Wykorzystanie programu Statistica do rozwiązywania ... · Dla potencjalnego indywidualnego...
Transcript of Wykorzystanie programu Statistica do rozwiązywania ... · Dla potencjalnego indywidualnego...
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
101
WYKORZYSTANIE PROGRAMU STATISTICA DO ROZWIĄZYWANIA
ZŁOŻONYCH ZAGADNIEŃ W OBSZARZE INŻYNIERII MATERIAŁÓW
BUDOWLANYCH
Janusz Konkol, Katedra Inżynierii Materiałowej i Technologii Budownictwa,
Politechnika Rzeszowska
Zastosowanie narzędzi i metod statystycznych w inżynierii materiałów budowlanych jest
coraz powszechniejsze. Specyfika badań materiałów budowlanych różni się jednak od
szeroko opisywanych w literaturze i popartych licznymi przykładami wyników badań
społecznych, ekonomicznych czy biomedycznych. Zachodzi zatem konieczność prezento-
wania i publikowania badań własnych z obszaru inżynierii materiałów budowlanych, co nie
tylko umożliwia osiągnięcie założonego przez badacza celu utylitarnego i aplikacyjnego,
ale również pokazuje możliwości i korzyści wynikające z zastosowania narzędzi i metod
statystycznych, podając jednocześnie wzorce postępowania w tego rodzaju badaniach.
W odpowiedzi na tak zdefiniowaną potrzebę w artykule przedstawione zostały między
innymi przykłady wykorzystania podejścia statystycznego, przy użyciu programu
Statistica, do opracowania procedur projektowania betonów modyfikowanych dodatkami
o właściwościach pucolanowych, jak również przykłady podejścia do istotnego z punktu
widzenia inżynierii materiałowej zagadnienia modelowania powiązań między technologią,
strukturą i właściwościami tych betonów.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
102
Projektowanie betonów to nie tylko nauka, ale i sztuka
Jednym z zagadnień badawczych w obszarze inżynierii materiałów budowlanych jest
szeroko rozumiane projektowanie betonów cementowych, uwzględniające między innymi:
opracowanie podstaw naukowych, a w konsekwencji także praktycznych, otrzymywania
nowych generacji betonów oraz możliwości wykorzystania innych poza cementem mater-
iałów wiążących, w tym także nieujętych w normie PN-EN 206-1. Do betonów o szczegól-
nych właściwościach można zaliczyć betony modyfikowane dodatkiem prażonego kaolinu
bądź popiołu z kotłów o spalaniu fluidalnym. Oba dodatki należą do grupy dodatków
o właściwościach pucolanowych (według PN-EN 206-1 dodatek typu II), które mogą być
stosowane jako częściowy substytut cementu. Poprzez zmniejszenie ilości cementu, a tym
samym zmniejszenie, wynikającej z procesu jego produkcji, emisji CO2, ich użycie należy
zaliczyć do działań proekologicznych. Dodatkowo w przypadku popiołów fluidalnych,
będących materiałem odpadowym, jego zastosowanie do betonów stwarza możliwość
utylizacji tego odpadu oraz zmniejsza koszty związane z jego składowaniem.
Dla potencjalnego indywidualnego odbiorcy betonu rozwój technologii betonu widoczny
jest obecnie między innymi przez mnogość dostępnych na rynku dodatków, domieszek, jak
również materiałów wiążących. Stwarza to konieczność odpowiedniego doboru tych skład-
ników, przy zwróceniu uwagi na kwestię ich kompatybilności. Projektant dostaje zatem
trudne zadanie odpowiedniego skomponowania składników betonu w taki sposób, aby
powstały produkt spełniał stawiane mu wymagania, nie tylko w aspekcie odpowiednich
właściwości wytrzymałościowych, ale także trwałości. W zależności od rodzaju i stopnia
agresywności środowiska pracy betonu norma PN-EN 206-1 wyróżnia tzw. klasy ekspo-
zycji, podając jednocześnie wymagania dla projektanta, których spełnienie gwarantuje
trwałość betonu w tym środowisku. W przypadku stosowania wymienionych powyżej
niekonwencjonalnych dodatków istnieje potrzeba badań w celu sprecyzowania wymagań
związanych z zapewnieniem odpowiedniej wytrzymałości i trwałości tych betonów.
Okazuje się wówczas, że technologia betonu to nie tylko nauka (gr. lógos), ale i sztuka
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
103
(gr. téchne), a ustalenie składu betonów modyfikowanych musi być poprzedzone licznymi
badaniami.
Głównym celem badań eksperymentalnych jest poznanie prawideł rządzących danym zja-
wiskiem, a w efekcie ustalenie zależności między badanymi cechami a przyjętymi zmien-
nymi niezależnymi. Przeprowadzenie badań przy minimalizacji nakładów finansowych, jak
i minimalizacji ich czasochłonności zapewnia zastosowanie już na etapie programowania
badań teorii planowania eksperymentu [1,2].
Głównym czynnikiem związanym z właściwościami betonu, w tym jego trwałością, jest
struktura betonu. Narzędzia i metody pozwalające na ilościowy opis struktury betonu daje
inżynieria materiałowa. Inżynieria materiałowa jest nauką interdyscyplinarną zajmującą się
wieloaspektowym zagadnieniem materiałów, ich budową, metodami kształtowania i bada-
niem ich właściwości. Wynikająca z tego podejścia wieloaspektowość i mnogość infor-
macji wymusza konieczność stosowania narzędzi statystycznych do opracowania wyników
badań i wnioskowania.
W artykule przedstawiono przykłady zastosowania programu Statistica do planowania
eksperymentu i opracowania wyników badań zmierzających do stworzenia procedur pro-
jektowania betonów modyfikowanych dodatkami nie ujętymi w normie PN-EN 206-1.
