Vremenski promenljive struje

Do sada smo razmatrali kola kod kojih su izvori napajanja bili vremenski nepromenljivi (DC – direct current) i kod kojih struja protiče u jednom odreñenom smeru.

U okviru programa predmeta Osnovi elektrotehnike bavićemo se analizom kola naizmenične sruje (AC – alternating current) u kojima postoji izvor vremenski promenljivog napajanja sa vremenski promenljivim signalom (obično je to neki signal sinusnog talasnog oblika). Električni signal je napon ili struja koji se na odreñeni način menjaju u vremenu. Drugim rečima, fluktuacija struje ili napona po odreñenom šablonu se naziva talasnim oblikom.

Naizmenični napon je onaj napon kod koga se odreñenom brzinom menja polaritet. Naizmenična struja je ona struja koja odreñenom brzinom menja smer proticanja. Sinusni talasni oblik je osnovni i najčešći oblik vremenski promenljivih signala jer se svi periodični talasni oblici mogu rastaviti na odreñen broj različitih sinusnih talasnih funkcija.

Sinusni talasni oblik signala

Sinusni talasni oblici signala se mogu dobiti na dva načina: rotacionim električnim mašinama (AC generatori) ili elektronskim oscilatornim kolima (signal generatori).

simbol za predstavljanje signala sinusnog talasnog oblika u električnim kolima.

)ili( iv

)ili( iv −−

)vreme(t

pozitivni maksimum

negativni maksimum

Na slici je prikazan sinusni talasni oblik bilo naizmeničnog napona v ili struje i. Na slici je prikazan jedan ciklus promene naizmenične vrednosti signala (perioda).

Polaritet signala sinusnog talasnog oblika:

Sinusni talasni oblik menja polaritet pri prolasku kroz svoje nulte vrednosti, što znači da se menja izmeñu svojih pozitivnih i negativnih vrednosti. Kada se sinusni oblik napona AC izvora (vs) primeni na neko rezistivno kolo, u kolu se pojavljuje naizmenična sinusna struja. Kada napon menja polaritet, struja na odgovarajući način menja smer proticanja. Za vreme pozitivnih vrednosti signala vs, struja protiče u smeru koji je prikazan na slici (a). Za vreme negativnih vrednosti signala vs, struja protiče u smeru koji je prikazan na slici (b). Kombinovane pozitivne i negativne vrednosti čine jedan ciklus sinusnog talasnog oblika.

sv

tsv R

I

pozitivna alternacija sv

tsv R

I

negativna alternacija

(a) (b)

Perioda signala sinusnog talasnog oblika:

Vreme za koje vremenska promena signala kompletira ceo jedan ciklus se naziva perioda i označava se sa T. Na slici (a) je prikazana perioda sinusnog signala. Idealni sinusni signal nastavlja da se ponavlja u identičnim ciklusima, kao što je prikazano na slici (b). Kako su svi ciklusi periodičnog sinusnog signala isti, za jedan sinusni talasni oblik signala perioda ima konstantnu vrednost. Perioda se može računati polazeći od nulte vrednosti signala do odgovarajuće sledeće nulte vrednosti; može se meriti i izmeñu dve odgovarajuće maksimalne vrednosti signala.

perioda (T) 1. ciklus 2. ciklus 3. ciklus

v v

)µs(t

v

t

Načini merenja periode

)s(t

s4=Tµs1=T

Frekvencija signala sinusnog talasnog oblika:

Frekvencija f je broj ciklusa koji talasni oblik kompletira u toku vremenskogperioda od jedne sekunde. Što se više ciklusa zaokruži, to će biti veća frekvencija.

Frekvencija se izražava jedinicom koja se naziva herc i označava sa Hz. 1Hz je ekvivalentno jednoj periodi u sekundi, 60Hz je ekvivalentno 60 perioda u sekundi.

Manji broj ciklusa u sekundi – manja frekvencija; veći broj ciklusa u sekundi – veća frekvencija.

Frekvencija f i perioda T su meñusobno povezane sledećom relacijom:

Tf

1=

Ova inverzna veza ima smisla jer sinusni talasni oblik sa dužom periodom prolazi kroz manji broj ciklusa u toku jedne sekunde u odnosu na sinusni signal koji ima kraću periodu.

vU toku jedne sekunde se kompletiraju 3 ciklusa, tako da je:

Jedan ciklus traje 1s:3=0.333s, pa je perioda:

Hz3=f

ms333s333.0 ==T

v

U toku jedne sekunde se kompletiraju 5 ciklusa, tako da je:

Jedan ciklus traje 1s:5=0.2s, pa je perioda:

Hz5=f

ms200s2.0 ==T

Sinusni naponski izvoriDve osnovne metode za generisanje napona sinusnog talasnog oblika jesu elektromagnetna i elektronska. Sinusni naponi se mogu dobiti elektromagnetno pomoću AC generatora i elektonski pomoću oscilatornih kola.

