Tablice matematyczne

Click here to load reader

  • date post

    07-Mar-2016
  • Category

    Documents

  • view

    335
  • download

    15

Embed Size (px)

description

 

Transcript of Tablice matematyczne

  • Zestaw wzorw matematycznych zosta przygotowany dla potrzeb egzaminu maturalnego z matematyki obowizujcej od roku 2010. Zawiera wzory przydatne do rozwizania zada z wszystkich dziaw matematyki, dlatego moe suy zdajcym nie tylko podczas egzaminu, ale i w czasie przygotowa do matury. Zestaw ten zosta opracowany w Centralnej Komisji Egzaminacyjnej we wsppracy z pracownikami wyszych uczelni oraz w konsultacji z ekspertami z okrgowych komisji egzaminacyjnych. Mamy nadziej, e zestaw, ktry przygotowalimy maturzystom, speni swoje zadanie i przyczyni si do egzaminacyjnych sukcesw. Publikacja wspfinansowana przez UE w ramach Europejskiego Funduszu Spoecznego. Publikacja jest dystrybuowana bezpatnie. SPIS TRECI

    1. Warto bezwzgldna liczby ............................................................................ 1

    2. Potgi i pierwiastki........................................................................................... 1

    3. Logarytmy ........................................................................................................ 2

    4. Silnia. Wspczynnik dwumianowy ................................................................ 2

    5. Wzr dwumianowy Newtona ........................................................................... 2

    6. Wzory skrconego mnoenia ........................................................................... 3

    7. Cigi ................................................................................................................. 3

    8. Funkcja kwadratowa ........................................................................................ 4

    9. Geometria analityczna ...................................................................................... 4

    10. Planimetria ....................................................................................................... 6

    11. Stereometria ................................................................................................... 12

    12. Trygonometria ................................................................................................ 14

    13. Kombinatoryka............................................................................................... 15

    14. Rachunek prawdopodobiestwa .................................................................... 15

    15. Parametry danych statystycznych .................................................................. 16

    16. Tablica wartoci funkcji trygonometrycznych ............................................... 17

  • 1

    1. WARTO BEZWZGLDNA LICZBY Warto bezwzgldn liczby rzeczywistej x definiujemy wzorem:

    dla 0dla 0

    x xx

    x x= : 1

    mn

    n ma

    a

    = Niech r, s bd dowolnymi liczbami rzeczywistymi. Jeli 0a > i 0b > , to zachodz rwnoci:

    r s r sa a a + = ( )sr r sa a = r r ssa aa = ( )r r ra b a b = r rra ab b

    = Jeeli wykadniki r, s s liczbami cakowitymi, to powysze wzory obowizuj dla wszystkich liczb 0a i 0b .

  • 2

    3. LOGARYTMY

    Niech 0a > i 1a . Logarytmem loga c liczby 0c > przy podstawie a nazywamy wykadnik b potgi, do ktrej naley podnie podstaw a, aby otrzyma liczb c:

    log ba c b a c= = Rwnowanie:

    loga ca c= Dla dowolnych liczb 0x > , 0y > oraz r zachodz wzory:

    ( )log log loga a ax y x y = + log logra ax r x= log log loga a ax x yy = Wzr na zamian podstawy logarytmu: jeeli 0a > , 1a , 0b > , 1b oraz 0c > , to

    logloglog

    ab

    a

    ccb

    = log x oraz lg x oznacza 10log x . 4. SILNIA. WSPCZYNNIK DWUMIANOWY Silni liczby cakowitej dodatniej n nazywamy iloczyn kolejnych liczb cakowitych od 1 do n wcznie:

    ! 1 2 ...n n= Ponadto przyjmujemy umow, e 0! 1= . Dla dowolnej liczby cakowitej 0n zachodzi zwizek:

    ( ) ( )1 ! ! 1n n n+ = + _____ * _____

    Dla liczb cakowitych n, k speniajcych warunki 0 k n definiujemy wspczynnik dwumianowy

    nk (symbol Newtona):

    ( )!

