William Thomson lord Kelvin1824 - 1907

Počátky kvantové mechaniky

Celá fyzika je hotova – veškerá naše práce nyní bude spočívat v upřesňování konstant. Již jen dva mráčky zastiňují čisté fyzikální nebe – Michelsonův

experiment a záření absolutně černého tělesa.

STR OTR

Kvantová mechanikaPro projekt „Cesta k vědě“ (veda.gymjs.net) vytvořil V. Pospíšil (gdermog@seznam.cz). Modifikace a šíření dokumentu podléhá licenci CC-BY-SA.

Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme

do vaší budoucnosti

Absolutně černé těleso

Co je absolutně černé těleso a jak něco, co je absolutně černé, může zářit?

Těleso pohltí všechno záření na něj dopadající – nic neodráží. Všechno záření, které z něj vychází, má původ v jeho vlastních zdrojích.

Záření nezávisí na druhu materiálu – souvisí pouze s teplotou tělesa.

Gustav Robert Kirchhoff 1824 - 1887

Pojem zavedl roku 1860 G. Kirchhoff

Absolutně černé těleso

Kovová kulička v temné chladné

místnosti, zahřátá na vysokou

teplotu.

Slunce.

Absolutně černé těleso

Dutina

Úzký otvor

Světlo vcházející

dovnitř

Mnohonásobné odrazy

Pohlcení

V laboratoři lze těleso realizovat pomocí dutiny, do které vede maličký otvor. Je-li

dutina zahřátá, vyzařování otvoru se záření absolutně černého tělesa velmi blíží.

Absolutně černé těleso

Stojaté vlny uvnitř dutiny

Záření vycházející

otvorem ven

Spektrum elektromagnetického záření

• Elektromagnetické spektrum se skládá ze všech různých vlnových délek záření, včetně světla, radiových vln, paprsků X a dalších.

• Jediné oblasti, kterou můžeme vnímat přímo, je viditelné světlo (oči) a infračervené záření (teplo).

• Spektrum, přesněji zastoupení jednotlivých složek záření ve spektru, lze vyjádřit pomocí histogramu či grafu.

Spektrum záření A.Č.T. - experiment In

ten

zita

zář

en

í

Vlnová délka [nm]

Poloha vrcholu závisí na teplotě

Maximum ve viditelné oblasti je pro těleso s teplotou kolem

5000K – například Slunce

Spektrum záření A.Č.T. - experiment In

ten

zita

zář

en

í

Vlnová délka [nm]

Pro nižší teploty je vyzařovací maximum v

infračervené oblasti.

Spektrum A.Č.T. – předpověď klasické fyziky

Spektrum předpovídané klasickou elektrodynamikou.

Ultrafialová katastrofa – množství vyzařované energie v UV oblasti a

kratších vlnových délkách je nekonečné.

Inte

nzi

ta z

áře

ní

Vlnová délka [nm]

Planckova kvantová hypotéza

• Rovnici, která dobře popisuje záření, odvodil roku 1900 německý fyzik Max Planck

• Předpokládal, že energii nelze vyzařovat spojitě, nýbrž po určitých „porcích“, zvaných kvanta

• Pomocí tohoto předpokladu popsal spektrum záření absolutně černého tělesa velmi přesně

• On sám za tímto svým činem neviděl žádný převratný objev; kvantovou hypotézu bral jen jako šikovný matematický trik.

E = h.f

„Porce“ energie v kvantu

Konstanta (velmi malá), dnes známá

jako Planckova

Frekvence záření

Max Planck1858 - 1947

sJh 34106261.6Planckova konstanta

Planckova kvantová hypotéza

1

12),(

1

12),(

5

2

2

3

kT

hc

kT

hf

e

hcTI

ec

hfTfI

kde f je frekvence záření, λ vlnová délka záření, c rychlost světla a k = 1.38x10-23 JK-1 Boltzmannova konstanta.

Planckův vztah pro záření AČT ve variantě s frekvencí a vlnovou délkou vypadá následovně :

Fotoelektrického jev

kov

e-

Ozáříme-li povrch kovového materiálu světlem určité vlnové délky (a tedy energie) začnou z něj vyletovat elektrony. Počet elektronů je úměrný intenzitě světla (tj. výkonu zdroje), jejich kinetická energie ale nikoliv. Ta závisí výhradně na materiálu (druh kovu) a na vlnové délce (frekvenci) světla!

ener

gie

ele

ktro

nů

frekvence světla

mat

eriá

l 1

mat

eriá

l 2

mat

eriá

l 3

Toto chování neumí klasická elektro-dynamika vysvětlit – předpokládá, že energie elektronů poroste s intenzitou světla (výkonem zdroje).

