w inżynierii komunikacyjnej Matematyczne odwzorowanie osi ...

Metody komputerowe

w inżynierii komunikacyjnej

Matematyczne odwzorowanie

osi drogi

doc. dr inż. Tadeusz Zieliński

r. ak. 2013/14

Układ wykładu

elementy składowe osi

metody projektowania

metoda składania osi z elementów

osie polinomialne

Elementy składowe

proste

łuki kołowe

krzywe przejściowe:

cel stosowania

klotoidy

krzywe Blossa

spirale logarytmiczne

płynna zmiana krzywizny między elementami o różnej krzywiźnie (łagodny przyrost siły bocznej)

utworzenie rampy (zmiany przechyłki) między elementami o różnym pochyleniu poprzecznym

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - cel stosowania (1)

źródło: W. Pietzsch, Projektowanie dróg i ulic, WKŁ, 1978

Wykres siły bocznej

Elementy składowe


źródło: W. Dębski, Drogi kołowe, WKŁ, 1976

Elementy składowe


Elementy składowe

Krzywe przejściowe - klotoidy

podstawowy typ krzywej

wyprowadzona przy

założeniu:

prędkość liniowa = const

prędkość kątowa = const

łuk kołowy z 2 klotoidami

krzywe złożone:

esowa

owalna

źródło: M. Lipiński, Tablice do tyczenia

krzywych, PPWK, 1978

y= L3/6A2 – L7/336A6 – L11/42240A10 + …

źródło: W. Pietzsch, Projektowanie dróg i ulic, WKŁ, 1978

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - łuk kołowy z klotoidami

źródło: J. Kukiełka, A. Szydło, Projektowanie i budowa dróg, WKŁ, 1976

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - esowa

źródło: J. Kukiełka, A. Szydło, Projektowanie i budowa dróg, WKŁ, 1976

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - owalna

cel stosowania – zaokrąglenie załamań wykresu przyrostu przyspieszenia bocznego

wzajemne przesuniecie klotoida – krzywa Blossa do 30 50 cm

bywa stosowana na kolei

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - krzywa Blossa y= 1/R (x4/4L2 –x5/10L3)

Wykres siły bocznej

źródło: Magazyn Autostrady 12/2006

wyprowadzona przy

założeniu:

prędkość liniowa ≠ const

prędkość kątowa = const

odpowiada warunkom ruchu na węzłach

kłopotliwa w zastosowaniu zastępowana koszową z klotoid

praktycznie nieużywana

Elementy składowe

Krzywe przejściowe - spirala logarytmiczna

źródło: Wikipedia

http://upload.wikimedia.org/wikipedia/commons/3/3f/Logarithmic_spiral.svg

Metody projektowania

wierzchołkowa

składanie z elementów

osie polinomialne


Wierzchołkowa

klasyczna

wzięta z projektowania

linii kolejowych

długie proste,

krótkie łuki

odwzorowanie osi

w układzie

liniowo-kątowym


Składanie z elementów

podstawy

proces projektowania

więcej: Zieliński T. Projektowanie osi drogi metodą składania z elementów, Magazyn Autostrady 10/2005



Podstawy

powstała w wyniku rozwoju dsr

badania warunków ruchu wykazały, że długa prosta to:

monotonia jazdy

nieuświadomiony prędkości

czujności wypadków

wniosek: odejście od długich prostych

warunek ciągłej krzywizny tendencja do projektowania według odręcznie rysowanej linii

odwzorowanie osi w układzie współrzędnych prostokątnych



Proces projektowania

ustalenie położenia przeszkód terenowych

ustalenie podstawowych wymogów geometrycznych (Rmin, Ri/Ri+1 itp.)

szkic odręczny trasy krzywik elastyczny

opisanie trasy łukami, klotoidami i ewentualnie prostymi ułożenie trasy z linijek i krzywików

ewentualna optymalizacja – kłopotliwa, bo dodatkowe ograniczenia wynikają z konieczności stosowania klotoid i łuków kołowych