AC generator:

četkice

prstenovi

žičana kontura

pol magneta

pol magneta

magnetno polje

osovina

osovina

kontura

1. četvrtina: pozitivna alternacija 2. četvrtina: pozitivna alternacija

3. četvrtina: negativna alternacija 4. četvrtina: negativna alternacija

Jedan obrtaj provodnika u magnetnom polju kod osnovnog AC generatora (koji se još naziva i alternator) generiše jedan ciklus sinusnog napona. Brzina kojom provodnik rotira u magnetnom polju odreñuje vreme kompletiranja jednog ciklusa. Na primer, ako provodnik kompletira 50 obrtaja u sekundi, perioda odgovarajućeg sinusnog talasa je 1/50, a frekvencija 50 Hz. Što je brzina rotacije veća, to je veća i frekvencija indukovanog sinusnog napona.

o/s60 o/s120

Drugi način postizanja veće frekvencije jeste povećanjem broja magnetnih polova. Ranije smo objašnjavali kako se može dobiti sinusni indukovani napon korišćenjem dva magnetna pola. Za vreme jednog obrtaja, provodnik prolazi pored severnog i južnog magnetnog pola i tako se formira jedan ciklus indukovanog napona. Kada se umesto dva koriste četiri magnetna pola, jedan ciklus indukovanog napona se formira u toku polovine obrtaja provodnika. Na ovaj način se postiže dvostruko veća frekvencija pri nepromenjenoj brzini obrtanja provodnika.

1 obrtaj

1/2 obrtaja

Signal generator:

Signal generator je instrument koji elektronski proizvodi signale sinusnog talasnog oblika i upotrebljava se kod testiranja i upravljanja kolima i sistemima. Postoje različiti signal generatori, od instrumenata specijalnih namena koji daju sinusne talasne oblike u ograničenom opsegu frekvencija, do programibilnih generatora koji daju širok opseg frekvencija i različite talasne oblike signala. Svi signal generatori su zasnovani na oscilatorima, elektronskim kolima koja na svom izlazu daju signal periodičnog talasnog oblika. Svi signal generatori imaju kontrole za podešavanje frekvencije i amplitude signala. Generatori funkcija su instrumenti koji na svom izlazu mogu dati više različitig talasnih oblika signala.

Karakteristične veličine AC napona i struja

Trenutna vrednostv v

U bilo kom trenutku, napon ili struja imaju odreñenu trenutnu vrednost, koja je različita u različitim tačkama sinusoide. Trenutne vrednosti su pozitivne za vreme pozitivne alternacije (ili pozitivne poluperiode) i negativne za vreme negativne alternacije (negativne poluperiode). Trenutne vrednosti napona i struja se označavaju malim slovima v i i.

Maksimalna vrednost

v

Maksimalna vrednost sinusnog talasnog oblika napona (ili struje) je vrednost maksimalne amplitude signala u odnosu na nulu. Kako maksimalne negativne i pozitivne vrednosti signala imaju jednake veličine, sinusni signal se karakteriše jednom maksimalnom vrednošću.

maxV

maxV

maxV+

maxV−

Raspon maksimuma

max2V

maxV+

maxV−

Efektivna vrednost

Najveći broj AC voltmetara pokazuje efektivnu vrednost napona. Ova efektivna vrednost se još označava i sa rms (root mean square). 220V naše mreže je efektivna vrednost napona.

Efektivna vrednost sinusnog napona je zapravo mera efekta zagrevanja sinusnim talasom.

AC izvor

DC izvor

Kada je otpornik vezan na AC izvor napajanja (a), na njemu se osloboña odreñena toplota. DC izvor napajanja se može podešavati tako da se na otporniku koji je vezan na ovaj izvor (b) oslobodi ista količina toplote kao na otporniku u slučaju (a).

Efektivna vrednost sinusnog AC napona je jednaka DC naponu koji na otporniku razvija istu količinu toplote kao što je to u slučaju sinusnog napona.

Neka je napon sinusnog talasnog oblika:

Kod odreñivanja efektivne vrednosti, prvo se ova jednačina kvadrira:

θsinmaxVv =

θ22max

2 sinVv =2

maxV

Da bi se dobila efektivna vrednost napona, potrebno je površinu poluperiode podeliti sa π:

( )

( )

( ) ( )2

02

2sin2

2cos2

12

2cos12

sin1povr.