Kvantové vysvětlení fotoelektrického jevu

• Fotoelektrický jev vysvětlil Einstein pomocí Planckovy kvantové hypotézy

• Fotoelektrický jev : Světlo vyráží z povrchu kovů elektrony. Jedno kvantum světla může vyrazit právě jeden elektron. Část energie kvanta se spotřebuje na překonání přitažlivé síly, jež váže elek- tron v materiálu (a ta je závislá na daném kovu), zbytek elektron dostane ve formě kinetické energie

• Jak Planck, tak Einstein za tyto objevy obdrželi Nobelovu cenu.

Ee = hf -W

Albert Einstein1879 - 1955

Záření AČT i vysvětlení fotoelek-trického jevu zavání částicovou teorií světla (kterou poprvé nadhodil Newton a která byla opuštěna).

Comptonův jev

Arthur Holly Compton (1892 –1962)

Jev, který silně otřásl vírou v to, že světlo je vlnění, pozoroval roku 1923 američan A. Compton. Stejně jako Planck a Einstein dostal za svou práci Nobelovu cenu (1927)

Světlo dopadá na volné

elektrony.

Elektrony vyletují z

místa srážky.

Světlo pokračuje v

šíření pod jiným úhlem a větší

vlnovou délkou.

α

Dle klasické teorie se vlna sice může ohýbat na překážkách a předávat svou energii hmotným objektům (za snížení amplitudy), ale nemůže při tom změnit svou vlnovou délku!

Comptonův jev

e-

e-

Popíšeme kvantum dopadajícího záření pomocí částice – fotonu.

Částice je charakterizována kinetickou energií a hybností.

cmcmcE 2

pcE

c

hf

c

Ep E = h.f

cEp /

cEp ///

// , ee Ep

α

β

Comptonův jev

p

/p /

ep

α β

Zákon zachování hybnosti

kEhfhf /

Zákon zachování energie

cos1

1

cos1

2

h

mcf

mc

h

Vlnové vlastnosti světla – Youngův pokus

Dvojštěrbina Stínítko

Zdroj světla(koherentního)

Thomas Young (1773 - 1829 )

Ve vysvětlení Comptonova jevu byly použity výpočty typické pro srážku částic. Ale světlo je vlna, to víme.

Počátky kvantové mechaniky

Co je tedy světlo? Vlna, nebo částice?

Obojí najednou!

h

c

fhp

chfhE

Počátky kvantové mechaniky

Youngův pokus zobrazuje typickou vlnovou vlastnost světla. Jaký bude

výsledek, budeme-li jej provádět s

částicemi?

Trhlé, že? Ale to byl jen a jen začátek …

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony

Ocelová kulička

Značme si, kam kuličky dopadly.

Dopadne na jedno místo na

stínítku.

Kulička může při průchodu

štěrbinou změnit směr.

Proletí právě jednou štěrbinou.

Co od pokusu očekává zdravý selský rozum? To samé, co od ocelových kuliček :

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony

Svazek dopadajících

elektronů

Rozptyl na dvojštěrbině s elektrony

Elektrony vysílané po

jednom

Proč se elektrony nechovají stejně jako ocelové kuličky?

Počátky kvantové mechaniky

Z čeho se skládá hmota? Z částic, nebo vlnění?

Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987)

Ve vesmíru jsou k nalezení mnohé symetrie. Dá se říct, že ze symetrií vycházejí základní zákony přírody.

Vlnu lze popsat

jako částici

Částici lze popsat jako

vlnu

Částicově-vlnový dualizmus

Dle de Broglieho hypotézy lze částicím připsat vlnové vlastnosti

a přiřadit vlnovou délku.

h

c

hf

c

Ep

p

h

Rovinné vlny odpovídající dopadajícím elektronům. I jediná částice se chová

jako rovinná vlna.

Vévoda Louis Victor Pierre Raymond de Broglie (1892-1987)

Schrödingerova rovnice

Částici lze popsat jako vlnu. Co se zde ale „vlní“? Jaké médium vlny přenáší?