Optymalizacja składu betonu z dodatkiem popiołu fluidalnego
W wyniku zaplanowanych, a następnie przeprowadzonych badań badacz otrzymuje zbiór
informacji o właściwościach materiału. Często jednak rozwiązania optymalne ze względu
na poszczególne właściwości leżą w różnych punktach dziedziny eksperymentu, a niekiedy
są to rozwiązania wzajemnie się wykluczające. Rolą projektanta jest wówczas znalezienie
kompromisu. Rozwiązanie takiego zadania można uzyskać przy użyciu optymalizacji
wielokryterialnej. Jednym z narzędzi pozwalających na przeprowadzenie tego etapu badań
jest program Statistica.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
104
W pierwszej kolejności zadaniem badacza jest odpowiedni dobór planu, przyjęcie zmien-
nych niezależnych oraz przedziałów ich zmienności [1,2]. Należy zaznaczyć, że błędów
popełnionych na tym etapie badań nie można będzie skorygować w następnych etapach
badań.
Prezentowany przykład dotyczy optymalizacji składu betonu z dodatkiem modyfikowa-
nego mechanicznie popiołu fluidalnego ze względu na trzy wybrane jego właściwości:
wytrzymałość na ściskanie (ważną cechę z uwagi na bezpośrednie odniesienie do klasy
wytrzymałości i wymagań normowych w tym względzie), odporność na pękanie (cechę
istotną z uwagi na występujące w betonie nieciągłości struktury) oraz porowatość
stwardniałego betonu (przekładającą się na trwałość betonu). Jako miarę odporności na
pękanie przyjęto krytyczny współczynnik intensywności naprężeń KIcS.
Poprawę szczelności, a w efekcie trwałości betonu, można uzyskać między innymi poprzez
zastosowanie dodatków pylastych, o ziarnach o rozmiarach mniejszych niż ziarna cementu.
Mogą być one obojętnymi, pełniącymi jedynie rolę wypełniacza w betonie, jak również
mogą mieć właściwości wiążące. Zaletą drugiej grupy dodatków jest uszczelnienie
mikrostruktury betonu na skutek zachodzących reakcji chemicznych, w wyniku których
ziarna dodatku łączą się ze stwardniałym zaczynem cementowym. Jednym z dodatków o
właściwościach wiążących jest aktywowany mechanicznie popiół z kotłów o spalaniu
fluidalnym (FL). Z uwagi na właściwości wiążące tego dodatku może on zastępować
pewną część cementu. Jak potwierdziły badania [3-7] nie bez znaczenia pozostaje jednak
określenie optymalnego udziału tego dodatku w stosunku do masy cementu (c). Główną
zaletą stosowania tego typu ubocznych produktów spalania UPS jest ich utylizacja,
przyczyniająca się do ochrony środowiska.
W celu uzyskania pełnego obrazu zachodzących zmian właściwości betonu (wytrzymałość
na ściskanie fc, odporność na pękanie KIcS oraz porowatość) oraz podania zależności
w postaci aproksymujących funkcji obiektu badań zaprogramowano badania, przyjmując
dwie zmienne determinujące skład mieszanki betonowej. Były to: stosunek woda/spoiwo
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
105
w/s, w którym po stronie spoiwa uwzględniono również dodatek popiołu fluidalnego, oraz
udział dodatku w stosunku do łącznej masy spoiwa FL/s (s=k·FL+c).
Oprócz zmiennych niezależnych (wielkości wejściowych) przyjęto również wartości stałe.
Założono utrzymanie stałej konsystencji mieszanki betonowej regulowanej doświadczalnie
ustaloną ilością upłynniacza. Brak takiego założenia mógłby spowodować uzyskanie mie-
szanek betonowych o nieodpowiedniej ze względów wykonawczych urabialności, czego
skutkiem byłoby na przykład powstawanie dużych porów strukturalnych i wzrost porowa-
tości. Wielkością stałą był także rodzaj i klasa cementu (CEM I 32,5R), rodzaj dodatku, ro-
dzaj kruszywa grubego (grys bazaltowy z m. Wilków) i drobnego (piasek kwarcowy
z m. Strzegocice), proporcja kruszywa grubego do drobnego (optymalny stos okruchowy),
sposób dozowania składników, sposób i czas mieszania oraz zagęszczenia mieszanki beto-
nowej, warunki dojrzewania próbek, czas i sposób badania, jak również zastosowany
sprzęt.
Program badań
Plan badania wygenerowano za pomocą programu Statistica. Z uwagi na liczbę zmiennych
decyzyjnych oraz przewidywany nieliniowy wpływ zmiennych niezależnych na badane
właściwości (zmienne zależne) wybrano plan centralny kompozycyjny z pięciowartoś-
ciowymi wielkościami wejściowymi (-, -1, 0, +1, +), dostępny w module Planowanie
doświadczeń DOE.
Uzyskano plan wymagający przeprowadzenia doświadczenia w 10 punktach (rys. 1).
Jednak sugerowany punkt 10 (dodatkowy punkt w centrum planu) został usunięty z uwagi
na planowane powtórzenia we wszystkich punktach planu badań.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
106
Rys. 1. Wygenerowany plan centralny kompozycyjny przy dwóch wielkościach wejściowych.
Plan eksperymentu określony jest przez ustaloną liczbę kombinacji wartości unormowa-
nych, kodowych i
x̂ wynoszących w przypadku zastosowanego planu: 0, 1 i 1,414
(rys. 1). Operowanie bezwymiarowymi wartościami wielkości wejściowych eliminuje
problemy mogące wystąpić w przypadkach, gdy wartości wielkości wejściowych są w du-
żym stopniu zróżnicowane oraz jednocześnie pozwala na duży stopień uogólnienia stoso-
wanych procedur. Dla wybranego planu relacja standaryzowania opisana jest wzorem:
)(2
ˆ)(2ˆ
min,max
min,max,
ii,i
i
ii
iii xx
xxx
xx
xxx
i lub , i=1,2, (1)
gdzie: ix̂ – wartość unormowana (kodowa); – ramię gwiezdne planu; w przyjętym planie
= 1,414 (alfa rotalność); xi – wartość rzeczywista kolejnej zmiennej; xi, max, xi, min – war-
tości maksymalna i minimalna kolejnej zmiennej rzeczywistej; ix – wartość średnia kolej-
nej zmiennej rzeczywistej.