    ! !n nk k n k =

    Zachodz rwnoci:

    ( )( ) ( )1 2 ... 11 2 3 ...

    n n n n n kk k

    + = n nk n k = 10

    n = 1nn =

    5. WZR DWUMIANOWY NEWTONA Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dla dowolnych liczb a, b mamy:

    ( ) 1 1... ...0 1 1

    n n n n k k n nn n n n na b a a b a b ab bk n n

    + = + + + + + +

  • 3

    6. WZORY SKRCONEGO MNOENIA Dla dowolnych liczb a, b:

    ( )2 2 22a b a ab b+ = + + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b+ = + + + ( )2 2 22a b a ab b = + ( )3 3 2 2 33 3a b a a b ab b = +

    Dla dowolnej liczby cakowitej dodatniej n oraz dowolnych liczb a, b zachodzi wzr:

    ( )( )1 2 1 2 1... ...n n n n n k k n na b a b a a b a b ab b = + + + + + + W szczeglnoci:

    ( )( )2 2a b a b a b = + ( )( )2 1 1 1a a a = + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b = + + ( )( )3 21 1 1a a a a = + + ( )( )3 3 2 2a b a b a ab b+ = + + ( )( )3 21 1 1a a a a+ = + +

    ( )( )11 1 1 ...n na a a a = + + + 7. CIGI

    Cig arytmetyczny Wzr na nty wyraz cigu arytmetycznego ( )na o pierwszym wyrazie 1a i rnicy r:

    ( )1 1na a n r= + Wzr na sum 1 2 ...n nS a a a= + + + pocztkowych n wyrazw cigu arytmetycznego:

    ( )11 2 12 2

    nn

    a n ra aS n n+ += =

    Midzy ssiednimi wyrazami cigu arytmetycznego zachodzi zwizek: 1 1 dla 2

    2n n

    na aa n ++=

    Cig geometryczny Wzr na nty wyraz cigu geometrycznego ( )na o pierwszym wyrazie 1a i ilorazie q:

    11 dla 2

    nna a q n

    = Wzr na sum 1 2 ...n nS a a a= + + + pocztkowych n wyrazw cigu geometrycznego:

    1

    1

    1 dla 11

    dla 1

    n

    n

    qa qS q

    n a q

    = =

    Midzy ssiednimi wyrazami cigu geometrycznego zachodzi zwizek: 2

    1 1 dla 2n n na a a n += Procent skadany Jeeli kapita pocztkowy K zoymy na n lat w banku, w ktrym oprocentowanie lokat wynosi %p w skali rocznej, to kapita kocowy nK wyraa si wzorem:

    1100

    n

    npK K = +

  • 4

    8. FUNKCJA KWADRATOWA

    Posta oglna funkcji kwadratowej: ( ) 2f x ax bx c= + + , 0a , x R . Wzr kadej funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci kanonicznej:

    ( ) ( )2f x a x p q= + , gdzie 2bpa

    = , 4

    qa= , 2 4b ac =

    Wykresem funkcji kwadratowej jest parabola o wierzchoku w punkcie o wsprzdnych ( ),p q . Ramiona paraboli skierowane s do gry, gdy 0a > , do dou, gdy 0a < .