Každé částici je přiřazena tzv. Vlnová funkce. Obvykle se značí písmenem Ψ. Jedná se o

funkci souřadnic a času, jejíž obor hodnot jsou komplexní čísla. Tato funkce vyhovuje vlnové

rovnici, kterou navrhl E. Schrödinger.

mzyxmti

22

2

2

2

2

2

2

22

Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger

1887 - 1961

tzyx ,,,

Odvození Schrödingerovy rovnice

)(),( txkieAtxu Toto je řešení standardní vlnové rovnice. k je

vlnový vektor, pro který platí ???

Dle deBroglieho hypotézy lze libovolnou částici popsat jako vlnu, pro níž platí

2

2

ckkphfhE

Po dosazení do vztahu pro rovinnou vlnu, která podle deBroglieho popisuje pohyb volné částice, získáme

)(

0

)(

0),(Etxp

it

Ex

pi

eetx

Popis částice hybností a energií jsme tak převedli na popis rovinnou vlnou. Pro tuto vlnu musíme sestavit vlnovou rovnici. Zkusme trochu derivovat:

2

22

2

2

i

ii

ii

pp

i

xp

i

x

Víme ale, že a můžeme dosadit

Odvození Schrödingerovy rovnice

m

p

m

mvmvE

22

)( 222

21

Z toho plyne

Určitě ano, první derivací podle času :

)(

0),(Etxp

i

etx

2

2222

22

2

2

2

2

2 1

p

pppzyx zyx

22

2

2

2

2

2 2

mE

zyx

Vidíme, že na pravé straně je energie v první mocnině. Jsme schopni tento výraz dostat ještě jiným způsobem z vlnové funkce

?

Ei

t Obě strany se liší jen v konstantách a jistě je půjde opravit tak, aby se rovnaly pro libovolnou vlnovou funkci.

Odvození Schrödingerovy rovnice

Funkce se vykrátí a zbudou konstanty. Jak zvolit číslo α, aby rovnost platila?

EimE

2

2

A nyní stačí jen rovnici upravit :

i

m

Ei

mEE

imE 212222

Ei

tzyx

mE

2

2

2

2

2

2

2

2

mti

ti

m

zyx 2

2 2

2

2

2

2

2

2

kde jsme označili2

2

2

2

2

22

zyxgrad

Schrödingerovu rovnici rovinná deBroglieho vlna splňuje. Ale nejen ona. Rovnici splňuje mnoho různých funkcí, například tzv. vlnový balík, který letící částici popisuje mnohem lépe :

mti

2

2

Erwin Rudolf Josef Alexander

Schrödinger

1887 - 1961

Schrödingerova rovnice

Simulace průchod částice dvojštěrbinou viz

http://www.bugman123.com

Obecně lze říct, že vlnová funkce každé částice musí v každém okamžiku splňovat Schrödingerovu rovnici. Pokud ji nesplňuje, neexistuje.

Hustota pravděpodobnosti

Jaký je fyzikální význam vlnové funkce, která je obecně komplexní? Tato otázka dlouho nebyla zodpovězena. Jedno z relativně vyhovujících řešení navrhl Max Born a dopracovali jej N. Bohr a W. Heisenberg v Kodani (odtud se toto pojetí jmenuje Kodaňská interpretace). Toto pojetí tvrdí, že kvadrát vlnové funkce (tj. reálné číslo) je úměrný hustotě pravděpodobnosti výskytu částice. ψ nám tedy udává, s jakou pravděpodobností zaznamenáme částici, budeme-li její výskyt měřit v bodě (x,y,z) a čase t.

2),,,( tzyx

Druhá mocnina vlnové funkce (tj. reálné číslo)

je úměrná hustotě pravděpodobnosti výskytu částice.

Max Born1882 - 1970

Hustota pravděpodobnosti

Kvantová hradba Počítačový obraz pořízený r. 1993 ve výzkumném středisku IBM. Každý ze 48 píků v kruhu představuje atom železa na speciálně upraveném měděném povrchu. Tato hradba byla vytvořena rastrovým mikroskopem. Vnitřek kruhu tvoří stojaté de Broglieho vlny elektronů (resp. kvadrát Ψ – hustota pravděpodobnosti).