Przyjęty plan przewiduje przeprowadzenie badań dla pięciu wartości pośrednich wielkości
wejściowych x1 (w/s) i x2 (FL/s). Na podstawie doświadczenia, stanu wiedzy i możliwości
technicznych przyjęto zakres zmienności stosunku woda/spoiwo w/s od około 0,35 do 0,54
oraz zakres zmienności stosunku popiół fluidalny/spoiwo FL/s od około 0,02 do 0,15.
2**(2) centr. kompozyc., nc=4 ns=4 n0=2 Ukł.=10 (Dane)Standard
Układ x1 x2
1
2
3
4
5
6
7
8
9 (C)
10 (C)
-1,00000 -1,00000
-1,00000 1,00000
1,00000 -1,00000
1,00000 1,00000
-1,41421 0,00000
1,41421 0,00000
0,00000 -1,41421
0,00000 1,41421
0,00000 0,00000
0,00000 0,00000
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
107
Dokładne ustalenie wartości wielkości wejściowych oraz ich sposób dyskretyzacji, ściśle
związany z planem badań, przeprowadzono w generatorze planu. Ostatecznie uzyskano
plan eksperymentu pokazany na rys. 2, a skład poszczególnych serii betonów, uzyskany
w oparciu o doświadczalnie ustaloną podstawową recepturę mieszanki betonowej [6], zes-
tawiono w tabeli 1. Zmiana stosunku woda/spoiwo oraz różnica gęstości cementu i dodatku
powoduje, że zestawione w tabeli 1 receptury pozwalają na uzyskanie mieszanek beto-
nowych o różnej objętości. Ze względów praktycznych należy zatem przeliczyć otrzymane
składy na 1 m3 mieszanki betonowej (patrz poz. [6,7]).
Rys. 2. Graficzna prezentacja centralnego kompozycyjnego planu eksperymentu.
0.353 0.380 0.445 0.510 0.537
Stosunek woda/spoiwo, w/s
0.021
0.04
0.085
0.13
0.149
Masa p
op
iołu
flu
idaln
eg
o d
o m
asy s
po
iwa
seria 1
seria 4
seria 3
seria 6
seria 8
seria 7
seria 9seria 5
seria 2
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
108
Tabela 1. Zestawienie zmiennych w planie badań oraz składników poszczególnych serii betonów.
Seria
Zmienna Skład mieszanki betonowej według przyjętego
planu w kg
w/s FL/s Cement FL Woda Piasek Bazalt
1 0,380 0,04 435,8 18,2 172,5
739,3 1212,5
2 0,380 0,13 395,0 59,0 172,5
3 0,510 0,04 435,8 18,2 231,5
4 0,510 0,13 395,0 59,0 231,5
5 0,353 0,085 415,4 38,6 160,3
6 0,537 0,085 415,4 38,6 243,8
7 0,445 0,021 444,3 9,7 202,0
8 0,445 0,149 386,5 67,5 202,0
9 0,445 0,085 415,4 38,6 202,0
Praktyczne uwagi i wskazówki dotyczące stosowania planu kompozycyjnego zostały opi-
sane szerzej w pracach [1,2].
Realizacja badań
Badania wytrzymałości na ściskanie fc wykonano po 180 dniach dojrzewania próbek
sześciennych o krawędzi 0,1 m, przechowywanych w warunkach laboratoryjnych.
Badania odporności na pękanie (określenie KIcS) przeprowadzono na belkach o wymiarach
0,08×0,15×0,70 m ze szczeliną pierwotną długości 0,05 m [8,9]. Badania przeprowadzono
również po 180 dniach dojrzewania próbek w warunkach laboratoryjnych.
2 cm
prawy
margines
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
109
Określenie porowatości stwardniałego betonu przeprowadzono na podstawie analizy płas-
kich przekrojów betonu przy zastosowaniu metod stereologicznych, obliczając powierz-
chnię względną porów AAP [10,11].
Wyznaczono miary położenia (wartość średnią) i rozproszenia (błąd standardowy wartości
średniej). Wyniki badań zestawiono w tabeli 2 w nawiasach podając liczbę próbek do
badań.
Tabela 2. Wyniki badań betonów z dodatkiem popiołu fluidalnego.
Seria
Wyniki badań
fc ± błąd stand. śred.
MPa
KIcS ± błąd stand. śred.
MN/m3/2
AAP ± błąd stand. śred.
-
1 78,1±1,75 (8) 1,561±0,065 (4) 0,029±0,0013 (12)
2 80,1±1,04 (8) 1,471±0,043 (4) 0,028±0,0016 (12)
3 55,3±1,15 (8) 1,300±0,083 (4) 0,023±0,0016 (12)
4 53,2±1,19 (8) 1,290±0,081 (4) 0,023±0,0020 (12)
5 82,0±1,42 (12) 1,544±0,062 (4) 0,028±0,0013 (12)
6 50,4±0,64 (10) 1,260±0,036 (4) 0,023±0,0013 (12)
7 66,3±0,53 (8) 1,484±0,033 (4) 0,030±0,0014 (12)
8 71,9±1,45 (14) 1,457±0,070 (4) 0,032±0,0012 (12)
9 63,1±1,08 (8) 1,380±0,089 (4) 0,028±0,0014 (12)
Określenie funkcji obiektu badań
Procedurę określenia funkcji obiektu badań rozpoczęto od wykazania jednorodności
wariancji dla wszystkich badanych właściwości betonu (fc, KIcS i AAP). Jest to warunek
konieczny do spełnienia, gdyż brak jednorodności wariancji uniemożliwia poszukiwanie
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
110
funkcji obiektu badań. W analizie jednorodności wariancji, jak i w pozostałych analizach
statystycznych przyjęto poziom istotności równy 0,05.