Osie polinomialne

opis osi za pomocą krzywych: trygonometrycznych (dawniej)

wielomianów

z definicji zapewniają ciągłą krzywiznę

proces projektowania jak dla osi składanej z elementów, ale kończy się z chwilą określenia punktów, przez które ma przechodzić trasa (nie trzeba dobierać krzywych – łuków i klotoid)

zadane punkty określają wielomian (ciąg wielomianów sklejanych) wyznaczany za pomocą oprogramowania

odwzorowanie osi w układzie współrzędnych prostokątnych

Metoda składania z elementów

definicja elementu

typy elementów

typy punktów

ułożenie osi


Definicja elementu

odcinek osi o stałej krzywiźnie: prosta lub

łuk kołowy

do elementu mogą być dowiązane krzywe przejściowe (w różny sposób w różnych programach):

na początku i końcu łuku kołowego lub

na końcu każdego elementu


Typy elementów

stałe

obrotowe

buforowe


Typy elementów

Stałe

ich położenie jest jednoznacznie

zdefiniowane

ich długość wynika z dopasowania do

sąsiednich elementów (nie jest określona)

mogą być zdefiniowane na różne sposoby:

przez 2 punkty i promień

przez 3 punkty

przez punkt i kierunek


Typy elementów

Obrotowe

zdefiniowany jest punkt,

przez który muszą

przechodzić

mogą być zdefiniowane

na różne sposoby:

przez punkt i promień

przez punkt i kierunek


Typy elementów

Buforowe (swobodne)

położenie nie jest

zdefiniowane

– dostosowują się do

sąsiednich elementów

definiowana jest tylko

krzywizna elementu

(prosta lub łuk o zadanym

promieniu)


Typy punktów

na elemencie

(definiowane przez X,Y)

boczne

(definiowane przez X,Y,d)


Ułożenie osi

pierwszy

element

stały?

tak

skok do

najbliższego

stałego

cofnięcie do

poprzedzającego

obrotowego

dopasowanie

elementu

obrotowego

pierwszy

element

osi? następny

element

obrotowy?

dopasowanie

elementu

obrotowego

skok do

następnego

stałego

poprzedni

element

obrotowy?

dopasowanie

elementu

obrotowego

dopasowanie

elementu

buforowego

cała oś

ułożona? koniec

nie

tak nie

tak nie

nie tak

tak

nie

Osie polinomialne

typy

historia

podsumowanie

literatura

Osie polinomialne

Typy

w zależności od ostrości (sztywności)

narzuconych ograniczeń wyróżniamy

2 typy osi polinomialnych:

przechodzące dokładnie przez zadane

punkty

przechodzące w pobliżu zadanych

punktów

Osie polinomialne

Typy

Przechodzące dokładnie przez zadane punkty

dane

tok działania

obliczenia

wyniki

ocena metody

Osie polinomialne

Typy


Dane ciąg punktów Pi = (xi, yi) dla i=1, 2, ... k

warunki brzegowe: kierunek stycznej i R na początku i końcu trasy (dowiązanie do dróg istniejących)

ograniczenia: Rmin, Ri/ Ri+1, przyrost przyspieszenia Δa (a=V2/R)

wygodnie przyjmować początki układów lokalnych w zadanych punktach, bo:

są określone współrzędne

dla y(x=0)=0

1

Osie polinomialne

Typy


Tok działania

podział trasy na krótsze odcinki żeby:

była możliwość określenia funkcji y = f(x); dla każdego x jedna wartość y

wielomiany były niższych stopni mniejsza krętość

uwzględnienie warunku ciągłości trasy w miejscu połączenia musi być:

wspólna styczna

identyczna krzywizna

1

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia

zakładamy postać pierwszego wielomianu:

y = a0 + a1x + a2x2 + ... anx

n n+1 niewiadomych

uwzględniamy warunki brzegowe: trasa przechodzi przez zadany punkt P1 = (0, 0)

pochylenie stycznej w P1 wynosi tg 1

promień krzywizny na początku trasy jest określony i wynosi R1

postać wielomianu

stopień wielomianu

rozwiązanie układu równań

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia – przejście przez punkt P1

y = a0 + a1x + a2x2 + ... anx

n

jeśli początek układu w punkcie P1(0,0): y(x=0) = 0 a0 = 0

1

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia – pochylenie stycznej w P1

y = a0 + a1x + a2x2 + ... anx

n jeśli pochylenie stycznej w P1(0,0) wynosi tg 1: y’(x=0) = tg 1

y’ = a1 + 2a2x + 3a3x2 +... nanx

n-1

y’(x=0) = a1 a1 = tg 1

1

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia – promień krzywizny w P1 jeśli promień krzywizny w P1(0,0) wynosi R1:

R = (1+y’

2)3/2

y”

y”(x=0) = (1+tg

2 1)

3/2

R1

R1 = (1+y’(x=0)

2)3/2

y”(x=0)

y”(x=0) = 2a2 a2= y”(x=0) =

(1+tg2 1)

3/2

2 2R1

y = a0 + a1x + a2x2 + ... anx

n

y’ = a1 + 2a2x + 3a3x2 +... nanx

n-1

y” = 2a2 + 6a3x +... n (n-1) anxn-2

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia – ostateczna postać wielomianu

wyjściowa postać wielomianu:

y = a0 + a1x + a2x2 + ... anx

n

po podstawieniach:

y = x tg1 + (1+tg

21)

3/2

x2 + a3 x3 + ... an x

n 2R1

Osie polinomialne

Typy


Obliczenia – stopień wielomianu

liczba równań dla k punktów: pierwszy punkt 3 równania

następne (k-1) punktów po jednym równaniu

liczba równań: 3 + (k – 1) = k +2

niewiadome: a0 ÷ an n+1

stopień wielomianu n: dla wszystkich z wyjątkiem ostatniego: k +2 = n+1 n = k + 1

dla ostatniego: pierwszy punkt 3 równania

następne (k-2) punktów po jednym równaniu

dowiązanie na końcu 3 równania

3+(k-2)+3 = n+1 n = k+3

1

Osie polinomialne

Typy


Wyniki po rozwiązaniu układu otrzymuje się równanie wielomianu i można określić:

pikietaż: (y – funkcja opisana wyżej)

promień:

dla skoku pikietażu ΔL sprawdza się warunki normatywne: R > Rmin

Ri/ Ri+1

przyrost przyspieszenia Δa (a=V2/R)

jeśli nie ma rozwiązania lub nie są spełnione warunki trzeba: zmienić układ punktów

ewentualnie wprowadzić punkty dodatkowe (np.: żeby R > Rmin) stopnia wielomianu

z reguły wykonuje się kilka prób

dxLx

y 0

21

R = (1+y’

2)3/2

y”

Osie polinomialne

Typy


Ocena metody

wady:

trzeba wyznaczać ścisłe położenie

punktów, przez które ma przechodzić

trasa, choć nie jest to uzasadnione

względami technicznymi

krzywiznę kontroluje się po fakcie;

z praktyki wynika, że trzeba wyznaczyć

punkty co ok. 100 m, aby warunek

krzywizny był spełniony

Osie polinomialne

Typy

Przechodzące w pobliżu zadanych punktów

dane

tok działania

praktyczne zastosowanie

Osie polinomialne

Typy


Dane

ciąg punktów Pi(xi,yi,wi) dla i=1, 2, ..., l, ..., m przy czym:

wi – waga punktu

i ≤ l – punkty stałe (wi = )

l < i ≤ m – punkty przybliżone

warunki brzegowe – kierunek stycznej i R na początku i końcu trasy (dowiązanie do dróg istniejących)

ograniczenia: Rmin

Ri/Ri+1

przyrost przyspieszenia Δa (a=V2/R)

Osie polinomialne

Typy


Tok działania

podział trasy na krótsze odcinki (analogicznie jak w metodzie poprzedniej)

wyznaczenie wielomianu tak, aby przechodził: przez punkty stałe:

y(xi)=yi dla i ≤ l oraz

jak najbliżej punktów przybliżonych:

zastosowanie metody najmniejszych kwadratów m

wi (yi - y(xi))2 = min

i=l+1

układ należy przyjmować tak, aby oś y była możliwie prostopadła do przebiegu trasy

yi

y(xi)

xi

Osie polinomialne

Typy


Praktyczne zastosowanie

program Calogero

możliwe są obliczenia zarówno dla trasy

jak i niwelety

wymagane dane

obliczenia

typ danych trasa niweleta uwagi

D – odległość określająca

maksymalne (dla W i=1)

odchylenie osi od punktu

np. 20 m dla trasy np. 1.5 m

dla niwelety

W – waga odległości

U – maksymalny kat odchylenia

od zadanego kierunku (dla Ui=1)

U – waga kąta

promienie minimalne Rmin Rmin, Rmin

U

ścisły punkt i kierunek + R

(warunki brzegowe)

