Wykład 7

14 listopada 2001 Matematyka Dyskretna Rachunek funkcyjny, G.Mirkowska, PJWSTK 1

Wykład 7Wykład 7

Rachunek predykatów Rachunek predykatów


Funkcje zdanioweFunkcje zdaniowe

Niech X.Funkcją zdaniową jednej zmiennej x, której zakresem zmienności jest przestrzeń X, nazywamy wyrażenie f(x), w którym występuje zmienna x i które staje się zdaniem prawdziwym lub fałszywym, gdy w miejsce zmiennej x wstawimy dowolny obiekt ze zbioru X.

Uwaga Funkcja zdaniowa f(x),jednej zmiennej x, jest po prostu funkcją f : X --> {0,1} taką, że dla dowolnego xX, f(x) jest zdaniem w sensie rachunku zdań.

Przykładx+x2>0 , x Z n+1 < 2, n N|x| 3 , x R

x2 + y2 >0, (x,y) R2

Przestrzeń X może sama być produktem kartezjańskim X1... Xn. Wtedy zmienna x przyjmuje jako wartości elementy tego produktu. Mówimy wówczas, że mamy do czynienia z funkcją zdaniową n argumentową.

Każda funkcja zdaniowa wyznacza pewien podzbiór

(pewna własność) przestrzeni, w której została

określona.


Predykaty złożonePredykaty złożone

Funkcje zdaniowe (inaczej predykaty) można łączyć spójnikami logicznymi. Powstają w ten sposób nowe, złożone funkcje zdaniowe.

Przykłady złożonych predykatów:

xx , (xx , (xxx

xx+y y

Jeśli po wstawieniu w miejsce zmiennej x elementu a X w predykacie (x) określonym w pewnym zbiorze X otrzymujemy zdanie prawdziwe, to mówimy, że a spełnia funkcję zdaniową (x). Ogół tych wartości x X dla których funkcja zdaniowa (x) jest spełniona oznaczamy przez {xX: (x) }.


SpełnianieSpełnianie

Element a X spełnia funkcję zdaniową xx wttw a spełnia x lub a spełnia x

Fakt 1 {x X : xx} = {x X : x} {x X :x}

Element a X spełnia funkcję zdaniową xx wttw a spełnia x i a spełnia x

Fakt 2 {x X : xx} = {x X : x} {x X :x}

Element a X spełnia funkcję zdaniową x wttw a nie spełnia x

Fakt 3

{x X : x} = X \{x X : x}


KwantyfikatoryKwantyfikatory

(x)x

(x)x

Kwantyfikator egzystencjalny (szczegółowy)

istnieje x takie, że x

Kwantyfikator uniwersalny (ogólny)

dla każdego x, x

xjest zakresem kwantyfikatora szczegółowego lub ogólnego.

Zmienna x będąca w zakresie kwantyfikatora wiążącego tę zmienną jest zmienną związaną

Kwantyfikator wiąże wymienioną zmienną

Przykład

(x)( x+y<6 x*y>0)

(x) (y)(x y

(x) x,y (y) y

Wolne wystąpienie y

związane wystąpienie y


SpełnianieSpełnianie

Niech x będzie predykatem określonym w pewnym zbiorze X.

Zdanie (x)x jest prawdziwe w X wttw istnieje element a X , który spełnia funkcję zdaniową x

Zdanie (x)xjest prawdziwe w X wttw każdy element a spełnia funkcje zdaniową x

Zdanie (x)x jest prawdziwe w X wttw {xX : x

Zdanie ( x)x jest prawdziwe w X wttw {xX : x}= X.

(x)x jest zdaniem fałszywym wttw {xX : x

( x)x jest zdaniem fałszywym wttw {xX : x} X.


PrzykładPrzykład

Przykład Rozważmy funkcję zdaniową (x+2)*(x-3)<0 w zbiorze liczb rzeczywistych R. Ponieważ 2 spełnia tę funkcję a liczba 3 nie spełnia tej funkcji, to

(x) ((x+2)*(x-3)<0) jest zdaniem prawdziwym, a

( x) ( (x+2)*(x-3)<0) jest zdaniem fałszywym.

Uogólnienie Niech (x)x,y będzie funkcją zdaniową o zmiennych wolnych x X, yY. Wtedy (x)x,y oraz (x)x,y są funkcjami zdaniowymi zmiennych wolnych yY.

Element y Y spełnia funkcję zdaniową (x)x,ywttw istnieje takie a X, że a,yjest zdaniem prawdziwym.

