 1.6: rnek Problem 1.2nin zm ATTDTDDOranx1x2x3x4y1y2 fcfmz1z2 Kurulu (1) fc fm z1 z2 0 0 20 5 24 0 12 2 30 0 12 6 40 0 40 12 50 0 60 2 0 0 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 1 0 1 Ara Tablo (2) fc fm z1 z2 0 -20 20 5 24 -12 12 2 30 -12 12 6 40 -40 40 12 50 -60 60 2 0 1 -1 0 0 0 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 1 0 1 Balang (3) fc fm z1 z2 0 -25 20 5 - - 0,33 2,5 24 -14 12 2 30 -18 12 6 40 -52 40 12 50 -62 60 2 0 1 -1 0 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 (4) fc fm x4 z2 -50/3 -13/3 1/3 13/3 - - 0,5 0,41 14 -1,6 0,2 1,6 20 -5,6 0,2 5,6 20/3 -32/3 2/3 32/3 0 0 1 0 5/6 -1/30 -1/60 1/30 0 1 0 -1 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 0 1 (5) fc fm x4 x3 -19,37 0 0,06 0,41 13 0 0,1 0,15 16,5 0 -0,15 0,53 0 0 0 1 0 0 1 0 0,81 0 -0,019 0,003 0,63 0 -0,06 -0,09 1 0 0 0 0 1 0 0 59 1.4.4.5 Simpleks zm Ynteminde Dejenerasyon Simplekskurallaruygulanrkenortayakmasmuhtemelikiistisnaidurumu gz nne alalm. I.Simpleksynteminbirincikuraltemelegirecekdeikenibelirliyordu.Bu kuraluygulanrken,amasatrnda,mutlakdeerienbyknegatifelemanlarnsays birden fazla olursa bunlardan herhangi birisi seilebilir. Byle bir yaklam herhangi birdejenerasyona (bozulmaya) neden olmaz. II.Simpleksynteminikincikuraltemeliterkedecekdeikeni,yanianahtar satrbelirliyordu.Bukuraluygulanrken,enkkorandeeribirdenfazlasatrda ortayla kmsa, bu satrlardan herhangi birinin seilmesi dejenerasyona sebep olabilir. Yanlsatrnseilmesiksrbirdngyeyolapoptimalzmeulamay engelleyebilir.Garantilisonuvermemeklebirlikte,bylehallerdeanahtarsatrn seimindeuyolizlenmesifaydalolabilir.Aadakiyntemdejenerasyonun giderilmesinde yeterli olmazsadier satr seilerek ilemlere devam edilmelidir. a. Eit oranl satrdaki her eleman, bulunduu satrn anahtar stun zerindeki elemanna blnerek bir takm deerler elde edilir. b.Eldeedilendeerler,herdefasndaeitoranlsatrlarnaynstundaki elemanlarnaaitolmakvencebirimmatristenbalamakzeresoldansaagidilerek sra ile mukayese edilir. c. Eit olmayan iki deere rastlandnda mukayeseye son verilir. d.Eitolmayandeerlerinhangisikkse,budeereaitsatranahtarsatr olarak seilir. Dejenerasyona rnek olmak zere Tablo 1.7deki rnei ele alalm. Tablo 1.7: Dejenerasyon rnei ATTDTDDOranx1x2x3x4fy1 y2y3 1 f y1 y2 y3 0 100 50 40 - 33,3 10 10 -7 5 4 8 -6 -2 0 4 -8 3 5 4 -4 10 -1 3 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 0 0 0 0 1 Tablo 1.7den de grlebilecei gibi, anahtar satrn seiminde kullanlacak olan oran deerlerinden ikisi eit kmtr. Bunlar, y2 satr iin, 50 / 5 = 10 y3 satr iin, 40 / 4 = 10 deerleridir.Anahtarsatrnseimindeyukardaanlatlanyoluizleyelim.y2vey3 satrlarnnherelemann,busatrlarnanahtarstunzerindekielemanlarna,birim matristen balayarak bleceiz. Birimmatrisin ilk stunuf olduuna gre bu stundan balyoruz. f stunu iin;y2 satr: 0 / 5 = 0 60 y3 satr: 0 / 4 = 0 elde edilmektedir. ki deer eit olduu iin seim yapamyoruz. Devam edelim, y1 stunu iin;y2 satr: 0 / 5 = 0 y3 satr: 0 / 4 = 0 Eitlik devam etmektedir. Bir sonraki stuna geelim. y2 stunu iin;y2 satr: 1 / 5 = 0,2 y3 satr: 0 / 4 = 0 Eitlikbozulmutur.Eldeedilendeerlerdenkkolansfrdr.Ohaldey3satr anahtar satr olarak seilecektir. 