Przed wyznaczeniem funkcji obiektu badań za pomocą testu F Snedecora (Fishera) dla
prób o różnej liczebności wykazano także istotny wpływ wielkości wejściowych xi na wiel-
kość wyjściową (korelacja kwalitatywna). Weryfikację przeprowadzono; wykorzystano
moduł Statystyki podstawowe i tabele ( Przekroje, prosta ANOVA, Analiza war-
iancji). Uzyskane wartości poziomu istotności p mniejsze od 0,05 (rys. 3, ostatnia kolumna
tabeli poniżej) świadczą o istotnym wpływie wielkości wejściowych na wyjściowe, jak
również o statystycznej istotności zróżnicowania średnich.
Analiza wariancji (Porowatosc Flubet)
Zaznaczone efekty są istotne z p < ,05000
Zmienna
SS
Efekt
df
Efekt
MS
Efekt
SS
Błąd
df
Błąd
MS
Błąd
F p
AAP 0,000985 8 0,000123 0,002565 99 0,000026 4,754444 0,000058
Rys. 3. Wyniki analizy wariancji dla powierzchni względnej porów AAP (porowatości).
Przeprowadzona analiza wariancji, przy zastosowaniu testu F, wykazała zatem istotny
wpływ zmiany stosunku woda/spoiwo w/s oraz stosunku popiół fluidalny/spoiwo FL/s na
wszystkie cechy badanego betonu (fc, KIcS i AAP)
Następnie przy wykorzystaniu modułu Planowanie doświadczeń DOE przeprowadzono
dalszą analizę prowadzącą do uzyskania funkcji obiektu badań.
Przeprowadzono dekompozycję obiektu badań, polegającą na utworzeniu trzech obiektów
badań charakteryzowanych jedną wielkością wyjściową (analizy wykonywane oddzielnie
dla fc, KIcS i AAP), oraz zaproponowano funkcję aproksymacyjną postaci wielomianu
drugiego stopnia:
21522423
212110 xxBxBxBxBxBBz
(2)
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
111
Weryfikację funkcji regresji, tj.: istotności efektów, istotności współczynników Ai oraz
adekwatności funkcji przeprowadzono na wartościach unormowanych i
x̂ dla funkcji
obiektu badań postaci:
21522423
212110 x̂x̂Ax̂Ax̂Ax̂Ax̂AAz (3)
Na podstawie analizy istotności efektów usunięto efekty uznane za nieistotne (patrz rys. 3
p<0,05). W przypadku porowatości efektami nieistotnymi okazały się: efekt liniowy
i kwadratowy związany ze zmienną FL oraz efekt współdziałania obu zmiennych (rys. 4).
Ostatecznie uzyskano funkcje regresji postaci (rys. 5):
29988414351805150 )s/FL(,s/FL,s/w,,f c (4)
s/w,,K S
Ic 62411392 (5)
2553304589006530 )s/w(,s/w,,AAP (6)
gdzie: w/s – stosunek woda/spoiwo; FL/s – masa popiołu fluidalnego w stosunku do
łącznej masy spoiwa (cement + popiół fluidalny).
Współczynniki determinacji R2 dla modeli (4)-(6) wyniosły odpowiednio 0,898; 0,409 oraz
0,218. Niskie współczynniki determinacji dla krytycznego współczynnika intensywności
naprężeń KIcS oraz powierzchni względnej porów AAP spowodowane są typowymi dla tych
cech, względnie dużymi rozrzutami pojedynczych wyników badań.
Dokonano sprawdzenia adekwatności zaproponowanych funkcji aproksymujących. Uzys-
kane wartości poziomu p w wierszu brak dopasowania (zaznaczona opcja składniki błędu
ANOVA czysty błąd, w zakładce Model) większe od 0,05 potwierdzają adekwatność
otrzymanych funkcji (rys. 6).
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
112
Rys. 4. Analiza istotności efektów - wykres Pareto.
Rys. 5. Uzyskane funkcje aproksymujące w przypadku kolejno: wytrzymałości na ściskanie fc,
krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS oraz porowatości AAP.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
113
Dla wszystkich trzech cech betonów uzyskano ich wzrost na skutek zmniejszania się sto-
sunku woda/spoiwo. Wpływ zmiennego udziału dodatku popiołu fluidalnego okazał się
istotnym jedynie dla wytrzymałości na ściskanie fc.
ANOVA; Zmn.:AA; R^2= ,21847;Popr:,20358
2 wielk. , 1 Bloki , 108 ukła;Czysty błąd MS=,0000259
ZZ AA
Wejśc. SS df MS F p
(1)w/s(L)
w/s(Q)
Brak dopas.
Czysty bł.
Całk. SS
0,000455 1 0,000455 17,58007 0,000060
0,000320 1 0,000320 12,35785 0,000664
0,000210 6 0,000035 1,34961 0,242632
0,002565 99 0,000026
0,003550 107
Rys. 6. Tabela ANOVA – wynik sprawdzenie istotności efektów oraz adekwatności funkcji.
Optymalizacja składu betonów
Optymalizację składu betonów przeprowadzono w module Planowanie doświadczeń wy-
bierając opcję Profil użyteczności odpowiedzi w zakładce Predykcja i profile. Optymali-
zację przeprowadzono dla przyjętych wartości dolnej, pośredniej i górnej danej wielkości
wyjściowej, przypisując im odpowiednie wartości użyteczności (rys. 7). W przypadku
właściwości fc i KIcS wartości użyteczności 1,0 przypisano wartościom górnym tych cech
(kryterium maksimum fc i KIcS). W przypadku natomiast porowatości AAP wartość użytecz-
ności 1,0 przypisano wartości dolnej tej cechy (kryterium minimum AAP).