2max

2max

021

2max

0

2max

0

2max

0

2max

0

22max

2

VVV

dV

dV

dV

dVVeff

=−=−=

−−=

−===

∫∫

∫∫

ππ

θθπ

θθπ

θπ

θθπ

θθππ

π

ππ

ππ

Konačno:

Na sličan način se može odrediti i efektivna vrednost struje:

maxmax2 707.02

VV

VV effeff ===

max707.0 IIeff =

Srednja vrednostSrednja vrednost signala sinusnog talasnog oblika računata za kompletan ciklus je uvek jednaka nuli jer se srednja vrednost signala tokom pozitivne poluperiode poništava srednjom vrednošću signala tokom negativne poluperiode. Za odreñene svrhe, meñutim, je korisno računati srednju vrednost signala tokom jedne poluperiode.

Srednja vrednost za sve tačke na slici je jednaka nuli!!!

Iz praktičnih razloga, kod odreñivanja srednje vrednosti se smatra da sve tačke jedne sinusoide imaju pozitivne vrednosti.

( )

( ) ( )

maxmaxmax

maxmax

0max

0

max

637.02

2

)1()1()0cos(cos

cossin1povr.

VVV

VV

VdVVsr

===

−−−−=−−−=

−=== ∫

ππ

ππ

π

θπ

θθππ

ππ

maxmax 637.0

2V

VVsr ==

π

maxV

Na sličan način se može odrediti i srednja vrednost struje:

maxmax 637.0

2I

II sr ==

π

Ugaona prezentacija sinusnog

talasa

Sinusni oblik napona se može dobiti AC generatorom. Kako namotaj rotora AC generatora prolazi punih 360° rotacije, rezultujući izlazni napon je jedan pun ciklus sinusnog talasnog oblika. Tako se ugaona prezentacija sinusnog talasnog oblika napona može povezati sa ugaonom rotacijom generatora.

sinusni napon

1

Stepen je mera ugla koja odgovara 1/360 kruga ili punog obrtaja. Radijan je mera ugla kod kojeg je dužina dela obima kruga jednaka poluprečniku kruga. Jedan radijan je jednak 57.3°, kao što je prikazano na slici. Obrtaj od 360° odgovara meri od 2π radijana.

Grčko slovo ππππ predstavlja odnos obima bilo kog kruga i njegovog

prečnika i ima konstantnu vrednost 3.1416.

stepeni radijani

Radijan/stepen konverzija:

stepeni180

radrad ×

=

o

π

i obrnuto:

radijanirad

180stepeni ×

=

π

o

Za sinusni talasni oblik signala, ugaona prezentacija može biti ili u stepenima ili u radijanima, pri čemu kompletnom ciklusu odgovara 360° ili 2π rad, kao na slici:

Faza signala sinusnog talasnog oblika:

Faza sinusnog signala je mera ugla koja specificira relativni položaj tog sinusnog signala u odnosu na referentni (prvi pozitivni prolaz kroz nulu je u tački 0° (0 rad), pozitivni maksimum je u tački 90° (π/2 rad), negativni prolaz kroz nulu je u tački 180° (π rad), negativni maksimum je u tački 270° (3π/2 rad), a ciklus se završava u tački 360° (2π rad)). Kada je sinusni talasni oblik nekog signala pomeren levo ili desno u odnosu na ovakav referentni signal, onda se taj pomeraj naziva fazni pomeraj.

pozitivni prolaz negativni prolaz

pozitivni maksimum

negativni maksimum

Slika (a): sinusoida B je pomerena desno za 90° (π/2 rad) u odnosu na sinusoidu A, tako da izmeñu ove dve sinusoide postoji fazni ugao 90°. Maksimum sinusoide B se pojavljuje kasnije nego maksimum sinusoide A. U ovom slučaju se kaže da sinusoida B kasni za sinusoidom A za 90° ili π/2.

Slika (b): sinusoida B je pomerena levo za 90° (π/2 rad) u odnosu na sinusoidu A, tako da izmeñu ove dve sinusoide opet postoji fazni ugao 90°. U ovom slučaju, maksimum sinusoide B se pojavljuje ranije nego maksimum sinusoide A, pa se kaže da sinusoida B prednjači sinusoidi A za 90° ili π/2.

(a) (b)

Jednačina sinusoide

iv ili A amplituda sinusiode koja predstavlja maksimalnu vrednost napona ili struje na vertikalnoj osi); na horizontalnoj osi je promenljiv ugao θ. Promenljiva y je trenutna vrednost napona ili struje pri datom uglu θ.

Svi električni talasni oblici signala su dati specifičnom matematičkom formulom, čiji je opšti izraz:

Ova formula važi za bilo koju tačku sinusoide i predstavlja trenutnu vrednost signala.

