Yazmin Morales Marilu Solano

1

1.INTRODUCCION

En esta unidad se habló sobre el tema de conjuntos y en esta vimos su concepto,

también se tocaron algunos subtemas como por ejemplo Subconjuntos, Diagramas

de Venn, Operaciones y Leyes de Conjunto en este mismo subtema se tocaron los

siguientes puntos Unión, Intersección, Ley distributiva estos fueron los puntos de

que se hablaron en esta unidad.

El siguiente trabajo trata de diferentes ejercicios en donde podemos pones en

práctica los conocimientos adquiridos en esta unidad de los puntos que se hablaron

anterior mente.

El trabajo fue elaborado por estudiantes de la ingeniería en Sistemas

Computacionales.

2

2.INDICE

1. INTRODUCCION………………………………….. Pág. | 1

2. INDICE…………………………………………….....Pág. | 2

3. RESOLUCION DE EJERCICIOS………………… Pág. | 3

3.1 INSTRUCCIÓN

3.2 SOLUCION

4. APLICACIONES DE CONJUNTOS……………… Pág. | 20

5. CONCLUSION…………………………………….. ..Pág. | 21

6. BIBLIOGRAFIA O REFERENCIA DE INTERNET ..Pág. | 22

3

3. RESOLUCION DE EJERCICIOS

3.1 INSTRUCCIÓN

3.1 ¿Cuáles son los elementos de los siguientes conjuntos?

a) A= {x | x es una letra de la palabra hola} b) B= {x | x es un digito del numero 103836}

c) C= {x |x € Z+

; x-4≤ 3} d) D= {x |x es un digito valido en el sistema hexadecimal}

e) E= {x |x € Z; x es divisible entre 3;-4<x<17}

a) A= {x | x es una letra de la palabra hola}

3.2 SOLUCION

A={h, o, l, a,} {o, l, a}

{ l, a}

{a} {h, o, l ,a}

4

3.1 INSTRUCCIÓN


b) B= {x | x es un digito del numero 103836}

3.3 SOLUCION

B = {103836}

= {1, 0, 3, 8 , 6, }

5

3.1 INSTRUCCIÓN


c) C= {x |x € Z+

; x-4≤ 3}

3.2 SOLUCION

C= {-4, -3, -2, 0,+ 1, +2, +3}

6

3.1 INSTRUCCIÓN


d) D= {x |x es un digito valido en el sistema hexadecimal}

3.2 SOLUCION

D ={0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, A, B, C, D, E, F}

7

3.1 INSTRUCCIÓN


e) E= {x |x € Z; x es divisible entre 3;-4<x<17}

3.2 SOLUCION

E = { -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 6, 9, 12, 15,18}

8

3.1 INSTRUCCIÓN

3.3 Escriba el conjunto en la forma {x| P(x)}, donde p(x) es una o varias

propiedades comunes de los elementos del conjunto.

a) A= {suma, resta, multiplicación, división}

b) B= {3, 6, 9, 12, 15,18} c) C= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

d) D= {América, África, Europa, Asia, Oceanía}

e) E= {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

a) A= {suma, resta, multiplicación, división}

3.2 SOLUCION

A= {x | x es el nombre de una Operación Básica}

9

3.1 INSTRUCCIÓN



b) B= {3, 6, 9, 12, 15,18}

3.2 SOLUCION

B= {x | x € Z

+; x es divisible entre 3 ;3 ≤ x ≤ 18}

10

3.1 INSTRUCCIÓN

3.3 Escriba el conjunto en la forma {x| P(x)}, donde p(x) es una o varias propiedades comunes

de los elementos del conjunto.

c) C= {1, 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17}

3.2 SOLUCION

C= { x | x € Z+ ; x es numero primo; x < 18}

11

3.1 INSTRUCCIÓN



d) D= {América, África, Europa, Asia, Oceanía}

3.2 SOLUCION

D= {x | x es Nombre de un Continente}

12

3.1 INSTRUCCIÓN



e) E= {1, 2, 4, 8, 16, 32, 64}

3.2 SOLUCION

E= {x=2n | x € Z

+;n € Z

+;0 ≤ n < 7}

13

3.1 INSTRUCCIÓN

3.5 ¿Cuántos elementos pertenecen al conjunto potencia P(A) y ¿Cuáles son sus

elementos? Si A= {manzana, pera, fresa, sandia,}

3.2 SOLUCION

|P(A)|=24=16

A= {∅ {manzana}, {pera}, {fresa}, {sandia}, {manzana, pera,}, {manzana, fresa},

{manzana, sandia}, {pera, fresa}, {pera, sandia}, {fresa, sandia}, {manzana, pera, fresa}, {manzana, pera, sandia},{manzana, fresa, sandia}, {pera, fresa, sandia},