Pravděpodobnostní charakter dějů

Kodaňská interpretace tvrdí, že všechny jevy v mikrosvětě mají pravděpodobnostní charakter. To, zda se něco stane či ne je známo pouze s nějakou pravděpodobností, a navíc, dokud nezačneme jev pozorovat, nelze o výsledku říct vůbec nic!

Elektron, který se nachází na cestě mezi dvojštěrbinou a stínítkem, nemá pevně určenou polohu ani hybnost! Dokud jej nezačneme pozorovat, nachází se v neurčitém stavu, popsaném vlnovou funkcí, splňující Schrödingerovu rovnici. Teprve až v okamžiku, kdy jej začneme pozorovat (projde interakcí s jinými částicemi ve stínítku), bude jeho poloha pevně určena. Až do té doby žádnou polohu ve smyslu, jakým tento pojem chápeme v makrosvětě, nemá! Pojmy poloha, rychlost, hybnost a další, které jsou známy z mechaniky a lze je deterministicky určit, mají v kvantové mechanice jiný, menší význam. Podstatný je tzv. kvantový stav – zde udaný vlnovou funkcí.

Pravděpodobnostní charakter dějů

Uvedený princip demonstruje (poněkud drsný) myšlenkový experiment, dnes známý jako Schrödingerova kočka.

Kočka, která je zavřená v bedně se zařízením, které může, ale nemusí způsobit její smrt, není ani živá, ani mrtvá – je v kvantovém stavu, který zahrnuje obě možnosti. Teprve až bednu otevřeme, určíme jeden z těchto stavů s pravděpodobností 50 %.

Otázkou zůstává, co se stane s vlnovou funkcí kočky, pokud k ní do bedny zavřeme dalšího fyzika (pozorovatele) … mrtváživá

21

Relace neurčitosti

Jak pozorujeme makroskopické objekty?

V mikrosvětě nelze s libovolnou přesností měřit všechny veličiny. Přesné měření jedné může vyloučit měření druhé. Tento princip souvisí s pravděpodobnostním charakterem dějů a je znám jako relace neurčitosti.

Relace neurčitosti

Jak pozorujeme makroskopické objekty?

Polohy objektu jsou známy

Δt Δt Δt

Hybnosti objektu jsou známy

Relace neurčitosti

Jak pozorujeme mikroskopické objekty?

e-

Při interakci vysokoenergetického fotonu s elektronem předá foton

elektronu část své hybnosti.

Zatímco hmotnost fotonu a makroskopického objektu

se liší o mnoho řádů a přenos hybnosti mezi nimi

je tedy zanedbatelný, vysokoenergetický foton

má hmotnost srovnatelnou s hmotností elektronu.

Přenos hybnosti při srážce tedy nelze zanedbat.

kgkeVcm

kgkeVcm

kgm

e

X

kul

302

312

.

10511

1050

1

Po interakci elektron zcela nepředvídatelně změní

velikost a směr své hybnosti.

Relace neurčitosti

e-

Chyba při určení polohy je rovna minimálně vlnové délce fotonu.

Po interakci je známa hybnost elektronu, ne

však jeho poloha

Pokud se pokusíme k určení hybnosti elektronu použít

nízkoenergetický foton, narazíme na další problém : chyba v určení

polohy bude rovna nejméně velikosti vlnové délky fotonu.

Viditelné světlo :

Paprsky X :

m7104.6 m11105.2

kgeVcmv362 1063

Relace neurčitosti

Werner K. Heisenberg

1901 - 1976

Předchozí princip lze zobecnit, což udělal německý teoretický fyzik Werner Heisneberg roku 1927. Heisenbergovy relace

neurčitosti jsou jedním ze základních kamenů kvantové fyziky.

Hybnost a polohu částice (kvanta) nelze současně určit s libovolnou přesností. Určíme-li přesně polohu, neznáme hybnost částice vůbec – a naopak. Nepřesnosti v určení hybnosti a polohy jsou spolu svázány následujícími vztahy:

2/

2/

2/

hpz

hpy

hpx

z

y

x

Matematický rámec kvantové mechaniky

Matematický přístup ke kvantové mechanice je poněkud odlišný od klasické mechaniky. Důvod tkví v tom, že již od počátku jsou základní rovnice kvantové mechaniky parciální diferenciální (zatímco klasické normální diferenciální) a děje mají pravděpodobnostní charakter a částice nelze popsat jejich polohami.

x

y

z zyx pppp

zyxx

,,

,,

),,,(1 tzyx

),,,(2 tzyx

),,,(3 tzyx

Klasická mechanika popisuje objekty pomocí dvou vektorů – polohy a

hybnosti. Základní množinou všech možností jsou tedy dva vektorové

prostory R3 (resp. jeden rpostor R6) o konečné dimenzi. Každému stavu částice pak odpovídá právě jeden

polohový a jeden hybnostní vektor.