Parametry funkcji użyteczności (Op tymalizacja Flubet)
Ustawienia f. użyteczności
dla każdej zmn. zależnej
Zmienna
Dolna
Wartość
Użyteczn
Wartość
Pośred.
Wartość
Użyteczn
Wartość
Górna
Wartość
Użyteczn
Wartość
fc180
KIcS180
AAP
61,8 0,0 68,5 0,5 75,1 1,0
1,39 0,0 1,45 0,5 1,51 1,0
0,026 1,0 0,028 0,5 0,030 0,0
Rys. 7. Zestawienie parametrów funkcji użyteczności.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
114
Korzystając z opcji Profil użyteczności odpowiedzi, należy pamiętać, że optymalizację ze
względu na kilka wielkości wyjściowych, w przypadku gdy uzyskano różne modele dopa-
sowania dla tych wielkości mierzonych, należy przeprowadzać na odpowiednio przygoto-
wanych danych. Na podstawie właściwego dla danej wielkości wyjściowej modelu należy
obliczyć wartości przewidywane wielkości wyjściowej w kolejnych punktach planu ekspe-
rymentu. Wartości te stanowią wówczas bazę do przeprowadzenia optymalizacji. Optyma-
lizacja nie może być przeprowadzana na podstawie danych z arkusza wyników z badań,
gdyż dopasowane w tym przypadku modele będą zawierały wszystkie wyrazy wielomianu
aproksymującego, a nie jak wynika z analizy tylko wybrane składniki (modele (4)-(6)).
Optymalizację przeprowadzono przy ustawieniu wejścia na wartości optymalne funkcji
użyteczności, stosując dwie opcje poszukiwania optymalnej użyteczności: Zastosuj ogólną
optymalizację funkcji oraz Optimum użyteczności w węzłach siatki. Liczbę kroków siatki
przyjęto równą 20.
Maksymalną użyteczność otrzymano dla stosunku w/s = 0,353 oraz stosunku FL/s = 0,149.
Rozwiązanie to uzyskano przy zastosowaniu zarówno opcji Zastosuj ogólną optymalizację
funkcji, jak i opcji Optimum użyteczności w węzłach siatki (rys. 8 i 9).
Bieżące specyfikacje i aproksymowane odpowiedzi (Optymalizacja Flubet)
Aproksymowane odpowiedzi przy bieżących
poziomach wielkości wejśc.
wartości
w/s
wartości
FL/s
Aproksym
fc180
Aproksym
KIcS180
Aproksym
AAP
Użyteczn
Wartość
,35308 ,14864 87,30263 1,565598 0,027778 0,822018
Rys. 8. Wyniki optymalizacji dla opcji Optimum użyteczności w węzłach siatki.
Bieżące specyfikacje i aproksymowane odpowiedzi (Optymalizacja Flubet)
Aproksymowane odpowiedzi przy bieżących
poziomach wielkości wejśc.
wartości
w/s
wartości
FL/s
Aproksym
fc180
Aproksym
KIcS180
Aproksym
AAP
Użyteczn
Wartość
,35308 ,14855 87,28909 1,565598 0,027778 0,822018
Rys. 9. Wyniki optymalizacji dla opcji Zastosuj ogólną optymalizację funkcji.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
115
Rys. 10. Wykres powierzchniowy i warstwicowy funkcji użyteczności dla trzech kryteriów
optymalizacji i dwóch zmiennych niezależnych.
Rys. 11. Profile aproksymowanych wartości w/s i FL/s oraz użyteczności.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
116
Opcja Profil użyteczności odpowiedzi w module Planowanie doświadczeń umożliwia
również uzyskanie wykresu powierzchniowego i warstwicowego funkcji użyteczności
w zależności od wartości wielkości wejściowych (rys. 10), jak również wykreślenie profili
aproksymowanych wartości oraz odpowiadającej im użyteczności (rys. 11).
Ciekawym spostrzeżeniem praktycznym wynikającym z przeprowadzonej analizy jest wi-
doczny na rys. 10 i 11 niewielki wpływ zmiennego udziału dodatku popiołu fluidalnego FL
na wartość użyteczności, co może sugerować zbliżony efekt działania tego dodatku w sto-
sunku do cementu.
W wyniku przeprowadzonej analizy nasuwa się także wniosek dużo skuteczniejszego dzia-
łania modyfikowanego mechanicznie popiołu fluidalnego w odniesieniu do konwencjo-
nalnego popiołu lotnego.
Analiza związków struktury betonu modyfikowanego z jego odpornością na pękanie
Jednym z zadań inżynierii materiałowej jest dążenie do określenia zależności między struk-
turą a właściwościami materiału. Poniższy przykład dotyczy relacji uzyskanej w przypadku
betonu modyfikowanego oddzielnie trzema dodatkami o właściwościach pucolanowych:
pyłem krzemionkowym (PK), aktywowanym mechanicznie popiołem fluidalnym (FL) lub
metakaolinitem (MK) [12]. Plan badań przyjęto podobnie jak w przykładzie pierwszym.
Wybranymi do analizy właściwościami betonu były: wytrzymałość na ściskanie oraz
odporność na pękanie (tabela 3). Strukturę betonu opisano ilościowo przy pomocy para-
metrów fraktograficznych, charakteryzujących powstałą na skutek zniszczenia powierz-
chnię przełomu oraz parametrów stereologicznych określanych na płaskich przekrojach.
Analizę przeprowadzono zarówno dla fazy kruszywa grubego, jak również fazy porów
powietrznych. W obu przypadkach określono powierzchnię względną, odpowiednio: kru-
szywa grubego SVK i porów SVP.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
117
Tabela 3. Wyniki badań wytrzymałości na ściskanie fc i krytycznego współczynnika intensywności
naprężeń KIcS po 28 dniach dojrzewania betonu.