    Liczba miejsc zerowych funkcji kwadratowej ( ) 2f x ax bx c= + + (liczba pierwiastkw trjmianu kwadratowego, liczba rzeczywistych rozwiza rwnania 2 0ax bx c+ + = ), zaley od wyrnika 2 4b ac = : jeeli 0 < , to funkcja kwadratowa nie ma miejsc zerowych (trjmian kwadratowy

    nie ma pierwiastkw rzeczywistych, rwnanie kwadratowe nie ma rozwiza rzeczywistych),

    jeeli 0 = , to funkcja kwadratowa ma dokadnie jedno miejsce zerowe (trjmian kwadratowy ma jeden pierwiastek podwjny, rwnanie kwadratowe ma dokadnie

    jedno rozwizanie rzeczywiste): 1 2 2bx xa

    = = jeeli 0 > , to funkcja kwadratowa ma dwa miejsca zerowe (trjmian kwadratowy

    ma dwa rne pierwiastki rzeczywiste, rwnanie kwadratowe ma dwa rozwizania rzeczywiste):

    1 2bx

    a = 2 2

    bxa

    + = Jeli 0 , to wzr funkcji kwadratowej mona doprowadzi do postaci iloczynowej:

    ( ) ( )( )1 2f x a x x x x= Wzory Vitea Jeeli 0 to

    1 2 1 2b cx x x x

    a a+ = =

    9. GEOMETRIA ANALITYCZNA

    Odcinek Dugo odcinka o kocach w punktach

    ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= dana jest wzorem:

    ( ) ( )2 2B A B AAB x x y y= + Wsprzdne rodka odcinka AB:

    ,2 2

    A B A Bx x y y+ +

    x

    y

    O

    ( ),= B BB x y

    ( ),= A AA x y

  • 5

    Wektory Wsprzdne wektora AB

    JJJG:

    [ ],B A B AAB x x y y= JJJG Jeeli [ ]1 2,u u u=G , [ ]1 2,v v v=G s wektorami, za a jest liczb, to

    [ ]1 1 2 2,u v u v u v+ = + +G G [ ]1 2,a u a u a u = G Prosta Rwnanie oglne prostej:

    0Ax By C+ + = , gdzie 2 2 0A B+ (tj. wspczynniki A, B nie s rwnoczenie rwne 0). Jeeli 0A = , to prosta jest rwnolega do osi Ox; jeeli 0B = , to prosta jest rwnolega do osi Oy; jeeli 0C = , to prosta przechodzi przez pocztek ukadu wsprzdnych. Jeeli prosta nie jest rwnolega do osi Oy, to ma ona rwnanie kierunkowe: y ax b= + Liczba a to wspczynnik kierunkowy prostej: tga = Wspczynnik b wyznacza na osi Oy punkt, w ktrym dana prosta j przecina.

    Rwnanie kierunkowe prostej o wspczynniku kierunkowym a, ktra przechodzi przez punkt ( )0 0,P x y= :

    ( )0 0y a x x y= + Rwnanie prostej, ktra przechodzi przez dwa dane punkty ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= :

    ( )( ) ( )( ) 0A B A B A Ay y x x y y x x = Prosta i punkt Odlego punktu ( )0 0,P x y= od prostej o rwnaniu 0Ax By C+ + = jest dana wzorem:

    0 0

    2 2

    Ax By C

    A B

    + ++

    Para prostych Dwie proste o rwnaniach kierunkowych

    1 1y a x b= + 2 2y a x b= + speniaj jeden z nastpujcych warunkw:

    s rwnolege, gdy 1 2a a= s prostopade, gdy 1 2 1a a = tworz kt ostry i 1 2

    1 2

    tg1a a

    a a = +

    b

    x O

    y y ax b= +

  • 6

    Dwie proste o rwnaniach oglnych: 1 1 1 0A x B y C+ + = 2 2 2 0A x B y C+ + =

    s rwnolege, gdy 1 2 2 1 0A B A B = s prostopade, gdy 1 2 1 2 0A A B B+ = tworz kt ostry i 1 2 2 1

    1 2 1 2

    tg A B A BA A B B

    = +

    Trjkt Pole trjkta ABC o wierzchokach ( ),A AA x y= , ( ),B BB x y= , ( ),C CC x y= , jest dane wzorem:

    ( )( ) ( )( )12ABC B A C A B A C A

    P x x y y y y x x = rodek cikoci trjkta ABC, czyli punkt