X, Y, tg , R pik. P, h, i, R

przybliżony punkt X, Y, W; W≥1

np. WA=1, WB=100

P, H, W

Pi

ścisły punkt X, Y; odchylenie = 0 W= P, H, W=

ścisły punkt i kierunek (narzucony

kierunek stycznej)

X, Y, tg , U=

P, H, i, U=

bardzo przydatne

dla niwelety przybliżony punkt i kierunek X, Y, W; tg , U≥1 P, H, W, i, U≥1

Osie polinomialne

Typy


Praktyczne zastosowanie - dane

D/Wi

D/Wi

Osie polinomialne

Typy


Praktyczne zastosowanie - obliczenia

obliczenia wykonuje się iteracyjnie

wyniki: współczynniki wielomianów

dla zadanego ΔL i dla zadanych punktów: pikietaż

Xi, Yi, Ri

1/Ri

Ai – parametr równoważny klotoidy

odległość punktów kierunkowych od trasy

dowiązanie do zadanego poligonu (dane do wytyczenia)

wykreślenie trasy i wykresu 1/Ri

Osie polinomialne

Historia

świat: 1969 r – Calogero – doktorat w Londynie (przejście przez punkty ścisłe i przybliżone)

rozwój we Włoszech, Francji, W. Brytanii (stosowana w BIPS-ie, MOSS-ie)

Polska: prace na Politechnice Wrocławskiej (I etap prac nad programem do optymalizacji niwelety)

wykorzystanie przy modernizacji dróg (rzadkie)

praca doktorska D. Godlewskiego – optymalizacja łącznic na węźle

praca dyplomowa na początku lat 80-tych - trasa przechodząca dokładnie przez zadane punkty

Osie polinomialne

Podsumowanie

zalety

wady

wnioski

Osie polinomialne

Podsumowanie

Zalety

wzrost jakości projektu: płynność trasy (freihandlinie):

płynna zmiana krzywizny

lepsze wpisanie w teren na ogół mniejsze roboty ziemne

lepsze wkomponowanie w ograniczenia wynikające z zagospodarowania terenu; szczególnie przydatna przy modernizacji drogi (punkty stałe w planie i w profilu oraz ΔD2 = min możliwie minimalna przebudowa)

ułatwia optymalizację trasy i niwelety wprowadzając prostszy, łatwiejszy do przetwarzania matematyczny opis osi

uproszczenie projektowania: pominięcie części tradycyjnego procesu projektowania (pominięty etap opisywania łukami i klotoidami, dobieranie R, A) – na odcinkach nieistotnych wybór trasy przeniesiony na oprogramowanie

łatwość wytyczenia – obliczenia są od razu podstawą do wytyczenia (x, y) co ΔL; jedynie proste tyczyć łatwiej, ale są one niepożądanym elementem trasy

Osie polinomialne

Podsumowanie

Wady

ciągła zmienność przechyłki

(nieustanna rampa kłopoty wykonawcze)

problemy przy trasach bardzo krętych (węzły,

serpentyny):

żeby oś była funkcją, trzeba bardzo często

zmieniać układy współrzędnych

można ominąć ten problem wprowadzać funkcje

parametryczne: x=at, y=bt

brak empirycznych badań warunków ruchu

na takich trasach

Osie polinomialne

Podsumowanie

Wnioski

trasowanie polinomialne można stosować do

projektowania tak trasy jak i niwelety

obecnie stosowane rzadko; przyczyna:

rozwój programów do projektowania

łatwość tworzenia trasy z łuków kołowych

i klotoid (metoda składania z elementów)

najczęstsze zastosowania:

modernizacja

wstęp do optymalizacji

Osie polinomialne

Literatura

Kossakowski M. – Drogowe trasy polinomialne, Drogownictwo 2/1976.

Pikiewicz J. – Zastosowanie rozwinięć wielomianowych w projektowaniu planu sytuacyjnego dróg, praca dyplomowa 1982

Zieliński T. – Projektowanie osi drogi metodą składania z elementów, Magazyn Autostrady 10/2005

Gumuła A. – Projektowanie krzywej Blossa w AutoCad-zie, Magazyn Autostrady 12/2006

w inżynierii komunikacyjnej Matematyczne odwzorowanie osi ...

Documents

Transcript of w inżynierii komunikacyjnej Matematyczne odwzorowanie osi ...