Element y Y spełnia funkcję zdaniową ( x)x,ywttw dla dowolnego a X, a,yjest zdaniem prawdziwym.


Operacje logiczne a Operacje logiczne a kwantyfikatorykwantyfikatory

Kwantyfikator ogólny można uważać za uogólnienie koniunkcji.

Jeśli X ={a1a2an}, a xpredykatem określonym w zbiorze X, to prawdziwa jest następująca równoważność (x)x (a1a2an

Jeśli X jest zb. skończonym o elementach a1a2an a xpredykatem określonym w zbiorze X, to prawdziwa jest następująca równoważność ( x)x (a1a2an

Kwantyfikator szczegółowy można uważać za uogólnienie alternatywy.


Działania uogólnione a Działania uogólnione a kwantyfikatorykwantyfikatory

Niech A={ Ai }iI będzie indeksowaną rodziną podzbiorów pewnej przestrzeni X.

iI Ai = {x: x Aj dla pewnego j I}

iI Ai = {x: x Aj dla każdego j I}

Sumauogólniona

Iloczynuogólniony

Rozważmy funkcję zdaniową 2 zmiennych (x,y), x X, y Y.

yY {x X : (x,y)} = {x X : (y) (x,y)}

yY {x X : (x,y)} = {x X : (y) (x,y)}


Kwantyfikatory Kwantyfikatory ograniczoneograniczone

Notacja : (x) x( x) x

Przykład Warunek Cauchy’ego

ciąg (an) jest zbieżny do liczby a wttw dla każdego >0 istnieje liczba naturalna n0 taka, że dla każdego n>n0 |an -a | <

Kwantyfikator o zakresie ograniczonym

przez funkcję zdaniową

(x) xjestprawdziwe wttw (x)(x xjest prawdziwe.

( x) xjestprawdziwe wttw ( x)(x xjest prawdziwe.

ciąg (an) jest zbieżny do a wttw ( >0 ) ( n0) ( n>n0 |an -a | <

ciąg (an) jest zbieżny do a wttw ()(>0 ( n0)(n0 (nn>n0 |an -a | < ))


Język rachunku Język rachunku predykatówpredykatów

Niech V0 będzie zbiorem zmiennych zdaniowych, V- zbiorem zmiennych indywiduowych, P-zbiorem nazw relacji, F-zbiorem nazw funkcji.

Zbiór termów jest to najmniejszy zbiór zawierający V i taki, że jeśli f jest nazwą funkcji n argumentowej a t1,...,tn termami, to f(t1,...,tn) jest termem.

Zbiór formuł jest to najmniejszy zbiór wyrażeń zawierających V0 i taki, że- jeśli r jest nazwą relacji n argum., a t1,...,tn są termami, to r(t1,...,tn) jest formułą,- jeśli i są formułami, to , (), (), (), (), są formułami,- jeśli x jest formułą ze zmienną wolną x, to (x)x i (x)x są formułami.


Semantyka Semantyka

Aby określić sens formuły rachunku funkcyjnego potrzeba:

Ustalić interpretację symboli funkcyjnych i predykatywnych oraz wybrać wartości dla zmiennych.

STR, v |= xxwttw STR, v |= x lub STR, v |= x

STR, v |= xxwttw STR, v |= x i STR, v |= x

STR, v |= (x)xwttwSTR, v(x/a) |= xdla wszystkich a STR

STR, v |= ( x)xwttwSTR, v(x/a) |= xdla pewnego a STR

x + y = (x,y)

Jak policzyć wartość

tego wyrażenia?

Czyli ustalić strukturę

danych STR i wartościowanie v


PrzykładPrzykład

(2) Stosy |= (e) (s) top(pop(push(e, s))) = top(s)

(1) N, (x/1,y/3) |= (x + y >2 )

Zatem mamy też N |= ( x) ( y) (x + y >2 )

oraz N |= (z) ( x) ( y) (x + y >z )

(x+y) * z

x/ 3 y/5

z/ 3+

*


TautologieTautologie

Definicja Formułę rachunku funkcyjnego nazywamy tautologią(lub prawem rachunku funkcyjnego), jeżeli jej wartością jest prawda, niezależnie od wartości zmiennych oraz interpretacji symboli relacyjnych i funkcyjnych w niej występujących.

