1

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu EU peníze středním školám

Pořadové číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0068

Šablona: IV/2 Sada: 1Číslo: VY_42_INOVACE_32 SM4 DK

2

Iracionální rovnice a rovnice s parametrem

Předmět: Seminář matematiky

Ročník: 4 (4/4G, 6/6G)

Anotace: Iracionální rovnice a rovnice s parametrem

Klíčová slova: Iracionální rovnice, rovnice s parametrem.

Jméno autora: Mgr. Dagmar Kolářová

Škola: Gymnázium Hranice, Zborovská 293, 753 11 Hranice

3

Iracionální rovnice (rovnice s odmocninami)

Při řešení používáme neekvivalentní úpravu druhá mocnina, proto musíme udělat zkoušku, zda nalezené kořeny jsou řešením původní rovnice nebo určíme definiční obor rovnice.

Řešte v R:

[2]√𝑥+7=𝑥+5 𝐾= {−3 },−6Výsledky

√5 𝑥+1−𝑥−1=0 𝐾= {0 ;3 }

√6−4 𝑥− 𝑥2−𝑥−4=0 𝐾= {−1 } ,−5

√𝑥+2−√𝑥−6=2 𝐾= {7 }

√3 𝑥+7−√𝑥+1=2 𝐾= {−1 ;3 }

Výsledky

Výsledky

Výsledky

Výsledky

4

Příklady

Řešte v R:

Je dána rovnice Tato rovnice:A. Nemá žádný celočíselný kořenB. Má právě jeden celočíselný kořenC. Má právě dva celočíselné kořenyD. Má právě dva kladné kořenyE. Má právě dva záporné kořeny

[4]√2 (𝑥−1 )=5𝑥−√2𝑥=0Výsledky 𝑥=− 12+7√2

23𝑥=−2−1,5 √2

C, 4,-5

Výsledky Výsledky

Výsledky

√2 (𝑥−1 )=5𝑥+2 √2 𝑥−1=2𝑥+√2

3. [3]

5

Rovnice s parametrem

Lineární rovnice s neznámou x a parametrem p:

Jde o zápis velkého množství rovnic, které se liší hodnotou parametru p, pomocí jedné rovnice.

Vyřešit rovnici s parametrem znamená vyřešit všechny tyto rovnice, tj. určit množiny všech řešení pro jednotlivé hodnoty parametru.

, kde pεR

0x=0 0x=8 K=R K= K=Výsledky Výsledky Výsledky

0 R 2

Výsledky

[1]

6

Rovnice s parametrem

Lineární lomená rovnice s neznámou x a parametrem a:

, kde aεR

0x=2

K= Výsledky Výsledky

0

Výsledky

𝑎𝑥=2 (1−𝑎2 ) , 𝑥≠−𝑎Výsledky

[1]

7

Rovnice s parametrem Kvadratická rovnice s neznámou x a parametrem a:

, kde aεR

𝐷<0𝑎∈(−2 ;0)∪(0 ;2)𝐾=∅

𝐷=0 𝑎=±2𝑥=−𝑎2

=∓1

𝐷>0𝑎∈ (−∞ ;−2 )∪ (2 ;+∞ )𝑥=−𝑎±√𝑎2−42

, kde aεR

Výsledky

Výsledky

Výsledky

Výsledky

Výsledky

Výsledky

Výsledky

[1]

8

Příklady

Je dána rovnice 15x-7a=2+6a-3ax s neznámou x a parametrem a.1. Rovnici vyřešte2. Pro které hodnoty parametru a je kořen rovnice menší než 2

Určete všechna reálná čísla p, pro která má rovnice dva různé reálné kořeny, z nichž jeden je dvojnásobkem druhého.

[3]

[3]

𝑥2+ (𝑝+1 )𝑥+3𝑝−6=0

-5

Výsledky𝑎−4𝑎+5

<0𝑎∈ (−5 ;4 )Výsledky

𝑝=8𝑥2+9 𝑥+18=0 𝑥1=−3 𝑥2=−6

𝑝=72𝑥2+

92𝑥+92=0𝑥1=−3 𝑥2=−

32

Výsledky

9

Příklady

Součet kořenů rovnice je 1. Jaké jsou kořeny této rovnice?

Jedním kořenem rovnice je číslo . Jejím druhým kořenem je číslo:

[5]

[5]

−3 ;4Výsledky

𝐴 ¿ 3+√22

𝐵 ¿−3−√22

𝐶 ¿−3+√22 𝐷 ¿√ 3+√2

2𝐸 ¿−√ 3−√2

2

𝐶Výsledky

10

Příklady

Řešte v R rovnici s neznámou x:

[1]

Výsledky𝑝𝑥+3−𝑝=𝑥

𝑥+𝑎2−

2𝑥+𝑎

=𝑥−𝑎2

𝑥2−𝑝2+2𝑝−1=0

Výsledky

Výsledky

11

Internetové zdroje příkladů

Příklady:

http://www.priklady.eu/cs/Matematika.alej

http://educhem.cz/skola/maturitni-zkousky/zkusebni-ulohy-a-temata/podklady-pro-pripravu/

12

ZdrojeKnihy:

1. Charvát, Jura, Zhouf, Jaroslav a Boček, Leo. Matematika pro gymnázia. Rovnice a nerovnice. Praha : Prometheus, 1999. ISBN 80-7196-154-X.

2. Hejkrlík, Pavel. Sbírka řešených příkladů. Matematika. Rovnice a nerovnice. Opava: Nakladatelství SSŠP, 2006. ISBN 978-80-903861-0-5.

3. Zhouf, Jaroslav. Sbírka testových úloh k maturitě z matematiky . Praha: Prometheus, 2002. ISBN 80-7196-249-X.

4. Hruška, Miroslav. Státní maturita z matematiky v testových úlohách včetně řešení. Olomouc: Rubico, 2012. ISBN 80-7346-149-2.

5. Sýkora, Václav. Matematika. Sbírka úloh pro společnou část maturitní zkoušky . Základní obtížnost. Praha: Tauris, 2001. ISBN 80-211-0400-7.Web:1. Mgr. Roman Hesteric. Matematika - příklady.eu. www.priklady.eu. [Online]

2013. [Citace: 10. 07 2013.] http://www.priklady.eu/cs/Matematika.ale.

2. Matematika - podklady pro přípravu. educhem.cz. [Online] 2013. [Citace: 10. 07 2013.] http://educhem.cz/skola/wp-content/uploads/2012/01/%C4%8C%C3%ADseln%C3%A9-mno%C5%BEiny.pdf.