Seria
Właściwości betonu z dodatkiem
popiołu fluidalnego (FL) metakaolinitu (MK) pyłu krzemionkowego
(PK)
fc± błąd
stand. śred.
MPa
KIcS± błąd
stand. śred.
MN/m3/2
fc± błąd
stand. śred.
MPa
KIcS± błąd
stand. śred.
MN/m3/2
fc± błąd
stand. śred.
MPa
KIcS± błąd
stand. śred.
MN/m3/2
1 58,3±1,2 1,49±0,03 53,7±0,5 1,44±0,04 54,8±1,1 1,25±0,04
2 61,0±1,1 1,58±0,03 61,0±1,2 1,57±0,02 65,3±1,1 1,53±0,05
3 40,0±0,9 0,90±0,05 40,8±1,2 0,94±0,03 39,2±0,7 0,92±0,02
4 40,9±0,6 1,17±0,03 41,3±0,4 1,02±0,06 40,2±1,3 0,97±0,03
5 63,8±0,4 1,47±0,05 63,7±0,6 1,52±0,03 66,1±0,7 1,58±0,01
6 41,5±1,4 1,06±0,05 37,2±0,8 0,97±0,01 38,6±0,5 0,93±0,03
7 45,2±0,8 1,23±0,04 46,7±0,5 1,25±0,05 46,7±1,0 1,24±0,06
8 47,3±0,9 1,34±0,10 51,5±0,9 1,32±0,02 54,8±1,1 1,34±0,04
9 45,5±1,0 1,27±0,04 47,8±1,0 1,25±0,06 48,8±0,7 1,21±0,03
10 45,9±1,1 1,25±0,12 48,0±1,0 1,20±0,04 49,2±0,5 1,22±0,01
Kształt powierzchni przełomu, jak i wydzielonej z tej powierzchni linii profilowej, jest
efektem układu, liczby i rozmiaru defektów, rodzaju składników betonu i ich udziału,
jakości i wytrzymałości połączenia kruszywo/zaczyn cementowy oraz porowatości. Iloś-
ciowy opis linii profilowej uzyskano, obliczając wymiar fraktalny [13,14]. Wymiar frak-
talny obliczono metodą pudełkową (ang. box counting).
Uwzględniając rodzaj zastosowanego dodatku, przeprowadzono analizę korelacji między
wytrzymałością na ściskanie a odpornością na pękanie. Wykazano, że wraz ze wzrostem
wytrzymałości na ściskanie fc betonów rośnie także jego odporność na pękanie, wyrażona
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
118
wartością krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS. Uzyskano liniowy
model tej zależności postaci:
c
S
Ic f,K 0250 (7)
Wykazano nieistotność wyrazu wolnego, a uzyskany współczynnik determinacji R2 modelu
(7) wyniósł 0,867. Zatem zmienność krytycznego współczynnika intensywności naprężeń
KIcS jest wyjaśniona zmiennością wytrzymałości na ściskanie fc w prawie 87% i w około
13% zmiennością innych czynników, w tym czynników losowych. Wykres wartości obser-
wowanych krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS względem wartości
przewidywanych tego współczynnika przedstawiono na rys. 12.
Rys. 12. Zależność między wartością obserwowaną krytycznego współczynnika intensywności
naprężeń KIcS a wartością tego współczynnika określoną na podstawie modelu (7).
Przyjmując, że istnieje korelacja między odpornością na pękanie (krytycznym współ-
czynnikiem intensywności naprężeń KIcS) a kształtem powstałej powierzchni przełomu
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MKMK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 1,8
Wart. przewidyw.
KIcS = 0,0253*fc
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
Wart
. o
bserw
. K
IcS, M
N/m
3/2 FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MKMK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
0,95 Prz.Ufn.
FL - popiół fluidalny
MK - metakaolinit
PK - pył krzemionkowy
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
119
(wymiarem fraktalnym DBC), do zależności (7) wprowadzono dodatkową wielkość wymiar
fraktalny, uzyskując statystycznie istotną zależność opisaną wzorem:
BC
S
Ic D,s/w,,K 81316869216420 (8)
Ponownie, jak dla modelu (7), także w modelu (8) stwierdzono brak statystycznie istotnego
wpływu rodzaju dodatku na wartość krytycznego współczynnika intensywności naprężeń
KIcS. Analizę przeprowadzono metodą regresji wielorakiej (rys. 13), uzyskując poprawę
współczynnika korelacji R z wartości 0,931 dla modelu (7) na 0,960 dla modelu (8). Dla
modelu (8) zmienność krytycznego współczynnika intensywności naprężeń wyjaśniona jest
zatem zmianą stosunku woda/spoiwo i wymiarem fraktalnym w około 92%, a niespełna
8% stanowią inne czynniki, w tym losowe. Analizując uzyskane wyniki regresji wielora-
kiej, należy zaznaczyć, że wkład zmiennej stosunek woda/spoiwo w/s w predykcję współ-
czynnika KIcS jest o 3,5 razy większy aniżeli wkład zmiennej DBC (rys. 13; patrz: wartości
standaryzowanych współczynników regresji b*). Zależność wartości obserwowanych KIcS
względem przewidywanych modelem (8) przedstawiono na rys. 14.