{manzana, pera, fresa, sandia}}

14

3.1 INSTRUCCIÓN

3.7 sean A B C D E y F conjuntos no vacios. Para cada inciso hacer un diagrama

de ven que cumpla con las condiciones que se plantean

a) A ⊆ (C∩D) E⊆ D C∩D≠∅

B ⊆ E E ⊄ (C ∩ D)

b) F ⊆ A F⊄ (A ∩B) C∩D≠∅

E ⊆ (D-C) (C ⋃ D) ⊆ (A ∩B) A ∩B≠∅

3.2 SOLUCION

A) A ⊆ (C∩D) E⊆ D C∩D≠∅

E ⊄ (C ∩ D)

B ⊆ E

b) F ⊆ A F (A ∩B) C∩D≠∅

E ⊆ (D-C) A∩B≠∅

15

3.1 INSTRUCCIÓN

3.9 Considérese el siguiente Diagrama de Venn

Poner en el paréntesis de cada incisos una “V” si la aseveración es verdadera o bien una “F” si es falsa

3.2 SOLUCION

a) F ⊆ (C-D) (V)

b) E ⊆ D (V)

c) E ⊆ (C ∩ D) (V)

d) (A∩B)= ∅ (F)

e) (D-C) ⊆ (B-A) (F)

f) (C∩D) ⊆ U (V)

g) D={1,2,3,5,6,7,8,13,14} (V)

h) B ⊆ A (F)

i) U-(C ∩ D ) = {4,15,16} (F)

j) E-(C ∩ D )={6} (F)

k) ( C ⊕ D)= {1,2,3,5,9,10,11,12,14} (F)

l) D-U=∅ (V)

m) (B-A)={5,8} (V)

n) 3€ (A ⋃ B) (V)

ñ) 11 ⊄ (C-D) (F)

o) (F ⋃ E) ⊆ C (V)

p) (C ∩ D)’ = {4, 15,16} (V)

q) ( C ∩ E)= ∅ (F)

r) (E-F) ⊆ D (V)

s) (B-E) ⊄(D-C) (F)

16

3.1 INSTRUCCIÓN 3.11

I. Sean los conjuntos: U={a,b,c,d,e,f,g,h,i,j}

A={f,g,h,i,j}; B={a,c,d,f,h,i}; C={c,d,e,f,g,h}; D={a,b,c}

Calcular

a) (A∪ B) ∩ (C∪ D)

b) [(A ∩ D) ∪ B]-C

c) (A ∩ C∩ D) ’ ∪ B

d) (D⊕ B) ∩ A’

e) [(A-B) ∩(D⊕ B)]-(C⊕D’)

II. Sean los conjuntos:

U= {x | x € R}

A= {x | x € R; x2 -1=0}

B ={-1,2,4}

Calcular

a) (A∪ B) ’

b) (A ∩ B) ’

c) (B-A’)

d) (A-B) ⊕ B’

e) (B ⊕ (B-A) ’) ∩ A

3.2 SOLUCION I. Sean los conjuntos:

Calcular

a) (A∪ B) ∩ (C∪ D)

b) [(A ∩ D) ∪ B]-C

c) (A ∩ C∩ D) ’ ∪ B

d) (D⊕ B) ∩ A’

e) [(A-B) ∩(D⊕ B)]-(C⊕D’)

a) (A∪ B) ∩ (C∪ D)

(A∪ B) ∩ (C∪ D)= {F, I, C,}

b) [(A ∩ D) ∪ B]-C

[(A ∩ D) ∪ B]-C= { ∅, A,B,C,F,G,H,I}

c) (A ∩ C∩ D) ’ ∪ B

(A ∩ C∩ D) ’ ∪ B= {A, J}

d) (D⊕ B) ∩ A’

(D⊕ B) ∩ A’= {A, B, C, F, G, H, I,∅}

e) [(A-B) ∩(D⊕ B)]-(C⊕D’)

[(A-B) ∩(D⊕ B)]-(C⊕D’) = {A, B, E, F, G, H}

17

II. Sean los conjuntos:

Calcular

a) (A∪ B) ’

b) (A ∩ B) ’

c) (B-A’)

d) (A-B) ⊕ B’

e) (B ⊕ (B-A) ’) ∩ A

3.2 SOLUCION

a) (A∪ B) ’

(A∪ B) ’= {2, 3}

b) (A ∩ B) ’

