Výrok a jeho negace
description
Transcript of Výrok a jeho negace
![Page 1: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/1.jpg)
Výrok a jeho negace
![Page 2: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/2.jpg)
Výrok
Za výrok budeme považovat jakékoli tvrzení, u kterého má
smysl zabývat se otázkou, zda je či není pravdivé (podle toho
pak výrok budeme nazývat pravdivým či nepravdivým).
Tato tvrzení budeme zkoumat samostatně, bez souvislosti
s případným kontextem.
Není nutné okamžitě vědět, zda je dané tvrzení pravdivé či
nepravdivé, abychom o něm řekli, že se jedná o výrok. Musí ale
být smysluplné zabývat se otázkou pravdivosti tohoto tvrzení,
tj. musí existovat cesta, jak se k pravdivosti tvrzení dobrat.
![Page 3: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/3.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„V roce 1998 získala hokejová reprezentace České republiky zlatou medaili na olympijských hrách v Naganu.“
![Page 4: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/4.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„Český král a římskoněmecký císař Karel IV. vládl v 18. století.“
![Page 5: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/5.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„4 < 5“
![Page 6: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/6.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„Sedni si!“
![Page 7: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/7.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„Co je dnes k večeři?“
![Page 8: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/8.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„Ať se máme všichni dobře!“
![Page 9: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/9.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„Učitelka drží v ruce fix.“
![Page 10: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/10.jpg)
Rozhodněte, zda se jedná o výrok
„x > 10“
![Page 11: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/11.jpg)
Pravdivostní hodnota výroku
Výrok pravdivý…….P…v(V) = 1Výrok nepravdivý…N…v(V) = 0
![Page 12: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/12.jpg)
Určete pravdivostní hodnotu výroku
Tvrzení: P. hodnota:
1. „Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“
2. „Slovo rostlina označuje totéž, co slovo živočich.“
3. „Evropská unie má více než 15 členských zemí.“
4. „Československá televize začala vysílat v roce 1953.“
5. „Nejvyšší povolená rychlost vozidel v obci je v ČR stanovena na 90km/h.“6. „Demokracie je totalitní zřízení.“7. „Posvátnou knihou muslimů je Korán.“
8. „Číslo 3 patří do množiny reálných čísel.“
9. „5,12 = 18,1“10. „−5 + 3 < 154“11. „Přičtení stejného čísla k oběma stranám rovnice je ekvivalentní úpravou.“
![Page 13: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/13.jpg)
Negace výroku
V matematické logice často potřebujeme k danému výroku nalézt
výrok, který tvrdí přesný opak. K tomu slouží negace.
Negací výroku budeme rozumět takový výrok, který popírá
pravdivost výroku původního.
Negace výroku je tedy jeho „pravý opak“, který vylučuje platnost
původního výroku. Pravdivostní ohodnocení negace výroku musí být
vždy opačné než pravdivostní ohodnocení původního výroku.
Nejjednodušším způsobem, jak z výroku vyrobit jeho negaci, je
přidat na začátek daného výroku formulaci: „Není pravda, že…“
Pokud vyrábíme z výroku jeho negaci, říkáme, že výrok negujeme.
![Page 14: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/14.jpg)
Negujte následující výroky
1. „Na státní vlajce České republiky je modrý trojúhelník.“
2. „Číslo 1 je záporné.“
3. „Číslo 0,5 patří do množiny celých čísel.“
4. „V Dobřichovicích je právě teď bezvětří.“
5. „V Praze na Žižkově včera ve 13:00 pršelo.“
![Page 15: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/15.jpg)
Postřeh
Jestliže výrok znegujeme dvakrát za sebou, dostaneme se k původnímu výroku, u kterého jsme s negováním začínali. Popřeme-li totiž negaci výroku, dostáváme výrok původní.
![Page 16: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/16.jpg)
Značení
Původní výrok……………………… V
Negace původního výroku…… ┐V
![Page 17: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/17.jpg)
Kvantifikované výroky
Obecný kvantifikátor
Značka: (od slova all, alle)Čteme: „pro všechna…“, „pro každý…“
Např. Pro každé přirozené číslo platí
![Page 18: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/18.jpg)
Kvantifikované výroky
Existenční kvantifikátor
Značka: (od slova exists)Čteme: „existuje aspoň jedno…“
Např. Existuje aspoň jedno přirozené číslo , pro
které platí, že
![Page 19: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/19.jpg)
Kvantifikované výroky
Kvantifikátor jednoznačné existence
Značka: ! Čteme: „existuje právě jedno…“
Např. Existuje právě jedno přirozené číslo , pro
které platí, že
![Page 20: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/20.jpg)
Kvantifikované výroky
Negací výroku
V: je výrok
┐V: .