Wartość wymiaru fraktalnego zależy od wielu czynników. Do istotnych można zaliczyć:
udział poszczególnych faz w betonie, takich jak: faza kruszywa, faza stwardniałego
zaczynu lub zaprawy, udział ewentualnych modyfikatorów składu oraz rodzaju i udziału
defektów, m. in. udział i charakterystyka porów. W celu pominięcia kłopotliwych analiz
fraktalnych, wymagających oprogramowania oraz specjalistycznych urządzeń (np. profilo-
metrów), przeprowadzono analizę regresji liniowej wielorakiej, przyjmując jako zmienne:
powierzchnię względną kruszywa SVK i powierzchnię względną porów SVP (parametry
stereologiczne), masę dodatku w stosunku do masy spoiwa w betonie DK/s, objętość
zaczynu cementowego w mieszance betonowej VZaczynu (wzięta ze składu recepturowego
betonu) oraz jako zmienną typu jakościowego rodzaj dodatku.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
120
Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: KIcS (WytrzymaFraktogra)
R= ,96023283 R^2= ,92204709 Skoryg. R2= ,91627280
F(2,27)=159,68 p<,00000 Błąd std. estymacji: ,06250
N=30
b* Bł. std.
z b*
b Bł. std.
z b
t(27) p
W. wolny
w/s
DBC
20,1641 6,324499 3,18825 0,003604
-0,7854310,080170 -2,8693 0,292870 -9,79703 0,000000
-0,2201640,080170 -16,8134 6,122409 -2,74620 0,010599
Rys. 13. Podsumowanie analizy regresji wielorakiej w przypadku modelu (8).
Rys. 14. Zależność między wartością obserwowaną krytycznego współczynnika intensywności
naprężeń KIcS, a wartością tego współczynnika określoną na podstawie modelu (8).
Wyniki przeprowadzonej analizy (wartości poziomów istotności p) wskazały, że powierz-
chnia względna kruszywa SVK, powierzchnia względna porów SVP oraz rodzaj dodatku są
nieistotne (rys. 15, p>0,05).
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MKMK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PKPK
0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
KIcS=20,164-2,869*w/s-16,813*DBC
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
Wart
ość o
bserw
ow
an
a K
IcS
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MKMK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PKPK
0,95 Prz.Ufn.
FL - popiół fluidalny
MK - metakaolinit
PK - pył krzemionkowy
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
121
Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: DBC (WytrzymaFraktogra)
R= ,82778920 R^2= ,68523497 Skoryg. R2= ,61965892
F(5,24)=10,449 p<,00002 Błąd std. estymacji: ,00174
N=30
b* Bł. std.
z b*
b Bł. std.
z b
t(24) p
W. wolny
Dodatek
SVP
SVK
V zaczynu
Rodzaj dodatku
1,004943 0,012192 82,42943 0,000000
-0,410323 0,120991 -0,029876 0,008810 -3,39135 0,002408
-0,039738 0,131039 -0,000358 0,001182 -0,30325 0,764313
0,090998 0,130498 0,000818 0,001173 0,69732 0,492304
0,771715 0,134602 0,126564 0,022075 5,73332 0,000007
-0,148535 0,118955 -0,000506 0,000405 -1,24866 0,223833
Rys. 15. Wyniki regresji wielorakiej przed usunięciem efektów nieistotnych.
Ostatecznie otrzymany model ma postać:
ZaczynuBC V,s/DK,,D 123002600881 (9)
Wykres wartości obserwowanych wymiaru fraktalnego DBC względem wartości przewidy-
wanych przedstawiono na rys. 16.
Rys. 16. Zależność między wartością obserwowaną wymiaru fraktalnego DBC a wartością
tego wymiaru określoną na podstawie modelu (9).
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
1,044 1,045 1,046 1,047 1,048 1,049 1,050 1,051 1,052 1,053
DBC=1,088 - 0,026*DK/s + 0,123*VZaczynu
1,040
1,042
1,044
1,046
1,048
1,050
1,052
1,054
1,056
Wart
. o
bserw
. D
BC
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
FL
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
MK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
PK
0,95 Prz.Ufn.
FL - popiół fluidalny
MK - metakaolinit
PK - pył krzemionkowy
Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: DBC (WytrzymaFraktogra)
R= ,81061736 R^2= ,65710050 Skoryg. R2= ,63170054
F(2,27)=25,870 p<,00000 Błąd std. estymacji: ,00172
N=30
b* Bł. std.
z b*
b Bł. std.
z b
t(27) p
W. wolny
Dodatek
V zaczynu
1,008803 0,006335 159,2526 0,000000
-0,356694 0,112852 -0,025971 0,008217 -3,1607 0,003861
0,747043 0,112852 0,122518 0,018508 6,6196 0,000000
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
122
Otrzymane równanie regresji (9) jest wysoce istotne (R = 0,811 i p = 0,000), a uzyskane
wartości standaryzowanych współczynników regresji b* (rys. 16) świadczą o około dwa
razy większym wkładzie udziału zaczynu VZaczynu w predykcję wymiaru fraktalnego, aniżeli
udziału dodatku (DK/s). Jest to zapewne spowodowane nieznacznym w porównaniu do
zaczynu udziałem dodatku w betonie. Jednakże zwiększenie dodatku, poprzez zagęszcze-
nie struktury zaczynu cementowego, wpływa istotnie na wygładzenie linii profilowej
i mniejszy wymiar fraktalny.
Połączenie zaproponowanych modeli (8) i (9) może być z powodzeniem wykorzystane do
przewidywania odporności na pękanie betonu modyfikowanego jednym z wybranych do-
datków. Podejście takie wymaga jednak określenia błędu oszacowania wartości krytycz-
nego współczynnika naprężeń KIcS. Biorąc za podstawę wyniki rzeczywistych badań współ-
czynnika KIcS betonów modyfikowanych, określono, że średni błąd oszacowania wartości
tego współczynnika wynosi 4%, a ekstremalny -12% i +10%. Rozkład błędu oszacowania
wartości współczynnika KIcS betonów modyfikowanych przedstawiono w postaci histogra-
mu (rys. 17). W przypadku 87% wyników błąd oszacowania wartości współczynnika KIcS
mieści się w przedziale od -8% do +8% i jest zdecydowanie mniejszy aniżeli różnica wyni-
kająca z porównania wartości średniej w danym punkcie planu badań a pojedynczym wyni-
kiem KIcS. Różnica między rzeczywistym wynikiem badania a wartością średnią wyniosła
średnio 4,9%, a ekstremalnie były to wartości odpowiednio +20% i -15%.