Kvantová mechanika popisuje objekty pomocí vlnové funkce. Základní

množinou všech možností je tedy nekonečněrozměrný vektorový prostor

funkcí, označovaný jako L(R3,dx3). Každému stavu částice pak odpovídá

právě jedna vlnová funkce.

Matematický rámec kvantové mechaniky

x

y

z zyx pppp

zyxx

,,

,,

),,,(1 tzyx

),,,(2 tzyx

),,,(3 tzyx

Klasická mechanika přiřazuje stavům (r,p) další veličiny pomocí funkcí.

Například kinetická energie je zobrazení E : R3 -> R jako

Obdobně jsou definovány všechny vektorové i skalární veličiny.

Kdybychom v kvantové mechanice veličiny přiřadili stejně, tedy jako zobrazení f : L(R3,dx3) -> R, došli bychom zpět k vývodům klasické

mechaniky – kvantování by se ztratilo. Bylo třeba vymyslet jiný přístup.

m

ppE

2)(

2

Matematický rámec kvantové mechaniky

Spásné řešení nakonec přinesly operátory na L. Každé pozorovatelné (poloha, hybnost, energie) je přiřazen nějaký operátor, tedy zobrazení

a je postulováno, že měřitelné hodnoty dané veličiny se nachází ve spektru tohoto operátoru – tedy v množině vlastních čísel. Formálně je přiřazeno

),(),(: 3333 dxRLdxRLA

operátor polohy jj xX )(

operátor hybnosti

jj x

iP

)(

Operátory jsou zvoleny tak, aby jejich vlastní čísla byla shodná s polohou a hybností deBroglieho rovinné vlny (spočítejte) :

)(

0),(Etxp

i

etx

A

Matematický rámec kvantové mechaniky

Všechny ostatní pozorovatelné jsou konstruovány podle principu korespondence - tj. vztahy vypadají formálně stejně, jako v klasické mechanice, ale polohy a hybnosti jsou nahrazeny operátory polohy a hybnosti. Například operátor kinetické energie je tedy

Co nám připomíná výraz ?

)()()(2

1)(ˆ

zi

zi

yi

yi

xi

xi

mEk

2222

2

1

2)( zyxk ppp

mm

ppE

mzyxmz

iy

ix

im

Ek 22)()()(

2

1)(ˆ

2

2

2

2

2

2

22

2

222

2

222

2

222

m

Ek 2)(ˆ

2

mti

2

2

Správně, pravou stranu Schrödingerovy rovnice.

Operátor celkové energie je zaveden jako

)(ˆˆ)(2

)(ˆ2

UExUm

H k

Hamiltonián

Matematický rámec kvantové mechaniky

Schrödingerova rovnice pro částici v nějakém potenciálu tedy vypadá takto

Řešíme-li nějaký ustálený stav, je levá strana nulová. To je případ elektronů vázaných k atomovému jádru. Zvolíme-li za potenciál

)(ˆ)(2

2

HxU

mti

r

ZexU

2

04

1)(

Řekne nám spektrum Hamiltoniánu (množina vlastních čísel) vše o striktuře elektronového obalu. Zjistíme, že energetické hladiny jsou diskrétní – při jiné energii než ze spektra H je vlnová funkce nulová – a pokud započítáme některé další efekty, zjistíme že vlnové funkce samy mají velmi specifický tvar a struktura elektronového obalu je velmi bohatá.

H

Shrnutí

• Záření absolutně černého tělesa

• Planckova kvantová hypotéza

• Fotoefekt

• Comptonův rozptyl

• Vlnově-částicový dualizmus

• Schrödingerova rovnice

• Bornova pravděpodobnostní interpretace

• Relace neurčitosti

• Matematický rámec kvantové mechaniky