(A ∩ B) ’= {1, 2,3}

c) (B-A’) (B-A’)= {2,4}

d) (A-B) ⊕ B’

(A-B) ⊕ B’= {-1, 0, 1, 4}

e) (B ⊕ (B-A) ’) ∩ A

(B ⊕ (B-A) ’) ∩ A= { -1, 2, 3, 4}

18

3.1 INSTRUCCIÓN

3.13 Sean los conjuntos:

U={x | x € Z}

A={x | x € Z; x es primo; 5 < x< 30}

B={9,11,12,13,15,16,17,21,23} C={6,7,8,9,15,17,20,21,22,23,25}

D={x | x € Z; x es impar; 10< x < 20

Calcular

a)[B⊕(C’ ∩ A)]-D’

b) [(B-C)- D’] ∪ (A ⊕ B’)

c)[( C’ ∪ B ) ⊕D ]-A’

d) [ B’⊕( A’∩ C’)]-D

e)[ (A ∩ D’)-( C’⊕ A’)]-B

3.2 SOLUCION

A) [B⊕(C’ ∩ A)]-D’ C’={ X | X € Z; X ∉ {6,7,8,9,15,17,20,21,22,23,25]}}

(C’∩ A) ={11,13,19,29}

B⊕ (C’ ∩ A)= {9, 12,15, 16, 17, 19, 21, 23, 29}

D’= {X | X € Z; X ∉ {11, 13, 15, 17,19,}}

B⊕ (C’ ∩ A)-D’= {15, 17,19}

B) [(B-C)- D’] ∪ (A ⊕ B’) (B-C)= {9, 11, 12, 13,16}

D’={X | X € Z; X ∉ {11,13,15,17,18}}

[(B-C)- D’]={11,13}

B’= {X| X € Z; X ∉ {9, 11, 12, 13, 15, 16, 17, 21,23}}

(A ⊕ B’)={X | X € Z; X ∉{7, 9, 12, 15, 16 ,19, 21, 29}}

[(B-C)- D’] ∪ (A ⊕ B’)={X|X € Z; X ∉{7, 9, 12, 16,19, 21, 29}}

C) [( C’ ∪ B ) ⊕D ]-A’ C’={X |X € Z; X ∉{6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25}}

( C’ ∪ B)= {X | X € Z; X ∉{6, 7, 8, 20, 22, 25}}

[( C’ ∪ B ) ⊕D ]= {X | X € Z; X ∉{6,7 8, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 22, 25}}

A’ = {X | X € Z; X ∉{7, 11, 13, 17, 19, 23, 29}}

[( C’ ∪ B ) ⊕D ]-A’= {2, 3, 2,9}

D) [B’⊕( A’∩ C’)]-D

A’={X | X € Z; X ∉{7, 11, 13, 17, 19,23 ,29}}

C’={X | X € Z; X ∉{6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25,}}

( A’∩ C’) ={X | X € Z; X ∉{6, 7, 8, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 20, 21, 22, 23, 25, 29}}

B’={X | X € Z; X ∉{9,11, 12, 13, 15, 16, 17, 21, 23}}

[B’⊕( A’∩ C’)] ={6, 7, 8, 12, 16, 19, 20, 22, 25, 29}}

[B’⊕( A’∩ C’)]-D = {6, 7, 8,12 16, 20, 22, 25, 29,}}

19

E) [ (A ∩ D’)-( C’⊕ A’)]-B

D’= {X | X € Z; X ∉{11,13, 15, 17, 19}}

(A ∩ D’)= {7, 23, 29}

C’={X | X € Z; X ∉{6, 7, 8, 9, 15, 17, 20, 21, 22, 23, 25}}

A’={X | X € Z; X ∉{7, 11, 13, 17, 19,23, 29}}

( C’⊕ A’)={6, 8, 9, 11, 13, 15, 19, 20, 21, 25, 29}}

[ (A ∩ D’)-( C’⊕ A’)]-B= {7}

20

4. APLICACIONES DE CONJUNTOS

En informática , un conjunto es una colección (contenedor) de ciertos valores, sin ningún orden concreto ni valores

repetidos. Su correspondencia en las matemáticas sería el conjunto finito. Sin tener en cuenta la secuencia, ni el hecho

de que no haya valores repetidos, se asemeja a una lista. Un conjunto puede verse como una cadena asociativa (array)

(mapeado parcial) donde no se atiende al valor de cada par clave-valor.