θsinAy =

v

V66.8866.01060sinV10sinmax =⋅=⋅== oθVv

Kada je sinusoida pomerena desno u odnosu na referentnu za odreñen ugao φ, slika (a), opšti izraz za vremenski promenljiv signal je:

gde je y trenutna vrednost napona ili struje, a A amplituda signala. Kada je sinusoida pomerena levo u odnosu na referentnu za odreñen ugao φ, slika (b), opšti izraz za vremenski promenljiv signal je:

( )φθ −= sinAy

( )φθ += sinAy

Primer: odrediti trenutne vrednosti napona za ugao θ = 90°, za sva tri talasna oblika napona.

Neka je sinusoida A referentna. Sinusioda B je pomerena za 20° u odnosu na sinusoidu A tako da joj prednjači. Sinusoida C je pomerena za 45° u odnosu na A tako da kasni za njom.

( )( ) 5.66V

4.7V

10V

=⋅=⋅=−=

=⋅=⋅=+=

=⋅=⋅==

7071.0845sinV8sin

9397.05110sinV5sin

11090sinV10sin

max

max

max

o

o

o

CC

BB

A

θVv

θVv

θVv

φ

φ

Uvod u fazore

U matematici i nauci, vektor je veličina koja je odreñena intenzitetom i smerom. Primeri vektora su sila, brzina, ubrzanje. U elektronici, fazor je vrsta vektora koja se odnosi na veličine koje se vremenski menjaju, kao što je slučaj sa sinusnim signalima. Na slici su prikazani primeri fazora. Dužina strelice fazora predstavlja amplitudu odreñene veličine. Ugao θ (relativno u odnosu na 0°) predstavlja ugaoni položaj, kao što je prikazano na slici (a) za pozitivan ugao. Specifični primer fazora na slici (b) ima amplitudu 2 i ugao 45°. Fazor na slici (c) ima amplitudu 3 i fazni ugao 180°. Fazor na slici (d) ima amplitudu 1 i fazni ugao −45° (ili +315°). Pozitivni uglovi se mere u smeru suprotnom kretanju kazaljke na satu, dok se negativni mere u smeru kretanja kazaljke na satu, u odnosu na referencu 0°.

Fazorska prezentacija sinusoide

Pun ciklus sinusnog talasnog oblika se može predstaviti rotiranjem fazora po celom krugu (360°).Trenutna vrednost sinusoide u bilo kojoj tački je jednaka vertikalnom

rastojanju vrha fazora u odnosu na horizontalnu osu.

Dužina fazora na slici je jednaka maksimalnoj vrednosti sinusnog signala. Ugao fazora meren u odnosu na 0° je odgovarajuća ugaona tačka na sinusoidi.

maxV

maxV

maxVθsinmaxVv =

Na slici je prikazan fazor napona sa ugaonom pozicijom 45° i odgovarajuća tačka na sinusoidi. Trenutna vrednost sinusnog talasnog oblika u ovoj tački se odnosi i na poziciju i na dužinu fazora. Kao što je ranije naglašeno, vertikalno rastojanje od vrha fazora do horizontalne ose predstavlja trenutnu vrednost sinusnog talasa u toj tački. Ako se vrh fazora spoji sa horizontalnom osom, dobija se pravougaoni trougao čija je hipotenuza zapravo fazor. Iz trigonometrije, ta strana je jednaka proizvodu hipotenuze i sinusa ugla θ :

Ista formula je ranije data za trenutnu vrednost sinusnog napona.

θsinmaxVv =

Pozitivni i negativni uglovi fazora:

Pozicija fazora u nekom odreñenom trenutku se može izraziti preko pozitivnog ugla, ili ekvivalentnog negativnog ugla. Za dati pozitivni ugao θ, odgovarajući negativni ugao je θ −360°.

Primer: odrediti trenutne vrednosti napona za sve prikazane fazore na sledećoj slici.

ooo

o

ooo

o

ooo

o

270

10V

330

5V

360

0V

−=−

=⋅=⋅=

−=−

=⋅=⋅=

−=−

=⋅=⋅=

36090

1V1090sinV10)(

36030

5.0V1030sinV10)(

3600

0V100sinV10)(

vc

vb

va

ooo

o

ooo

o

ooo

o

30

5V

90

10V

225

7.07V

−=−

−=−⋅=⋅=

−=−

−=−⋅=⋅=

−=−

=⋅=⋅=

360330

)5.0(V10330sinV10)(

360270

)1(V10270sinV10)(

360135

707.0V10135sinV10)(

vf

ve

vd