![Page 21: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/21.jpg)
Kvantifikované výroky
Negací výroku
V: je výrok
┐V: .
![Page 22: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/22.jpg)
Kvantifikované výroky
Slovní kvantifikování
…nejvýše k… x …aspoň (k+1)…
…aspoň k… x …nejvýše (k-1)…
![Page 23: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/23.jpg)
Příklad 1
Pomocí kvantifikátorů utvořte z následujících vět pravdivé výroky:
a) pro čísla x, y platí x2 + y2 = 0
b) pro číslo x platí x2 + 1 > 0
![Page 24: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/24.jpg)
Příklad 2
Utvořte negace následujících pravdivých výroků:
a) Průnik libovolné množiny s množinou prázdnou je prázdná množina.
b) Existuje alespoň jeden trojúhelník, který je pravoúhlý.
c) Existuje aspoň jedno reálné číslo, jehož absolutní hodnota je rovna 0.
d) Druhá mocnina každého reálného čísla je číslo nezáporné.
![Page 25: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/25.jpg)
Příklad 3
Posuďte pravdivost následujících výroků a utvořte jejich negace:
a) Úhlopříčky každého čtyřúhelníku jsou navzájem kolmé.
b) Každé celé číslo je racionální.
c) Existuje trojúhelník, v němž není součet jeho vnitřních úhlů roven 180°.
d) Existuje alespoň jedno reálné číslo, jehož součin s nulou je číslo
nenulové.
![Page 26: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/26.jpg)
Příklad 4
Následující tvrzení považujte za výroky a negujte je:
a) Nic nového pod sluncem.
b) Bez práce nejsou koláče.
c) Žádný učený z nebe nespadl.
d) Kdo jinému jámu kopá, sám do ní spadne.
![Page 27: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/27.jpg)
Příklad 5
Určete, který z níže uvedených výroků je negací výroku: Každá kočka je černá.
a) Každá kočka je bílá.
b) Každá kočka není černá.
c) Alespoň jedna kočka je bílá.
d) Aspoň jedna kočka není černá.
![Page 28: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/28.jpg)
Příklad 6
Negujte pravdivé výroky:
a) Existuje alespoň jedno reálné číslo x, pro něž √x2 = x.
b) Pro všechna reálná čísla x > 1 platí √x2 > x.
c) Každé přirozené číslo, které je dělitelné deseti, je dělitelné pěti.
d) Žádné přirozené číslo není menší než - 10.
![Page 29: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/29.jpg)
Příklad 7
Negujte nepravdivé výroky:
a) Existuje aspoň jedno přirozené číslo, které není sudé ani liché.
b) Každé dvě přímky v rovině jsou rovnoběžné.
c) Existuje aspoň jeden trojúhelník, ve kterém se všechny jeho výšky neprotínají v jediném bodě.
d) Součet žádných dvou celých čísel není roven 0.
![Page 30: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/30.jpg)
Příklad 8
Doplňte jedno ze slov: „alespoň, právě, nejvýše“ tak, aby výrok byl pravdivý.
a) Každé prvočíslo má … dva různé dělitele.
b) Dvě různé přímky v rovině mohou mít … jeden společný bod.
c) Nerovnici x2 > 5 splňují … tři přirozená čísla.
![Page 31: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/31.jpg)
Příklad 9
Doplňte jedno ze slov: „existuje, každý“ tak, aby výrok byl pravdivý.
a) …trojúhelník, který je rovnostranný.
b) …přirozený násobek čísla 2 je sudé číslo.
![Page 32: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/32.jpg)
Příklad 10
Kvantifikované výroky zapsané symbolicky vyjádřete slovy a rozhodněte o jejich pravdivosti.
a)
b)
c)
d)
0: 2 xRx
||: 2 xxRx
10: yxRyRx
yyxRyRx :
![Page 33: Výrok a jeho negace](https://reader033.fdocuments.net/reader033/viewer/2022061600/56816724550346895ddbb0a2/html5/thumbnails/33.jpg)
Příklad 11
Vyslovte negace následujících výroků:
a) Alespoň šest přirozených čísel splňuje nerovnost x - 40 < 0.
b) Číslo 92 má nejvýše pět dělitelů.
d) Existuje takové reálné číslo m, že platí: (m+1)2 = m.
e) Každé prvočíslo je liché číslo.