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Fisica 2019-2020 Lezione 13 15/11/2019 1 Termodinamica (2/3) gas ideali Lezione 13, 15/11/2019, JW 16.1-16.2 1 1 1. Gas ideali In un gas ideale l’interazione tra le molecole può essere trascurata. Cerchiamo l'equazione di stato dei gas ideali, cioè la relazione tra • la pressione , (in Pascal, Nm $% ) • la temperatura , (in Kelvin) • il numero di molecole (o il numero di mole ) • il volume (in m * ) 2
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Fisica 2019-2020 Lezione 13 15/11/2019
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Termodinamica (2/3)gas idealiLezione 13, 15/11/2019, JW 16.1-16.2
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1. Gas ideali
In un gas ideale l’interazione tra le molecole può essere trascurata.
Cerchiamo l'equazione di stato dei gas ideali, cioè la relazione tra
• la pressione 𝑝 , (in Pascal, Nm$%)
• la temperatura 𝑇, (in Kelvin)
• il numero di molecole 𝑁 (o il numero di mole 𝑛)
• il volume 𝑉 (in m*)
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La pressione aumenta quando la temperatura aumenta: 𝑝 ∝ 𝑇
1. Equazione di stato dei gas ideali
La pressione aumenta quando la quantità di gas aumenta : 𝑝 ∝ 𝑁
La pressione aumenta quando il volume diminuisce: 𝑝 ∝ 1/𝑉
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1. Gas ideali
Combinando le tre osservazioni precedenti:
dove 𝑘 è detta costante di Boltzmann:
k = 1,38 x 10-23 J/K
O, esprimendo la quantità di gas in mole 𝑛
Dove 𝑅 è la costante universale dei gas:
𝑅 = 𝑁1𝑘 = 8,31 J/(mol K)
è 𝑁1 il numero di Avogadro 𝑁1 = 6,022×10%* molecole/mole
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1. Il principio di Avogadro
La massa di una mole di materia dipende dalla massa molecolare 𝑀:
Una mole di atomi elio (𝑀 = 4,0026 g/mol)ha una massa di 4,00260 g
Una mole di atomi di rame (𝑀 = 63,546 g/mol)ha una massa di 63,546 g
Una mole di gas alla temperatura di 0oCe alla pressione di 1 atm occupa un volume di
𝑉 =𝑛𝑅𝑇𝑝 =
1mol F 8,31 J mol$GK$G F 273K1,01×10IPa = 0,0224m* = 22,4 litri
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1. Isoterme
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2. Teoria cineticaLa teoria cinetica mette in relazione quantità microscopiche(posizione, velocità) e macroscopiche (pressione, temperatura) partendo dalle assunzioni seguenti:
• In un contenitore di volume 𝑉 sono presenti N molecole identiche di massa m; ogni molecola si comporta come una particella puntiforme.
• Le molecole si muovono in modo casuale e obbediscono in ogni istante alle leggi di Newton.
• Gli urti con le altre molecole e con le pareti del contenitore sono elastici.
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2. L'origine della pressione
La pressione è il risultato degliurti tra le molecole del gas e lepareti del contenitore.
Consideriamo una molecolain un cubo di lati 𝐿, volume 𝑉 = 𝐿*
Ogni urto con le paretiorizzontali, la molecola da unimpulso ∆𝑝O = 2𝑚𝑣OIl tempo tra gli urti è ∆𝑡 = 2𝐿/𝑣O
La forza risultante 𝐹 = ∆TU∆V =
%WXU%Y/XU
= WXUZ
Y
E la pressione 𝑝 = [1 =
WXUZ
\
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2. La curva di MaxwellLe velocità delle molecole di un gas non sono tutte uguali; la loro distribuzione è ben rappresentata dalla curva di Maxwell, e dipende dalla temperatura e della massa delle molecole.
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2. Velocità totaleNell’espressione precedente della pressione sostituiamo la velocità con la velocità media
𝑝 =𝑚 𝑣O% W
𝑉La velocità totale 𝑣% = 𝑣O% + 𝑣% + 𝑣_%
Vale anche per la media 𝑣% W = 𝑣O% W + 𝑣% W + 𝑣_% W
Con 𝑣O% W = 𝑣% W = 𝑣_% W, segue 𝑣O% W = `a 𝑣
%W
e dunque 𝑝 = G*W XZ b
\
Per 𝑁 molecole: 𝑝 = G*c\𝑚 𝑣% W = %
*c\ 𝐾W
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2. Energia cinetica e temperatura
Confrontando 𝑝 = %*c\ 𝐾W
con l’equazione di stato dei gas ideali 𝑝𝑉 = 𝑁𝑘𝑇
troviamo 𝐾W = `ZWX
ZW= *
%𝑘𝑇
E dunque la velocità quadratica media
𝑣eW = 𝑣% W =3𝑘𝑇𝑚 =
3𝑘𝑁1𝑇𝑚𝑁1
=3𝑅𝑇𝑀
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2. Energia interna
L’energia interna di un gas ideale è data dalla somma delle energie cinetiche di tutte le sue molecole.
(no interazioni, quindi no energia potenziale)
Per un gas ideale monoatomico: 𝑈 = 𝑁𝐾W = aZ𝑁𝑘𝑇 = a
Z𝑛𝑅𝑇
Qui, il numero 3 corrisponde alle 3 gradi di libertà
Ogni direzione 𝑥, 𝑦, 𝑧 contribuisce in egual misura alla energia cinetica
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2. Gas biatomici
Se il gas è biatomico, ci sono ulteriori contributi alla energia interna:
2 gradi di libertà per la rotazione1 grado di libertà per le vibrazioni (solo ad altissima temperatura)
L'energia interna di un gas biatomico 𝑈 = jZ𝑁𝑘𝑇 =
jZ𝑛𝑅𝑇 (per 𝑇 ≲ 1000𝐾)
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Più preciso: 𝑈 = jZ𝑛𝑅𝑇 = 5,7kJ
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𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 → T`n = op
\ = TZnZ→
𝑝% = 𝑝GnZn = 500kPa F %qrs%rrs = 517kPa
𝑝𝑉 = 𝑛𝑅𝑇 → 𝑛 =𝑝𝑉𝑅𝑇 =
101,3kPa F 4,2 F 10$*m*
8,31JK$Gmol$G F 300K = 0,17moli
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𝑣eW =3𝑅𝑇𝑀 →
𝑣eW(𝑇%)𝑣eW(𝑇G)
=
3𝑅𝑇%𝑀3𝑅𝑇G𝑀
=𝑇%𝑇G= 2
𝑣eW = *pnt → Xub(tZ)
Xub(t`)=
avwxZ
avwx`
= t`
tZ= yyz/{|}
Grz/{|}
→ 𝑣eW 𝑀% = 396m/s F yyGr = 619m/s
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𝑣eW =3𝑅𝑇𝑀 =
3 F 8,31JK$Gmol$G F 281K0,028kgmol$G = 500m/s
Biatomico :𝑈 = jZ𝑛𝑅𝑇 = j
ZF 2,7mol F 8,31JK$Gmol$G F 300K = 16,8kJ
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