Implementaciones

Los conjuntos pueden implementarse usando diversas estructuras de datos. Con una estructura de datos ideal se

comprueba si un objeto se encuentra en el conjunto, además de activarse otras operaciones útiles tales como la iteración

sobre todos los objetos del conjunto, la realización de uniones o intersecciones entre dos conjuntos, o la toma del

complemento de un conjunto en algún dominio limitado. Cualquier estructura de datos en cadena asociativa puede

usarse para implementar un conjunto, dejando que los juegos de claves sean los elementos del conjunto, e ignorando los

valores. Gracias a su parecido con las series asociativas, los conjuntos se implementan habitualmente por los mismos

medios, es decir, un árbol binario de búsqueda auto-balanceable para conjuntos ordenados (con O (log n) para la

mayoría de operaciones), o una tabla hash para conjuntos no ordenados (que tienen O(1) en el caso promedio, pero O

(n) en el peor caso, para la mayoría de operaciones). Es posible usar una tabla de hash lineal ordenada para crear

conjuntos deterministamente ordenados. Otros métodos generalizados incluyen las cadenas (array). En particular, un

subconjunto de enteros 1..n puede ser implementado de manera eficaz como en una matriz de bits con n bits, que

además ofrece operaciones de unión e intersección muy eficaces. El filtro Bloom implementa un conjunto por

probabilidad, por medio de una muy compacta representación, pero arriesgando una pequeña probabilidad de falsos

positivos en interrogantes. Sin embargo, casi ninguna de estas estructuras de datos ofrece operaciones de conjuntos

como de unión o de intersección de manera fiable. Para dichas operaciones existen otras estructuras de datos de

conjunto más especializadas.

Soporte de lenguajes

Uno de los primeros lenguajes que soportaban conjuntos fue Pascal; muchos lenguajes lo incluyen ahora, ya sea en el

núcleo del lenguaje o en una librería estándar. El Lenguaje de programación Java ofrece la interfaz Set para el soporte

de conjuntos (donde lo implementa la clase HashSet usando una tabla hash), y la sub-interfaz SortedSet para dar

soporte a conjuntos ordenados (implementado por la clase TreeSet por medio de un árbol de búsqueda binario). En

C++, STL ofrece la clase "conjunto" para templates, que implementa a un conjunto ordenado usando un árbol de

búsqueda binario; el STL de SGI ofrece la clase "hash_set", implementando conjuntos con una tabla de hash. Python

tiene un tipo de conjunto incorporado, pero no un conjunto en sí.

Multiconjunto

Una variación del conjunto es el multiconjunto o bolsa, que es lo mismo que una estructura de datos de conjunto, pero

que admite valores repetidos. Formalmente, un multiconjunto se puede considerar como una serie asociativa que mapea

elementos únicos en enteros positivos, indicando la multiplicidad del elemento, aunque la implementación propiamente

dicha pueda variar. En C++, la biblioteca de templates estándar (Standard Template Library) ofrece la clase "multiset"

para los multiconjuntos ordenados, y la STL de SGI ofrece la clase "hash_multiset", que implementa conjuntos usando

una tabla hash. Las colecciones de Apache Commons ofrecen la interfaz Bag y SortedBag para Java; además de

implementar clases como HashBag y TreeBag, que son semejantes a otras implementaciones de conjuntos con nombres

similares

http://es.wikipedia.org/wiki/Inform%C3%A1tica

http://es.wikipedia.org/wiki/Estructura_de_datos

http://es.wikipedia.org/wiki/Hash

http://es.wikipedia.org/wiki/Array

http://es.wikipedia.org/wiki/Lenguaje_de_programaci%C3%B3n_Pascal

http://es.wikipedia.org/wiki/Enteros

http://es.wikipedia.org/wiki/Java_(Sun)

21

5.CONCLUSION

Los conocimientos adquiridos en esta unidad nos pueden de

ser de mucha utilidad para un Ing. en Sistemas

Computacionales en un futuro El cual desarrollaremos al

futuro y es ahí en donde aplicaremos nuestros

conocimientos a prendidos en esta unida

22

6.BIBLIOGRAFIA O REFERENCIA DE

INTERNET

Nombre del Libro: Matemáticas para la Computación

Autor: José Alfredo Jiménez Murillo

Editorial: Alfaomega

Primera Edición Diciembre 2008

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_%28programaci%C3%B3n%29

Esta página fue modificada por última vez el 26 mar 2013, a las 16:34.

http://es.wikipedia.org/wiki/Conjunto_%28programaci%C3%B3n%29

Yazmin Morales Marilu Solano

Documents

Transcript of Yazmin Morales Marilu Solano