Dodatkowym potwierdzeniem wiarygodności uzyskanych na podstawie modeli (8) i (9)
wartości krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS jest graficzne porów-
nanie wyników współczynnika KIcS otrzymanych na podstawie badań oraz obliczonych
według tych modeli (rys. 18). Na podstawie wyników analizy regresji stwierdzono wysoce
statystycznie istotną liniową zależność między wartością obserwowaną a przewidywaną
krytycznego współczynnika intensywności naprężeń KIcS (R bliskie 1, a p bliskie zero),
przy istotnym jedynie współczynniku kierunkowym równym w zaokrągleniu 1,0.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
123
Rys. 17. Histogram rozkładu błędu oszacowania wartości KIcS, określonej według wzorów (8) i (9)
w porównaniu do wartości KIcS otrzymanych na podstawie badań.
Rys. 18. Wartości obserwowane KIcS względem przewidywanych, wyznaczonych
na podstawie modeli (8) i (9).
3% 3%
10%
7%
10%
17%
20%
10% 10%
3%
7%
-16 -14 -12 -10 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 8 10 12 14
Błąd oszacowania wartości KIcS na podstawie modeli (8) i (9)
0
1
2
3
4
5
6
7
Lic
zb
a o
bs.
3% 3%
10%
7%
10%
17%
20%
10% 10%
3%
7%
0,8 0,9 1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7
KIcS obliczone z modelu (8) i (9)
0,8
0,9
1,0
1,1
1,2
1,3
1,4
1,5
1,6
1,7
KIc
S w
yn
aczo
ne n
a p
od
sta
wie
bad
ań
Podsumowanie regresji zmiennej zależnej: KIcS rzecz.
R= ,99892447 R^2= ,99785009 Skoryg. R2= ,99777595
F(1,29)=13460, p<0,0000 Błąd std. estymacji: ,05984
N=30
b* Bł. std.
z b*
b Bł. std.
z b
t(29) p
KIcS rzecz. 0,99892 0,008610 0,995890 0,00858 116,02 0,0000
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
124
Podsumowanie
Prezentowane w artykule przykłady są dowodem na duże znaczenie zastosowania metod
i narzędzi statystycznych, zarówno w programowaniu badania, jak i na etapie analizy wyni-
ków i wnioskowania. Zmniejszają pracochłonność badań, powodując ich redukcję w sto-
sunku do często stosowanych planów kompletnych, a w konsekwencji ograniczają koniecz-
ne nakłady finansowe potrzebne na realizację badań.
Rozważane w artykule zależności mogą być wykorzystane do projektowania betonów mo-
dyfikowanych oddzielnie trzema dodatkami: pyłem krzemionkowym, popiołem fluidalnym
lub metakaolinitem, jak również mogą być wykorzystane do prowadzenia analiz symu-
lacyjnych.
Prezentowane wyniki i analizy są częścią pracy naukowej finansowanej ze środków na naukę w la-
tach 2009-2011 jako projekt badawczy nr N N507 475337 oraz ze środków Narodowego Centrum
Nauki w latach 2011-2013 jako projekt badawczy nr N N507 321140.
Literatura
1. Polański Z., Planowanie doświadczeń w technice, PWN, Warszawa, 1984.
2. Konkol J., Wprowadzenie do praktycznego planowania eksperymentu, s. 43-58, 2008,
http://www.statsoft.pl/czytelnia/artykuly/Wprowadzenie_do_praktycznego.pdf.
3. Zastosowanie popiołów lotnych z kotłów fluidalnych w betonach konstrukcyjnych.
Praca zbiorowa pod red. A.M. Brandta. Studia z zakresu inżynierii, nr 72, Warszawa 2010.
4. Glinicki M.A., Zieliński M., Rozmieszczenie porów powietrznych w betonie
z dodatkiem fluidalnego popiołu lotnego. Cement Wapno Beton, 3, 2007, 133-138.
5. Giergiczny Z., Pużak T., Popiół fluidalny a właściwości mieszanki betonowej. Dni
Betonu 2008.
Copyright © StatSoft Polska 2015, [email protected]
125
6. Konkol J., Prokopski G., Właściwości wytrzymałościowe betonów bazaltowych
z dodatkiem Flubetu. Przegląd Budowlany, 11, 2010, 25-29.
7. Konkol J., Metakaolinit i popiół fluidalny jako alternatywne w stosunku do pyłów
krzemionkowych dodatki mineralne do betonu. Inżynieria i Budownictwo, 9, 2012,
503-507.
8. Determination of fracture parameters (KIcS and CTODc) of plain concrete using three-
point bend tests. RILEM Draft Recommendations, TC 89 - FMT Fracture Mechanics
of Concrete Test Methods, Materials and Structures, 23, 1990.
9. Prokopski G., Mechanika pękania betonów cementowych. Oficyna Wydawnicza
Politechniki Rzeszowskiej, Rzeszów, 2009.
10. Ryś J.: Stereologia materiałów, Fotobit Design, Kraków, 1995.
11. Konkol J., Prokopski G., The use of fractal geometry for the assessment of the
diversification of macro-pores in concrete. Image Anal. Stereol., 30(2), 2011, 89-100.
12. Konkol J., Wykorzystanie parametrów fraktalnych i stereologicznych do opisu odpor-
ności na pękanie betonów modyfikowanych wybranymi dodatkami typu II. Zeszyty
Naukowe Politechniki Rzeszowskiej, seria Budownictwo i Inżynieria Środowiska,
z 59, nr 3/12/III (2012) 222-232.
13. Mandelbrot B. B., Fractals. Form, chance and dimension. Freeman, San Francisco
1977.
14. Konkol J., Wykorzystanie geometrii fraktalnej do oceny materiałów budowlanych. Izo-
lacje, 7/8, 2011, 17-24.