Przykłady. xxyxxy(y) (x) (x) xxxx

Jeśli jest prawem rachunku zdań, to podstawiając za zmienne zdaniowe występujące w , dowolne formuły rachunku funkcyjnego otrzymujemy tautologię rachunku predykatów.

Dowód (*) Gdyby ta implikacja była fałszywa przy pewnej interpretacji formuły xw niepustym uniwersum X, wtedy byłoby {xX: x}=Xoraz {xX: x}= . Czyli X= , sprzeczność.


Przykłady tautologiiPrzykłady tautologii

Następujące formuły są prawami rachunku predykatów (są tautologiami)

(1)x xx xprawa de Morgana(2) x x xx(3) x(x)(x))x xx(x))(4)xy(x,y)y xx,y(5) x(x))x(x)o ile zmienna x nie występuje w prawo włączania i wyłączania kwantyfikatorów

Oznaczenie Zamiast „ jest tautologią rachunku funkcyjnego” piszemy krótko |= .

Np.:x x2>x+1x x2>x+1jest zdaniem prawdziwym w R


Reguły wnioskowaniaReguły wnioskowania

Reguły dowodzenia (reguły wnioskowania) są to przekształcenia postaci

n

które pewnemu skończonemu zbiorowi formuł (formuł) 1,..., n, przyporządkowują formułę , w taki sposób, że dla dowolnej struktury danych STR takiej, że STR |= 1... n, to STR |= (tzn. wniosek też jest zdaniem prawdziwym w strukturze STR).

przesłanki

wniosek


Przykłady regułPrzykłady reguł

,

xx x

x x x

x nie występuje w

Reguła odrywania

Reguła uogólniania

Reguła dołączania kwantyfikatora egzystencjalnego

Ad (*) Przypuśćmy, że

(1) STR |= xoraz (2) nie zachodzi STR |= x xWtedy z (2) dla pewnego wartościowania v mamy STR,v |= x xSTR,v |= Czyli dla pewnego a STR,

STR,v(x/a) |= xSTR,v(x/a) |=

Tzn. STR,v(x/a) |= xSprzeczność z (1).

WniosekTo są poprawne

reguły wnioskowania w rachunku predykatów


ZastosowanieZastosowanie

Niech będzie rodzina podzbiorów zbioru X, ( Ai) iI oraz

funkcja f : X Y. Udowodnimy, że f( Ai) f(Ai).

Dowód:

1. y f( Ai) na mocy def. obrazu funkcji

2. x X x Ai f(x)=y) z def. iloczynu uogólnionego3. x X ( i I x Ai f(x)=y) z prawa włączania- wyłączania

4. x X i I (x Ai f(x)=y) cz. przemienność kwantyfik.5. i I x X(x Ai f(x)=y) z def. obrazu funkcji6. i I y f(Ai) z def. iloczynu uogólnionego

7. y f(Ai) f( Ai) f(Ai)


Implikacja semantycznaImplikacja semantyczna

Niech STR będzie ustaloną strukturą danych, w której interpretujemy rozważane formuły.

Będziemy pisali ( ) dla oznaczenia, że wyrażenie jest semantycznie równoważne wyrażeniu w strukturze STR, tzn. ( ) wttw STR | ( ).

W poprzednim przykładzie: 1 2 3 4 5 6 7 Czyli 1 7.

Będziemy pisali ( ) dla oznaczenia, że wyrażenie implikuje semantycznie w strukturze STR wyrażenie , tzn.

() wttw STR | ( ) (tzn. implikacja jest prawdziwa w strukturze STR).


ZastosowanieZastosowanie

Rozważmy program

{ z:= x; y :=1; m := n;

while (m 0) { if odd(m) { y := y * z; } m := m div 2; z := z * z; }}

zm * y = xn

zm * y = xn oraz m=0

zm * y = xn

Odd(m) (z * z)mdiv 2 * (y * z) = xn

lub Odd(m) (z * z)mdiv 2 * y = xn

zm * y = xn

Wniosek Dla dowolnych xR i nN, po wykonaniu programu mamy y = xn .


System formalnySystem formalny

Aksjomaty + Reguły

Formuły prawdziwe

Formuły dowodliwe

Semantyka

Pełność rachunku logicznego

|= wtedy i tylko wtedy |-

dla dowolnej formuły rozważanego języka.

=


ProblemyProblemy

NIESPRZECZNOŚĆ

ZUPEŁNOŚĆ

ROZSTRZYGALNOŚĆ

w8

Wykład 7

Documents

Transcript of Wykład 7