1.4.4.6 Problemler. I. Aada verilen DP modelini, a. Grafik yntemle znz. b. Primal simpleks yntemle znz ve (a) kknda bulduunuz zmle karlatrnz. Maksimize f = 8x1 + 5x2 3x1 + 2x2 s 12 x1 + 2x2 s 18 9x1 + 3x2 s 36 x1, x2 > 0 II. Aada verilen dorusal denklem sistemlerini sral kanonik forma sokunuz. a.x1 2x2 + 3x3 + 0,5x4 = -4 2x1 + x2 + 3x4 + x5 = 8 x2 + 2x3 + x4 + 3x5 = 12 b.0,2x1 + 3x2 + 7x3 + 2x4 = 13 3x1 - 2x2 + 5x3 + x4 = 7 5x1 + x2 - x3 + 6x4 = 18 III.AadakiDPmodelinigrafikyoldanznz.(Modeliboyutlugrafik olarak ifade ediniz. Uygun zm setini bulunuz. Ama dzlemini kaydrmakta glk ekersenizuygunzmsetininkenoktalarnamafonksiyonundayerinekoyarak optimum zm bulmaya alnz.) Maksimize f = x1 + x2 + 4x3 2x1 + x2 + x3 s 5 x2 s 4 x3 s 3 x1, x2 > 0 IV. Aada verilen DP modelini, a. Grafik yntemle znz. 61 b. Genel simpleks yntemle znz ve (a) kknda bulduunuz zmle karlatrnz. Minimize f = 6x1 + 5x2 x1 s 5 5x1 + 9x2 s 45 x1 + x2 > 6 x1, x2 > 0 V. Aada verilen DP modelini znz. Maksimize f = 3x1 + x2 + 2x3 + x4 x1 + x2 + x3 + x4 s 25 x3 + x4s 10 x1 + x2s 20 3x1 + x2 + 2x3 + x4> 40 x1, x2, x3, x4 > 0 VI. Aada verilen DP modelini znz. Minimize f = 5x1 +3x2 + 2,5x3 + 3,5x4+ 4x5 2x1 + 2x2 + x3 + 3x4 + x5 s 2 5x1 + 2x3 + x4 + 4x5 = 6 x1 + x2 + 2x3 + x4 + x5 > 2 x1, x2, x3, x4, x5 > 0 1.4.5 DP Modelinde Dalite Bir DP modelinin dal olarak adlandrlan ikinci bir grnm vardr. Dalin eldeedildiibalangmodeledeprimaladverilmektedir.rnekProblem1.1de kurduumuz DP modelini tekrar ele alalm. Maksimize f = 5x1 + 7x2 2x1 + 3x2 s 60 4x1 + 2x2 s 80 x2, x2 > 0 Bu modelin dali yle ifade edilebilir. Minimize g = 60w1 + 80w2 2w1 + 4w2 > 5 3w1 + 2w2 > 7 w1, w2 > 0 kimodelimukayeseedelim.Primalmodeldekitabiideikenlerinx1,x2ile gsterilmesinekarlkdalmodeldekitabiideikenlerw1,w2ilegsterilmitir. Primaldeamafonksiyonumaksimizeedilirkendaldeminimizeedilmektedir. 62 Primaldeki ama katsaylar dalin sa taraf deerleri olmutur. Benzer ekilde primalin satarafdeerleridalinamakatsaylarolmutur.Primaldekk-eiteklindeki eitsizlikler,daldebyk-eiteklinednmtr.Primalkstlayclarndakisatr katsaylar,dalkstlayclarndastunkatsaylarolmutur.Pozitiflikartdal deikenleri iin de geerlidir. Grlyorki,tipikmaksimizasyontrndekibirmodelindalitipik minimizasyon trnde olmaktadr. Yukardaki dal model, yeniden dal alma ilemine tabitutulursaprimalmodeleldeedilecektir.Ohaldetipikminimizasyontrndekibir modelin dali tipik maksimizasyon trnde olacaktr. Tipik maksimizasyon trndeki bir modelin, matris notasyonuyla, Maksimize f = cx Ax s b x > 0 eklinde ifade edildiini biliyoruz. Dal model de matris notasyonuyla, Minimize g = bw Aw > c w > 0 olarak gsterilebilir. Burada w, (((((

=m21wwww vektrngstermektedir.A,b,cmatrisvevektrlerideA,b,cmatrisve vektrlerinintranspozesidir.Grlyorkiprimaldenadetdeikenvarken,daldem adet, yani primalin kstlayc says kadar deiken vardr. Benzer ekilde, primaldem adet kstlayc varken, dalde n adet kstlayc vardr. Daldeki g fonksiyonu, g = g(w1,w2,, wm) eklindeki bir fonksiyondur. Primalvedalinoptimumzmlerininbirbirineeitolduugsterilebilir.(*) Yani, fmaks = gmin dir.Primalvedalmodellereaitzmlerarasndakimnasebetidahasonraele alacaz. 1.4.5.1 Dal Modelin Yorumu Yukardaelealdmz,rnekProblem1.1eaitprimalmodelinneanlama (*) Wagner, s.135. 63 geldiinibiliyoruz.Szkonusumodeldeiki rnikimakineiinkrmaksimizasyonu amalanmaktayd. Yaniprimal model, firmann en krl ekilde almasn amalayan birretimvedeermodelidir.Szkonusumodelindalineanlamagelmektedirve nasl yorumlanmaldr. Dalmodelinyorumuiinylebiryolizlenebilir.Diyelimkibufirma dardanbirisitarafndanbirdnemiinkiralanmakisteniyor.Kiralamakisteyenkii birinci makinenin birim kapasitesine w1 lira, ikinci makinenin birim kapasitesine dew2 lireteklifediyor.Ohaldebuikimakineninmevcutkapasitelerinedenmesigereken toplam bedel, 60w1 + 80w2 olacaktr. Bu deere g diyelim ve g = 60w1 + 80w2 olarakifadeedelim.Firmaykiralamakisteyenkiibudeerimmknmertebeen dk seviyede tutmak isteyecek, yani minimize etmeye alacaktr. Bu durum, Minimize g = 60w1 + 80w2

eklindeifadeedilebilir.Firmasahipleri,sunulanteklifikabulveyareddetmede serbesttirler.Teklifedilenfiyatlaroseviyedeolmaldrki,firmasahiplerinin, makineleri retimde kullanmalarnn bir avantaj kalmasn. Yani birim rn iin gerekli kapasiteler,nerilenfiyatlarladeerlendirildiindehibirrnretmekkrl olmamaldr.Mesela,rn1iinkullanlankapasiteler,teklifedilenfiyatlarla deerlendirildiinde ortaya kacak frsat maliyeti, 2w1 + 4w2 liradr.Firmasahiplerinin,rn1inherbirimiiingerekenkapasiteleri,retimde kullanmak yerine kiraya vermeye raz olabilmeleri iin bu frsat maliyetinin en azndan rn 1in birim krna eit olmas gerekir. Yani, 2w1 + 4w2 > 5 olmaldr.rn2iindeaynyaklamlahareketedilirsedalmodelinikinci kstlaycs olan, 3w1 + 2w2 > 7 elde edilecektir. Dier taraftan, nerilen fiyatlar negatif olamayacana gre, w1, w2 > 0 olmaldr.Bylecedalmodeltamamlanmolmaktadr.Primalvedalmodellerin optimal zmlerinin eit olduunu biliyoruz. (fmaks = gmin). Bylece firmay kiralamak isteyenkiinindeyeceitoplambedel,firmanneldeedebileceienyksekkraeit olacaktr. 1.4.5.2 Primal-Dal likileri uanakadarprimalvedalmodelleriintipikmaksimizasyonvetipik maksimizasyondurumlarnelealdk.GenelDPmodelleriiinise,primalvedal 64 modeller arasnda Tablo 1.8deki ilikiler geerlidir (*). Tablo1.8dendegrlebileceigibi,primalinamafonksiyonukatsaylar dalinsatarafsabitleriolmakta,primalinsatarafsabitleridalinamafonksiyonu katsaylarhalinegelmektedir.Primaldekikstlayclaraaitjincistnkatsaylar daldekikstlayclarnjincisatrkatsaylarnoluturmakta,primalkstlayclarnn iincisatrkatsaylar,dalkstlayclarnniincistnkatsaylarnadnmektedir. Primaldejincideikenpozitiflikartnauyuyorsadalde